Возведение смешанных дробей в натуральную степень. Дроби в степень


Степень дроби онлайн. Дроби со степенями.

Возведение смешанных дробей в натуральную степень аналогично возведение обыкновенных дробей в натуральную степень. 

Пример: \(2\frac{3}{5},8\frac{1}{6},1\frac{8}{9};\)

Сначала смешанная  дробь  переводится в неправильную дробь, затем возводиться в степень.

 

 

                                                                           Степень

                                                                          

                                  

 

 

 

Степень числа широко используется во многих областях, включая экономику, биологию, химию, физику и информатику.  Сопоставляет рост населения, кинетику химической реакции, поведение волн и криптография с открытым ключом.

 

Пример 1. Возвести в степень числа : \(( 2\frac{1}{3})^2; ( 3\frac{1}{6})^2; (2 \frac{1}{2})^4; (3 \frac{1}{8})^0;\)

Решение:

  1. \(( 2\frac{1}{3})^2= ( \frac{7}{3})^2=\frac{7*7}{3*3}= \frac{49}{9}=5\frac{4}{9};\)
  2. \(( 3\frac{1}{6})^2=( \frac{19}{6})^2=\frac{19*19}{6*6}=\frac{361}{36}=10\frac{1}{36};\)
  3. \((2 \frac{1}{2})^4=( \frac{5}{2})^4=\frac{5*5*5*5}{2*2*2*2}=\frac{625}{16}=39\frac{1}{16};\)
  4. \( (3 \frac{1}{8})^0=1;\)

 

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы "Альфа". Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

myalfaschool.ru

Как сокращать дроби со степенью?

  • Чтобы сократить дробь со степенью нужно разбить основания степеней на такие числа, которые бы были и в знаменателе, и в числителе, и представить нашу дробь в виде новых степеней этих чисел. После этого используем свойства дробей, чтобы сократить дроби со степенью.

    Там здесь нужно запомнить, что дроби с одинаковыми степенями мы складываем при умножении и вычитаем при делении.

    На нашем примере сокращение дробей может происходить следующим образом:

    В ответе получится 0,01.

  • Из школьного курса математики мы знаем, что сокращать дроби со степенью нужно следующим образом, вам необходимо числитель и знаменатель такой дроби разделить на одно и тоже число. В данном вами примере будет вот такое решение:

    ---------=------------=---------=--------=-------=0,01

    16*5 (4)*5 4*5 4*25 100

  • Для того, чтобы без особых проблем сокращать дроби с степенью, прежде всего нужно хорошо знать основные формулы возведения в степень или хотябы иметь их под рукой.

    Произведение степеней с одинаковым основанием - в этом случае основание оставляем, а степени складываем

    Деление степеней с одинаковым основанием - основание оставляем, степени вычитаем

    Возведение степени в степень - раскрываем скобки, степени при этом умножаются

    Произведение в степени - раскрываем скобки, при этом каждый множитель возводим в данную степень

    Деление в степени - раскрываем скобки, при этом числитель и знаменатель возводим в данную степень

    Дальше вспоминаем основное правило для сокращения дроби:

    чтобы сократить дробь, нужно найти наибольший общий делитель числителя и знаменателя и затем числитель и знаменатель разделить на это число.

    Теперь сокращаем дробь со степенями на примере из вашего вопроса.

    С помощью приведенных выше формул сделаем преобразования в числителе и знаменателе

    и сейчас сократить дробь совсем несложно: ответ 0,01

  • Прежде всего нужно четко понимать правила. Их всего 4.

    1) При перемножении разных степеней одного и того же числа, показатели степеней складываются. Например: 3^2*3^4=3^(2+4)=3^6.

    2) При делении разных степеней одного и того же числа, показатели степеней вычитаются. Например:

    5^12/5^9=5^(12-9)=5^3. 7^5/7^9=7^(5-9)=7^(-4)=1/7^4.

    3) При возведении степени в степень, показатели степеней перемножаются. Например: (2^3)^4=2^(3*4)=2^12.

    4). При извлечении корней из степеней каких-либо чисел, показатель степени делится на показатель корня. Например: (5^8)=5^(8/2)=5^4.

    Теперь конкретно решение. 4 -это 2 во второй степени. Значит 4^8=(2^2)^8=2^16. Два в степени два возведенное в восьмую степень будет два в шестнадцатой степени.

    2^16*2^2=2^18. В числителе имеем 2^18.

    В знаменателе разные степени 5 и 16. Но 16- это 2 в четвертой степени, т.е. 16=2^4. Тогда 16^5=(2^4)^5=2^(4*5)=2^20. Итак, в знаменателе имеем 5^2*2^20. И числитель и знаменатель можем сократить на 2^18. В числителе останется 2^(18-18)=2^0=1, а в знаменателе 2^(20-18)=2^2. Окончательный ответ: 1/(5^2*2^2). При желании его можно преобразовать так: 1/(5^2*2^2)=1/(25*4)=1/100. На этом можно и закончить, но при желании можно преобразовать и дальше: 1/100=1/10^2=10^0/10^2=10^(0-2)=10^(-2). Но это не обязательно.

  • Легче всего объяснить на примере.

    Допустим, нам нужно сократить вот эту дробь:

    Прежде всего нам нужно найти такие числа, которые бы составляли числа и в числителе, и в знаменателе. В нашем примере этими числами будут 2 и 3. (2*3=6; 2*2=4).

    используя свойства дробей, мы может сделать такие преобразования:

    Такое задание есть в экзаменационных заданиях по математике. Вот разбор одного из примеров:

  • Для того, чтобы сокращать дроби, необходимо все числа в числителе и знаменателе привести к простым числам. А дальше следовать простым формулам приведения в степень.

    1. При умножении одинаковых оснований степень складываем.
    2. При делении одинаковых оснований степень вычитаем.

    Например,

  • Вс окажется предельно просто, если мы обратимся к известным свойствам (особенностям) дробей со степенью.

    Как видим, предложенное уравнение необходимо разложить таким образом, чтобы выделить одинаковые основания, а затем в зависимости от действия складывать или вычитать соответствующие степени.

    Ниже предлагаю ознакомиться с решением указанного примера.

  • Для того чтобы сокращать дроби со степенью, необходимо знать следующие правила:

    1) При умножении одинаковых чисел с разными степенями, степени нужно складывать;

    2) При делении одинаковых чисел с разными степенями, степени нужно вычитать;

    3) При осуществлении возведения степени в степень, показатели степеней нужно перемножать;

    4) При осуществлении извлечения корня из степени, показатель степени необходимо делить на показатель корня.

    Для вашего примера нам нужно воспользоваться первыми двумя правилами:

    4^8*2^2/5^2*16^5 = 4^9/5^2*4^10 = 1/5^2*4 = 1/100 = 0,01

  • Чтобы сокращать дроби со степенью не было для вас проблемой, необходимо знать свойства степени:

    Теперь, чтобы закрепить знания, рассмотрим несколько примеров.

    Необходимо сократить такую дробь:

    Основания степеней разлаживаем на кирпичики - то есть нужно подобрать такие числа, которые были бы как в числители, так и в знаменателе, после чего представляем вс в виде степеней этих самых числе. В нашем случае это 2 и 3 (2*3=6, 2^2=4). Решение будет таким:

  • В операциях со числами в степени действуют простые правила: При умножении таких чисел степени складываются, а при делении вычитаются. Например при умножении 5^2 * 5^3 = 5^2+3 то есть 5^5. При делении 5^2: 5^3 = 5^2-3 = 5^-1. Показатели степеней складываются при умножении и вычитаются при делении в независимости от того положительная степень или отрицательная.

  • info-4all.ru

    Дробь в степени числа. Нахождение дробной степени числа

    Задача. Вычислите значение выражения

    Решение.

    Пояснение. Сначала запишем 0,75 как простую дробь - 3/4. Получим результат первой итерации (строка 2)

    Теперь, учитывая, что 16 - это двойка в четвертой степени, 8 - в третьей, 4 - в квадрате, запишем то же самое выражение как степень с основанием 2 (строка 3)

    Учтем следующее свойство степени: (an )m=anm Число в степени, возводимое в степень равно числу в степени, равной их произведению (строка 4)

    Вычислим получившиеся значения степени (строка 5)

    Учтем следующее свойство степени: a n a m  = a n+m   Произведение двух одинаковых чисел в разную степень равно этому числу в степени, равной сумме этих степеней (строка 6)

     Корни и степени, возведение в степень, извлечение корня | Описание курса | Операции с корнями на основе ствойств степени 

       

    profmeter.com.ua

    Онлайн калькулятор дробей с решением со степенями со скобками с буквами

    Данный онлайн калькулятор дробей предназначен для сложения, вычитания, деления и умножения между собой обыкновенных дробей. А так же дробей с целой частью и  десятичных дробей. Основные возможности:

    1. Сложение, вычитание, деление и умножение дробей.
    2. Расчет дробей с подробнейшим решением.
    3. Расчет дробей со степенями, скобками и буквами.
    4. Сокращение дробей.
    5. Поддержка до трех дробей онлайн.

    На данном калькуляторе можно посчитать сложение вычитание деление или умножение дробей. Калькулятор умеет:

    1. Вносить целую часть дроби в числитель для смешанных дробей.
    2. Расчет дробей со скобками- поддержка до двух уровней вложенности скобок.
    3. Расчет дробей со степенями - степенью может быть только число.
    4. Расчет дробей с буквами - любые анг. буквы или символы.
    5. Сокращение дробей - только для дробей без букв.

    Основные символы:

    1. * символ звездочки интерпретируется как умножение.
    2. / слеш интерпретируется как деление.
    3. + и - интерпретируются как сложение и вычитание.
    4. ^ символ интерпретируется как степень.
    5. ( ) символы интерпретируются как открывающаяся и закрывающаяся скобки.

    Подробности:

    1. Между двумя буквами необязательно ставить знак умножения (если они умножаются). Пример вместо x*x можно написать xx.
    2. После знака степени ^ должно стоять число степени. Если оно отрицательно необходимо заключить его в скобки. Пример x^2+1 или x^(-2) +1.
    3. При сложении дробей состоящих только из чисел калькулятор вычисляет НОД и НОК.
    4. При расчете сразу трех дробей сначала выполняется операция умножение(деления), затем сложения(вычитания). Для изменения этого порядка поставьте галочку в поле "Большие скобки" и выберите нужный порядок расчета. В этом случае первой будет выполняться операция в больших скобках.

    calculatori.ru

    отрицательная степень дроби | математика-повторение

    Записи с меткой "отрицательная степень дроби"

     I. Определение.  (- n)-й степенью (n – натуральное) числа а, не равного нулю, считается число, обратное n-й степени числа а:

    Примеры. Вычислить:

    Решение.

    II. Следующая формула позволяет заменить обыкновенную дробь с отрицательным показателем на обратную ей дробь с положительным показателем:

    Примеры. Вычислить:

    Решение.

     Свойства степени с натуральным показателем справедливы и для  степеней с любым показателем.

    Свойства степени с натуральным показателем с примерами смотрите в предыдущем уроке здесь.

    Примеры на все свойства степени.

    Упростить:

    Решение.

           При решении 7) примера  I способом мы использовали свойства умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями:  am∙an=am+n  и am:an=am-n. При решении II способом мы использовали понятие степени с отрицательным показателем:  и свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями:  am∙an=am+n .

     

    Пример 8 ) решаем так же, как решали пример 7) вторым способом.

     

     

     

    В примере 9) представим 73как 72∙7, а степень 45как 43∙42, а затем сократим дробь на (72∙43).

     

    В 10) примере применим формулу степени произведения: (ab)n=an∙bn, а затем сократим дробь на (26∙35).

                     

    www.mathematics-repetition.com

    Возведение в степень: правила, примеры, дробная степень

    Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. возводить числа в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя. Все определения будут проиллюстрированы примерами.

    Понятие возведения в степень

    Начнем с формулирования базовых определений.

    Определение 1

    Возведение в степень - это вычисление значения степени некоторого числа.

    То есть слова "вычисление значение степени" и "возведение в степень" означают одно и то же. Так, если в задаче стоит "Возведите число 0,5 в пятую степень", это следует понимать как "вычислите значение степени (0,5)5.

    Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.

    Как возвести число в натуральную степень

    Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием a и показателем n это будет произведение n-ного числа множителей, каждый из которых равен a. Это можно записать так:

    Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.

    Пример 1

    Условие: возведите -2 в степень 4.

    Решение

    Используя определение выше, запишем: (−2)4=(−2)·(−2)·(−2)·(−2). Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить 16.

    Возьмем пример посложнее.

    Пример 2

    Вычислите значение 3272

    Решение

    Данную запись можно переписать в виде 3

    www.zaochnik.com

    Дробное число в дробную степень

    Возведение дробного числа в дробную степень, не так сложна, если понимать что мы хотим сделать. Хотя у многих подобный вопрос вызывает  панику.

    Данную тему мы уже поднимали в материале Корни и степени комплексных чисел онлайн но вернемся еще раз к написанному.

    Для того, что бы нам решать подобные задачи нам необходимо знать связь натурального логарифма   и экспоненты .

    Связь очень проста  или  так 

    Из последней формулы следует вывод что 

    Подумав, теперь легко решить нашу поставленную задачу

    Что бы возвести дробное число  в дробную степень

    вычислим значение натурального логарифма

    и результат возведем в экспоненту

    Это и будет являтся  результатом возведения дробного числа в дробную степень.

    Примеры

    Удачных расчетов!

     

    www.abakbot.ru