Возведение смешанных дробей в натуральную степень. Дроби в степень
Степень дроби онлайн. Дроби со степенями.
Возведение смешанных дробей в натуральную степень аналогично возведение обыкновенных дробей в натуральную степень.
- Смешанная дробь - это число вида \(k\) \(\frac{m}{n}\), где \(m,k\) - целое число, а \(n\) - натуральное число.
Пример: \(2\frac{3}{5},8\frac{1}{6},1\frac{8}{9};\)
- Степенью \(n\) числа \(a\) \(a^n\) называют произведение \(n\) множителей, каждый из которых равен \(а\). Число \(a\) называют основанием, число \(n\) – показателем степени.
- Произведение двух множителей, которые равны между собой, называется квадратом числа.
Сначала смешанная дробь переводится в неправильную дробь, затем возводиться в степень.
Степень
Степень числа широко используется во многих областях, включая экономику, биологию, химию, физику и информатику. Сопоставляет рост населения, кинетику химической реакции, поведение волн и криптография с открытым ключом.
Пример 1. Возвести в степень числа : \(( 2\frac{1}{3})^2; ( 3\frac{1}{6})^2; (2 \frac{1}{2})^4; (3 \frac{1}{8})^0;\)
Решение:
- \(( 2\frac{1}{3})^2= ( \frac{7}{3})^2=\frac{7*7}{3*3}= \frac{49}{9}=5\frac{4}{9};\)
- \(( 3\frac{1}{6})^2=( \frac{19}{6})^2=\frac{19*19}{6*6}=\frac{361}{36}=10\frac{1}{36};\)
- \((2 \frac{1}{2})^4=( \frac{5}{2})^4=\frac{5*5*5*5}{2*2*2*2}=\frac{625}{16}=39\frac{1}{16};\)
- \( (3 \frac{1}{8})^0=1;\)
Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы "Альфа". Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
myalfaschool.ru
Как сокращать дроби со степенью?
Чтобы сократить дробь со степенью нужно разбить основания степеней на такие числа, которые бы были и в знаменателе, и в числителе, и представить нашу дробь в виде новых степеней этих чисел. После этого используем свойства дробей, чтобы сократить дроби со степенью.
Там здесь нужно запомнить, что дроби с одинаковыми степенями мы складываем при умножении и вычитаем при делении.
На нашем примере сокращение дробей может происходить следующим образом:
В ответе получится 0,01.
Из школьного курса математики мы знаем, что сокращать дроби со степенью нужно следующим образом, вам необходимо числитель и знаменатель такой дроби разделить на одно и тоже число. В данном вами примере будет вот такое решение:
---------=------------=---------=--------=-------=0,01
16*5 (4)*5 4*5 4*25 100
Для того, чтобы без особых проблем сокращать дроби с степенью, прежде всего нужно хорошо знать основные формулы возведения в степень или хотябы иметь их под рукой.
Произведение степеней с одинаковым основанием - в этом случае основание оставляем, а степени складываем
Деление степеней с одинаковым основанием - основание оставляем, степени вычитаем
Возведение степени в степень - раскрываем скобки, степени при этом умножаются
Произведение в степени - раскрываем скобки, при этом каждый множитель возводим в данную степень
Деление в степени - раскрываем скобки, при этом числитель и знаменатель возводим в данную степень
Дальше вспоминаем основное правило для сокращения дроби:
чтобы сократить дробь, нужно найти наибольший общий делитель числителя и знаменателя и затем числитель и знаменатель разделить на это число.
Теперь сокращаем дробь со степенями на примере из вашего вопроса.
С помощью приведенных выше формул сделаем преобразования в числителе и знаменателе
и сейчас сократить дробь совсем несложно: ответ 0,01
Прежде всего нужно четко понимать правила. Их всего 4.
1) При перемножении разных степеней одного и того же числа, показатели степеней складываются. Например: 3^2*3^4=3^(2+4)=3^6.
2) При делении разных степеней одного и того же числа, показатели степеней вычитаются. Например:
5^12/5^9=5^(12-9)=5^3. 7^5/7^9=7^(5-9)=7^(-4)=1/7^4.
3) При возведении степени в степень, показатели степеней перемножаются. Например: (2^3)^4=2^(3*4)=2^12.
4). При извлечении корней из степеней каких-либо чисел, показатель степени делится на показатель корня. Например: (5^8)=5^(8/2)=5^4.
Теперь конкретно решение. 4 -это 2 во второй степени. Значит 4^8=(2^2)^8=2^16. Два в степени два возведенное в восьмую степень будет два в шестнадцатой степени.
2^16*2^2=2^18. В числителе имеем 2^18.
В знаменателе разные степени 5 и 16. Но 16- это 2 в четвертой степени, т.е. 16=2^4. Тогда 16^5=(2^4)^5=2^(4*5)=2^20. Итак, в знаменателе имеем 5^2*2^20. И числитель и знаменатель можем сократить на 2^18. В числителе останется 2^(18-18)=2^0=1, а в знаменателе 2^(20-18)=2^2. Окончательный ответ: 1/(5^2*2^2). При желании его можно преобразовать так: 1/(5^2*2^2)=1/(25*4)=1/100. На этом можно и закончить, но при желании можно преобразовать и дальше: 1/100=1/10^2=10^0/10^2=10^(0-2)=10^(-2). Но это не обязательно.
Легче всего объяснить на примере.
Допустим, нам нужно сократить вот эту дробь:
Прежде всего нам нужно найти такие числа, которые бы составляли числа и в числителе, и в знаменателе. В нашем примере этими числами будут 2 и 3. (2*3=6; 2*2=4).
используя свойства дробей, мы может сделать такие преобразования:
Такое задание есть в экзаменационных заданиях по математике. Вот разбор одного из примеров:
Для того, чтобы сокращать дроби, необходимо все числа в числителе и знаменателе привести к простым числам. А дальше следовать простым формулам приведения в степень.
- При умножении одинаковых оснований степень складываем.
- При делении одинаковых оснований степень вычитаем.
Например,
Вс окажется предельно просто, если мы обратимся к известным свойствам (особенностям) дробей со степенью.
Как видим, предложенное уравнение необходимо разложить таким образом, чтобы выделить одинаковые основания, а затем в зависимости от действия складывать или вычитать соответствующие степени.
Ниже предлагаю ознакомиться с решением указанного примера.
Для того чтобы сокращать дроби со степенью, необходимо знать следующие правила:
1) При умножении одинаковых чисел с разными степенями, степени нужно складывать;
2) При делении одинаковых чисел с разными степенями, степени нужно вычитать;
3) При осуществлении возведения степени в степень, показатели степеней нужно перемножать;
4) При осуществлении извлечения корня из степени, показатель степени необходимо делить на показатель корня.
Для вашего примера нам нужно воспользоваться первыми двумя правилами:
4^8*2^2/5^2*16^5 = 4^9/5^2*4^10 = 1/5^2*4 = 1/100 = 0,01
Чтобы сокращать дроби со степенью не было для вас проблемой, необходимо знать свойства степени:
Теперь, чтобы закрепить знания, рассмотрим несколько примеров.
Необходимо сократить такую дробь:
Основания степеней разлаживаем на кирпичики - то есть нужно подобрать такие числа, которые были бы как в числители, так и в знаменателе, после чего представляем вс в виде степеней этих самых числе. В нашем случае это 2 и 3 (2*3=6, 2^2=4). Решение будет таким:
В операциях со числами в степени действуют простые правила: При умножении таких чисел степени складываются, а при делении вычитаются. Например при умножении 5^2 * 5^3 = 5^2+3 то есть 5^5. При делении 5^2: 5^3 = 5^2-3 = 5^-1. Показатели степеней складываются при умножении и вычитаются при делении в независимости от того положительная степень или отрицательная.
info-4all.ru
Дробь в степени числа. Нахождение дробной степени числа
Задача. Вычислите значение выражения
Решение.
Пояснение. Сначала запишем 0,75 как простую дробь - 3/4. Получим результат первой итерации (строка 2)
Теперь, учитывая, что 16 - это двойка в четвертой степени, 8 - в третьей, 4 - в квадрате, запишем то же самое выражение как степень с основанием 2 (строка 3)
Учтем следующее свойство степени: (an )m=anm Число в степени, возводимое в степень равно числу в степени, равной их произведению (строка 4)
Вычислим получившиеся значения степени (строка 5)
Учтем следующее свойство степени: a n a m = a n+m Произведение двух одинаковых чисел в разную степень равно этому числу в степени, равной сумме этих степеней (строка 6)
Корни и степени, возведение в степень, извлечение корня | Описание курса | Операции с корнями на основе ствойств степени
profmeter.com.ua
Онлайн калькулятор дробей с решением со степенями со скобками с буквами
Данный онлайн калькулятор дробей предназначен для сложения, вычитания, деления и умножения между собой обыкновенных дробей. А так же дробей с целой частью и десятичных дробей. Основные возможности:
- Сложение, вычитание, деление и умножение дробей.
- Расчет дробей с подробнейшим решением.
- Расчет дробей со степенями, скобками и буквами.
- Сокращение дробей.
- Поддержка до трех дробей онлайн.
На данном калькуляторе можно посчитать сложение вычитание деление или умножение дробей. Калькулятор умеет:
- Вносить целую часть дроби в числитель для смешанных дробей.
- Расчет дробей со скобками- поддержка до двух уровней вложенности скобок.
- Расчет дробей со степенями - степенью может быть только число.
- Расчет дробей с буквами - любые анг. буквы или символы.
- Сокращение дробей - только для дробей без букв.
Основные символы:
- * символ звездочки интерпретируется как умножение.
- / слеш интерпретируется как деление.
- + и - интерпретируются как сложение и вычитание.
- ^ символ интерпретируется как степень.
- ( ) символы интерпретируются как открывающаяся и закрывающаяся скобки.
Подробности:
- Между двумя буквами необязательно ставить знак умножения (если они умножаются). Пример вместо x*x можно написать xx.
- После знака степени ^ должно стоять число степени. Если оно отрицательно необходимо заключить его в скобки. Пример x^2+1 или x^(-2) +1.
- При сложении дробей состоящих только из чисел калькулятор вычисляет НОД и НОК.
- При расчете сразу трех дробей сначала выполняется операция умножение(деления), затем сложения(вычитания). Для изменения этого порядка поставьте галочку в поле "Большие скобки" и выберите нужный порядок расчета. В этом случае первой будет выполняться операция в больших скобках.
calculatori.ru
отрицательная степень дроби | математика-повторение
Записи с меткой "отрицательная степень дроби"
I. Определение. (- n)-й степенью (n – натуральное) числа а, не равного нулю, считается число, обратное n-й степени числа а:
Примеры. Вычислить:
Решение.
II. Следующая формула позволяет заменить обыкновенную дробь с отрицательным показателем на обратную ей дробь с положительным показателем:
Примеры. Вычислить:
Решение.
Свойства степени с натуральным показателем справедливы и для степеней с любым показателем.
Свойства степени с натуральным показателем с примерами смотрите в предыдущем уроке здесь.
Примеры на все свойства степени.
Упростить:
Решение.
При решении 7) примера I способом мы использовали свойства умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями: am∙an=am+n и am:an=am-n. При решении II способом мы использовали понятие степени с отрицательным показателем: и свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями: am∙an=am+n .
Пример 8 ) решаем так же, как решали пример 7) вторым способом.
В примере 9) представим 73как 72∙7, а степень 45как 43∙42, а затем сократим дробь на (72∙43).
В 10) примере применим формулу степени произведения: (ab)n=an∙bn, а затем сократим дробь на (26∙35).
www.mathematics-repetition.com
Возведение в степень: правила, примеры, дробная степень
Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. возводить числа в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя. Все определения будут проиллюстрированы примерами.
Понятие возведения в степень
Начнем с формулирования базовых определений.
Определение 1Возведение в степень - это вычисление значения степени некоторого числа.
То есть слова "вычисление значение степени" и "возведение в степень" означают одно и то же. Так, если в задаче стоит "Возведите число 0,5 в пятую степень", это следует понимать как "вычислите значение степени (0,5)5.
Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.
Как возвести число в натуральную степень
Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием a и показателем n это будет произведение n-ного числа множителей, каждый из которых равен a. Это можно записать так:
Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.
Пример 1Условие: возведите -2 в степень 4.
Решение
Используя определение выше, запишем: (−2)4=(−2)·(−2)·(−2)·(−2). Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить 16.
Возьмем пример посложнее.
Пример 2Вычислите значение 3272
Решение
Данную запись можно переписать в виде 3
www.zaochnik.com
Дробное число в дробную степень
Возведение дробного числа в дробную степень, не так сложна, если понимать что мы хотим сделать. Хотя у многих подобный вопрос вызывает панику.
Данную тему мы уже поднимали в материале Корни и степени комплексных чисел онлайн но вернемся еще раз к написанному.
Для того, что бы нам решать подобные задачи нам необходимо знать связь натурального логарифма и экспоненты .
Связь очень проста или так
Из последней формулы следует вывод что
Подумав, теперь легко решить нашу поставленную задачу
Что бы возвести дробное число в дробную степень
вычислим значение натурального логарифма
и результат возведем в экспоненту
Это и будет являтся результатом возведения дробного числа в дробную степень.
Примеры
Удачных расчетов!
- Значение производной многочлена по методу Горнера >>
www.abakbot.ru