ГлавнаяРазноеФормулы для нахождения дискриминанта

Об отдельных случаях вычисления дискриминанта. Формулы для нахождения дискриминанта


Дискриминант квадратного уравнения. Формулы дискриминанта

Дискриминант квадратного уравнения – это выражение, находящееся под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант обозначается латинской буквой D.

Все формулы нахождения корней квадратных уравнений можно записать короче с помощью дискриминанта:

Дискриминант позволяет определить имеет ли уравнение корни и сколько их, не решая само уравнение:

  1. Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня.
  2. Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень.
  3. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет корней.

Несмотря на то, что есть несколько формул дискриминанта, чаще всего используют первую:

D = b2 - 4ac

так как она относится к формуле:

которая является универсальной формулой нахождения корней квадратного уравнения. Данная формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.

Решение квадратных уравнений через дискриминант

Для решения квадратного уравнения по формуле, можно сначала вычислить дискриминант и сравнить его с нулём. В зависимости от результата либо искать корни по формуле, либо сделать вывод что корней нет.

Пример 1. Решить уравнение:

3x2 - 4x + 2 = 0

Определим чему равны коэффициенты:

a = 3, b = -4, c = 2

Найдём дискриминант:

D = b2 - 4ac = (-4)2 - 4 · 3 · 2 = 16 - 24 = -8, D < 0

Ответ: корней нет.

Пример 2.

x2 - 6x + 9 = 0

Определим чему равны коэффициенты:

a = 1, b = -6, c = 9

Найдём дискриминант:

D = b2 - 4ac = (-6)2 - 4 · 1 · 9 = 36 - 36 = 0, D = 0

Уравнение имеет всего один корень:

Ответ: 3.

Пример 3.

x2 - 4x - 5 = 0

Определим чему равны коэффициенты:

a = 1, b = -4, c = -5

Найдём дискриминант:

D = b2 - 4ac = (-4)2 - 4 · 1 · (-5) = 16 + 20 = 36, D > 0

Уравнение имеет два корня:

x1 = (4 + 6) : 2 = 5,   x2 = (4 - 6) : 2 = -1

Ответ: 5, -1.

naobumium.info

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Формула дискриминанта. ( Дискриминат на 4 и на 1). Теорема Виета. 3 способа.

Квадратным уравнением называется уравнение вида

                 ,

где

x - переменная,

a,b,c - постоянные (числовые) коэффициенты.

В общем случае решение квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта: 

Формула дискриминанта: .

       О корнях квадратного уравнения можно судить по знаку дискриминанта (D) :

В общем случае корни уравнения равны:

                 .

Очевидно, в случае с нулевым дискриминантом, оба корня равны

                 .

Если коэффициент при х четный, то имеет смысл вычислять не дискриминант, а четверть дискриминанта:

                

В таком случае корни уравнения вычисляются по формуле:

                

Теорема Виета.

Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида

                ,

то есть квадратное уравнение с единичным коэффициентом при старшем члене.

В этом случае целесообразно применять теорему Виета, которая позволяет получить относительно корней уравнения следующую систему уравнений:

                 .

Следует заметить, что любое квадратное уравнение может стать приведенным, если его поделить на коэффициент при старшем члене, то есть при х2.

tehtab.ru

Дискриминант. Теорема Виета

Дискриминант, как и квадратные уравнения начинают изучать в курсе алгебры в 8 классе. Решить квадратное уравнение можно через дискриминант и с помощью теоремы Виета. Методика изучения квадратных уравнений, как и формулы дискриминанта достаточно неудачно прививается школьникам, как и многое в настоящем образовании. Поэтому проходят школьные годы, обучение в 9-11 классе заменяет "высшее образование" и все снова ищут - "Как решить квадратное уравнение?", "Как найти корни уравнения?", "Как найти дискриминант?" и ...

Формула дискриминанта

Дискриминант D квадратного уравнения a*x^2+bx+c=0 равен D=b^2–4*a*c. Корни (решения) квадратного уравнения зависят от знака дискриминанта (D) : D>0 – уравнение имеет 2 различных действительных корня;D=0 - уравнение имеет 1 корень (2 совпадающих корня):D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.Формула для вычисления дискриминанта достаточно проста, поэтому множество сайтов предлагают онлайн калькулятор дискриминанта. Мы с такого рода скриптами еще не разобрались, поэтому кто знает, как это реализовать просим писать на почту Этот адрес электронной почты защищён от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра..

Общая формула для нахождения корней квадратного уравнения:

Корни уравнения находим по формулеЕсли коэффициент при переменной в квадрате парный то целесообразно исчислять не дискриминант, а четвертую его частьВ таких случаях корни уравнения находят по формуле

Вторая способ нахождения корней - это Теорема Виета.

Формулируется теорема не только для квадратных уравнений, но и для многочленов. Это Вы можете почитать в Википедии или других электронных ресурсах. Однако для упрощения рассмотрим ту ее часть, которая касается приведенных квадратных уравнений, то есть уравнений вида (a=1) Суть формул Виета заключается в том, что сумма корней уравнения равна коэффициенту при переменной, взятому с противоположным знаком. Произведение корней уравнения равно свободном члену. Формулами теорема Виета имеет запись.Вывод формулы Виета достаточно прост. Распишем квадратное уравнение через простые множителиКак видите все гениальное одновременно является простым. Эффективно использовать формулу Виета когда разница корней по модулю или разница модулей корней равна 1, 2. Например, следующие уравнения по теореме Виета имеют корни До 4 уравнения анализ должен выглядеть следующим образом. Произведение корней уравнения равно 6, следовательно корнями могут быть значения (1, 6) и (2, 3) или пары с противоположным знаком. Сумма корней равна 7 (коэффициент при переменной с противоположным знаком). Отсюда делаем вывод что решения квадратного уравнения равны x=2; x=3.Проще подбирать корни уравнения среди делителей свободного члена, корректируя их знак с целью выполнения формул Виета. В начале это кажется трудно сделать, но с практикой на ряде квадратных уравнений такая методика окажется эффективнее вычисления дискриминанта и нахождения корней квадратного уравнения классическим способом.Как видите школьная теория изучения дискриминанта и способов нахождения решений уравнения лишена практического смысла - "Зачем школьникам квадратное уравнение?", "Какой физический смысл дискриминанта?".

Давайте попробуем разобраться, что описывает дискриминант?

В курсе алгебры изучают функции, схемы исследования функции и построения графика функций. Из всех функций важное место занимает парабола, уравнение которой можно записать в виде Так вот физический смысл квадратного уравнения - это нули параболы, то есть точки пересечения графика функции с осью абсцисс Ox Свойства парабол которые описаны ниже попрошу Вас запомнить. Придет время сдавать экзамены, тесты, или вступительные экзамены и Вы будете благодарны за справочный материал. Знак при переменной в квадрате соответствует тому, будут ли ветки параболы на графике идти вверх (a>0),

или парабола ветвями вниз (a<0).

Вершина параболы лежит посередине между корнями

Физический смысл дискриминанта:

Если дискриминант больше нуля (D>0) парабола имеет две точки пересечения с осью Ox. Если дискриминант равен нулю (D=0) то парабола в вершине касается оси абсцисс.И последний случай, когда дискриминант меньше нуля (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Неполные квадратные уравнения

Если в квадратном уравнении коэффициент при свободном члене или переменной равны нулю то такие уравнения называют неполными. Корни уравнений находим по упрощенной формулеГрафик функций всегда симметричен относительно начала координат. Стоит отметить, что уравнение имеет действительные корни только тогда, когда в уравнении чередуются знаки при коэффициентах "+, -" или "-, +". Неполное квадратное уравнение видаодним из корней всегда имеет точку x=0. В таком контексте решения квадратных уравнений становится нужным, а при построении графиков парабол, еще и визуально интересным времяпрепровождением, особенно если речь идет о школьном занятии по анализу графика функций, или изучении темы парабол. Поэтому в 8, 9 классе рекомендуем эти две темы в алгебре сочетать.Если материал помог Вам в обучении, просьба поделиться с друзьями ссылкой на статью!

yukhym.com

Решение квадратных уравнений

Квадратным уравнением называется уравнение вида , где . 

- коэффициент при  , или старший коэффициент.

- коэффициент при х, или второй коэффициент.

- свободный член.

Например, в уравнении   , , .

B уравнении   , ,

Если в квадратном уравнении  или  , то такое квадратное уравнение называется НЕПОЛНЫМ.

Неполное квадратное уравнение решается с помощью разложения на множители.

1. Если , то нужно вынести за скобки общий множитель.

Например,

Приравняем каждый множитель к нулю:

или

Ответ: {0,  }

2. Если , то нужно разложить на множители по формуле разности квадратов:

Например:

Приравниваем каждый множитель  к нулю, получаем:

или 

Коротко это уравнение решается так:

В этом месте важно не забыть знак  перед корнем!

Ответ: {}

Если  в квадратном уравнении  и  , то такое квадратное уравнение называется ПОЛНЫМ.

Полное квадратное уравнение решается с помощью нахождения ДИСКРИМИНТА.

Дискриминант квадратного уравнения  вычисляется по формуле:

.

Формулы для вычисления корней квадратного уравнения выглядят так:

В этих формулах дискриминант присутствует под знаком квадратного корня, поэтому

Eсли , то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Если , то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, которые можно найти по приведенным выше формулам.

Если ,  то квадратное уравнение имеет два совпадающих корня:

.

Иногда  говорят, что в этом случае квадратное уравнение имеет один корень.

Итак, при решении квадратного уравнения удобно пользоваться таким алгоритмом:

1. Определяем, является ли квадратное уравнение полным, или неполным.

2. Если уравнение неполное, раскладываем левую часть на множители и приравниваем каждый множитель к нулю.

3. Если уравнение полное, то

Если коэффициент   квадратного уравнения - четное число, то есть его можно записать как , или  то для нахождения корней квадратного уравнения удобно пользоваться формулами для четного второго коэффициента:

Два полезных замечания:

1. Если для коэффициентов квадратного уравнения  выполняется равенство , то , 

2. Если для коэффициентов квадратного уравнения  выполняется равенство , то , 

Эти свойства помогают устно решать некоторые громоздкие квадратные уравнения. Например, в квадратном уравнении  сумма коэффициентов равна 0, поэтому ,  .

В уравнении выполняется равенство , поэтому ,  

Рассмотрим несколько примеров.

Решим квадратные уравнения:

1.

а) найдем дискриминант этого уравнения:

Дискриминант больше нуля, значит уравнение имеет два различных корня.

б) Тогда: , 

Ответ:   {1; 1/2}

2.  

а) Найдем дискриминант этого уравнения:

. Очевидно, что  , и даже нет необходимости вычислять его точное значение.

Ответ: уравнение не имеет действительных корней.

3. 

а) Найдем дискриминант этого уравнения:

б) Так как , уравнение имеет два совпадающих корня,

Если внимательно посмотреть на квадратный трехчлен, стоящий в левой части уравнения, то становится очевидно, то что его можно преобразовать по формуле квадрата разности к выражению

, отсюда 

Ответ: 1/4.

А теперь я предлагаю вам посмотреть видеоурок с решением квадратного уравнения:

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

формула для дискриминанта — Как найти Дискриминат? Формула — 22 ответа



Все формулы дискриминанта

В разделе Домашние задания на вопрос Как найти Дискриминат? Формула заданный автором Приспособленец лучший ответ это Часто на практике приходиться находить корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта. Не только школьники, но и студенты сталкиваются с вычислением дискриминанта по известной формуле. Например, в школьном курсе простейшей задачей на дискриминант является решение уравнения вида ax2+bx+c=0, которое называют квадратным. В высшем учебном заведении к решению квадратного уравнения приводит, например, решение дифференциального уравнения y''+2y'+y=0.Постановка задачи. Найти действительные корни уравнения ax2+bx+c=0 с помощью дискриминанта. Разложить многочлен вида ax2+bx+c на множители.Решение задачи. Формула для вычисления дискриминанта D = b2-4ac. Формулы для нахождения корней x1,2 = -b±D2a. Если дискриминант равен нулю, то x1 = x2. Если меньше нуля, то действительных корней нет. Если больше нуля, то x1≠x2, x1, x2∈ℝ. Если корни x1 и x2 известны (найдены) , то многочлен ax2+bx+c можно разложить на множители по формуле ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2).У квадратного уравнения есть комплексные корни, если его дискриминант меньше нуля. Нашей задачей является нахождение только действительных корней. * - введите коэффициенты a,b,c перед неизвестным в выражении ax2+bx+c с учётом их знака. Для примера введены коэффициенты выражения x2-2x+4=0. Ввод коэффициентов осуществляется через пробел (не разделяйте двумя и более пробелами). Максимальная длина коэффициента в символах равна 6, например, коэффициент -1234567 будет заменён на -12345.** - введите имя неизвестного. По умолчанию введено икс, но можно вводить любые выражения до 10 символов. Например, если будет введено cosx, то это будет означать, что мы ищем значения косинуса из уравнения cos2x-2cosx+4=0.

Ответ от 22 ответа[гуру]

Привет! Вот подборка тем с ответами на Ваш вопрос: Как найти Дискриминат? Формула

Ответ от Екатерина Ильина[мастер]b (в квадрате) -4*a*c?

Ответ от Невролог[гуру]Дискриминант равен "б в квадрате" минус 4 умножить на "а" и умножить на "с".D = b^2 - 4*a*c.

Ответ от 2 ответа[гуру]

Привет! Вот еще темы с нужными ответами:

 

Ответить на вопрос:

22oa.ru

формула квадратного уравнения. как найти корни через дискриминант?

квадратное уравнение имеет вид: ax^2+bx+c=0, где a, b, c - произвольные числа и a не = 0. Тогда (если b - нечетное число) дискриминант вычисляется по формуле D = (-b)^2 - 4ac и корни при неотрицательном дискриминанте вычисляются по формуле x1,2 = (-b + или - корень из D)/(2a). Если же b - четное число, то вычисляют D1 = (-b/2)^2 - ac, и при неотрицательном D1 корни квадратного уравнения вычисляются по формуле x1,2 = ((-b/2) + или - корень из D1)/a. D1 еще называют (обозначают) D/4. Особой роли не играет. Обозначения равнознычны и определяются предпочтениями учителя.

Дискриминант = b^2 - 4ac x1,2 = (-b -+ sqrt Дискриминант ) / 2

Найти действительные корни уравнения `ax^2+bx+c=0` с помощью дискриминанта. Разложить многочлен вида `ax^2+bx+c` на множители

есди а=0 тогда x1*x2=-b x1*x2=c

Andrei Chetrean:это не дискриминант, это теорема Виета

touch.otvet.mail.ru

Дискриминант квадратного уравнения с большими коэффициентами

Сложно встретить старшеклассника, НЕ умеющего находить корни квадратного уравнения через дискриминант.

Но, к сожалению, в отдельных случаях, получая громоздкий дискриминант,  многие начинают паниковать (без калькулятора).

А на ЕГЭ по математике, например, в задачах категории В14, вам вполне может встретиться причудливый дискриминант.

Нет безвыходных ситуаций!

На чем можно сэкономить силы при вычислении дискриминанта

 

Прежде чем разбирать примеры, вспомним все же  формулу дикриминанта для вычисления корней квадратного уравнения  

Тогда корни  уравнения находим по формуле

Надеюсь, вы помните, что удобно искать корни уравнения через дискриминант в случае, если имеем дело с полным  квадратным уравнением ( и – ненулевые).

Как решать неполные квадратные уравнения мы уже говорили.

1) Используем формулу «разность квадратов».

Допустим, нам нужно решить уравнение  

Ясно, что дискриминант следующий:

Не спешим возводить 53 в квадрат! Замечаем, что , поэтому

Корни данного уравнения, думаю, теперь каждый из вас найдет без труда…

2) Используем прием вынесения общего множителя за скобки.

Допустим, нам нужно решить уравнение (кстати, оно взято из реальной текстовой задачи из открытого банка заданий ЕГЭ по математике).

Ясно, что дискриминант следующий: 

Нет, мы не пойдем напролом!

Замечаем, что , а .

Мы можем вынести за скобку общий множитель

Корни найти – уже не проблема…

3) Формула сокращенного дискриимнанта.

Допустим, нам нужно решить уравнение

Вы знаете, что такое ? + показать

Его очень удобно применять в случае четности второго коэффициента (при x).

Вот формулы дискриминанта и корней в этом случае:

для уравнения , где – четное

Тогда корни следующие: , то есть или

Хоть на чуть-чуть, но упростили вычисления. Считаете, что неоправданно, – лишней формулой забивать голову… Выбор за вами.

4) Вместо дискриминанта – т. Виета.

Допустим, нам нужно решить уравнение

Вспоминаем  теорему  Виета:

Для приведенного квадратного уравнения (т.е. такого, коэффициент при  в котором равен единице)   сумма корней равна коэффициенту , взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену , то есть ,

Так вот, очевидно, на роль корней уравнения  претендуют числа и , так как и

Вот, пожалуй, все основные случае, где можно сэкономить время и силы при решении квадратного уравнения, о которых я хотела рассказать.

За улыбкой –> + показать

egemaximum.ru