2. Пирамида с равными боковыми рёбрами. Боковое ребро пирамиды


виды пирамид, формулы объема и площади поверхности, апофема, высота — Колпаков Александр Николаевич

Здесь собраны основные сведения о пирамидах и связанных с ней формулах и понятиях. Все они изучаются с репетитором по математике при подготовке к ЕГЭ.

Рассмотрим плоскость , многоугольник , лежащий в ней и точку S, не лежащую в ней. Соединим S со всеми вершинами многоугольника. Полученный при этом многогранник называется пирамидой. Отрезки называются боковыми ребрами. Многоугольник называется основанием, а точка S — вершиной пирамиды. В зависимости от числа n пирамида называется треугольной (n=3), четырехугольной (n=4), птяиугольной (n=5) и так далее. Альтернативное название треугольной пирамиды – тетраэдр. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из ее вершины к плоскости основания.

Пирамида называется правильной, если правильный многоугольник, а основание высоты пирамиды (основание перпендикуляра) является его центром.

Комментарий репетитора:Не путайте понятие «правильная пирамида» и «правильный тетраэдр». У правильной пирамиды боковые ребра совсем не обязательно равны ребрам основания, а в правильном тетраэдре все 6 ребер ребра равные. Это его определение. Легко доказать, что из равенства следует совпадение центра P многоугольника с основанием высоты, поэтому правильный тетраэдр является правильной пирамидой.

Что такое апофема?Апофемой пирамиды называется высота ее боковой грани. Если пирамида правильная, то все ее апофемы равны. Обратное неверно.Репетитор по математике о своей терминологии: работа с пирамидами на 80% строится через два вида треугольников:1) Содержащий апофему SK и высоту SP2) Содержащий боковое ребро SA и его проекцию PAЧтобы упростить ссылки на эти треугольники репетитору по математике удобнее называть первый из них апофемным, а второй реберным. К сожалению, этой терминологии вы не встретите ни в одном из учебников, и преподавателю приходится вводить ее в одностороннем порядке.

Формула объема пирамиды:1) , где – площадь основания пирамиды, а -высота пирамиды2) , где – радиус вписанного шара, а – площадь полной поверхности пирамиды.3) , где MN – расстояние любыми двумя скрещивающимися ребрами, а – площадь параллелограмма, образованного серединами четырех оставшихся ребер.

Свойство основания высоты пирамиды:

Точка P (смотри рисунок) совпадает с центром вписанной окружности в основание пирамиды, если выполняется одно из следующих условий:1) Все апофемы равны2) Все боковые грани одинаково наклонены к основанию3) Все апофемы одинаково наклонены к высоте пирамиды4) Высота пирамиды одинаково наклонена ко всем боковым граням

Комментарий репетитора по математике: обратите внимание, что все пункты объединяет одно общее свойство: так или иначе везде участвуют боковые грани (апофемы — это их элементы). Поэтому репетитор может предложить менее точную, но более удобную для заучивания формулировку: точка P совпадает с центром вписанной окружности основание пирамиды, если имеется любая равная информация о ее боковых гранях. Для доказательства достаточно показать, что все апофемные треугольники равны.

Точка P совпадает с центром описанной около основания пирамиды окружностью, если верно одно их трех условий:1) Все боковые ребра равны2) Все боковые ребра одинаково наклонены к основанию3) Все боковые ребра одинаково наклонены к высоте

Комментарий репетитора. Аналогично предыдущему пункту текст можно упростить и вместо этих условий произнести : «если имеется любая равная информация о боковых ребрах». При этом все апофемные треугольники будут равны все проекции боковых ребер будет равны P будет равноудалена от всех вершин основания и поэтому окажется центром описанной окружности.

Площадь полной поверхности пирамиды:Полощадью поверности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней .Площадь боковой поверхностии — сумма площадей всех боковых граней .Если все апофемы равны (например в правильной пирамиде), то площадь ее боковой поверхности вычисляется по формуле , где p — полупериметр основания, а SK-апофема.

Правильная треугольная пирамида однозначно определяется двумя параметрами: один плоский, а другой пространственный: к плоскому я отношу любой элемент правильного треугольника (кроме угла), а к пространственному любой связующий параметр между основанием и точкой S: апофема, высота, углы наклона ребер, граней, объем, площадь поверхности и др. При наличие в условии задачи этих двух начальных данных репетитор с учеником может найти у такой пирамиды все что угодно.

Пирамида — обязательный пункт подготовки к ЕГЭ по математике. Програмный минимум по стереометрии включает в себя все вышеуказанные сведения, кроме третьей формулы вычисления объема пирамиды.

Колпаков Александр,репетитор по математике в Москве. Строгино

ankolpakov.ru

Как найти боковое ребро в пирамиде

Пирамида представляет собой многогранник, грани которого являются треугольниками, имеющими общую вершину. Вычисление бокового ребра изучают в школе, на практике часто приходится вспоминать подзабытую формулу.

Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как найти боковое ребро в пирамиде" Как найти высоту тетраэдра Как построить высоту пирамиды Как вычислить площадь пирамиды

Инструкция

1

По виду основания пирамида может быть треугольной, четырехугольной и т.п. Треугольная пирамида называется еще и тетраэдром. В тетраэдре любая грань может быть принята за основание.

2

Пирамида бывает правильной, прямоугольной, усеченной и др. Правильной пирамида называется в том случае, если ее основанием является правильный многоугольник. Тогда центр пирамиды проецируется на центр многоугольника, а боковые ребра пирамиды равны. В такой пирамиде боковые грани являются одинаковыми равнобедренными треугольниками.

3

Прямоугольная пирамида называется тогда, когда одно из ее ребер перпендикулярно основанию. Высотой такой пирамиды является именно это ребро. В основе вычислений значений высоты прямоугольной пирамиды, длин ее боковых ребер лежит всем известная теорема Пифагора.

4

Для вычисления ребра правильной пирамиды необходимо провести ее высоту из вершины пирамиды на основание. Далее рассматривать искомое ребро как катет в прямоугольном треугольнике, также используя теорему Пифагора.

5

Боковое ребро в этом случае вычисляется по формуле b=v h3+ (a2•sin (180°n) 2. Оно является квадратным корнем из суммы квадратов двух сторон прямоугольного треугольника. Одной стороной является высота пирамиды h, другая сторона – отрезок, соединяющий центр основания правильной пирамиды с вершиной этого основания. В этом случае а – сторона правильного многоугольника основания, n - число его сторон. Как просто

masterotvetov.com

Пирамида. Виды пирамид | Подготовка к ЕГЭ по математике

Пирамида – многогранник,  основание которого — многоугольник , а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.

По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д.

Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания.

Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.

Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).

Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания.

Некоторые свойства пирамиды 

 

1) Если все боковые ребра равны, то 

– около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

– боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы

Верно и обратное.

Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

 

2) Если все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

Верно и обратное.

Виды пирамид

 

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Для правильной пирамиды справедливо:

– боковые ребра правильной пирамиды равны;

– в правильной пирамиде все боковые грани — равные  равнобедренные треугольники;

– в любую правильную пирамиду можно  вписать сферу;

– около любой правильной пирамиды можно описать сферу;

– площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

 

Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. Тогда  это ребро и есть высота пирамиды.

Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

Тетраэдр – треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.

 

Смотрите также таблицу «Объемы пирамиды и призмы. Площадь поверхности пирамиды и призмы».

egemaximum.ru

Пирамида с равными боковыми рёбрами — урок. Геометрия, 10 класс.

Чтобы было легче запомнить, можно представить вид пирамиды сверху

Проекции рёбер равны, через их концы можно провести окружность.

У пирамиды могут быть равны боковые рёбра тогда, когда около многоугольника основания можно описать окружность.

    

Главные зависимости для многоугольников, около которых можно описать окружность  

Многоугольник, около которого можно описать окружностьЦентр описанной окружностиФормулы

произвольный треугольник

 

точка пересечения серединных перпендикуляров

R=abc4Sasinα=2R

где \(a, b, c\) — стороны треугольника

равнобедренный треугольник

точка пересечения серединных перпендикуляров находится на высоте, проведенной к основанию

 

R=abc4Sasinα=2R
прямоугольный треугольник

середина гипотенузы

 

\(R\) — половина гипотенузы
прямоугольник

точка пересечения диагоналей

 

\(R\) — половина диагонали

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для таких пирамид нельзя использовать формулы правильной пирамиды для вычисления площади боковой поверхности, площадь боковой поверхности находят, сложив площади всех боковых граней пирамиды.

Ss=S1+S2+...

 

Если основание — правильный многоугольник и все боковые грани равны, то пирамида является правильной.

www.yaklass.ru

Ребро и сторона основания правильной пирамиды

Сторона основания пирамиды является стороной правильного многоугольника, исходя из этого, можно найти все параметры пирамиды, связанные с основанием, воспользовавшись формулами для правильных многоугольников. P=n(a+b) S=(na^2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 )

Чтобы найти радиус окружности, вписанной в основание правильной пирамиды, нужно разделить сторону основания на два тангенса из 180 градусов, деленных на количество сторон в основании. (рис.34.1) r=a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 )

Радиус окружности, описанной вокруг основания правильной пирамиды, равен отношению стороны основания к двум синусам того же угла. (рис.34.2) R=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 )

Угол γ между сторонами правильного многоугольника, заложенного в основание пирамиды, легко найти, умножив 180 градусов на количество сторон многоугольника без двух, и деленное на полное количество сторон. (рис.34.3) γ=180°(n-2)/n

Зная боковое ребро в совокупности со стороной основания, можно вычислить высоту пирамиды и ее апофему из прямоугольных треугольников, которые они образуют. (рис.34.5, 35.1) h=√(b^2-R^2 )=√(b^2-(a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ) l=√(b^2-a^2/4)

Косинус угла между боковым ребром и основанием будет равен отношению радиуса окружности, описанной вокруг основания, к боковому ребру пирамиды, а косинус угла между апофемой и основанием – отношению радиуса вписанной в основание окружности к апофеме. (рис.34.4,34.5) cos⁡α=R/b=a/(2b sin⁡〖(180°)/n〗 ) cos⁡β=r/l=a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 √(b^2-a^2/4))

Площадь боковой поверхности пирамиды складывается из площадей треугольников, являющихся ее гранями, каждая из которых равна половине произведения апофемы на сторону основания, а площадь полной поверхности представляет собой сумму площади боковой поверхности и площади основания. S_(б.п.)=lan/2=(√(b^2-a^2/4) an)/2 S_(п.п.)=an(l/2+a/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ))=an(√(b^2-a^2/4)/2+a/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ))

Чтобы найти объем пирамиды, необходимо вычислить треть от произведения ее высоты на площадь основания, последовательно подставив выражения для площади и высоты в формулу. V=1/3 S_(осн.) h=(na^2 √(b^2-(a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(12 tan⁡〖(180°)/n〗 )

Радиус сферы, которая может быть вписана в пирамиду, равен трем объемам, деленным на площадь полной поверхности пирамиды, а радиус сферы, описанной вокруг пирамиды – квадрату бокового ребра, деленному на две высоты. (рис.34.6,34.7) r_1=3V/S_(п.п.) =(a√(b^2-(a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(tan⁡〖(180°)/n〗 (2√(b^2-a^2/4)+a/tan⁡〖(180°)/n〗 ) ) R_1=b^2/2h=b^2/(2√(b^2-(a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ))

geleot.ru

Свойства пирамиды, с примерами

В зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании, пирамиды бывают треугольные, четырехугольные и т.д.

Свойства пирамиды

  1. Около основания пирамиды можно описать окружность, если боковые ребра имеют одинаковую длину, при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности. Боковые ребра образуют с плоскостью основания одинаковые углы.
  2. Если боковые грани одинаково наклонены к плоскости основания, то около основания пирамиды можно описать окружность, при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности, а также высоты боковых граней имеют равную длину.
  3. Площадь боковой поверхности равняется половине произведения периметра основания на высоту боковой грани

       

  4. Объем пирамиды равен одной третьей произведения площади основания на высоту пирамиды

       

Свойства правильной пирамиды

  1. Боковые ребра правильной пирамиды равны между собой.
  2. Боковые грани правильной пирамиды равны между собой и являются равнобедренными треугольниками.
  3. Апофемы правильной пирамиды равны.
  4. В любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу.
  5. Все боковые грани образуют с плоскостью основания правильной пирамиды равные углы.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Боковое ребро - правильная четырехугольная пирамида

Боковое ребро - правильная четырехугольная пирамида

Cтраница 1

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно m и наклонено к плоскости основания под углом а.  [1]

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды составляет с плоскостью основания угол а. Через вершину основания и середину противолежащего бокового ребра проведена плоскость параллельно одной из диагоналей основания.  [2]

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно диагонали ее основания.  [3]

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно Ь, а угол, образованный боковым ребром с плоскостью основания, равен а. В эту пирамиду вписан равносторонний цилиндр так, что одна из его образующих расположена на диагонали основания пирамиды, а окружность основания касается двух смежных боковых граней пирамиды.  [4]

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно m и наклонено к плоскости основания под углом а.  [5]

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды составляет с плоскостью основания угол а. Через вершину основания и середину противолежащего бокового ребра проведена плоскость параллельно одной из диагоналей основания.  [6]

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно т и наклонено к плоскости основания под углом а.  [7]

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды составляет с плоскостью основания угол а. Через вершину основания и середину противолежащего бокового ребра проведена плоскость параллельно одной из диагоналей основания.  [8]

Боковые ребра правильной четырехугольной пирамиды равны а и наклонены к плоскости основания под углом а.  [9]

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды, длиной т, наклонено к плоскости основания под углом а.  [10]

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно m и наклонено к плоскости основания под углом, равным а.  [11]

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды составляет с плоскостью основания угол, равный а. Через вершину основания и середину противолежащего бокового ребра проведена плоскость параллельно одной из диагоналей основания.  [12]

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды, длиной т, наклонено к плоскости основания под углом а.  [13]

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно т и наклонено к плоскости основания под углом, равным а.  [14]

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды составляет с плоскостью основания угол, равный а. Через вершину основания и середину противолежащего бокового ребра проведена плоскость параллельно одной из диагоналей основания.  [15]

Страницы:      1    2

www.ngpedia.ru