2. Пирамида с равными боковыми рёбрами. Боковое ребро пирамиды
виды пирамид, формулы объема и площади поверхности, апофема, высота — Колпаков Александр Николаевич
Здесь собраны основные сведения о пирамидах и связанных с ней формулах и понятиях. Все они изучаются с репетитором по математике при подготовке к ЕГЭ.
Рассмотрим плоскость , многоугольник , лежащий в ней и точку S, не лежащую в ней. Соединим S со всеми вершинами многоугольника. Полученный при этом многогранник называется пирамидой. Отрезки называются боковыми ребрами. Многоугольник называется основанием, а точка S — вершиной пирамиды. В зависимости от числа n пирамида называется треугольной (n=3), четырехугольной (n=4), птяиугольной (n=5) и так далее. Альтернативное название треугольной пирамиды – тетраэдр. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из ее вершины к плоскости основания.
Пирамида называется правильной, если правильный многоугольник, а основание высоты пирамиды (основание перпендикуляра) является его центром.
Комментарий репетитора:Не путайте понятие «правильная пирамида» и «правильный тетраэдр». У правильной пирамиды боковые ребра совсем не обязательно равны ребрам основания, а в правильном тетраэдре все 6 ребер ребра равные. Это его определение. Легко доказать, что из равенства следует совпадение центра P многоугольника с основанием высоты, поэтому правильный тетраэдр является правильной пирамидой.
Что такое апофема?Апофемой пирамиды называется высота ее боковой грани. Если пирамида правильная, то все ее апофемы равны. Обратное неверно.Репетитор по математике о своей терминологии: работа с пирамидами на 80% строится через два вида треугольников:1) Содержащий апофему SK и высоту SP2) Содержащий боковое ребро SA и его проекцию PAЧтобы упростить ссылки на эти треугольники репетитору по математике удобнее называть первый из них апофемным, а второй реберным. К сожалению, этой терминологии вы не встретите ни в одном из учебников, и преподавателю приходится вводить ее в одностороннем порядке.
Формула объема пирамиды:1) , где – площадь основания пирамиды, а -высота пирамиды2) , где – радиус вписанного шара, а – площадь полной поверхности пирамиды.3) , где MN – расстояние любыми двумя скрещивающимися ребрами, а – площадь параллелограмма, образованного серединами четырех оставшихся ребер.
Свойство основания высоты пирамиды:
Точка P (смотри рисунок) совпадает с центром вписанной окружности в основание пирамиды, если выполняется одно из следующих условий:1) Все апофемы равны2) Все боковые грани одинаково наклонены к основанию3) Все апофемы одинаково наклонены к высоте пирамиды4) Высота пирамиды одинаково наклонена ко всем боковым граням
Комментарий репетитора по математике: обратите внимание, что все пункты объединяет одно общее свойство: так или иначе везде участвуют боковые грани (апофемы — это их элементы). Поэтому репетитор может предложить менее точную, но более удобную для заучивания формулировку: точка P совпадает с центром вписанной окружности основание пирамиды, если имеется любая равная информация о ее боковых гранях. Для доказательства достаточно показать, что все апофемные треугольники равны.
Точка P совпадает с центром описанной около основания пирамиды окружностью, если верно одно их трех условий:1) Все боковые ребра равны2) Все боковые ребра одинаково наклонены к основанию3) Все боковые ребра одинаково наклонены к высоте
Комментарий репетитора. Аналогично предыдущему пункту текст можно упростить и вместо этих условий произнести : «если имеется любая равная информация о боковых ребрах». При этом все апофемные треугольники будут равны все проекции боковых ребер будет равны P будет равноудалена от всех вершин основания и поэтому окажется центром описанной окружности.
Площадь полной поверхности пирамиды:Полощадью поверности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней .Площадь боковой поверхностии — сумма площадей всех боковых граней .Если все апофемы равны (например в правильной пирамиде), то площадь ее боковой поверхности вычисляется по формуле , где p — полупериметр основания, а SK-апофема.
Правильная треугольная пирамида однозначно определяется двумя параметрами: один плоский, а другой пространственный: к плоскому я отношу любой элемент правильного треугольника (кроме угла), а к пространственному любой связующий параметр между основанием и точкой S: апофема, высота, углы наклона ребер, граней, объем, площадь поверхности и др. При наличие в условии задачи этих двух начальных данных репетитор с учеником может найти у такой пирамиды все что угодно.
Пирамида — обязательный пункт подготовки к ЕГЭ по математике. Програмный минимум по стереометрии включает в себя все вышеуказанные сведения, кроме третьей формулы вычисления объема пирамиды.
Колпаков Александр,репетитор по математике в Москве. Строгино
ankolpakov.ru
Как найти боковое ребро в пирамиде
Пирамида представляет собой многогранник, грани которого являются треугольниками, имеющими общую вершину. Вычисление бокового ребра изучают в школе, на практике часто приходится вспоминать подзабытую формулу.
Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как найти боковое ребро в пирамиде" Как найти высоту тетраэдра Как построить высоту пирамиды Как вычислить площадь пирамидыИнструкция
1
По виду основания пирамида может быть треугольной, четырехугольной и т.п. Треугольная пирамида называется еще и тетраэдром. В тетраэдре любая грань может быть принята за основание.2
Пирамида бывает правильной, прямоугольной, усеченной и др. Правильной пирамида называется в том случае, если ее основанием является правильный многоугольник. Тогда центр пирамиды проецируется на центр многоугольника, а боковые ребра пирамиды равны. В такой пирамиде боковые грани являются одинаковыми равнобедренными треугольниками.4
Для вычисления ребра правильной пирамиды необходимо провести ее высоту из вершины пирамиды на основание. Далее рассматривать искомое ребро как катет в прямоугольном треугольнике, также используя теорему Пифагора.5
Боковое ребро в этом случае вычисляется по формуле b=v h3+ (a2•sin (180°n) 2. Оно является квадратным корнем из суммы квадратов двух сторон прямоугольного треугольника. Одной стороной является высота пирамиды h, другая сторона – отрезок, соединяющий центр основания правильной пирамиды с вершиной этого основания. В этом случае а – сторона правильного многоугольника основания, n - число его сторон. Как простоПирамида. Виды пирамид | Подготовка к ЕГЭ по математике
Пирамида – многогранник, основание которого — многоугольник , а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.
По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д.
Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания.
Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.
Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.
Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).
Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания.
Некоторые свойства пирамиды
1) Если все боковые ребра равны, то
– около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр
Верно и обратное.
Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.
Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.
2) Если все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр
Верно и обратное.
Виды пирамид
Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.
Для правильной пирамиды справедливо:
– боковые ребра правильной пирамиды равны;
– в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;
– в любую правильную пирамиду можно вписать сферу;
– около любой правильной пирамиды можно описать сферу;
– площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. Тогда это ребро и есть высота пирамиды.
Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.
Тетраэдр – треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.
Смотрите также таблицу «Объемы пирамиды и призмы. Площадь поверхности пирамиды и призмы».
egemaximum.ru
Пирамида с равными боковыми рёбрами — урок. Геометрия, 10 класс.
Чтобы было легче запомнить, можно представить вид пирамиды сверху
Проекции рёбер равны, через их концы можно провести окружность.
У пирамиды могут быть равны боковые рёбра тогда, когда около многоугольника основания можно описать окружность.
Главные зависимости для многоугольников, около которых можно описать окружность
Многоугольник, около которого можно описать окружность | Центр описанной окружности | Формулы |
произвольный треугольник
| точка пересечения серединных перпендикуляров | R=abc4Sasinα=2R где \(a, b, c\) — стороны треугольника |
равнобедренный треугольник | точка пересечения серединных перпендикуляров находится на высоте, проведенной к основанию
| R=abc4Sasinα=2R |
прямоугольный треугольник | середина гипотенузы
| \(R\) — половина гипотенузы |
прямоугольник | точка пересечения диагоналей
| \(R\) — половина диагонали |
Для таких пирамид нельзя использовать формулы правильной пирамиды для вычисления площади боковой поверхности, площадь боковой поверхности находят, сложив площади всех боковых граней пирамиды.
Ss=S1+S2+...
Если основание — правильный многоугольник и все боковые грани равны, то пирамида является правильной.
www.yaklass.ru
Ребро и сторона основания правильной пирамиды
Сторона основания пирамиды является стороной правильного многоугольника, исходя из этого, можно найти все параметры пирамиды, связанные с основанием, воспользовавшись формулами для правильных многоугольников. P=n(a+b) S=(na^2)/(4 tan〖(180°)/n〗 )
Чтобы найти радиус окружности, вписанной в основание правильной пирамиды, нужно разделить сторону основания на два тангенса из 180 градусов, деленных на количество сторон в основании. (рис.34.1) r=a/(2 tan〖(180°)/n〗 )
Радиус окружности, описанной вокруг основания правильной пирамиды, равен отношению стороны основания к двум синусам того же угла. (рис.34.2) R=a/(2 sin〖(180°)/n〗 )
Угол γ между сторонами правильного многоугольника, заложенного в основание пирамиды, легко найти, умножив 180 градусов на количество сторон многоугольника без двух, и деленное на полное количество сторон. (рис.34.3) γ=180°(n-2)/n
Зная боковое ребро в совокупности со стороной основания, можно вычислить высоту пирамиды и ее апофему из прямоугольных треугольников, которые они образуют. (рис.34.5, 35.1) h=√(b^2-R^2 )=√(b^2-(a/(2 sin〖(180°)/n〗 ))^2 ) l=√(b^2-a^2/4)
Косинус угла между боковым ребром и основанием будет равен отношению радиуса окружности, описанной вокруг основания, к боковому ребру пирамиды, а косинус угла между апофемой и основанием – отношению радиуса вписанной в основание окружности к апофеме. (рис.34.4,34.5) cosα=R/b=a/(2b sin〖(180°)/n〗 ) cosβ=r/l=a/(2 tan〖(180°)/n〗 √(b^2-a^2/4))
Площадь боковой поверхности пирамиды складывается из площадей треугольников, являющихся ее гранями, каждая из которых равна половине произведения апофемы на сторону основания, а площадь полной поверхности представляет собой сумму площади боковой поверхности и площади основания. S_(б.п.)=lan/2=(√(b^2-a^2/4) an)/2 S_(п.п.)=an(l/2+a/(4 tan〖(180°)/n〗 ))=an(√(b^2-a^2/4)/2+a/(4 tan〖(180°)/n〗 ))
Чтобы найти объем пирамиды, необходимо вычислить треть от произведения ее высоты на площадь основания, последовательно подставив выражения для площади и высоты в формулу. V=1/3 S_(осн.) h=(na^2 √(b^2-(a/(2 sin〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(12 tan〖(180°)/n〗 )
Радиус сферы, которая может быть вписана в пирамиду, равен трем объемам, деленным на площадь полной поверхности пирамиды, а радиус сферы, описанной вокруг пирамиды – квадрату бокового ребра, деленному на две высоты. (рис.34.6,34.7) r_1=3V/S_(п.п.) =(a√(b^2-(a/(2 sin〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(tan〖(180°)/n〗 (2√(b^2-a^2/4)+a/tan〖(180°)/n〗 ) ) R_1=b^2/2h=b^2/(2√(b^2-(a/(2 sin〖(180°)/n〗 ))^2 ))
geleot.ru
Свойства пирамиды, с примерами
В зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании, пирамиды бывают треугольные, четырехугольные и т.д.
Свойства пирамиды
- Около основания пирамиды можно описать окружность, если боковые ребра имеют одинаковую длину, при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности. Боковые ребра образуют с плоскостью основания одинаковые углы.
- Если боковые грани одинаково наклонены к плоскости основания, то около основания пирамиды можно описать окружность, при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности, а также высоты боковых граней имеют равную длину.
- Площадь боковой поверхности равняется половине произведения периметра основания на высоту боковой грани
- Объем пирамиды равен одной третьей произведения площади основания на высоту пирамиды
Свойства правильной пирамиды
- Боковые ребра правильной пирамиды равны между собой.
- Боковые грани правильной пирамиды равны между собой и являются равнобедренными треугольниками.
- Апофемы правильной пирамиды равны.
- В любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу.
- Все боковые грани образуют с плоскостью основания правильной пирамиды равные углы.
Примеры решения задач
Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
ru.solverbook.com
Боковое ребро - правильная четырехугольная пирамида
Боковое ребро - правильная четырехугольная пирамида
Cтраница 1
Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно m и наклонено к плоскости основания под углом а. [1]
Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды составляет с плоскостью основания угол а. Через вершину основания и середину противолежащего бокового ребра проведена плоскость параллельно одной из диагоналей основания. [2]
Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно диагонали ее основания. [3]
Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно Ь, а угол, образованный боковым ребром с плоскостью основания, равен а. В эту пирамиду вписан равносторонний цилиндр так, что одна из его образующих расположена на диагонали основания пирамиды, а окружность основания касается двух смежных боковых граней пирамиды. [4]
Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно m и наклонено к плоскости основания под углом а. [5]
Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды составляет с плоскостью основания угол а. Через вершину основания и середину противолежащего бокового ребра проведена плоскость параллельно одной из диагоналей основания. [6]
Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно т и наклонено к плоскости основания под углом а. [7]
Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды составляет с плоскостью основания угол а. Через вершину основания и середину противолежащего бокового ребра проведена плоскость параллельно одной из диагоналей основания. [8]
Боковые ребра правильной четырехугольной пирамиды равны а и наклонены к плоскости основания под углом а. [9]
Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды, длиной т, наклонено к плоскости основания под углом а. [10]
Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно m и наклонено к плоскости основания под углом, равным а. [11]
Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды составляет с плоскостью основания угол, равный а. Через вершину основания и середину противолежащего бокового ребра проведена плоскость параллельно одной из диагоналей основания. [12]
Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды, длиной т, наклонено к плоскости основания под углом а. [13]
Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно т и наклонено к плоскости основания под углом, равным а. [14]
Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды составляет с плоскостью основания угол, равный а. Через вершину основания и середину противолежащего бокового ребра проведена плоскость параллельно одной из диагоналей основания. [15]
Страницы: 1 2
www.ngpedia.ru