Биссектрисы равнобедренного треугольника. Биссектриса в равнобедренном треугольнике
Биссектрисы равнобедренного треугольника | Треугольники
Свойства биссектрис равнобедренного треугольника
I. Биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника (проведенные к боковым сторонам), равны.
Дано:
∆ ABC,
AC=BC,
AN и BM — биссектрисы.
Доказать: AN=BM.
Доказательство:
Рассмотрим треугольники ACN и BCM
(не забываем, как важно правильно назвать равные треугольники!).
1) AC=BC (по условию (как боковые стороны равнобедренного треугольника))
2) ∠C — общий
3) ∠CAN=∠CBM (как углы, на которые биссектрисы делят равные углы при основании равнобедренного треугольника)
Следовательно, ∆ACN=∆BCM (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AN=BM.
Что и требовалось доказать.
Если в треугольнике два угла раны, то этот треугольник — равнобедренный (по признаку).
Если в треугольнике две стороны равны, то этот треугольник — равнобедренный (по определению).
Отсюда вытекает, что
Биссектрисы, проведенные из равных углов треугольника, равны.
Биссектрисы, проведенные к равным сторонам треугольника, равны.
Замечание.
(Вместо пары треугольников ACN и BCM можно было рассмотреть треугольники ABM и BAN.
1) AB — общая сторона
2) ∠MAB=∠NBA (как углы при основании равнобедренного треугольника)
3) ∠ABM=∠BAN (как углы, образованные биссектрисами равных углов).
Следовательно, треугольники ACN и BCM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам).
II. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делит боковую сторону на отрезки, пропорциональные боковой стороне и основанию.
Это следует непосредственно из свойства биссектрисы треугольника.
www.treugolniki.ru
Как найти биссектрису треугольника?
Одной из основ геометрии является нахождение биссектрисы, луча, делящего угол пополам. Биссектриса треугольника представляет собой часть биссектрисы любого угла. Это отрезок от вершины угла до пересечения с противоположной стороной треугольника.
Если вывести биссектрисы из всех углов, то они пересекутся в одной точке, которая называется центр вписанного треугольника.
Вычислить биссектрису можно, если знать длину стороны, которую она делит пополам, или же величины углов треугольника.
Биссектриса равнобедренного треугольника
Поскольку в равнобедренном треугольнике две стороны равны друг другу, то и биссектрисы прилегающих углов будут равными. Т.к. углы треугольника также равны.
При проведении биссектрисы из одного из углов, она будет считаться высотой данного треугольника и его медианой.
Задачи, как найти биссектрису треугольника, решаются с применением формул.
Для решения данных формул в условии должны быть обозначены значения длин сторон, или величин углов треугольника. Зная их, можно вычислить биссектрису по косинусам, либо по периметру.
Например, берем равнобедренный треугольник ABC и проводим биссектрису AE к основанию BC. Полученный треугольник AEB – прямоугольный. Биссектриса – это его высота, сторона AB – гипотенуза прямоугольного треугольника, а BE и AE – катеты.
Применяется теорема Пифагора – квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Исходя из нее BE = v (AB - AE). Поскольку AE – это медиана треугольника ABC, то катет BE = BC/2. Таким образом, BE = v (AB - (BC /4)).
В случае, если задан угол основания ABC, то биссектриса треугольника AEB, AE = AB/sin(ABC). Угол основания AEB, BAE = BAC/2. Поэтому биссектриса AE = AB/cos (BAC/2).
Как найти биссектрису треугольника, вписанного в другой треугольник?
В равнобедренном треугольнике ABC проведем к стороне АС сторону ВК. Этот отрезок не будет являться ни биссектрисой треугольника, ни его медианой. Здесь применятся формула Стюарта.
По ней вычисляется периметр треугольника – сумма длин всех его сторон. Для ABC вычисляем полупериметр. Это периметр треугольника, деленный пополам.
Р = ( АВ+ ВС+ АС)/2. По этой формуле высчитываем биссектрису, проведенную к стороне. ВК = v(4*ВС*АС*Р (Р-АВ)/ (ВС+АС).
По теореме Стюарта можно также увидеть, что биссектриса, проведенная к другой стороне треугольника, будет равна ВК, т.к. эти две стороны треугольника равны между собой.
Биссектриса прямоугольного треугольника
Для того чтобы знать, как находиться биссектриса в прямоугольном треугольнике, нужно также пользоваться формулами. Не стоит забывать, что в прямоугольном треугольнике один угол обязательно прямой, т.е. равный 90 градусам. Таким образом, если биссектриса начинается из прямого угла, даже если в услови
elhow.ru
Все формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника
Формулы для вычисления высоты, биссектрисы и медианы.
В равнобедренном треугольнике: высота, биссектриса и медиана, исходящие из угла образованного равными сторонами, один и тот же отрезок.
L - высота = биссектриса = медиана
a - одинаковые стороны треугольника
b - основание
α - равные углы при основании
β - угол образованный равными сторонами
Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):
Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):
Подробности Автор: Administrator Опубликовано: 07 октября 2011 Обновлено: 16 мая 2017
www-formula.ru
Свойства равнобедренного треугольника. Третий признак равенства треугольников. [wiki.eduVdom.com]
Свойства равнобедренного треугольника выражают следующие теоремы.
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
Докажем одну из них, например теорему 2.5.
Рис.1
Доказательство. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием ВС и докажем, что ∠ В = ∠ С. Пусть AD — биссектриса треугольника ABC (рис.1). Треугольники ABD и ACD равны по первому признаку равенства треугольников (АВ = АС по условию, AD — общая сторона, ∠ 1 = ∠ 2, так как AD — биссектриса). Из равенства этих треугольников следует, что ∠ В = ∠ С. Теорема доказана.
С использованием теоремы 1 устанавливается следующая теорема.
Рис.2
Теорема 5. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 2).
Замечание. Предложения, установленные в примерах 1 и 2, выражают свойства серединного перпендикуляра к отрезку. Из этих предложений следует, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
Пример 1. Доказать, что точка плоскости, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
Решение. Пусть точка М равноудалена от концов отрезка АВ (рис. 3), т. е. AM = ВМ.
Рис.3
Тогда Δ АМВ равнобедренный. Проведем через точку М и середину О отрезка АВ прямую р. Отрезок МО по построению есть медиана равнобедренного треугольника АМВ, а следовательно (теорема 3), и высота, т. е. прямая МО, есть серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
Пример 2. Доказать, что каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов.
Решение. Пусть р — серединный перпендикуляр к отрезку АВ и точка О — середина отрезка АВ (см. рис. 3).
Рис.3
Рассмотрим произвольную точку М, лежащую на прямой р. Проведем отрезки AM и ВМ. Треугольники АОМ и ВОМ равны, так как у них углы при вершине О прямые, катет ОМ общий, а катет ОА равен катету ОВ по условию. Из равенства треугольников АОМ и ВОМ следует, что AM = ВМ.
Пример 3. В треугольнике ABC (см. рис. 4) АВ = 10 см, ВС = 9 см, АС = 7 см; в треугольнике DEF DE = 7 см, EF = 10 см, FD = 9 см.
Рис.4
Сравнить треугольники ABC и DEF. Найти соответственно равные углы.
Решение. Данные треугольники равны по третьему признаку. Соответственно равные углы: А и Е (лежат против равных сторон ВС и FD), В и F (лежат против равных сторон АС и DE), С и D (лежат против равных сторон АВ и EF).
Пример 4. На рисунке 5 АВ = DC, ВС = AD, ∠B = 100°.
Рис.5
Найти угол D.
Решение. Рассмотрим треугольники ABC и ADC. Они равны по третьему признаку (АВ = DC, ВС = AD по условию и сторона АС — общая). Из равенства этих треугольников следует, что ∠ В = ∠ D, но угол В равен 100°, значит, и угол D равен 100°.
Пример 5. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°. Найдите величину угла ABC . Ответ дайте в градусах.
Видео-решение.
wiki.eduvdom.com
Свойство медианы равнобедренного треугольника (с доказательством) не пойму как решать и его нет в интернете
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. Дано: А АВС — равнобедренный треугольник, АВ — основание, CD — медиана (рис. 22). Доказать: CD — биссектриса и высота. Доказательство. Треугольники CAD и CBD равны но второму признаку равенства треугольников (стороны АС и ВС равны, так как АВС — равнобедренный. Углы CAD и CBD равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Стороны AD и BD равны, поскольку D — середина отрезка АВ). Из равенства треугольников CBD и CAD следует равенство углов: Так как углы ACD и BCD равны, то CD — биссектриса. Поскольку углы ADC и BDC смежные и равны друг другу, они прямые. Следовательно, отрезок CD является также высотой треугольника АВС. Теорема доказана. Таким образом, установлено, что биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника, проведенные к основанию, совпадают. Поэтому справедливы также следующие утверждения: 1. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. 2. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой
медиана равнобедренного треугольника - является его высотой и биссектрисой
В равноб. треуг. медиана из вершины является биссектрисой и высотой. Доказывается из равенства двух треугольников, На которые медиана делит исходный треугольник
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. Дано: А АВС — равнобедренный треугольник, АВ — основание, CD — медиана (рис. 22). Доказать: CD — биссектриса и высота. Доказательство. Треугольники CAD и CBD равны но второму признаку равенства треугольников (стороны АС и ВС равны, так как АВС — равнобедренный. Углы CAD и CBD равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Стороны AD и BD равны, поскольку D — середина отрезка АВ). Из равенства треугольников CBD и CAD следует равенство углов: Так как углы ACD и BCD равны, то CD — биссектриса. Поскольку углы ADC и BDC смежные и равны друг другу, они прямые. Следовательно, отрезок CD является также высотой треугольника АВС. Теорема доказана. Таким образом, установлено, что биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника, проведенные к основанию, совпадают. Поэтому справедливы также следующие утверждения: 1. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. 2. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой
touch.otvet.mail.ru
Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника равна основанию треугольника. Найдите его углы.
Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника Биссектриса угла делит угол попалам, пусть половина угла будет а (зелененький) , весь угол 2а треугольник равнобедренный! Значит углы при основании равны, то есть синенький угол тоже равен 2а Дальше рассмотрим закрашенный треугольник "Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника равна основанию треугольника" значит этот треугольник тоже равнобедренный и углы при его основании тоже равны следовательно розовый угол тоже равен 2а. Дальше вспоминаем, что сумма углов треугольника = 180 градусов а+2а+2а=180 (сумма углов в закрашенном треугольнике) 5а=180 а=36 <img src="//otvet.imgsmail.ru/download/ddf7fd1d3e8821fde804b3def79f0b79_i-6.jpg" >
Тр-к АВС; АВ = ВС. АД - биссектриса. АД = АС, значит, угол АДС = АСД = х. ВАС = ВСА. Значит, ДАС = 0,5х Из тр-ка АДС: х + х + 0,5х = 180 х = 72; АВС = 180 - 72 * 2 = 36.
При основании по 72 гр., а вершина-36гр.
touch.otvet.mail.ru
Ответы@Mail.Ru: Равнобедренный треугольник.Свойства равнобедренного треугольника.
Равнобедренный треугольник — это треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине. Равные стороны называются боковыми, а последняя — основанием. По определению, правильный треугольник также является равнобедренным, но обратное утверждение неверно. Свойства. Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Также равны биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов. Биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр, проведённые к основанию, совпадают между собой. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии. Углы, противолежащие равным сторонам, всегда острые (следует из их равенства) .
все провильно
Свойства равнобедренного треугольника 1) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. 2) В равнобедренном треугольнике - медиана, - биссектриса - и высота, проведенные к основанию, совпадают. svoystva ravnobedrennogo treugolnika Например, если в треугольнике ABC AC=BC, то: ∠A=∠B CF — высота, медиана и биссектриса, то есть, ∠AFC=90º, AF=BF, ∠ACF=∠BCF. Треугольники ACF и BCF — равные прямоугольные треугольники. 3) В равнобедренном треугольнике - биссектрисы, проведенные из вершин при основании, равны; - высоты, проведенные из вершин при основании, равны; - медианы, проведенные из вершин при основании, равны
Равнобедренный треугольник — это треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине. Равные стороны называются боковыми, а последняя — основанием. По определению, правильный треугольник также является равнобедренным, но обратное утверждение неверно. Свойства. Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Также равны биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов. Биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр, проведённые к основанию, совпадают между собой. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии. Углы, противолежащие равным сторонам, всегда острые (следует из их равенства)
touch.otvet.mail.ru
