Компьютерная грамотность с Надеждой. Что такое переменная в алгебре 7


Что такое переменные? Переменная величина в математике

Значение переменных в математике велико, ведь за время ее существования ученые успели совершить множество открытий в данной области, и, чтобы кратко и ясно изложить ту или иную теорему, мы пользуемся переменными для записи соответствующих формул. Например, теорема Пифагора о прямоугольном треугольнике: a2 = b2 + c2. Чем каждый раз при решении задачи писать: по теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов - мы записываем это формулой, и все сразу становится понятно.

Итак, в этой статье пойдет речь о том, что такое переменные, об их видах и свойствах. Также будут рассмотрены разные математические выражения: неравенства, формулы, системы и алгоритмы их решения.

Понятие переменной

Для начала узнаем, что такое переменная? Это численная величина, которая может принимать множество значений. Она не может быть постоянной, так как в разных задачах и уравнениях для удобства решения мы принимаем за переменную разные числа, то есть, например, z - это общее обозначение для каждой из величин, за которые ее принимают. Обычно их обозначают буквами латинского или греческого алфавита (x, y, a, b и так далее).

Есть разные виды переменных. Ими задаются как некоторые физические величины - путь (S), время (t), так и просто неизвестные значения в уравнениях, функциях и других выражениях.

Например, есть формула: S = Vt. Здесь переменными обозначаются определенные величины, имеющие отношение к реальному миру - путь, скорость и время.

А есть уравнение вида: 3x - 16 = 12x. Здесь уже за x принимается абстрактное число, которое имеет смысл в данной записи.

Виды величин

Под величиной имеется в виду то, что выражает свойства определенного предмета, вещества или явления. К примеру, температура воздуха, масса животного, процентное содержание витаминов в таблетке - это все величины, числовые значения которых можно вычислить.

Для каждой величины есть свои единицы измерения, которые все вместе образуют систему. Ее называют системой исчисления (СИ).

Что такое переменные и постоянные величины? Рассмотрим их на конкретных примерах.

Возьмем прямолинейное равномерное движение. Точка в пространстве движется с одинаковой скоростью на каждом промежутке времени. То есть изменяются время и расстояние, а скорость остается одинаковой. В данном примере время и расстояние - переменные величины, а скорость - постоянная.

Или, например, “пи”. Это иррациональное число, которое продолжается без повторяющейся последовательности цифр и не может быть записано полностью, поэтому в математике оно выражается общепринятым символом, который принимает только значение данной бесконечной дроби. То есть “пи” - это постоянная величина.

История

История обозначения переменных начинается в семнадцатом веке с ученого Рене Декарта.

Известные величины он обозначил первыми буквами алфавита: a, b и так далее, а для неизвестных предложил использовать последние буквы: x, y, z. Примечательным является то, что такие переменные Декарт считал неотрицательными числами, а при столкновении с отрицательными параметрами ставил знак минус перед переменной или, если было неизвестно, каким по знаку является число, многоточие. Но со временем наименованиями переменных стали обозначать числа любого знака, и началось это с математика Иоганна Худде.

С переменными вычисления в математике решаются проще, ведь как, например, сейчас мы решаем биквадратные уравнения? Вводим переменную. Например:

x4 + 15x2 + 7 = 0

За x2 принимаем некое k, и уравнение приобретает понятный вид:

x2 = k, при k ≥ 0

k2 + 15k + 7 = 0

Вот какую пользу в математику несет введение переменных.

Неравенства, примеры решения

Неравенство представляет собой запись, в которой два математических выражения или два числа связаны знаками сравнения: <, >, ≤, ≥. Они бывают строгими и обозначаются знаками < и > или нестрогими со знаками ≤, ≥.

Впервые эти знаки ввел Томас Гарриот. После смерти Томаса вышла его книга с этими обозначениями, математикам они понравились, и со временем их стали повсеместно употреблять в математических вычислениях.

Существует несколько правил, которые нужно соблюдать при решении неравенств с одной переменной:

  1. При переносе числа из одной части неравенства в другую меняем его знак на противоположный.
  2. При умножении или делении частей неравенства на отрицательное число их знаки меняются на противоположные.
  3. Если умножить или разделить обе части неравенства на положительное число, то получится неравенство, равное исходному.

Решить неравенство - значит найти все допустимые значения переменной.

Пример с одной переменной:

10x - 50 > 150

Решаем, как обычное линейное уравнение - переносим слагаемые с переменной влево, без переменной - вправо и приводим подобные члены:

10x > 200

Делим обе части неравенства на 10 и получаем:

x > 20

Для наглядности в примере решения неравенства с одной переменной изображаем числовую прямую, отмечаем на ней проколотую точку 20, так как неравенство строгое, и данное число не входит в множество его решений.

Решением этого неравенства будет промежуток (20; +∞).

Решение нестрогого неравенства осуществляется так же, как и строгого:

6x - 12 ≥ 18

6x ≥ 30

x ≥ 5

Но есть одно исключение. Запись вида x ≥ 5 нужно понимать так: икс больше или равно пяти, значит число пять входит во множество всех решений неравенства, то есть, записывая ответ, мы ставим квадратную скобку перед числом пять.

x ∈ [5; +∞)

Квадратные неравенства

Если взять квадратное уравнение вида ax2 + bx +c = 0 и изменить в нем знак равно на знак неравенства, то соответственно получим квадратное неравенство.

Чтобы решить квадратное неравенство, надо уметь решать квадратные уравнения.

y = ax2 + bx + c - это квадратичная функция. Ее мы можем решить с помощью дискриминанта, либо используя теорему Виета. Вспомним, как решаются подобные уравнения:

1) y = x2 + 12x + 11 - функция является параболой. Ее ветви направлены вверх, так как знак коэффициента "a" положительный.

2) x2 + 12x + 11 = 0 - приравниваем к нулю и решаем с помощью дискриминанта.

a = 1, b = 12, c = 11

D = b2 - 4ac= 144 - 44 = 100 > 0, 2 корня

По формуле корней квадратного уравнения получаем:

x1 = -1, x2 = -11

Или можно было решить это уравнение по теореме Виета:

x1 + x2 = -b/a, x1 + x2 = -12

x1x2 = c/a, x1x2 = 11

Методом подбора получаем такие же корни уравнения.

Парабола

Итак, первый способ решения квадратного неравенства - это парабола. Алгоритм ее решения таков:

1. Определяем, куда направлены ветви параболы.

2. Приравниваем функцию к нулю и находим корни уравнения.

3. Строим числовую прямую, отмечаем на ней корни, проводим параболу и находим нужный нам промежуток в зависимости от того, какой у неравенства знак.

Решим неравенство x2 + x - 12 > 0

Выписываем в виде функции:

1) y = x2 + x - 12 - парабола, ветви вверх.

Приравниваем к нулю.

2) x2 + x -12 = 0

Дальше решаем как квадратное уравнение и находим нули функции:

x1 = 3, x2 = -4

3) Изображаем числовую прямую и на ней точки 3 и -4. Парабола пройдет через них, ветвями вверх и ответом к неравенству будет множество положительных значений, то есть (-∞; -4), (3; +∞).

Метод интервалов

Второй способ - это метод интервалов. Алгоритм его решения:

1. Находим корни уравнения, при которых неравенство равно нулю.

2. Отмечаем их на числовой прямой. Таким образом она делится на несколько интервалов.

3. Определяем знак любого интервала.

4. Расставляем знаки у остальных интервалов, меняя их через один.

Решим неравенство (x - 4)(x - 5)(x + 7) ≤ 0

1) Нули неравенства: 4, 5 и -7.

2) Изображаем их на числовой прямой.

3) Определяем знаки интервалов.

Ответ: (-∞; -7]; [4; 5].

Решим еще одно неравенство: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. Нули неравенства: 0, 2, -2 и 1.

2. Отмечаем их на числовой прямой.

3. Определяем знаки интервалов.

Прямая делится на промежутки - от -2 до 0, от 0 до 1, от 1 до 2.

Возьмем значение на первом промежутке - (-1). Подставляем в неравенство. При данном значении неравенство становится положительным, значит и знак на этом промежутке будет +.

Далее, начиная от первого промежутка, расставляем знаки, меняя их через один.

Неравенство больше нуля, то есть надо найти множество положительных значений на прямой.

Ответ: (-2; 0), (1; 2).

Системы уравнений

Системой уравнений с двумя переменными называют два уравнения, объединенных фигурной скобкой, для которых необходимо найти общее решение.

Системы могут являться равносильными, если общее решение одной из них является решением другой, или они обе не имеют решений.

Мы изучим решение систем уравнений с двумя переменными. Есть два способа их решения - метод подстановки или алгебраический метод.

Алгебраический метод

Чтобы решить систему, изображенную на картинке, данным методом, необходимо сначала помножить одну из ее частей на такое число, чтобы потом иметь возможность взаимно уничтожить одну переменную из обеих частей уравнения. Здесь мы умножаем на три, подводим черту под системой и складываем ее части. В итоге иксы становятся одинаковы по модулю, но противоположны по знаку, и мы их сокращаем. Далее получаем линейное уравнение с одной переменной и решаем его.

Игрек мы нашли, но на этом мы не можем остановиться, ведь мы еще не нашли икс. Подставляем игрек в ту часть, из которой удобно будет вывести икс, например:

-x + 5y = 8 , при y = 1

-x + 5 = 8

Решаем получившееся уравнение и находим икс.

-x = -5 + 8

-x = 3

x = -3

Главное в решении системы - правильно записать ответ. Многие школьники делают ошибку и пишут:

Ответ: -3, 1.

Но это неверная запись. Ведь, как уже писалось выше, решая систему уравнений, мы ищем общее решение для его частей. Правильным будет ответ:

(-3; 1)

Метод подстановки

Это, пожалуй, самый простой метод, в котором трудно совершить ошибку. Возьмем систему уравнений номер 1 с этой картинки.

В первой ее части икс уже приведен к нужному нам виду, поэтому нам остается только подставить его в другое уравнение:

5y + 3y - 25 = 47

Переносим число без переменной вправо, приводим подобные слагаемые к общему значению и находим игрек:

8y = 72

y = 9

Затем, как и в алгебраическом методе, подставляем значение игрека в любое из уравнений и находим икс:

x = 3y - 25, при y = 9

x = 27 - 25

x = 2

Ответ: (2; 9).

fb.ru

Конспект "Алгебра 7 класс. Все формулы и определения"

Алгебра 7 класс. Все формулы и определения.Краткий курс алгебры за 7 класс.

«Алгебра 7 класс. Все формулы и определения» — это краткий курс алгебры за 7 класс. Цитаты взяты из учебника для общеобразовательных учреждений (авт. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова под ред. С.А. Теляковского) — М.: Просвещение, 2013.

Выражения и их преобразования

☑ 1. Степенью числа а с натуральным показателем n, большим 1, называют произведение n множителей, каждый из которых равен а:Степенью числа а с показателем 1 называют само число а:  а1 = а.Степень числа а ≠ 0 с показателем 0 равна 1:  а0 = 1.

☑ 2. Свойства степеней с натуральными показателями:

 аn • аn = аn + 1

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.

аm : аn = аm — n, где а ≠ 0, m ≥ n
(аm)n = аmn

При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают.

(ab)n = аnbn

При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают.

☑ 3. Одночленами называют произведения чисел, переменных и их степеней, а также сами числа, переменные и их степени. Например, 5а2х, –3а2b3, 4, х, у5 — одночлены.

 Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных, входящих в одночлен. Например, степень одночлена –8а2b4 равна 6.

☑ 4. Многочленом называют сумму одночленов. Например, 3х5 – 4х2 + 1, 7a3b – ab2 + ab + 6—многочлены. Одночлены считают многочленами, состоящими из одного члена.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Например, степень многочлена 5х3у + 3х2у5 + ху равна степени одночлена 3х2у5, т. е. равна 7.

Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.

☑ 5. При сложении многочленов пользуются правилом раскрытия скобок: если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки. Например,

(3аb + 5с2) + (ab – с2) = 3ab + 5с2 + ab – с2 = 4аb + 4с2

При вычитании многочленов пользуются правилом раскрытия скобок: если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки. Например,

(6x2 – у) – (2x2 – 8у) = 6х2 – у – 2х2 + 8у = 4х2 + 7у

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить. Например,

а2 (3аb – b3 + 1) = 3а3b – а2b3 + а2

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить. Например,

(5х – 1)(3х + 2) = 15x2 – Зx + 10x – 2 = 15x2 + 7x – 2

☑ 6. Формулы сокращённого умножения:

(а + b)2 = а2 + 2аb + b2

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

(а – b)2 = а2 – 2аb + b2

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

(а + b)3 = а3 + 3а2b + 3ab2 + b3

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(а – b)3 = а3 – 3а2b + Заb2 – b3

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(а – b)(а + b) = а2 – b2

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

а3 + b3 = (а + b)(a2 – аb + b2)

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.

а3 – b3 = (а – b)(a2 + ab + b2)

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.

☑ 7. Разложением многочлена на множители называют представление многочлена в виде произведения многочленов.

Для разложения многочленов на множители применяют вынесение общего множителя за скобки, группировку, формулы сокращённого умножения. Например, многочлен 5х3 – х2у можно разложить на множители, вынеся за скобки х2 : 5х3 – х2у = х2 (5х – у). Многочлен 3х – 3у – ах + ау можно разложить на множители, используя способ группировки:

3х – 3у – ах + ау = (3x – 3у) – (ах – ау) = 3(х – у) – а (х – у) = (х – у)(3 – а).

Многочлен а4 – 25x2 можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов двух выражений:

а4 – 25x2 = (а2)2 – (5x)2 = (а2 – 5x)(а2 + 5x).

Иногда многочлен удаётся разложить на множители, применив последовательно несколько способов.

Уравнения

☑ 8. Корнем уравнения с одной переменной называют значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. Например, число 8 — корень уравнения 3x +1 = 5х – 15, так как верно равенство 3•8 + 1= 5•8 – 15.

Решить уравнение с одной переменной — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

☑ 9. Уравнения с одной переменной, имеющие одни и те же корни, называют равносильными. Например, уравнения x2 = 25 и (х + 5)(х – 5) = 0 равносильны. Каждое из них имеет два корня: –5 и 5. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными.

При решении уравнений с одной переменной используются следующие свойства:

☑ 10. Линейным уравнением с одной переменной называют уравнение вида ах = b, где х — переменная, а и b — числа.

Если а ≠ 0, то уравнение ах = b имеет единственный корень b/a.

Например, уравнение 7х = 2 имеет корень 2/7.

Если а = 0 и b ≠ 0, то уравнение ах = b не имеет корней. Например, уравнение 0 • х = 7 не имеет корней.

Если а = 0 и b = 0, то корнем уравнения ах = b является любое число.

☑ 11. Решением уравнения с двумя переменными называют пару значений переменных, обращающую это уравнение в верное равенство. Например, пара чисел х = —1, у = 4 — решение уравнения 5х + 3у = 7.

Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Уравнения с двумя переменными, не имеющие решений, также считают равносильными.

В уравнении с двумя переменными можно переносить слагаемые из одной части в другую, изменяя их знаки, и обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, не равное нулю. При этом получаются уравнения, равносильные исходному.

☑ 12. Линейным уравнением с двумя переменными называют уравнение вида ах + by = с, где х и у — переменные, а, b и с — числа.

☑ 13. Графиком уравнения с двумя переменными называют множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.

Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.

☑ 14. Решением системы уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных, обращающую каждое уравнение системы в верное равенство. Например, пара чисел х = 7, у = –1 — решение системытак как является верным каждое из равенств   7 + (–1) = 6   и   2 • 7 – (–1) = 15.

Решить систему уравнений — значит найти все её решения или доказать, что решений нет.

Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Системы, не имеющие решений, также считают равносильными.

☑ 15. Для решения систем линейных уравнений с двумя переменными используются графический способ, способ подстановки, способ сложения.

При графическом способе строят графики линейных уравнений (прямые) и анализируют их расположение:

При решении системы двух линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки поступают следующим образом:

При решении системы двух линейных уравнений с двумя переменными способом сложения поступают следующим образом:

Функции

☑ 16. Функциональная зависимость, или функция, — это такая зависимость между двумя переменными, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.

Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой переменной говорят, что она является функцией этого аргумента. Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции.

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

☑ 17. Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида у = kx + b, где х — независимая переменная, k и b — числа.

Графиком линейной функции у = kx + b является прямая. Число k называют угловым коэффициентом прямой, являющейся графиком функции у = kx + b.

Если k ≠ 0, то график функции у = kx + b пересекает ось х; если k = 0 и b ≠ 0, то прямая — график функции у = kx + b, параллельна оси х; если k = 0 и b = 0, то график функции совпадает с осью х.

Графики двух линейных функций пересекаются, если их угловые коэффициенты различны, и параллельны, если их угловые коэффициенты одинаковы.

Линейную функцию, задаваемую формулой у – kx при k ≠ 0, называют прямой пропорциональностью.

 График прямой пропорциональности есть прямая, проходящая через начало координат. При k > 0 график расположен в первой и третьей координатных четвертях, а при k < 0 — во второй и четвёртой координатных четвертях.

☑ 18. График функции у = х2 — парабола. Этот график проходит через начало координат и расположен в первой и второй координатных четвертях. Он симметричен относительно оси у.

График функции у = х3 проходит через начало координат и расположен в первой и третьей координатных четвертях. Он симметричен относительно начала координат.

Статистические характеристики

 ☑ Средним арифметическим ряда чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

 Модой ряда чисел называют число, которое встречается в данном ряду чаще других. Ряд чисел может иметь более одной моды или не иметь моды совсем.

 Медианой упорядоченного ряда чисел с нечётным числом членов называют число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с чётным числом членов называют среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.

Например, медиана ряда чисел  17, 21, 27, 29, 32, 37, 41 равна 29, а медиана ряда чисел  28, 43, 54, 56, 58, 62 равна 55.

 Медианой произвольного ряда чисел называют медиану соответствующего упорядоченного ряда.

Размахом ряда чисел называют разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

 

Вы смотрели Конспект «Алгебра 7 класс. Все формулы и определения» — краткий курс алгебры за 7 класс. Цитаты взяты из учебника для общеобразовательных учреждений (авт. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова под ред. С.А. Теляковского).

Алгебра 7 класс. Все формулы и определения

5 (100%) 4 votes

uchitel.pro

«Переменная» - Международная Ассоциация Развития Образования

Глинщикова Татьяна Геннадьевна,Омская область, р.п. Красный яр,учитель математикиМКОУ «Красноярская СОШ»

Проект урока по теме «Переменная», алгебра – 7 класс.

Цели урока:

— знать и понимать, что такое переменная,

— уметь ставить задачи, составлять план изучения темы,

— уметь строить многомерную модель содержания учебного материала,

— уметь находить информацию в различных источниках,

— уметь организовать работу в группе.

Оборудование к уроку: мультимедиййный комплект, рабочие листы.

Ход урока:

1. Подводящий диалог с учащимися для определения темы и целей урока.

На слайде – 3 предложения: «В некотором царстве жил Иван-царевич».

«Число увеличили в два раза».  «При нагревании длина стержня изменилась».

Вопрос:   Каким общим свойством обладает информация, содержащаяся в них?

Ответ:     Неопределенностью.

Вопрос:   Какие слова явно или косвенно указывают на неопределенность? Выделим их.

Ответ:     «Некотором», «число», «длина изменилась».

Вопрос:   Что не определено во втором предложении?

Ответ:      Число.

Вопрос:    В третьем предложении?

Ответ:      Величина.

Вопрос:   В первом предложении?

Ответ:      Величина.

Вопрос:   Как поступить, чтобы информация стала определенной?

Ответ:      Подставить вместо выделенных слов конкретные значения.

Задание:   Приведите примеры.

Вопрос:    Можем ли мы сказать, что для подстановки годится только одно, какое-то конкретное значение? Или значения могут меняться?

Ответ:      Объект, число и величина могут изменяться.

Вопрос:   Каким общим термином можно назвать изменяющиеся объект, число, величину?

Ответ:      Переменная.

Задание:  Сформулируйте тему урока.

Вопрос:   Как можно обозначить переменную в алгебре?

Ответ:      Буквой Х.

Задание:   Переведите на зык алгебры 2 и 3 предложения.

Ответ:       2х,  х+у.

Вопрос:    Как называются полученные записи?

Ответ:      Выражения.

Вопрос:    Как вы считаете, какой может быть цель на вводном уроке темы?

Ответ:       Узнать, что такое переменная.

Вопрос:     Объясните, что означает, по-вашему, «понять».

Ответ:        Рассмотреть с разных сторон. Чем больше граней вопроса мы раскроем, тем лучше мы поймем  его суть.

2. Активная познавательная деятельность в группах для построения  информационной многомерной  модели.   

Сегодня мы построим  информационную модель учебной темы «Переменная».

Вопрос:    Знаете ли вы, что такое модель?

Одно из определений модели можно прочитать на ваших рабочих листах:

«Модель в широком смысле – любой образ, аналог (мысленный или условный: описание, схема, чертеж, график, план, карта и т.п.)  какого-либо объекта, процесса, явления («оригинала» дано модели), используемый в качестве «заместителя» для его изучения».

Задание:   Выделите в нем ключевые слова, отражающие смысл понятия.

Ответ:       «Образ объекта», «для его изучения».

Объектом у нас является учебная тема. Построив модель, мы поставим цели и задачи.

Вопрос:   Какое понятие темы вы считаете ключевым?

Ответ:     Переменная.

Запишем термин в центре модели.

Задание:   Попробуйте объяснить, что же такое переменная.

Ответ:     Неопределенный элемент, меняющий свое значение.

Вопрос:   Какие этапы мы должны пройти, чтобы понять, что такое переменная?

Ответ:    Выяснить, какой вклад внесли ученые в развитие буквенной символики; какие представления существовали о переменной; какие задачи предстоит научиться решать; с  какими областями знаний связана; для чего применяется; с какими понятиями тесно связана.  Расставив вопросы, соответствующие нашему незнанию, мы составляем и план изучения темы.

Задание:   Используя три заданные предложения как источник  информации, проясните некоторые вопросы о переменной.

Ответ:

Представления о переменной изменялись от величины, произвольного числа до какого-то объекта.

Понятие «переменная» связано с «выражениями» и «значениями».

Выражения бывают с одной и несколькими переменными.

Выбирать значения можно произвольно (для чисел), только положительные (для величин), по смыслу текста (для объектов).

Часть модели заполнилась.

Вопрос:   Где можно взять еще информацию о переменных?

Ответ:     В учебниках, справочниках, дополнительной литературе, Интернете.

Разделитесь на группы по источнику нахождения информации.

Вопрос:   Какую информацию можно найти в учебнике?

Ответ:    Область допустимых значений, применение для записи равенств, неравенств, определений, задач, о вкладе в формирование буквенной символики Франсуа Виета.

Вопрос:   Какой информацией можно дополнить исторические сведения?

Вопрос:   Например, в книге А.В. Дорофеевой «Страницы истории на уроках математики» находим сведения о создании и развитии символики, вкладе в науку Ахмеса, Архимеда, Диофанта,  Леонардо Пизанского, Иордана Неморария, Луки Пачоли, Рене Декарта.

Вопрос:    Какой смысл придается переменной в разных записях, например,

Х+2;   Х+2=4;   Х+У = У+Х?

Ответ:  В справочнике или энциклопедии БЭС находим сведения о различных интерпретациях переменной: предикатной, условной, всеобщности.

Вопрос:    Какие задачи, связанные с переменной, можно  решать?

Ответ:   Их попробуем сформулировать сами, представив себя авторами учебника: составить выражения, упростить выражение, найти значение выражения, найти ОДЗ, составить рассказ по теме, перевести задачу на язык алгебры.

Вопрос:    В каких предметных областях встречается переменная

Ответ:      В геометрии, физике (формулы), даже в русском   языке и литературе («В городе N», «он пришел к ней»).

3. Рефлексия.

Вставьте пропущенные слова: «Мы составили…(модель) для … (изучения темы), по которой  можно поставить… (цель – в центре модели), и для ее достижения нужно решить … (задачи –  расположены по окружности модели). Эта модель является … (планом) изучения темы».

4. Домашнее задание: составить рассказ по теме, опираясь на модель, или раскрыть одно из направлений модели (например, исторический аспект).

Скачать рабочий лист

Скачать презентацию

u4eba.net

Выражения с переменными

Вопросы занятия:

·  ввести понятие «выражение с переменными»;

·  ввести понятие «область определения выражения».

Материал урока

Вспомним, что на прошлом уроке мы говорили о числовых выражениях и значениях числовых выражений.

Числовым выражением называется запись, составленная из чисел, знаков арифметических действий и скобок, указывающих на порядок выполнения действий.

Значением числового выражения называется число, которое получается при выполнении всех действий числового выражения.

Определение.

Буквенным выражением называется запись, состоящая из чисел, букв, знаков арифметических действий и скобок, указывающих на порядок выполнения действий.

Строчные буквы латинского алфавита чаще всего используют при записи буквенных выражений.

Следует также знать, что и одна буква является буквенным выражением.

Давайте решим задачу.

Велосипедист двигается со скорость 15 километров в час. Какой путь он проедет за время t?

Известно, что путь можно найти скорость умножив на время. Тогда путь, который проедет велосипедист, будет равен 15t.

Теперь, если нам нужно будет узнать, какое расстояние проехал велосипедист, например, за 3 часа, мы подставим в выражение 15 ∙ t вместо буквы t число 3, то есть найдём значение выражения при t = 3, и получим 45 километров.

В нашем случае буква t называется переменой, а само выражение – выражением с переменной.

То есть, переменная – это буква, входящая в буквенное выражение, которая может принимать различные значения.

Например,

Если мы в выражение с переменной вместо переменной подставим число, то получим числовое выражение.

Например,

Теперь, прежде, чем перейти к решению упражнений, вернёмся к выражению 15t, которое мы получили при решении первой задачи. Здесь переменная t может принимать только положительные значения, так как время не может быть отрицательным, и это множество значений называется областью определения выражения 15t.

Таким образом, важно помнить, что в область определения любого выражения могут входить только те значения переменных, при которых получается числовое равенство, имеющее смысл.

А сейчас давайте решим некоторые упражнения.

Пример.

Следующее упражнение.

Пример.

И последнее упражнение.

Пример.

videouroki.net

Переменная величина - это... Что такое Переменная величина?

Переме́нная — атрибут физической или абстрактной системы, который может изменять своё значение. Значение может меняться в зависимости от контекста, в котором рассматривается система, или в случае уточнения, о какой конкретно системе идёт речь. Концепция переменной широко используется в таких областях как математика, естественные науки, техника и программирование. Примерами переменных могут служить температура воздуха, параметр функции и многое другое. В широком смысле, переменная характеризуется лишь множеством значений, которые она может принимать.

В математике переменная — это величина, характеризующаяся множеством значений, которое она может принимать.[1] При этом может иметься в виду как реальная физическая величина, временно рассматриваемая в отрыве от своего физического контекста, так и некая абстрактная величина, не имеющая никаких аналогов в реальном мире. В математическом анализе и большинстве смежных разделов математики под «переменной» обычно понимают численную величину, множество принимаемых значений которой включено в множество вещественных чисел.

Множество всех значений, которые может принимать данная переменная, называется областью изменения этой переменной. Это множество и задаёт переменную, то есть формально и является ей.

При моделировании переменные необходимо отличать от параметров, несмотря на то что переменная в одном контексте может быть параметром в другом.

В прикладной статистике переменная — оценочный фактор, или характеристика, или индивидуальный или системный атрибут. Иными словами, нечто, изменение чего ожидается с течением времени или между отдельными лицами.

Обозначения

Нужно отметить, что аналогичным образом обозначаются неизвестные в уравнениях, неравенствах и других подобных задачах. Например, . В этом случае имеются ввиду не переменные, хотя понятия весьма схожи и зависят от контекста.

Суть этого различия между неизвестной и переменной можно пояснить так. Запись можно, с одной стороны, трактовать как утверждение о свойстве неизвестной (в момент высказывания утверждения) величины , значение которой можно найти (или уточнить), отталкиваясь от приведенного утверждения как от исходной посылки. В этом случае будет обозначением конкретной, но до проведения выкладок (например, решения уравнения) неизвестной величины. С другой стороны запись можно трактовать как предикат, принимающий значение «истина» при одних значениях, подставляемых на место , и значение «ложь» при других. В этом случае является обозначением места в выражении, на которое могут подставляться различные (переменные) значения с целью определения логического (булева) значения записанного предиката. В этом случае правильнее рассматривать как переменную.

В программировании переменная — это идентификатор, определяющий данные. Обычно это бывает имя, скрывающее за собой область памяти с хранящимися там данными. Переменная может иметь тип, характеризующий множество значений, которые она может принимать. В программировании, переменные, как правило, обозначаются одним или несколькими словами или символами, такими, как «time», «x», «foo» и тому подобное.

Следует отметить, что это значение в некотором смысле схоже с математическим. Математики в XVII веке придумали переменную именно для того, чтобы «забронировать» в формуле место, на которое в нужный момент можно подставить конкретное значение. Бумага в этом процессе является памятью, а обозначения (чаще, буквы) резервируют и именуют области этой памяти. Ощущение неоднозначности возникает из-за того, что формула в математике играет двоякую роль: если это алгоритм вычисления, смысл совпадает с программистским определением; если же формула визуализирует отношения своих элементов, мы абстрагируемся от роли переменной, как ячейки памяти, такое понимание теряет смысл.

В физике переменная — это некоторый атрибут модели реального физического процесса, принимающий количественные значения, физическая величина. Множество значений, которые может принимать конкретная переменная, определяется из физических соображений. Физические переменные связываются друг с другом физическими законами, в результате чего получаются математические модели различной степени сложности. Переменные в физике, как правило, кроме количественного значения характеризуются также размерностью.

Примечания

dic.academic.ru

Переменная - это... Что такое Переменная?

        переменное, одно из основных понятий математики и логики. Начиная с работ П. Ферма, Р. Декарта, И. Ньютона, Г. В. Лейбница и др. основоположников «высшей» математики под П. понимали некоторую «величину», которая может «изменяться», принимая в процессе этого изменения различные «значения». Тем самым П. противопоставлялись «постоянным» (или константам) — числам или каким-либо др. «величинам», каждая из которых имеет единственное, вполне определённое значение (см. Переменные и постоянные величины). По мере развития математики и в ходе её обоснования представления о «процессах», «изменении величин» и т. п. тщательно изгонялись из математического арсенала как «внематематические», в результате чего П. стала пониматься как обозначение для произвольного элемента рассматриваемой предметной области (например, области натуральных чисел или действительных чисел), то есть как родовое имя всей этой области (в отличие от констант — «собственных имён» для чисел или др. конкретных предметов рассматриваемой области). Этот пересмотр взглядов на понятие П. был тесно связан с перестройкой математики на базе множеств теории (См. Множеств теория), завершившейся в конце 19 в. При всей простоте и «естественности» такой перестройки она существенным образом опирается на так называемую абстракцию актуальной бесконечности, позволяющую рассматривать произвольные бесконечные множества в качестве «данных» («завершенных», «готовых», «актуальных») объектов и применять по отношению к ним любые средства классической логики, отвлекаясь от незавершённости и принципиальной незавершимости процесса образования такого множества. Трудности решения логических проблем, связанных с принятием этой абстракции, делают понятной частичную «реабилитацию» старинных представлений о «переменных величинах»; при построении математических теорий представители некоторых школ (см. Математический интуиционизм, Конструктивное направление) предпочитают обходиться боле (слабой, но зато менее уязвимой в логическом отношении абстракцией потенциальной осуществимости, с точки зрения которой с бесконечными множествами как раз связываются представления о процессах их «порождения»,— сколь угодно далеко заходящих, но никогда не завершающихся (см. Бесконечность в математике). При исследовании вопроса непротиворечивости (См. Непротиворечивость) различных областей математики на такую позицию фактически встаёт значительное большинство математиков и логиков (см. Метаматематика).          В формализованных языках (исчислениях (См. Исчисление), формальных системах) математической логики П. называются символы строго фиксированного вида, могущие при определённых условиях заменяться выражениям данного исчисления. Это относится к так называемым свободным (или значащим) П. примером которых может служить П. в неравенстве х > 5, обращающемся при подстановке вместо х, скажем, цифры 7 (то есть обозначения для числа) 7 в истинное высказывание, а при подстановке цифры 2 — в ложное высказывание. Что касается так называемых связанных (или фиктивных) П., то они сами по себе вообще ничего не означают, несут чисто синтаксические функции и могут (при соблюдении некоторых элементарных предосторожностей) «переименовываться», то есть заменяться др. П. Такова, например, П. у в записях yP (y), в интерпретации (прочтения) которых она вообще не входит и может быть заменена любой др. П. так, первая из них (читаемая как «сумма целых чисел от 5 до 25») может быть заменена на tP (t). Различают индивидные, пропозициональные, предикатные, функциональные, числовые и др. виды П., вместо которых можно (согласно специальным правилам подстановки) подставлять соответственно обозначения предметов из рассматриваемой области («термы»), обозначения для конкретных высказываний, предикатов, функций, чисел и др. Т. о., П. можно содержательно понимать как «пустое место» в формуле, снабженное указанием, чем это «место» может быть «заполнено» (своего рода «тара под строго определенный товар»).          Свободные вхождения П. в выражения содержательных научных теорий и формулы логико-математических исчислений (соответствующие употреблению неопределенных местоимений в обычной речи) допускают различные интерпретации. Первая (соответствующая применению всякого рода процедур подстановок) — так называемая предикатная интерпретация: формула A (x1,..., xn) какого-либо исчисления понимается как некоторый местный Предикат. Та же формула может интерпретироваться и как предложение (Высказывание), а именно как предложение ∀x1 … ∀xn A (x1 … xn), являющееся ее «замыканием»,— это так называемая интерпретация всеобщности (употребительная, например, при формулировке аксиом (См. Аксиома) различных научных теорий). Свободным П. могут, наконец, приписываться значения, постоянные в пределах некоторого контекста (например, вывода из данной совокупности формул), их тогда называют параметрами этого контекста и говорят об их условной интерпретации. Например, П. х в выражении cos х, взятом изолированно, имеет предикатную интерпретацию, в тождестве sin2x + cos2x = 1 — интерпретацию всеобщности, в уравнении cos х = 1 (в процессе его решения, когда эта П. именуется «неизвестным») — условную интерпретацию.

         Таким образом, на различных уровнях формализации понятие П. выступает как уточнение средств, общеупотребительных в обычных разговорных языках (неопределенные местоимения, неопределенные артикли), и различных способов использования этих средств.

        

         Лит.: Клини С. К, Введение в метаматематику, пер с англ, М., 1957, §§ 31, 32, 45, Чёрч А, Введение в математическую логику, пер с англ, т. 1, М., 1960, §§ 02, 04, 06.

        

dic.academic.ru

Что такое переменная в программировании и чем она отличается от константы

Прежде чем переходить к вопросу о том, что такое переменная в программировании, попробуем разобраться, почему понадобились и константы, и переменные. Алгебра от арифметики существенно отличается тем, что в арифметике мы имеем дело только с числами, а в алгебре вводится понятие переменной величины.

Содержание:1) Калькуляторы дружат с константами2) Программы дружат с переменными величинами3) Как могут использоваться выражения с переменными  величинами4) Переменные и константы – вместе навсегда

Согласитесь, что выражение2 + 3 = 5достаточно серьезно отличается от выражения:a + b = c

В чем отличие? Не только в том, что в алгебре вместо цифр применяются буквы латинского алфавита, но отличие и в уровне абстракции.

Численные выражения, хоть что с ними делай, дают в итоге только численный результат.

А вот абстрактные буквенные выражения превращаются в формулы, законы и следствия и, двигаясь дальше за пределы алгебры, в леммы, в теоремы, и, вообще, ведут к дифференциальному и интегральному исчислению, к математическому анализу и прочему. Правда, в матанализе (в математическом анализе) уже не хватает латинских букв, в ход идут греческие, всякие «дельты», «сигмы» и прочее. Но это уже не столько от нехватки букв, сколько от постоянного роста уровня абстракции, которая (абстракция) требует новых выразительных средств.

Почему так? Потому что определенный, пусть даже небольшой дополнительный уровень абстракции позволяет мыслить иначе, делать иначе, изучать иначе, и показывать иные результаты, чем при меньшем уровне абстракции.

Так же и в компьютерной грамотности. Можно говорить сначала о самом низком уровне абстракции, например, об арифметике в программировании.

Калькуляторы дружат с константами

Например, возьмем калькулятор. Что он может делать? Достаточно много: выполнять ряд арифметических и даже более сложных действий.

Что получим? Очевидно, значение «5». Арифметика. Но с использованием компьютерной техники – калькулятора.

Рис. 1. Суммирование констант 2+3 на калькуляторе (Windows 7)

Не будем дальше углубляться в возможности калькуляторов. Например, можно было бы рассмотреть более сложные калькуляторы: для инженеров, для программистов, для обработки статистических данных и пр. (см. рис. 2).

Рис. 2. Некоторые виды калькуляторов, имеющихся в Windows 7

Но даже сложные калькуляторы так и останутся калькуляторами, то есть, будут делать арифметические операции той или иной степени сложности. Потому что это один уровень абстракции, самый низкий, на уровне чисел. Ничем другим, кроме как обработкой числовых выражений, калькуляторы заниматься не могут.

Программы дружат с переменными величинами

И если бы следующий, новый уровень абстракции не вошел в обиход в компьютерной грамотности, то тогда не появилось бы программирование в том виде, как оно существует в наше время. Программирование, которое позволяет делать программное обеспечение, что называется, на все случаи жизни, и с дружественным интерфейсом, то есть, удобным для последующего пользования.

Как это работает? Поясним несколько упрощенно, чтобы не требовалось глубокое погружение в сложную область программирования.

Для начала отметим, что в программировании все выражения пишут как бы наоборот по сравнению с тем, как их пишут в алгебре. Если в алгебре сначала указывают операнды (переменные), над которыми следует произвести действия, а потом после знака равенства указывают результат, как в примере

a + b = c,

то в программировании делают все наоборот: сначала указывают результат, а потом действие, то есть:

C = A + B.

Здесь не случайно я пишу строчные (заглавные) буквы вместо прописных (маленьких) букв:

во-первых, чтобы отличить алгебру от программирования, а

во-вторых, потому что первоначально в нашей стране в программировании использовали в основном заглавные буквы латинского алфавита.

Так как вместо прописных букв латиницы у нас делали строчную кириллицу, иначе где еще взять коды для русских букв?! Это связано с тем, что многие трансляторы с языков программирования у нас в стране лишь адаптировали с западных аналогов, а не разрабатывали с нуля. А там, откуда все это копировалось, русского языка не было по понятным причинам. Хотя были и примеры наших «родных» языков программирования.

И пишу я компьютерные выражения не посредине строки, как это принято в алгебре, а пишу в начале строки так, как это принято в программировании. Это уже вопросы синтаксиса языков программирования, правил написания выражения этих языков. В алгебре одни правила, в программировании – другие, хотя буквы и там, и там могут быть одинаковые.

Почему стали в программировании писать наоборот, а именно стали писать C = A + B? Трудно сказать. Так сложилось, что сначала надо было указывать результат, и лишь потом действие.

Что же дает подобное «волшебное» выражение  с буквами вместо цифр для программирования? Казалось бы, в чем разница между константами и переменными:

5 = 2 + 3 (напишем наоборот лишь для сравнения) и

C = A + B ?

Давайте разберемся. Что может быть результатом сложения 2+3? Большинство ответит, конечно, «5». И хоть это почти правильный ответ, пожалуй, мы с этим согласимся.

Почему почти? Да потому что это правильный ответ для десятичной системы исчисления. Для четверичной системы исчисления, в которой используются только цифры от 0 до 3, ответ был бы «11», да-да, именно одиннадцать, можете не сомневаться. А в пятеричной системе исчисления, где добавляется еще цифра 4, ответ был бы «10».

Но в любом случае, о какой бы системе исчисления мы не говорили, результатом 2+3 всегда будет одно и то же число (константа). В десятичной системе (вернемся к ней теперь надолго), это «5», и только «пять».

А сколько будет A + B? Ответ очевиден: все зависит от того, чему равны A и B. Значит, результатом 2+3 всегда будет 5, а результатом A+B будут разные значения в зависимости от величин A и B.

Достаточно очевидно. Ну и что, что 5 – константа, а тут переменная? А то, что переменные – это другой уровень абстракции. За счет A+B мы теперь можем получать множество разных значений.

Как могут использоваться выражения с переменными  величинами

Допустим, A – это вес одного товара, а B – это вес другого товара. Значит, A+B – это суммарный вес обоих товаров. Значит, используя выражение C=A+B, программист может запрограммировать автоматическое суммирование двух весов.

Как он это сделает?

C = A + B

Что получается в итоге? Конечно, вы сразу догадались, что переменной C будет присвоено значение суммы весов, сохраненных в переменных A и B.

И далее программист напишет в своей программе (тоже прошу поверить, что это можно сделать средствами языка программирования): вывести на экране дисплея значение переменной C. Что мы увидим на экране? Конечно, сумму весов первого и второго товаров!

И теперь эту, один раз написанную программу, можно использовать снова, но уже для суммирования следующей пары весов.

Если еще убрать ручной ввод веса товара, и сразу автоматически ввести вес, скажем, с электронных весов (которые сейчас широко применяются в тех же супермаркетах), то на экран дисплея будет автоматически выводиться сумма весов 2-х товаров: положил одни товар, затем положил второй, и видишь сразу результат.

А если пойти дальше, и не выводить на экран сумму весов 2-х товаров, а записать это куда-то в базу данных?! А если не ограничиваться 2-я товарами, а, скажем, говорить о миллионе разных видов товаров, подлежащих взвешиванию? Почему бы и нет! Все это можно описать в виде выражений, подобных C = A + B.

И в итоге мы получим, можно без стеснения сказать, серьезную автоматизированную систему для супермаркета, где учитываются и веса всех товаров, и количество, и стоимость, а также все покупки, сделанные покупателями и прочее, и прочее и прочее. Но это стало возможным, когда появилось программирование с использованием переменных величин, тех самых A, B, C и тому подобное! Без этого уровня абстракции, без переменных не было бы программирования.

Переменные и константы – вместе навсегда

Справедливости ради, надо сказать, что цифры (простые и не очень простые числа) остались в программировании. Они тоже нужны. Их назвали иностранным словом «константы».

Константы – это величины, которые никогда и ни при каких обстоятельствах не меняют свои значения.

А что такое переменная в программировании?

Переменные, в отличие от констант, то и дело меняют свои значения, постоянно их меняют, оттого они и называются переменными величинами.

Так что наряду с выражением C = A + B, в программировании возможно как выражение C = A + 3, так и C = 2 + B.

Однако в левой части программного выражения (до знака равенства «=») константа не может употребляться. Там может быть только переменная, поскольку значение выражения, которое присваивается переменной в левой части выражения, может меняться в зависимости от значений переменных в правой части выражения. А значит, слева может быть только переменная величина.

Благодаря латинским буквам, которые используются вместо цифр, арифметика превратилась в алгебру. Так и программирование от калькуляторов перешло к вычислительным машинам благодаря переменным величинам.

Чего стоило разработчикам языков программирования реализовать возможности для применения переменных величин? Это уже отдельная тема. Одно могу сказать, стоило дорого, само собой, не только в деньгах. Дорого в расходовании (применении) интеллекта для изобретения подобных вещей.

Другой уровень абстракции требует принципиально иных решений, новой конфигурации «железа», новых команд для нового «железа». Но это уже, что называется, другая история…

Другие материалы:

1. Что такое переменная с индексами, массив, комментарий, цикл и счетчик в программировании на конкретном примере

2. Языки программирования: почему появились, яркие представители, как выбрать язык

3. Кодирование цветовой информации

Получайте актуальные статьи по компьютерной грамотности прямо на ваш почтовый ящик. Уже более 3.000 подписчиков

.

Важно: необходимо подтвердить свою подписку! В своей почте откройте письмо для активации и кликните по указанной там ссылке. Если письма нет, проверьте папку Спам.

Автор: Юрий Воробьев

17 декабря 2016

www.compgramotnost.ru