Четные и нечетные функции. Четные функции примеры
Четные и нечетные функции: графики и свойства
Зависимость переменной y от переменно x, при которой каждому значению х соответствует единственное значение y называется функцией. Для обозначения используют запись y=f(x). У каждой функции существует ряд основных свойств, таких как монотонность, четность, периодичность и другие.
Рассмотри подробнее свойство четности.
Функция y=f(x) называется четной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:
1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О. То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области определения заданной функции.
2. Значение функции в точке х, принадлежащей области определения функции должно равняться значению функции в точке -х. То есть для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = f(-x).
График четной функции
Если построить график четной функции он будет симметричен относительно оси Оу.
Например, функция y=x^2 является четной. Проверим это. Область определения вся числовая ось, а значит, она симметрична относительно точки О.
Возьмем произвольное х=3. f(x)=3^2=9.
f(-x)=(-3)^2=9. Следовательно, f(x) = f(-x). Таким образом, у нас выполняются оба условия, значит функция четная. Ниже представлен график функции y=x^2.
На рисунке видно, что график симметричен относительно оси Оу.
График нечетной функции
Функция y=f(x) называется нечетной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:
1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О. То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области определения заданной функции.
2. Для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = -f(x).
График нечетной функции симметричен относительно точки О – начала координат. Например, функция y=x^3 является нечетной. Проверим это. Область определения вся числовая ось, а значит, она симметрична относительно точки О.
Возьмем произвольное х=2. f(x)=2^3=8.
f(-x)=(-2)^3=-8. Следовательно, f(x) = -f(x). Таким образом, у нас выполняются оба условия, значит функция нечетная. Ниже представлен график функции y=x^3.
На рисунке наглядно представлено, что нечетная функция y=x^3 симметрична относительно начала координат.
Нужна помощь в учебе?
Предыдущая тема: Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q|Следующая тема:   Функция y=x^n: линейная функция, квадратичная, кубическая и y=1/xВсе неприличные комментарии будут удаляться.
www.nado5.ru
Четные и нечетные функции
Определение.
Функция 
называетсячетной, если она не изменяет своего значения при изменении знака аргумента, т.е..
Например, ;
;
– четные функции.
График четной функции расположен симметрично относительно оси 
(рис.1.4).
Рис. 1.4
Определение.
Функция называетсянечетной, если при изменении знака аргумента знак функции меняется на противоположный, а числовое значение её сохраняется, т.е..
Например, ;
– нечетные функции.
График нечетной функции расположен симметрично относительно начала координат (рис.1.5).
Рис. 1.5
Функция может быть ни четной. ни нечетной, и в этом случае её называют функцией общего вида.
Например, 
;
;
.
Графики таких функций не симметричны ни относительно оси 
, ни относительно начала координат.
Периодические функции
Определение.
Функция 
называется периодической, если существует такое положительное число
, чтов области определения функции.
Наименьшее из положительных чисел Т, удовлетворяющих условию определения, называетсяпериодомфункции
.
Например, функции ,являются периодическими с периодом
.
Нули функции
Определение.
Значение аргумента, при котором функция обращается в нуль, 
, называетсянулем функции.
Например, нулями функции 
являются значения
и
.
Монотонные функции
Определение.
Функция называется возрастающей(убывающей) в некоторой области изменения аргумента, еслибольшемузначению аргумента соответствуетбольшее(меньшее) значение функции (рис.1.6, 1.7).
Рис. 1.6 Рис. 1.7
Определение.
Если функция в некоторой области изменения аргумента является только возрастающей или только убывающей, то функция называется монотонной.
Ограниченные функции
Определение.
Функция 
называетсяограниченнойна множествеХ, если существует такое число
, что для всех
выполняется неравенство
.
Например, функции и– ограниченные функции, т.к.
и
для.
График ограниченной функции лежит между прямыми 
и
(рис.1.8).
Рис. 1.8
УПРАЖНЕНИЯ
Найти область определения следующих функций:
1) ; Ответ:
;
2) 
; Ответ:
;
3) 
; Ответ:;
4) ; Ответ:
.
Найти множество значений функции:
1) ; Ответ:;
2) ; Ответ:;
3) ; Ответ:.
Найти
,
,
,
, если.
Ответ: 
;
;;.
Пусть
и
. Найти
и
.
Ответ: ;.
Установить чётность или нечётность функции:
1) ; Ответ: чётная;
2) ; Ответ: чётная;
3) 
; Ответ: общего вида;
4) ; Ответ: нечётная.
Найти основные периоды функций:
1) ; Ответ:
;
2) ; Ответ:
;
3) ; Ответ:
.
Введя промежуточные аргументы, представить данную функцию, как суперпозицию других функций:
1) ; Ответ:
;
;;
2) ; Ответ:
;
;;
;
.
Для данных функций найти явные обратные:
1) ; Ответ:
;
2) 
; Ответ:;
3) 
; Ответ:
.
studfiles.net
Чётность и нечётность функций
Привет всем посетителям! Сегодня рассматриваем вопрос четности и нечетности функций.
Правило:
Если , то функция четная.
Если , то функция нечетная.
При этом важно, чтобы область определения функции была бы симметричной относительно оси ординат, а при наличии в ней выколотых точек или интервалов они также должны располагаться симметрично.
Алгоритм исследования:
Установить, симметрична ли область определения функции. Если это так, то найти и сравнить с
Если то функция — четная.Если , то функция нечетная.
Функция совсем не обязана быть четной или нечетной, она может быть «никакой», несмотря на то, что область определения симметрична.
Примеры:
1. Определить, является ли четной функция: .
Область определения этой функции – все действительные числа, то есть она симметрична. Теперь подставим вместо x – (-x) и посмотрим, что получится:
– функция четна.
Надо отметить, что график четной функции симметричен относительно оси ординат, она для него словно зеркало. Поэтому графики таких функций можно строить в правой полуплоскости, а в левую просто отражать.
Верно и следующее: если функция задана графиком, который симметричен относительно оси ординат, то она четная.
2. Определить, является ли четной функция: .
Область определения этой функции может быть найдена из системы неравенств:
Оба неравенства всегда соблюдаются, так как дискриминант обоих трехчленов всегда меньше 0, и ветви парабол направлены вверх – таким образом, мы установили, что область определения симметрична – это вся числовая ось.Теперь подставим вместо x – (-x): – данная функция нечетна.
График нечетной функции симметричен относительно начала координат, то есть каждой его точке соответствует точка, получить которую можно поворотом на 180 градусов относительно начала координат. Поэтому графики таких функций можно строить в правой полуплоскости, а изображение в левой полуплоскости получить, повернув картинку на 180 градусов.
Верно и следующее: если функция задана графиком, который симметричен относительно начала координат, то она нечетная.
3. Определить, является ли четной функция: .
Область определения может быть найдена из системы неравенств:
Таким образом, область определения симметрична, и не содержит выколотые точки (1) и (-1).
Подставляем (-х) вместо х:
– исходную функцию не получили, а получили совсем другую – значит, исходная функция не является ни четной, ни нечетной (что и подтверждает график). Мы убедились, что симметрия области определения еще не означает, что функция четная или же нечетная.
4. Определить, является ли четной функция: .
Область определения – вся числовая ось, кроме 0 – симметричная.
Подставляем (-х) вместо х:
– функция нечетна.
5. Определить, является ли четной функция: .
Область определения – вся числовая ось, кроме точек 3 и (-3) – симметричная.
Подставляем (-х) вместо х:
– функция четная.
6. Определить, является ли четной функция: .
Область определения – вся числовая ось – симметричная.
Подставляем (-х) вместо х:
– функция четная.
7. Определить, является ли четной функция: .
Область определения – вся числовая ось, кроме 0 – симметричная.
Подставляем (-х) вместо х:
– функция нечетная.
Кроме того, здесь мы имеем дело с суммой двух функций.
Правило:
Сумма двух нечётных функций – нечётна.
Сумма двух чётных функций – чётна.
А вот сумма двух функций разной четности – как правило, ни четна, ни нечетна.
Определим четность этих функций по отдельности.
– функция нечетная.
– функция нечетная.
8. Исследуем теперь такую функцию:
Одна из них нечётна – это мы только что показали, а вторая?
Область определения функции симметрична, функция нечётна, так как . Тогда по правилу сложение двух нечетных функций даст функцию нечетную.
9. Наконец, последняя:
– имеем произведение двух функций.
Правило:
Произведение или частное двух нечётных функций чётно.
Произведение или частное двух чётных функций чётно.
Произведение или частное нечётной и чётной функций нечётно.
Так как обе функции являются чётными, то и их произведение чётно.
Проверим?
Область определения – вся числовая ось. Производим подстановку:
– функция четная.
easy-physic.ru
Четные и нечетные функции
Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»
Презентация к уроку
Загрузить презентацию (10,8 МБ)
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цели:
- сформировать понятие чётности и нечётности функции, учить умению определять и использовать эти свойства при исследовании функций, построении графиков;
- развивать творческую активность учащихся, логическое мышление, умение сравнивать, обобщать;
- воспитывать трудолюбие, математическую культуру; развивать коммуникативные качества.
Оборудование: мультимедийная установка, интерактивная доска, раздаточный материал.
Формы работы: фронтальная и групповая с элементами поисково-исследовательской деятельности.
Информационные источники:1.Алгебра9класс А.Г Мордкович. Учебник. 2.Алгебра 9класс А.Г Мордкович. Задачник. 3.Алгебра 9 класс. Задания для обучения и развития учащихся. Беленкова Е.Ю. Лебединцева Е.А
ХОД УРОКА
1. Организационный момент
Постановка целей и задач урока.
2. Проверка домашнего задания
№10.17 (Задачник 9кл. А.Г. Мордкович).
а) у = f(х), f(х) =
б) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;
в) 1. D(f) = [– 2; + ∞) 2. Е(f) = [– 3; + ∞) 3. f(х) = 0 при х ~ 0,4 4. f(х) >0 при х > 0,4 ; f(х) < 0 при – 2 < х < 0,4. 5. Функция возрастает при х € [– 2; + ∞) 6. Функция ограничена снизу. 7. унаим = – 3, унаиб не существует 8. Функция непрерывна.
(Вы использовали алгоритм исследования функции?) Слайд.
2. Таблицу, которую вам задавалась, проверим по слайду.
| Заполните таблицу | |||||
Функция |
Область определения |
Нули функции |
Промежутки знакопостоянства |
Координаты точек пересечения графика с Оу | |
у > 0 |
у < 0 |
||||
х ≠ –3 |
х = –5, х = 2 |
х € (–5;3) U U (2; ∞ ) |
х € (–∞;–5) U U (–3;2 ) |
( 0;) |
|
х ∞ –5, х ≠ 2 |
х = –3 |
х € (–5;3) U U (2; ∞) |
х € (–∞;–5) U U (–3;2 ) |
( 0;) |
|
х ≠ –5, х ≠ 2 |
нет |
х € (–∞; –5) U U (2; ∞) |
х € (–5; 2) |
( 0;) |
|
3. Актуализация знаний
– Даны функции. – Указать область определения для каждой функции. – Сравнить значение каждой функции для каждой пары значения аргумента: 1 и – 1; 2 и – 2. – Для каких из данных функций в области определения выполняются равенства f(– х) = f(х), f(– х) = – f(х)? (полученные данные занести в таблицу) Слайд
D (f) |
f(1) и f(– 1) | f(2) и f(– 2) | графики | f(– х) = –f(х) | f(– х) = f(х) | |
| 1. f(х) = | R |
2 и 2 |
Г |
|
+ |
|
| 2. f(х) = х3 | R |
1 и 1 |
8 и – 8 |
А |
+ |
|
| 3. f(х) = | х | | R |
1 и – 1 |
2 и 2 |
Б |
|
+ |
| 4. f(х) = 2х – 3 | R |
– 1 и – 5 |
1 и – 7 |
Е |
|
|
| 5. f(х) = | х ≠ 0 |
6 и – 6 |
3 и – 3 |
В |
+ |
|
| 6. f(х)= | х > –1 | и 0 |
и не опред. |
З |
|
|
4. Новый материал
– Выполняя данную работу, ребята мы выявили ещё одно свойство функции, незнакомое вам, но не менее важное, чем остальные – это чётность и нечетность функции. Запишите тему урока: «Чётные и нечётные функции», наша задача – научиться определять чётность и нечётность функции, выяснить значимость этого свойства в исследовании функций и построении графиков. Итак, найдём определения в учебнике и прочитаем (стр. 110). Слайд
Опр. 1 Функция у = f (х), заданная на множестве Х называется чётной, если для любого значения х Є Х выполняется равенство f(–х)= f(х). Приведите примеры.
Опр. 2 Функция у = f (х), заданная на множестве Х называется нечётной, если для любого значения х Є Х выполняется равенство f(–х)= –f(х). Приведите примеры.
Где мы встречались с терминами «четные» и «нечётные»? Какие из данных функций будут чётными, как вы думаете? Почему? Какие нечётными? Почему? Для любой функции вида у = хn, где n – целое число можно утверждать, что функция нечётна при n – нечётном и функция чётна при n – чётном. – Функции вида у = и у = 2х – 3 не являются ни чётным , ни нечётными, т.к. не выполняются равенства f(– х) = – f(х), f(– х) = f(х)
Изучение вопроса о том, является ли функция чётной или нечётной называют исследованием функции на чётность. Слайд
В определениях 1 и 2 шла речь о значениях функции при х и – х, тем самым предполагается, что функция определена и при значении х, и при – х.
Опр 3. Если числовое множество вместе с каждым своим элементом х содержит и противоположный элемент –х, то множество Х называют симметричным множеством.
Примеры:
(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) – симметричные множества, а [0; ∞), (2;–2], [–5;4] – несимметричные.
– У чётных функций область определения – симметричное множество? У нечётных? – Если же D(f) – несимметричное множество, то функция какая? – Таким образом, если функция у = f(х) – чётная или нечётная, то её область определения D(f) – симметричное множество. А верно ли обратное утверждение, если область определения функции симметричное множество, то она чётна, либо нечётна? – Значит наличие симметричного множества области определения – это необходимое условие, но недостаточное. – Так как же исследовать функцию на четность? Давайте попробуем составить алгоритм.
Слайд
Алгоритм исследования функции на чётность
1. Установить, симметрична ли область определения функции. Если нет, то функция не является ни чётной, ни нечётной. Если да, то перейти к шагу 2 алгоритма.
2. Составить выражение для f(– х).
3. Сравнить f(– х).и f(х):
- если f(– х).= f(х), то функция чётная;
- если f(– х).= – f(х), то функция нечётная;
- если f(– х) ≠ f(х) и f(– х) ≠ –f(х), то функция не является ни чётной, ни нечётной.
Примеры:
Исследовать на чётность функцию а) у = х5 +; б) у = ; в) у= .
Решение.
а) h(х) = х5 +,
1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), симметричное множество.
2) h (– х) = (–х)5 + – х5 –= – (х5 +),
3) h(– х) = – h (х) => функция h(х) = х5 + нечётная.
б) у = ,
у = f(х), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), несимметричное множество, значит функция ни чётная, ни нечётная.
в) f(х) = , у = f (х),
1) D(f) = (–∞; 3] ≠ [3; +∞), симметричное множество.
2)f (– х) == ;
3) f (– х) = f (х) => функция f(х) = чётная.
Итак, по аналитической записи можно определить четность функции? Но кроме аналитического способа задания функции есть другие. Какие? Можно ли по графику функции выявить её четность? Давайте вернёмся к заданию, которое мы выполняли в начале урока, найдём соответствие между аналитически заданными функциями и их графиками (изображёнными на доске), что вы находите примечательного в расположении графиков чётных функций? Нечётных?
Слайд.
Вывод:
- График чётной функции симметричен относительно оси у.
- График нечётной функции симметричен относительно начала координат.
– Верны ли обратные утверждения?
- Если график функции у = f(х) симметричен относительно оси ординат, то у = f(х) – чётная функция.
- Если график функции у = f(х) симметричен относительно начала координат, то у = f(х) – нечётная функция.
Доказательство данных утверждений разобрать дома самостоятельно по учебнику и записать в тетрадь.
– Какова же значимость свойства четности или нечётности функции? Зачем нужно изучать свойство чётности функций .В план свойств функций свойство чётности вы поставили бы на какое порядковое место
5. Первичное закрепление
Самостоятельная работа
Вариант 1 1. Является ли симметричным заданное множество: а) [–7;7]; б) (∞; –2), (–4; 4]? |
Вариант 2 1. Является ли симметричным заданное множество: а) [–2;2]; б) (∞; 0], (0; 7) ? |
| 2. Исследуйте на чётность функцию: а); б) у = х· (5 – х2). | 2. Исследуйте на чётность функцию: а) у = х2 · (2х – х3), б) у = |
| 3. На рис. построен график у = f(х),
для всех х, удовлетворяющих условию х?
0.
Постройте график функции у = f(х),
если у = f(х) – чётная функция.
|
3. На рис. построен график у = f(х),
для всех х, удовлетворяющих условию х ? 0.
Постройте график функции у = f(х),
если у = f(х) – нечётная функция.
|
Взаимопроверка по слайду.
6. Задание на дом: №11.11, 11.21,11.22;
Доказательство геометрического смысла свойства чётности.
***(Задание варианта ЕГЭ ).
1. Нечётная функция у = f(х) определена на всей числовой прямой. Для всякого неотрицательного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением функции g(х) = х(х + 1)(х + 3)(х – 7). Найдите значение функции h(х) = при х = 3.
7. Подведение итогов
Приложения
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
| Опубликовать | скачать Реферат на тему:  План:
ВведениеНечётные и чётные функции — функции, графики которых обладают симметрией относительно изменения знака аргумента. Это понятие важно во многих областях математического анализа, таких как теория степенных рядов и рядов Фурье. Такое название возникло как обобщение чётности степенных функций: функция f(x) = xn чётна тогда и только тогда, когда n чётно, и нечётна тогда и только тогда, когда n нечётно.  f(x) = x — пример нечётной функции.  f(x) = x2 — пример чётной функции.  f(x) = x3, нечётная f(x) = x3 + 1 ни чётная, ни нечётная. Другие определения:
1. ОпределенияОпределения вводятся для любой симметричной относительно нуля области определения , например, отрезка или интервала.
2. Свойства
где
3. Примеры3.1. Нечётные функции
3.2. Чётные функции
4. Вариации и обобщения
Категории: Элементарная математика, Типы функций. Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike. |
wreferat.baza-referat.ru
Внеклассный урок - Четные и нечетные функции. Периодические функции
Четные и нечетные функции. Периодические функции
Четная функция.
Четной называется функция, знак которой не меняется при изменении знака x.
Говоря иначе, для любого значения x выполняется равенство f(–x) = f(x). Знак x не влияет на знак y.
График четной функции симметричен относительно оси координат (рис.1).
Примеры четной функции:
y = cos x
y = x2
y = –x2
y = x4
y = x6
y = x2 + x
Пояснение:Возьмем функцию y = x2 или y = –x2.При любом значении x функция положительная. Знак x не влияет на знак y. График симметричен относительно оси координат. Это четная функция.
Нечетная функция.
Нечетной называется функция, знак которой меняется при изменении знака x.
Говоря иначе, для любого значения x выполняется равенство f(–x) = –f(x).
График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис.2).
Примеры нечетной функции:
y = sin x
y = x3
y = –x3
Пояснение:
Возьмем функцию y = –x3. Все значения у в ней будут со знаком минус. То есть знак x влияет на знак y. Если независимая переменная – положительное число, то и функция положительная, если независимая переменная – отрицательное число, то и функция отрицательная: f(–x) = –f(x).График функции симметричен относительно начала координат. Это нечетная функция.
Свойства четной и нечетной функций:
1) Сумма четных функций является четной функцией. Сумма нечетных функций является нечетной функцией. 2) Если функция f четна, то и функция 1/f четна. Если функция f нечетна, то и функция 1/f нечетна. 3) Произведение двух четных функций является четной функцией. Произведение двух нечетных функций тоже является четной функцией. 4) Произведение четной и нечетной функции является нечетной функцией. 5) Производная четной функции нечетна, а нечетной — четна. |
ПРИМЕЧАНИЕ:
Не все функции являются четными или нечетными. Есть функции, которые не подчиняются такой градации. К примеру, функция корня у = √х не относится ни к четным, ни к нечетным функциям (рис.3). При перечислении свойств подобных функций следует давать соответствующее описание: ни четна, ни нечетна.
Периодические функции.
Как вы знаете, периодичность – это повторяемость определенных процессов с определенным интервалом. Функции, описывающие эти процессы, называют периодическими функциями. То есть это функции, в чьих графиках есть элементы, повторяющиеся с определенными числовыми интервалами.
raal100.narod.ru
Нечётные и чётные функции - это... Что такое Нечётные и чётные функции?
Нечётными и чётными называются функции, графики которых обладают симметрией относительно изменения знака аргумента. Это понятие важно во многих областях математического анализа, таких как теория степенных рядов и рядов Фурье. Такое название возникло как обобщение чётности степенных функций: функция f(x) = xn чётна тогда и только тогда, когда n чётно, и нечётна тогда и только тогда, когда n нечётно.
— пример нечётной функции. — пример чётной функции. ни чётная, ни нечётная. Другие определения:
- Нечётная функция — функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно центра координат).
- Чётная функция — функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно оси ординат).
- Индифферентная функция[источник не указан 240 дней] — функция, не обладающая симметрией. В эту категорию относят функции не подпадающие под предыдущие 2 категории.
Определения
Определения вводятся для любой симметричной относительно нуля области определения , например, отрезка или интервала.
- Функция называется чётной, если справедливо равенство
- Функция называется нечётной, если справедливо равенство
(или функцией общего вида).
Свойства
- График нечётной функции симметричен относительно начала координат .
- График чётной функции симметричен относительно оси ординат .
- Произвольная функция может быть единственным образом представлена в виде суммы нечётной и чётной функций:
где
- Функция — единственная функция, одновременно являющаяся нечётной и чётной.
- Сумма, разность и вообще любая линейная комбинация чётных функций чётна, а нечётных — нечётна.
- Функция, обратная чётной, чётна, а нечётной — нечётна.
- Произведение двух функций одной чётности чётно.
- Произведение двух функций разной чётности нечётно.
- Композиция двух нечётных функций нечётна.
- Композиция чётной функции с чётной/нечётной чётна.
- Композиция любой функции с чётной чётна (но не наоборот!).
- Производная чётной функции нечётна, а нечётной — чётна.
- То же верно про производную третьего, пятого и вообще любого нечётного порядка.
- Производная чётного порядка имеет ту же чётность, что и первоначальная функция.
Примеры
Нечётные функции
Чётные функции
Вариации и обобщения
dic.academic.ru
