Решение квадратных уравнений. Формула как найти х1 и х2
Теорема Виета. Примеры решения | Учеба-Легко.РФ
В этой лекции мы познакомимся с любопытными соотношениями между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Эти соотношения впервые обнаружил французский математик Франсуа Виет (1540—1603).
Например, для уравнения Зx2 - 8x - 6 = 0, не находя его корней, можно, воспользовавшись теоремой Виета, сразу сказать, что сумма корней равна , а произведение корней равно т. е. - 2. А для уравнения х2 - 6х + 8 = 0 заключаем: сумма корней равна 6, произведение корней равно 8; между прочим, здесь нетрудно догадаться, чему равны корни: 4 и 2. Доказательство теоремы Виета. Корни х1 и х2 квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 находятся по формулам
где D = b2 — 4ас — дискриминант уравнения. Сложив эти корни, получим
Теперь вычислим произведение корней х1 и х2 Имеем
Второе соотношение доказано: Замечание. Теорема Виета справедлива и в том случае, когда квадратное уравнение имеет один корень (т. е. когда D = 0), просто в этом случае считают, что уравнение имеет два одинаковых корня, к которым и применяют указанные выше соотношения. Особенно простой вид принимают доказанные соотношения для приведенного квадратного уравнения х2 + рх + q = 0. В этом случае получаем:
x1 = x2 = -p, x1x2 =qт.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.С помощью теоремы Виета можно получить и другие соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Пусть, например, х1 и х2 — корни приведенного квадратного уравнения х2 + рх + q = 0. Тогда
Однако основное назначение теоремы Виета не в том, что она выражает некоторые соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Гораздо важнее то, что с помощью теоремы Виета выводится формула разложения квадратного трехчлена на множители, без которой мы в дальнейшем не обойдемся.
Доказательство. Имеем
Пример 1. Разложить на множители квадратный трехчлен Зх2 - 10x + 3. Решение. Решив уравнение Зх2 - 10x + 3 = 0, найдем корни квадратного трехчлена Зх2 - 10x + 3: х1 = 3, х2 = . Воспользовавшись теоремой 2, получим
Есть смысл вместо написать Зx - 1. Тогда окончательно получим Зх2 - 10x + 3 = (х - 3)(3х - 1). Заметим, что заданный квадратный трехчлен можно разложить на множители и без применения теоремы 2, использовав способ группировки:
Зх2 - 10x + 3 = Зх2 - 9х - х + 3 = = Зх (х - 3) - (х - 3) = (х - 3) (Зx - 1).
Но, как видите, при этом способе успех зависит от того, сумеем ли мы найти удачную группировку или нет, тогда как при первом способе успех гарантирован. Пример 1. Сократить дробь
Решение. Из уравнения 2х2 + 5х + 2 = 0 находим х1 = - 2,
Из уравнения х2 - 4х - 12 = 0 находим х1 = 6, х2 = -2. Поэтому х2- 4х - 12 = (х- 6) (х - (- 2)) = (х - 6) (х + 2). А теперь сократим заданную дробь:
Пример 3. Разложить на множители выражения: а)x4 + 5x2+6; б)2x+-3Р е ш е н и е. а) Введем новую переменную у = х2. Это позволит переписать заданное выражение в виде квадратного трехчлена относительно переменной у, а именно в виде у2 + bу + 6. Решив уравнение у2 + bу + 6 = 0, найдем корни квадратного трехчлена у2 + 5у + 6: у1 = - 2, у2 = -3. Теперь воспользуемся теоремой 2; получим
у2 + 5у + 6 = (у + 2) (у + 3). Осталось вспомнить, что у = x2 , т. е. вернуться к заданному выражению. Итак, x4 + 5х2+ 6 = (х2 + 2)(х2 + 3). б) Введем новую переменную у = . Это позволит переписать заданное выражение в виде квадратного трехчлена относительно переменной у, а именно в виде 2у2 + у - 3. Решив уравнение 2у2 + у - 3 = 0, найдем корни квадратного трехчлена 2у2 + у - 3: y1 = 1, y2= . Далее, используя теорему 2, получим:
Осталось вспомнить, что у = , т. е. вернуться к заданному выражению. Итак,
В заключение параграфа — некоторые рассуждения, опятьтаки связанные с теоремой Виета, а точнее, с обратным утверждением: если числа х1, х2 таковы, что х1 + х2 = - р, x1x2 = q, то эти числа — корни уравнения С помощью этого утверждения можно решать многие квадратные уравнения устно, не пользуясь громоздкими формулами корней, а также составлять квадратные уравнения с заданными корнями. Приведем примеры.
1) х2 - 11х + 24 = 0. Здесь x1 + х2 = 11, х1х2 = 24. Нетрудно догадаться, что х1 = 8, х2 = 3.
2) х2 + 11х + 30 = 0. Здесь x1 + х2 = -11, х1х2 = 30. Нетрудно догадаться, что х1 = -5, х2 = -6. Обратите внимание: если свободный член уравнения — положительное число, то оба корня либо положительны, либо отрицательны; это важно учитывать при подборе корней.
3) х2 + х - 12 = 0. Здесь x1 + х2 = -1, х1х2 = -12. Легко догадаться, что х1 = 3, х2 = -4. Обратите внимание: если свободный член уравнения — отрицательное число, то корни различны по знаку; это важно учитывать при подборе корней.
4) 5х2 + 17x - 22 = 0. Нетрудно заметить, что х = 1 удовлетворяет уравнению, т.е. х1 = 1 — корень уравнения. Так как х1х2 = -, а х1 = 1, то получаем, что х2 = - .
5) х2 - 293x + 2830 = 0. Здесь х1+ х2 = 293, х1х2 = 2830. Если обратить внимание на то, что 2830 = 283 • 10, а 293 = 283 + 10, то становится ясно, что х1 = 283, х2 = 10 (а теперь представьте, какие вычисления пришлось бы выполнить для решения этого квадратного уравнения с помощью стандартных формул).
6) Составим квадратное уравнение так, чтобы его корнями служили числа х1 = 8, х2 = - 4. Обычно в таких случаях составляют приведенное квадратное уравнение х2 + рх + q = 0. Имеем х1+ х2= -р, поэтому 8 - 4 = -р, т. е. р = -4. Далее, х1х2= q, т.е. 8«(-4) = q, откуда получаем q = -32. Итак, р = -4, q = -32, значит, искомое квадратное уравнение имеет вид х2-4х-32 = 0.
uclg.ru
Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.
Квадратный трехчлен ax2+bx+c можно разложить на линейные множители по формуле:
ax2+bx+c=a (x-x1)(x-x2), где x1, x2 — корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0.
Разложить квадратный трехчлен на линейные множители:
Пример 1). 2x2-7x-15.
Решение. Найдем корни квадратного уравнения: 2x2-7x-15=0.
a=2; b=-7; c=-15. Это общий случай для полного квадратного уравнения. Находим дискриминант D.
D=b2-4ac=(-7)2-4∙2∙(-15)=49+120=169=132>0; 2 действительных корня.
Применим формулу: ax2+bx+c=a (x-x1)(x-x2).
2x2-7x-15=2 (х+1,5)(х-5)=(2х+3)(х-5). Мы представили данный трехчлен 2x2-7x-15 в виде произведения двучленов 2х+3 и х-5.
Ответ: 2x2-7x-15=(2х+3)(х-5).
Пример 2). 3x2+2x-8.
Решение. Найдем корни квадратного уравнения:
3x2+2x-8=0.
a=3; b=2; c=-8. Это частный случай для полного квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом (b=2). Находим дискриминант D1.
Применим формулу: ax2+bx+c=a (x-x1)(x-x2).
Мы представили трехчлен 3x2+2x-8 в виде произведения двучленов х+2 и 3х-4.
Ответ: 3x2+2x-8=(х+2)(3х-4).
Пример 3). 5x2-3x-2.
Решение. Найдем корни квадратного уравнения:
5x2-3x-2=0.
a=5; b=-3; c=-2. Это частный случай для полного квадратного уравнения с выполненным условием: a+b+c=0 (5-3-2=0). В таких случаях первый корень всегда равен единице, а второй корень равен частному от деления свободного члена на первый коэффициент:
Применим формулу: ax2+bx+c=a (x-x1)(x-x2).
5x2-3x-2=5 (х-1)(х+0,4)=(х-1)(5х+2). Мы представили трехчлен 5x2-3x-2 в виде произведения двучленов х-1 и 5х+2.
Ответ: 5x2-3x-2=(х-1)(5х+2).
Пример 4). 6x2+x-5.
Решение. Найдем корни квадратного уравнения:
6x2+x-5=0.
a=6; b=1; c=-5. Это частный случай для полного квадратного уравнения с выполненным условием: a-b+c=0 (6-1-5=0). В таких случаях первый корень всегда равен минус единице, а второй корень равен минус частному от деления свободного члена на первый коэффициент:
Применим формулу: ax2+bx+c=a (x-x1)(x-x2).
Мы представили трехчлен 6x2+x-5 в виде произведения двучленов х+1 и 6х-5.
Ответ: 6x2+x-5=(х+1)(6х-5).
Пример 5). x2-13x+12.
Решение. Найдем корни приведенного квадратного уравнения:
x2-13x+12=0. Проверим, можно ли применить теорему Виета. Для этого найдем дискриминант и убедимся, что он является полным квадратом целого числа.
a=1; b=-13; c=12. Находим дискриминант D.
D=b2-4ac=132-4∙1∙12=169-48=121=112.
Применим теорему Виета: сумма корней должна быть равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней должно быть равно свободному члену:
x1+x2=13; x1∙x2=12. Очевидно, что x1=1; x2=12.
Применим формулу: ax2+bx+c=a (x-x1)(x-x2).
x2-13x+12=(х-1)(х-12).
Ответ: x2-13x+12=(х-1)(х-12).
Пример 6). x2-4x-6.
Решение. Найдем корни приведенного квадратного уравнения:
x2-4x-6=0.
a=1; b=-4; c=-6. Второй коэффициент — четное число. Находим дискриминант D1.
Дискриминант не является полным квадратом целого числа, поэтому, теорема Виета нам не поможет, и мы найдем корни по формулам для четного второго коэффициента:
Применим формулу: ax2+bx+c=a (x-x1)(x-x2) и запишем ответ:
Друзья, для того, чтобы разложить квадратные трехчлены на множители, мы решали каждое квадратное уравнение рациональным способом. Все эти способы мы рассмотрели ранее в теме: «Решение полных квадратных уравнений».
www.mathematics-repetition.com
Решение квадратных уравнений онлайн: формула корней квадратного уравнения и дискриминанта, способы решения
Квадратное уравнение выглядит следующим образом:
ах2 + вх + с = 0.
Смысл его решения заключается в нахождении корней – значений х, при которых равенство становится верным.
Основные формулы корней квадратного уравнения
Самый простой вариант, хорошо известный любому школьнику – это вычисление корней через дискриминант. Его значение определяется по формуле:
D = в2 – 4*а*с.
После нахождения дискриминанта уравнения возможны три варианта расчета:
- В том случае, когда D больше нуля, применяются следующие формулы корней квадратного уравнения:
х2 = (- в – √D) / 2*а.
- Если значение D равно нулю, то используется другая формула решения:
- Если D меньше нуля, то корней нет. Это значит, равенство не может быть верным ни при каких числовых значениях.
х = – в/2*а
В данном случае уравнение имеет два одинаковых корня, для упрощения записи рассчитывается только один.
Этот алгоритм является универсальным, с его помощью можно найти корни абсолютно любого уравнения. Однако, в некоторых случаях проще и быстрее использовать другие формулы.
Другие способы решения квадратных уравнений
Неполные уравнения (в и/или с равно нулю) решается другими способами:
- Вынесение х за скобки.
- Перенос показателя с в другую часть равенства со сменой знака.
Пример:
х2 – 5х = 0.
х(х – 5) = 0.
х1 = 0.
х2 = 5.
Пример:
х2 – 9 = 0
х2 = 9
х = √9
х1 = 3; х2 = -3.
Приведенные уравнения (а = 1) имеют следующий вид:
х2 + рх + q = 0.
Решение квадратных уравнений этого вида также возможно через дискриминант, но обычно для них применяются формулы, выведенные из теоремы Виета:
- х1+х2= -р.
- х1*х2 = q.
Зная эти равенства, можно легко вычислить корни уравнения. Четкого алгоритма расчета здесь нет, числа просто подставляются методом подбора.
Стоит пояснить, что обыкновенное уравнение, которое имеет вид ах2 + вх + с = 0, можно сделать приведенным. Для этого необходимо разделить все его члены (ах2; вх; с) на а. Делать это стоит в том случае, если в и с делятся на а без остатка, в остальных случаях удобнее решать уравнение традиционным способом через дискриминант.
Пример:
2х2 – 18х + 40 = 0
Сделаем уравнение приведенным: х2 – 9х + 20 = 0.
х1+х2= – (-9) = 9;
х1*х2 = 20;
х1 = 5; х2 = 4.
Обычно при решении уравнений таким способом значение корней становится сразу же очевидно. Если же с их вычислением возникают проблемы, стоит забыть об этом способе и вернуться к способу с дискриминантом. При этом можно использовать как первоначальный вид уравнения, так и приведенный. Результат будет один и тот же.
Чтобы упростить выполнение математических заданий, можно решить квадратные уравнения он-лайн. Для этого нужно подставить в специальный калькулятор значения а, в и с, а затем нажать на кнопку “рассчитать”. Он-лайн решения помогут ученикам понять принципы выполнения сложных уравнений. Однако, стоит помнить о том, что на экзамене работу придется делать самостоятельно.
Чтобы не забыть, как решать квадратные уравнения через дискриминант и другими способами, можно скачать формулы и сделать их распечатку.
beta-ege.ru
Квадратное уравнение
Квадратное уравнение – решается просто! *Далее в тексте «КУ». Друзья, казалось бы, что может быть в математике проще, чем решение такого уравнения. Но что-то мне подсказывало, что с ним у многих есть проблемы. Решил посмотреть сколько показов по запросу в месяц выдаёт Яндекс. Вот что получилось, посмотрите:
Что это значит? Это значит то, что около 70000 человек в месяц ищут данную информацию, при чём это лето, а что будет среди учебного года — запросов будет в два раза больше. Это и неудивительно, ведь те ребята и девчата, которые давно окончили школу и готовятся к ЕГЭ, ищут эту информацию, также и школьники стремятся освежить её в памяти.
Несмотря на то, что есть масса сайтов, где рассказывается как решать это уравнение, я решил тоже внести свою лепту и опубликовать материал. Во-первых, хочется чтобы по данному запросу и на мой сайт приходили посетители; во-вторых, в других статьях, когда зайдёт речь «КУ» буду давать ссылку на эту статью; в-третьих, расскажу вам о его решении немного больше, чем обычно излагается на других сайтах. Приступим! Содержание статьи:
Квадратное уравнение.
Квадратичная функция.
Дискриминант отрицательный. Решение есть!
Неполные квадратные уравнения.
Полезные свойства и закономерности коэффициентов.
Теорема Виета.
Квадратное уравнение и ЕГЭ.
Квадратное уравнение – это уравнение вида:
где коэффициенты a,b и с произвольные числа, при чём a≠0.
В школьном курсе материал дают в следующем виде – условно делается разделение уравнений на три класса:
1. Имеют два корня.
2. *Имеют только один корень.
3. Не имеют корней. Здесь стоит особо отметить, что не имеют действительных корней
Пусть пока будет так. *Далее поясню, некорректность второго пункта.
Как вычисляются корни? Просто!
Вычисляем дискриминант. Под этим «страшным» словом лежит вполне простая формула:
Формулы корней имеют следующий вид:
*Эти формулы нужно знать наизусть.
Можно сразу записывать и решать:
Пример:
Далее не трудно заметить, что число корней зависит от этого самого дискриминанта:
1. Если D > 0, то уравнение имеет два корня.
2. Если D = 0, то уравнение имеет один корень.
3. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Давайте рассмотрим уравнение:
По данному поводу, когда дискриминант равен нулю, в школьном курсе говорится о том, что получается один корень, здесь он равен девяти. Всё правильно, так и есть, но…
Данное представление несколько несколько некорректно. На самом деле получается два корня. Да-да, не удивляйтесь, получается два равных корня, и если быть математически точным, то в ответе следует записывать два корня:
х1= 3 х2= 3
Но это так – небольшое отступление. В школе можете записывать и говорить, что корень один.
Теперь следующий пример:
Как нам известно – корень из отрицательного числа не извлекается, поэтому решения в данном случае нет.
Вот и весь процесс решения.
Квадратичная функция.
Здесь показано, как решение выглядит геометрически. Это крайне важно понимать (в дальнейшем в одной из статей мы подробно будем разбирать решение квадратного неравенства).
Это функция вида:
где х и у — переменные
a, b, с – заданные числа, при чём a ≠ 0
Графиком является парабола:
То есть, получается, что решая квадратное уравнение при «у» равном нулю мы находим точки пересечения параболы с осью ох. Этих точек может быть две (дискриминант положительный), одна (дискриминант равен нулю) и ни одной (дискриминант отрицательный). Подробно о квадратичной функции можете посмотреть статью у Инны Фельдман.
Рассмотрим примеры:
Пример 1: Решить 2x2+8x–192=0
а=2 b=8 c= –192
D = b2–4ac = 82–4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
Ответ: х1= 8 х2= –12
*Можно было сразу же левую и правую часть уравнения разделить на 2, то есть упростить его. Вычисления будут проще.
Пример 2: Решить x2–22x+121 = 0
а=1 b=–22 c=121
D = b2–4ac =(–22)2–4∙1∙121 = 484–484 = 0
Получили, что х1= 11 и х2= 11
В ответе допустимо записать х = 11.
Ответ: х = 11
Пример 3: Решить x2–8x+72 = 0
а=1 b= –8 c=72
D = b2–4ac =(–8)2–4∙1∙72 = 64–288 = –224
Дискриминант отрицательный, решения в действительных числах нет.
Ответ: решения нет
Дискриминант отрицательный. Решение есть!
Здесь речь пойдёт о решении уравнения в случае когда получается отрицательный дискриминант. Вы что-нибудь знаете о комплексных числах? Не буду здесь подробно рассказывать о том, почему и откуда они возникли и в чём их конкретная роль и необходимость в математике, это тема для большой отдельной статьи.
Понятие комплексного числа.
Рекомендация: не пытайтесь представить комплексное число в реальной жизни, это всё равно, что представить бесконечность, четвёртое измерение или что-то сверх нашего сознания.
Немного теории.
Комплексным числом z называется число вида
z = a + bi
где a и b – действительные числа, i – так называемая мнимая единица.
a+bi – это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение.
Мнимая единица равна корню из минус единицы:
Теперь рассмотрим уравнение:
Получили два сопряжённых корня.
Неполное квадратное уравнение.
Рассмотрим частные случаи, это когда коэффициент «b» или «с» равен нулю (или оба равны нулю). Они решаются легко без всяких дискриминантов.
Случай 1. Коэффициент b = 0.
Уравнение приобретает вид:
Преобразуем:
Пример:
4x2–16 = 0 => 4x2 =16 => x2 = 4 => x1 = 2 x2 = –2
Случай 2. Коэффициент с = 0.
Уравнение приобретает вид:
Преобразуем, раскладываем на множители:
*Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Пример:
9x2–45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 или x–5 =0
x1 = 0 x2 = 5
Случай 3. Коэффициенты b = 0 и c = 0.
Здесь понятно, что решением уравнения всегда будет х = 0.
Полезные свойства и закономерности коэффициентов.
Есть свойства, которые позволяют решить уравнения с большими коэффициентами.
— если для коэффициентов уравнения аx2+bx+c=0 выполняется равенство
a + b + с = 0, то
— если для коэффициентов уравнения аx2+bx+c=0 выполняется равенство
a + с = b, то
Данные свойства помогают решить определённого вида уравнения.
Пример 1: 5001x2–4995x – 6=0
Сумма коэффициентов равна 5001+(– 4995)+(– 6) = 0, значит
Пример 2: 2501x2+2507x+6=0
Выполняется равенство a + с = b, значит
Закономерности коэффициентов.
1. Если в уравнении ax2 + bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а2 +1), а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а», то его корни равны
аx2 + (а2 +1)∙х+ а= 0 = > х1= –а х2= –1/a.
Пример. Рассмотрим уравнение 6х2 +37х+6 = 0.
х1= –6 х2= –1/6.
2. Если в уравнении ax2 – bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а2 +1), а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а», то его корни равны
аx2 – (а2 +1)∙х+ а= 0 = > х1= а х2= 1/a.
Пример. Рассмотрим уравнение 15х2 –226х +15 = 0.
х1= 15 х2= 1/15.
3. Если в уравнении ax2 + bx – c = 0 коэффициент «b» равен (a2 – 1), а коэффициент «c» численно равен коэффициенту «a», то его корни равны
аx2 + (а2 –1)∙х – а= 0 = > х1= – а х2= 1/a.
Пример. Рассмотрим уравнение 17х2 +288х – 17 = 0.
х1= – 17 х2= 1/17.
4. Если в уравнении ax2 – bx – c = 0 коэффициент «b» равен (а2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту «а», то его корни равны
аx2 – (а2 –1)∙х – а= 0 = > х1= а х2= – 1/a.
Пример. Рассмотрим уравнение 10х2– 99х –10 = 0.
х1= 10 х2= – 1/10
Теорема Виета.
Теорема Виета называется по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета. Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного КУ через его коэффициенты.
Теорема: Пусть квадратное уравнение aх2 + bx + c = 0 имеет корни х1 и х2, тогда справедливы формулы Виета
Доказательство:
Пример. Рассмотрим уравнение х2– 14х + 45 = 0. Запишем a=1 b= –14 c=45.
Ответ определить несложно, возможны следующие варианты произведений
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
В сумме число 14 дают только 5 и 9. Это корни. При определённом навыке, используя представленную теорему, многие квадратные уравнения вы сможете решать сходу устно.
Теорема Виета, кроме того. удобна тем, что после решения квадратного уравнения обычным способом (через дискриминант) полученные корни можно проверять. Рекомендую это делать всегда.
СПОСОБ ПЕРЕБРОСКИ
При этом способе коэффициент «а» умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.
Если а ± b+c ≠ 0, то используется прием переброски, например:
2х2 – 11х+5 = 0 (1) => х2 – 11х+10 = 0 (2)
По теореме Виета в уравнении (2) легко определить, что х1 = 10 х2 = 1
Полученные корни уравнения необходимо разделить на 2 (так как от х2 «перебрасывали» двойку), получим
х1 = 5 х2 = 0,5.
Каково обоснование? Посмотрите что происходит.
Дискриминанты уравнений (1) и (2) равны:
Если посмотреть на корни уравнений, то получаются только различные знаменатели, и результат зависит именно от коэффициента при х2:
У второго (изменённого) корни получаются в 2 раза больше.
Потому результат и делим на 2.
*Если будем перебрасывать тройку, то результат разделим на 3 и т.д.
Ответ: х1 = 5 х2 = 0,5
Кв. ур-ие и ЕГЭ.
О его важности скажу кратко – ВЫ ДОЛЖНЫ УМЕТЬ РЕШАТЬ быстро и не задумываясь, формулы корней и дискриминанта необходимо знать наизусть. Очень многие задачи, входящие в состав заданий ЕГЭ, сводятся к решению квадратного уравнения (геометрические в том числе).
Что стоит отметить!
1. Форма записи уравнения может быть «неявной». Например, возможна такая запись:
15+ 9x2- 45x = 0 или 15х+42+9x2- 45x=0 или 15 -5x+10x2 = 0.
Вам необходимо привести его к стандартному виду (чтобы не запутаться при решении).
2. Помните, что х это неизвестная величина и она может быть обозначена любой другой буквой – t, q, p, h и прочими.
3. Если получите большой дискриминант, то посмотрите как можно извлечь такой корень без калькулятора.
На этом всё. Надеюсь, статья была для вас полезной.
Получить материал статьи в формате PDF
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
matematikalegko.ru
Внеклассный урок - Теорема Виета
Теорема Виета
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
(Напомним: приведенное квадратное уравнение – это уравнение, где первый коэффициент равен 1).
Пояснение:
Пусть квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет корни х1 и х2. Тогда по теореме Виета:
b c х1 + х2 = – ——, х1 · х2 = —— a a |
Пример 1:
Приведенное уравнение x2 – 7x + 10 = 0 имеет корни 2 и 5.
Сумма корней равна 7, а произведение равно 10.
А в нашем уравнении второй коэффициент равен -7, а свободный член 10.
Таким образом, сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней – свободному члену.
Довольно часто встречаются квадратные уравнения, которые можно легко вычислить с помощью теоремы Виета – больше того, с ее помощью их вычислять проще. В этом легко убедиться как на предыдущем примере, так и на следующем.
Пример 2. Решить квадратное уравнение х2 – 2х – 24 = 0.
Решение.
Применяем теорему Виета и записываем два тождества:
х1 · х2 = –24
х1 + х2 = 2
Подбираем такие множители для –24, чтобы их сумма была равна 2. После недолгих размышлений находим: 6 и –4. Проверим:
6 · (– 4) = –24.
6 + (– 4) = 6 – 4 = 2.
Как вы заметили, на практике суть теоремы Виета заключается в том, чтобы в приведенном квадратном уравнении свободный член разложить на такие множители, сумма которых равна второму коэффициенту с противопложным знаком. Эти множители и будут корнями.
Значит, корнями нашего квадратного уравнения являются 6 и –4.
Ответ: х1 = 6, х2 = –4.
Пример 3. Решим квадратное уравнение 3х2 + 2х – 5 = 0.
Здесь мы имеем дело не с приведенным квадратным уравнением. Но и такие уравнения тоже можно решать с помощью теоремы Виета, если их коэффициенты уравновешены – например, если сумма первого и третьего коэффициентов равна второму с обратным знаком.
Решение.
Коэффициенты уравнения уравновешены: сумма первого и третьего членов равны второму с противоположным знаком:
3 + (–5) = –2.
В соответствии с теоремой Виета
х1 + х2 = –2/3х1 · х2 = –5/3.
Нам надо найти такие два числа, сумма которых равна –2/3, а произведение –5/3. Эти числа и будут корнями уравнения.
Первое число угадывается сразу: это 1. Ведь при х = 1 уравнение превращается в простейшее сложение-вычитание: 3 + 2 – 5 = 0. Как найти второй корень? Представим 1 в виде 3/3, чтобы все числа имели одинаковый знаменатель: так проще. И сразу напрашиваются дальнейшие действия. Если х1 = 3/3, то:
3/3 + х2 = –2/3.
Решаем простое уравнение:
х2 = –2/3 – 3/3.
х2 = –5/3.
Ответ: х1 = 1; х2 = –5/3
Пример 4: Решить квадратное уравнение 7x2 – 6x – 1 = 0.
Решение:
Один корень обнаруживается сразу – он прямо в глаза бросается: х1 = 1 (потому что получается простая арифметика: 7 – 6 – 1 = 0).
Ищем дальше.
Коэффициенты уравнения уравновешены: сумма первого и третьего равны второму с обратным знаком:7 + (– 1) = 6.
В соответствии с теоремой Виета составляем два тождества (хотя в данном случае достаточно одного из них):
х1 · х2 = –1/7х1 + х2 = 6/7
Подставляем значение х1 в любое из этих двух выражений и находим х2:
х2 = –1/7 : 1 = –1/7
Ответ: х1 = 1; х2 = –1/7
Дискриминант приведенного квадратного уравнения.
Дискриминант приведенного квадратного уравнения можно вычислять как общей формуле, так и по упрощенной:
D = p2 – 4q где p – второй коэффициент квадратного уравнения, q – свободный член. |
При D = 0 корни приведенного уравнения можно вычислять по формуле:
-p ± √D x = ————. 2 |
Если D < 0, то уравнение не имеет корней.
Если D = 0, то уравнение имеет один корень.
Если D > 0, то уравнение имеет два корня.
raal100.narod.ru
таблица производных | математика-повторение
На этом занятии мы будем учиться применять формулы и правила дифференцирования.
Примеры. Найти производные функций.
1. y=x7+x5-x4+x3-x2+x-9. Применяем правило I, формулы 4, 2 и 1. Получаем:
y’=7x6+5x4-4x3+3x2-2x+1.
2. y=3x6-2x+5. Решаем аналогично, используя те же формулы и формулу 3.
y’=3∙6x5-2=18x5-2.
Применяем правило I, формулы 3, 5 и 6 и 1.
Применяем правило IV, формулы 5 и 1.
В пятом примере по правилу I производная суммы равна сумме производных, а производную 1-го слагаемого мы только что находили (пример 4), поэтому, будем находить производные 2-го и 3-го слагаемых, а для 1-го слагаемого можем сразу писать результат.
Дифференцируем 2-ое и 3-е слагаемые по формуле 4. Для этого преобразуем корни третьей и четвертой степеней в знаменателях к степеням с отрицательными показателями, а затем, по 4 формуле, находим производные степеней.
Посмотрите на данный пример и полученный результат. Уловили закономерность? Хорошо. Это означает, что мы получили новую формулу и можем добавить ее в нашу таблицу производных.
Решим шестой пример и выведем еще одну формулу.
Используем правило IV и формулу 4. Получившиеся дроби сократим.
Смотрим на данную функцию и на ее производную. Вы, конечно, поняли закономерность и готовы назвать формулу:
Учим новые формулы!
В координатной плоскости хОу рассмотрим график функции y=f (x). Зафиксируем точку М(х0; f (x0)). Придадим абсциссе х0 приращение Δх. Мы получим новую абсциссу х0+Δх. Это абсцисса точки N, а ордината будет равна f (х0+Δх). Изменение абсциссы повлекло за собой изменение ординаты. Это изменение называют приращение функции и обозначают Δy.
Δy=f (х0+Δх) — f (x0). Через точки M и N проведем секущую MN, которая образует угол φ с положительным направлением оси Ох. Определим тангенс угла φ из прямоугольного треугольника MPN.
Пусть Δх стремится к нулю. Тогда секущая MN будет стремиться занять положение касательной МТ, а угол φ станет углом α. Значит, тангенс угла α есть предельное значение тангенса угла φ:
Определение производной. Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю, называют производной функции в данной точке:
Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через эту точку к данной кривой, и положительным направлением оси Ох:
Смотрите видео 10.3. Определение производной. Геометрический смысл производной.
Примеры.
1. Найти приращение аргумента и приращение функции y=x2, если начальное значение аргумента было равно 4, а новое -4,01.
Решение.
Новое значение аргумента х=х0+Δx. Подставим данные: 4,01=4+Δх, отсюда приращение аргумента Δх=4,01-4=0,01. Приращение функции, по определению, равно разности между новым и прежним значениями функции, т.е. Δy=f (х0+Δх) - f (x0). Так как у нас функция y=x2, то Δу=(х0+Δx)2— (х0)2=(х0)2+2x0 · Δx+(Δx)2— (х0)2=2x0 · Δx+(Δx)2=
=2 · 4 · 0,01+(0,01)2=0,08+0,0001=0,0801.
Ответ: приращение аргумента Δх=0,01; приращение функции Δу=0,0801.
Можно было приращение функции найти по-другому: Δy=y (х0+Δx) -y (х0)=у(4,01) -у(4)=4,012-42=16,0801-16=0,0801.
2. Найти угол наклона касательной к графику функции y=f (x) в точке х0, если f '(х0) = 1.
Решение.
Значение производной в точке касания х0 и есть значение тангенса угла наклона касательной (геометрический смысл производной). Имеем: f '(х0) = tgα = 1 → α = 45°, так как tg45°=1.
Ответ: касательная к графику данной функции образует с положительным направлением оси Ох угол, равный 45°.
3. Вывести формулу производной функции y=xn.
Смотрите видео: «10.3.0. Вывод формулы производной степени».
Дифференцирование — это действие нахождения производной функции.
При нахождении производных применяют формулы, которые были выведены на основании определения производной, так же, как мы вывели формулу производной степени: (xn)' = nxn-1.
Вот эти формулы.
Таблицу производных легче будет заучить, проговаривая словесные формулировки:
1. Производная постоянной величины равна нулю.
2. Икс штрих равен единице.
3. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.
4. Производная степени равна произведению показателя этой степени на степень с тем же основанием, но показателем на единицу меньше.
5. Производная корня равна единице, деленной на два таких же корня.
6. Производная единицы, деленной на икс равна минус единице, деленной на икс в квадрате.
7. Производная синуса равна косинусу.
8. Производная косинуса равна минус синусу.
9. Производная тангенса равна единице, деленной на квадрат косинуса.
10. Производная котангенса равна минус единице, деленной на квадрат синуса.
Учим правила дифференцирования.
1. Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных слагаемых.
2. Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго.
3. Производная «у», деленного на «вэ» равна дроби, в числителе которой "у штрих умноженный на «вэ» минус «у, умноженный на вэ штрих», а в знаменателе — «вэ в квадрате».
4. Частный случай формулы 3.
Учим вместе!
www.mathematics-repetition.com
Как найти корень уравнения?
Одним из основных разделов математики является раздел, посвященный решению уравнений и нахождению корня уравнений.
Перед тем как найти корень уравнения, нужно сначала разобраться, что это такое.
Корень уравнения - это значение неизвестной величины в уравнении, обозначаемой латинскими буквами (чаще - x, y, но могут быть и другие буквы). Об этом говорилось в нашей статье - Что такое корень уравнения.
Рассмотрим, как найти все корни, на разных видах уравнений и конкретных примерах.
Уравнение вида ax+b=0
Это линейное уравнение с одной переменной, где a и b - числа, x-корень уравнения.
Количество корней уравнения зависит от значений a и b:
- Если а=b=0, то уравнение имеет бесконечное количество корней.
- Если а=0, b не равно 0, то уравнение не имеет корней.
- Если а не равно 0, то корень находим по формуле: х= - (b/а)
Пример:
- 5х + 2 = 0
- а=5, b = 2
- х= - (2/5)
- х= -0,4
Ответ: корень уравнения равен 0,4
Уравнение вида ax²+bx+c=0.
Это квадратное уравнение. Есть несколько способов нахождения корней в квадратном уравнении. Мы рассмотрим общий, который подходит для решения при любых значениях а, b и с.
Для начала нужно найти значение дискриминанта (D) этого уравнения.
Для этого существует формула:
В зависимости от того, какой поучился дискриминант, есть 3 варианта дальнейшего решения:
- Если D >0, то корней 2. И они вычисляются по формулам:
- x1= (-b + √ D) / 2а.
- х2= (-b - √ D) / 2a
- Если D =0, то корень один - его можно найти по формуле: х= - (b/2а)
- Если D<0, то уравнение не имеет корней.
Пример:
Здесь а=1, b=3, с= -4
- D= 32 - (4*1*(-4))
- D= 9- (-16)
- D=9+16
- D=25
D>0, значит в уравнении будет 2 корня.
Подставляем все значения в нашу формулу:
- х1 = (-3 +5)/2*1
- х1=2/2
- х1=1
- х2= (-3-5)/ 2*1
- х2= (-8)/2
- х2= -4
Ответ: Корни уравнения равны 1 и -4.
Уравнение вида ax3+bx2+cx+d=0
Это кубическое уравнение.
Есть специальные формулы математика Кардано, по которым можно решить такое уравнение, но они очень сложные. Мы пойдем другим, более понятным путем.
Кубические уравнения всегда имеют хотя бы один корень, и его значение обычно целое число от -3 до 3. То есть мы в имеющееся уравнение будем по очереди подставлять вместо х числа: -3, -2, -1, 0, 1, 2 и 3. Это будет Х1.
Это гораздо проще и быстрее, чем кажется, и уж точно проще, чем по формулам Кардано.
После того как мы найдем х1 , переходим к поиску Х2 и Х3.
Для этого поделим наше уравнение на (х-х1) - это можно сделать путем вынесения за скобки. У нас должно остаться квадратное уравнение, которое мы решали в этой статье чуть выше.
Пример:
- х3 - 3х2 - 13х + 15 = 0
Методом подбора мы выясняем, что Х1=1,
elhow.ru
