§2. Достаточные признаки сходимости положительных рядов. Исследовать сходимость рядов


Примеры решения рядов

Формулы и уравнения рядов здесь.

Пример. Исследование на сходимость и сумма ряда.

Дано: ряд Найти: сумму ряда в случае его сходимости.

Решение.

Представим члены ряда в виде суммы двух слагаемых:

Получается, что n-я частичная сумма ряда может быть записана в виде:

Отсюда следует, что .

Ряд сходится. Сумма ряда равна .

Пример. Необходимый признак сходимости рядов.

Дано: ряд Найти:Проверить выполнение необходимого признака сходимости рядов.

Решение.

Необходимый признак сходимости рядов заключается в том, что если числовой ряд сходится, то Как следствие, если ≠ 0, то ряд расходится.

Для данного в задаче числового ряда: ≠ 0. Ряд расходится.

Примеры. Достаточные признаки сходимости положительных рядов.

Дано: ряды1) 2) 3) 4) 5) 6) Найти:Исследовать ряды на сходимость.

Решение.

1) Исходя из того, что ≤ при всех n и обобщенный гармонический ряд сходится, следует то, что ряд с меньшими членами сходящийся.

2) Исходя из того, что если выполняются условия: ln n ≥ 0 при n ≥ 1, то ≥ при n ≥ 1.Обобщенный гармонический ряд расходится, следовательно, ряд с большими членами также расходится.

3) Из ряда выделим главную часть n-го члена: при n→∞ ∼ .Заданный ряд и ряд ведут себя одинаково, так как .Геометрический ряд сходится, значит, ряд также сходится.

4) Из ряда выделим главную часть n-го члена: при n→∞ ∼ .Порядок < 1, поэтому ряд расходится.

5) Из ряда выделяем главную часть n-го члена ряда: при n→∞ ∼ .Порядок > 1, поэтому ряд сходится.

6) Из ряда выделяем главную часть n-го члена ряда: при n→∞ ∼ Порядок , поэтому ряд расходится.

matematika.electrichelp.ru

Числовые ряды. Сумма ряда.

Задача суммирования множества слагаемых решается в теории рядов.

где u1,u2,u3…., un…–члены бесконечной числовой последовательности, называется числовым рядом.

Числа u1,u2,u3…., un… называют членами ряда, а un– общий член ряда.

Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n–й частичной суммой ряда.

Sn= u1 + u2 +… + un,

т.е. S1= u1; S2= u1+ u2

Sn= u1+ u2+…+ un

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел частичной суммы Snпри n, то есть

Число S называется суммой ряда.

В противном случае:

Тогда ряд называется расходящимся.

Эталонные ряды.

1. Геометрический ряд (геометрическая прогрессия)

.

.

Пример.

2. Гармонический ряд.

3. Обобщенный гармонический ряд.

Пример.

.

Признаки сходимости знакоположительных рядов

Теорема 1. Необходимый признак сходимости.

C помощью этого признака можно установить расходимость ряда.

Пример.

Достаточные признаки

Теорема 1.Признак сравнения рядов.

Пусть даны два знакоположительных ряда:

и

Причем тогда, если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1).

Если ряд (1) расходится, то расходится и ряд (2).

Пример. Исследовать ряд на сходимость:

Сравним этот ряд с геометрическим рядом:

Сравним ряды:

и так далее.

Следовательно, по признаку сравнения искомый ряд сходится.

Теорема 2. Признак Даламбера.

  1. при

  2. при

  3. при вопрос о сходимости остается открытым.

Пример. Исследовать на сходимость ряд:

по признаку Даламберу ряд сходится.

Теорема 3.Радикальный признак Коши.

1) при

2) при

3) при вопрос о сходимости остается открытым.

Пример: исследовать на сходимость числовой ряд:

Решение:

Следовательно, ряд сходится по Коши.

Теорема 4. Интегральный признак Коши.

Пусть члены ряда

положительны и не возрастают, то есть и являются значениями непрерывной невозрастающей функцииf(x) при x= 1, 2, …, n.

Тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл:

Пример.

Решение:

Следовательно, ряд расходится, так как расходится несобственный интеграл.

Знакопеременные ряды. Понятие абсолютной и условной сходимости знакопеременого ряда.

Ряд называется знакопеременным, если любой его член может быть, как положительным, так и отрицательным.

Рассмотрим знакочередующиеся ряды:

Теорема 1. Признак Лейбница (достаточный признак).

Если у знакочередующегося ряда

члены убывают по абсолютной величине, то есть и

то ряд сходится, и его сумма не превосходит первого члена, то есть S ≤.

Пример.

Решение:

Применим признак Лейбница:

.

Следовательно, ряд сходится по Лейбницу.

Теорема 2. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда.

Если для знакопеременного ряда сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов , то данный знакопеременный ряд сходится.

Пример: исследовать ряд на сходимость:

Решение:

из абсолютных величин членов исходного ряда сходится, как обобщенный гармонический ряд при .

Следовательно, исходный ряд сходится.

Этот признак является достаточным, но не необходимым, то есть существуют знакопеременные ряды, которые сходятся, хотя ряды, составленные из абсолютных величин, расходятся.

Определение 1. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Определение 2.Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Отличие между ними в том, что абсолютно сходящийся ряд сходится из-за того, что его члены быстро убывают, а условно сходящийся ряд сходится из-за того, что положительные и отрицательные члены уничтожают друг друга.

Пример.

Решение:

Применим признак Лейбница:

Следовательно, ряд сходится по Лейбницу. Но ряд составленный из абсолютных величин его членов расходится, как гармонический.

Значит, исходный ряд сходится условно.

studfiles.net

Исследовать сходимость рядов - matematiku5.ru

1.2.9. Пользуясь известными признаками сходимости, исследовать сходимость следующих рядов:

Воспользуемся признаком Даламбера:

При решении использовали – второй замечательный предел.

Так как – то данный ряд сходится.

По радикальному признаку Коши:

Так как – то данный ряд расходится.

По интегральному признаку Коши:

Ряд расходится.

1.3.9. Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд:

Воспользуемся достаточным признаком сходимости знакопеременных рядов. Для этого определим сходимость ряда составленного из модулей членов данного ряда:

Воспользуемся признаком Даламбера:

Так как , то ряд, составленный из модулей членов данный ряд, сходится.

Таким образом, исходный ряд является абсолютно сходящимся.

Воспользуемся достаточным признаком сходимости знакопеременных рядов. Для этого определим сходимость ряда составленного из модулей членов данного ряда:

По интегральному признаку Коши:

Ряд, составленный из модулей членов данный ряд, расходится.

Исследуем исходный ряд по признаку Лейбница:

1.  последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает:

2.  Общий член ряда стремится к нулю, при этом сумма S ряда удовлетворяет неравенствам :

;

с погрешность вычисления равной .

Таким образом,

Ряд является условно сходящимся, т. к. ряд составленный из модулей членов данного рядя расходится, а данный ряд сходится по признаку Лейбница.

1.4.9. Найти область сходимости степенного ряда:

По признаку Даламбера:

Область сходимости ряда: => =>

При имеем ряд:

По интегральному признаку Коши:

Ряд расходится.

Тогда область сходимости ряда:

1.5.9. Разложить в ряд Маклорена функцию . Указать область сходимости полученного ряда:

Преобразуем функцию:

Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена:

Тогда:

Область сходимости ряда: => =>

Тогда область сходимости ряда:

1.8.9. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001.

Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена:

Тогда:

Найдем значение интеграла:

1.9.9. Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля члена этого разложения).

,

Будем искать решение уравнения в виде:

Здесь:

Будем искать:

при x=0

при x=0

Подставляем найденные значения производных в исходный ряд, получаем:

Окончательно:

4.1.9. Основные понятия и теоремы теории вероятностей:

Вероятность попадания в цель равна 0,003. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы с вероятностью, большей 0,94, можно было утверждать, что цель будет поражена?

По условию:

; ; ;

По формуле Бернулли:

Подставим исходные значения:

Найдем максимальное значение n, решая правую часть неравенства.

Чтобы найти максимум данной функции, найдем ее производную:

Найдем критические точки:

Тогда:

Тогда неравенство никогда не будет выполнено:

С вероятностью, большей 0,94, мы не можем утверждать, что цель будет поражена, если вероятность попадания в цель равна 0,003.

4.3.9. Схема повторных испытаний:

Из каждого десятка деталей 9 удовлетворяют стандарту. Найти вероятность того, что из 50 взятых со склада деталей число стандартных окажется между 42 и 48.

По интегральной теореме Лапласа: Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна (0 при этом , событие наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, приближенно равна:

Здесь:

– функция Лапласа

;

Значения функции Лапласа находим по специальной таблице.

Найдем вероятность появления стандартной детали и вероятность появления нестандартной:

;

Подставим все известные значения:

Функция Лапласа (по таблице):

Искомая вероятность:

4.4.9. Случайные величины:

Дискретная случайная величина Х имеет только два возможных значения: и , причем . Вероятность того, что Х примет значения , равна 0,2. Найти закон распределения Х, зная математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение .

Запишем закон распределения Х в общем виде:

Впишем все известные значения:

X

P(X)

0,2

0,8

Найдем возможные значения Х:

Находим математическое ожидание:

Подставляем все известные значения:

Находим среднее квадратичное отклонение:

Находим дисперсию:

Подставляем все известные значения:

Составим систему уравнения для нахождения возможных значений Х:

Подставляем все известные значения:

=>=>=>

или

Тогда:

или

Принимая во внимание условие выбираем пару: и

Запишем закон распределения Х:

4.5.9. Случайные величины:

Случайная величина Х задана функцией распределения:

Выбрать коэффициенты a, b и c таким образом, чтобы данное распределение соответствовало случайной величине непрерывного типа, написать выражение для плотности р(х).

По условию задачи функция F(x) непрерывна. Выберем коэффициенты a, b и c таким образом, чтобы не было разрыва, для этого составим систему уравнений:

Тогда:

=> => => =>

Выберем: , тогда , .

Подставим найденные значения в функцию распределения:

Плотностью распределения (иначе – «плотность вероятности») непрерывной случайной величины – характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке и является производной функции распределения.

matematiku5.ru

Сходимость рядов. Признак Даламбера

 

Сходимость рядов. Признак Даламбера

 

Пусть задана бесконечная последовательность чисел . Выражение называется числовым рядом. При этом числа называются членами ряда.

Числовой ряд часто записывают в виде .

Теорема (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится, то его -й член стремится к нулю при неограниченном возрастании .

Следствие. Если -й член ряда не стремится к нулю при , то ряд расходится.

Теорема (признак Даламбера). Если в ряде с положительными членами отношение -го члена ряда к -му при имеет конечный предел , т.е. , то:- ряд сходится в случае ,- ряд расходится в случае .В случаях, когда предел не существует или он равен единице, ответа на вопрос о сходимости или расходимости числового ряда теорема не дает. Необходимо провести дополнительное исследование.

 

Примеры решения задач

Пример 1. Исследовать сходимость ряда .

Решение.

Применим признак сходимости Даламбера. Сначала запишем формулы для -го и -го членов ряда:

Затем найдем предел отношения -го члена ряда к -му при :

И последнее, сделаем вывод о сходимости ряда, сравнив полученное значение предела с 1. Поскольку , то данный ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

 

Пример 2. Исследовать сходимость ряда .

Решение.

Применим признак сходимости Даламбера. Запишем формулы для -го и -го членов ряда:

Найдем предел отношения -го члена ряда к -му при :

Сравним полученное значение предела с 1. Поскольку , то данный ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.

 

Пример 3. Исследовать сходимость ряда .

Решение.

Используем признак сходимости Даламбера, а также определение функции факториал. Поскольку для каждого целого положительного числа функция (читается «n факториал»), по определению, равна произведению всех целых чисел от 1 до , т.е. , то .

Теперь запишем формулы для -го и -го членов ряда:

С учетом вышесказанного найдем предел отношения -го члена ряда к -му при :

Вывод о сходимости ряда: сравнив полученное значение предела с 1 , устанавливаем, что данный ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.

 

Пример 4. Исследовать сходимость ряда .

Решение.

Используем признак сходимости Даламбера. Запишем формулы для -го и -го членов ряда:

С учетом того, что , найдем предел отношения -го члена ряда к -му при :

Вывод о сходимости ряда: сравнив полученное значение предела с 1 , устанавливаем, что данный ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

 

Пример 5. Исследовать сходимость ряда , пользуясь признаком сходимости Даламбера.

Решение.

Запишем формулы для -го и -го членов ряда:

.

Далее найдем предел отношения -го члена ряда к -му при :

Вывод о сходимости ряда: сравнив полученное значение предела с 1 , устанавливаем, что данный ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

Пример 6. Исследовать сходимость ряда , пользуясь признаком сходимости Даламбера.

Решение.

Запишем формулы для -го и -го членов ряда:

Далее найдем предел отношения -го члена ряда к -му при :

И последнее, сделаем вывод о сходимости ряда, сравнив полученное значение предела с 1. Поскольку , то данный ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.

 

Пример 7. Исследовать сходимость ряда , пользуясь признаком сходимости Даламбера.

Решение.

Сначала запишем формулы для -го и -го членов ряда:

Затем найдем предел отношения -го члена ряда к -му при :

Сравним полученное значение предела с 1. Поскольку , то данный ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.

 

Пример 8. Исследовать сходимость ряда , пользуясь признаком сходимости Даламбера.

Решение.

Предварительно вспомним, что для каждого целого положительного числа функция , по определению, равна произведению всех целых чисел от 1 до , т.е. .

Тогда для и получим: , .

Теперь запишем формулы для -го и -го членов ряда:

Далее найдем предел отношения -го члена ряда к -му при :

Вывод о сходимости ряда: сравнив полученное значение предела с 1 , устанавливаем, что данный ряд сходится.Ответ: ряд сходится.

 

Задания для самостоятельной работы

Исследовать сходимость ряда, пользуясь признаком сходимости Даламбера:1. . Ответ: , ряд расходится.

2. . Ответ: , ряд сходится.

3. . Ответ: , ряд расходится.

4. . Ответ: , ряд сходится.

5. . Ответ: , ряд расходится.

6. . Ответ: , ряд расходится.

7. . Ответ: , ряд сходится.

8. . Ответ: , ряд сходится.

9. . Ответ: , ряд сходится.

10. . Ответ: , ряд сходится.

11. . Ответ: , ряд сходится.

12. . Ответ: , ряд сходится.

13. . Ответ: , ряд расходится.

14. . Ответ: , ряд сходится.

15. . Ответ: , ряд расходится.

16. . Ответ: , ряд сходится.

pgsksaa07.narod.ru

§2. Достаточные признаки сходимости положительных рядов.

1. Признак Даламбера.

Теорема (признак Даламбера сходимости положительных рядов).

Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует конечный предел

, то

при ряд сходится,

при ряд расходится.

Заметим, при вопрос о сходимости ряда остается нерешенным и нужно подобрать другой признак для исследования данного ряда.

Задача №1. Исследовать на сходимость ряд.

Решение.,

,

следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится.

Задача №2.Исследовать на сходимость ряд.

Решение.

,поэтому

ряд сходится по признаку Даламбера.

Ответ: ряд расходится.

Задача №3.Исследовать на сходимость ряд.

Решение.

, тогда

Ряд сходится по признаку Даламбера.

Ответ: ряд сходится.

Задача №4. Исследовать на сходимость ряд.

Решение.

, тогда

по признаку Даламбера ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

Рассмотренные примеры позволяют сделать вывод о том, что к большинству рядов, общий член которых содержит функции целесообразно применять признак Даламбера.

2. Интегральный признак.

Теорема (интегральный признак сходимости Коши-Маклорена).

Пусть дан ряд

,

члены которого положительны и не возрастают.

Пусть-- функция, которая определена для всех действительных, непрерывна, не возрастает и такая, что

,

тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился (существовал) интеграл

.

Достоинство интегрального признака состоит в его высокой чувствительности: этот признак четко проводит различие между сходящимся и расходящимся рядами, даже если члены одного из них незначительно отличаются от членов другого.

Сформулируем важное следствие интегрального признака: если положительный ряд можно исследовать на сходимость по интегральному признаку, то его остаток оценивается по формуле:

.

Эта оценка используется для приближенного вычисления суммы сходящихся рядов.

Задача №5. Исследовать на сходимость ряд.

Решение.Воспользуемся интегральным признаком. Введем функцию, такую, что.

Рассмотрим несобственный интеграл

,

и исследуем его на сходимость:

,

интеграл расходится, поэтому должен расходиться и ряд.

Ответ: ряд расходится.

Задача №6.Исследовать на сходимость ряд.

Решение., ,

,

несобственный интеграл сходится (равен конечному числу), следовательно, по интегральному признаку ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.

Ряд называетсягармоническим, а ряд видаприназывается рядом Дирихле илиобобщенным гармоническимрядом. Как было показано в примерах , эту группу рядов можно исследовать на сходимость с помощью интегрального признака:

--сходится прии расходится при.

Задача №7. Исследовать на сходимость ряд.

Решение.,,

вычислим несобственный интеграл, используя метод замены переменной:

Согласно интегральному признаку из расходимости интеграла следует расходимость ряда.

Ответ: ряд расходится.

3. Признаки сравнения положительных рядов.

К числу достаточных признаков сходимости относятся признаки, позволяющие выяснить вопрос о сходимости некоторого ряда с помощью другого ряда, поведение которого в смысле сходимости нам известно. Такие признаки называются признаками сравнения.

Теорема 1.(признак сравнения рядов с положительными членами).

Если ряд с положительными членами

сравнить с другим рядом с положительными членами

сходимость или расходимость которого нам известна, и если начиная с некоторого номера

1). и рядсходится, то рядтакже сходится;

2). и рядрасходится, то рядтакже расходится.

Заметим, что утверждения, обратные утверждениям 1) и 2) в условии теоремы неверны: если сходится ряд с меньшими членами, то о сходимости ряда с большими членами ничего определенного сказать нельзя, и наоборот, если расходится ряд с большими членами, то ряд с меньшими членами может быть как сходящимся так и расходящимся.

При использовании этого признака исследуемый ряд чаще всего сравнивается либо с бесконечной геометрической прогрессией , либо с обобщенными гармоническими рядами, поведение которых в смысле сходимости мы обсудили выше.

Задача №8. Исследовать на сходимость ряд.

Решение.Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом.

Каждый член данного ряда, начиная с, меньше соответствующего членаобобщенного гармонического ряда:

,

и поскольку ряд сходится (), то согласно утверждению 1) признака сравнения исследуемый ряд также сходится.

Ответ: ряд сходится.

Задача №9. Исследовать на сходимость ряд.

Решение.Сделаем предположение о том, что данный ряд расходится. Тогда используем утверждение 2) признака сравнения и подбираем расходящийся ряд с меньшими членами:

,,

Поскольку для всех натуральных, то

.

Гармонический ряд расходится, следовательно по признаку сравнения рядтакже расходится.

Ответ: ряд расходится.

Задача №10. Исследовать ряд на сходимость.

Решение.Главная особенность использования признака сравнения состоит в том, что здесь, в отличие от других достаточных признаков сходимости, необходимо делать предположение о том, сходится ряд или расходится. Докажем сходимость данного ряда. Для этого докажем, что, начиная с некоторого номера, верно соотношение

.

Применяя правило Лопиталя (дифференцирование по ) получим

значит, начиная с некоторого , функцияменьшедля любого.

Положим , тогда

, откуда имеем

.

,.

Обобщенный гармонический ряд сходится (), следовательно, по признаку сравнения рядс меньшими членами также сходится.

Ответ: ряд сходится.

Сформулируем еще один признак сравнения.

Теорема 2. (обобщенный признак сравнения рядов с положительными членами).

Пусть даны два ряда и. Если предел отношения общих членов этих рядовсуществует, конечен и не равен нулю, то ряды одновременно сходятся или расходятся.

Задача №11.Исследовать на сходимость ряд.

Решение.Обсудим сначала, каким образом в этом случае подобрать гармонический ряд. Очевидно, что главными в числителе и в знаменателе являются слагаемые, содержащие старшие степени переменной, именно их и оставим при переходе к гармоническому ряду:

.

Обозначим ,.

Вычислим предел, который подтверждает, что ряды сходятся или расходятся одновременно:

.

Ряд расходится как гармонический.

Следовательно, по обобщенному признаку сравнения исходный ряд также расходится.

Ответ: ряд расходится.

Задача №12. Исследовать на сходимость ряд.

Решение.Сравним данный ряд с рядом.

Докажем, что ряды ведут себя одинаково. Обозначим

,, тогда

.

Ряд состоит из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессиии, следовательно, сходится. По обобщенному признаку сравнения сходится и исследуемый ряд.

Ответ: ряд сходится.

Задача №13.Исследовать на сходимость ряд.

Решение. Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом:

.

Обозначим ,.

Вычислим предел

Следовательно, ряды в смысле сходимости ведут себя одинаково.

Ряд сходится, поскольку является обобщенным гармоническим,. Тогда по обобщенному признаку сравнения исходный ряд также сходится.

Ответ: ряд сходится.

Задача №14. Исследовать на сходимость ряд.

Решение.Подберем данному ряду обобщенный гармонический ряд так, чтобы ряды сходились или расходились одновременно:

.

Обозначим ,, тогда

Здесь использовалась формула

.

Обобщенный гармонический ряд расходится,. Используя обобщенный признак сравнения, делаем вывод о том, что исходный рядрасходится.

Ответ:ряд расходится.

Завершая обсуждение признаков сравнения, добавим, что более простым из них в применении является обобщенный признак сравнения (теорема 2). Признак сравнения (теорема 1) более сложный, но, тем не менее, существуют ряды, которые исследуются на сходимость только с помощью этого признака (именно такие ряды рассмотрены в примерах). Это связано с невозможностью в некоторых случаях вычислить предел, и, следовательно, применить обобщенный признак сравнения.

studfiles.net

Признак сравнения рядов для выяснения их сходимости

Применение признака сравнения заключается в том, что исследуемый ряд сравнивают с рядом, сходимость которого заранее известна.

Непосредственное сравнение членов рядов

Пусть даны два ряда с положительными общими членами и . Пусть для этих рядов выполняется неравенство , то есть члены первого ряда не превосходят соответствующих членов второго ряда.

Тогда из сходимости второго ряда (ряда с бОльшим общим членом) следует сходимость первого ряда, а из расходимости первого ряда (ряда с меньшим общим членом) – расходимость второго ряда.

Предел отношения общих членов рядов

Пусть даны два ряда с положительными общими членами и . Если , то есть предел отношения общих членов ряда равен конечному и отличному от нуля числу, то оба ряда ведут себя одинаково: или оба сходятся, или оба расходятся.

Трудность применения на практике признака сравнения состоит в необходимости иметь «запас» рядов, сходимость (или расходимость) которых известна, а среди них подобрать такой, чтобы выполнялось условие. Для сравнения часто используются:

Пример 1. Исследовать сходимость ряда

Решение. Члены данного ряда не превосходят соответствующих членов сходящегося геометрического ряда с общим членом

Согласно признаку сравнения, данный ряд также сходится.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда

Решение. Так как

то члены данного ряда меньше членов

 

сходящегося ряда. На основании признака сравнения данный ряд также сходится.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда

Решение. Сравним данный ряд с гармоническим рядом. Первые их члены совпадают, а остальные члены данного ряда больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда:

поскольку

Согласно признаку сравнения, данный ряд также расходится.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда

.

Решение. Так как , а ряд сходится как геометрический ряд с , то по признаку сравнения данный ряд также сходится.

Пример 5. Исследовать сходимость ряда

.

Решение. Выясним значение предела отношения общих членов данного ряда и гармонического ряда :

Так как предел отношения общих членов данного ряда и второго ряда, который расходится, отличен от нуля и не равен бесконечности, то оба ряда ведут себя одинаково. То есть данный ряд так же расходится.

Пример 6. Исследовать сходимость ряда

.

Решение. Выясним значение предела отношения общих членов данного ряда и гармонического ряда :

Так как предел отношения общих членов данного ряда и второго ряда, который расходится, отличен от нуля и не равен бесконечности, то оба ряда ведут себя одинаково. То есть данный ряд так же расходится.

Пример 7. Исследовать сходимость ряда

.

Решение. Выясним значение предела отношения общих членов данного ряда и обобщённого гармонического ряда , который расходится, так как . Искать предел будем, учитывая, что , если , поэтому , если . Итак, предел:

.

Так как предел отношения общих членов данного ряда и второго ряда, который расходится, отличен от нуля и не равен бесконечности, то оба ряда ведут себя одинаково. То есть данный ряд так же расходится.

Всё по теме "Ряды"

function-x.ru

РЯДЫ

Смех без причины – признак Даламбера

Вот и пробил час функциональных рядов. Для успешного освоения темы, и, в частности, этого урока, нужно хорошо разбираться в обычных числовых рядах. Следует хорошо понимать, что такое ряд, уметь применять признаки сравнения для исследования ряда на сходимость. Таким образом, если Вы только-только приступили к изучению темы или являетесь чайником в высшей математике, необходимо последовательно проработать три урока: Ряды для чайников, Признак Даламбера. Признаки Коши и Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Обязательно все три!  Если есть элементарные знания и навыки решения задач с числовыми рядами, то справиться с функциональными рядами будет довольно просто, поскольку нового материала не очень и много.

На данном уроке мы рассмотрим понятие функционального ряда (что это вообще такое), познакомимся со степенными рядами, которые встречаются в 99%-ах практических заданий, и научимся решать распространенную типовую задачу на нахождение радиуса сходимости, интервала сходимости и области сходимости степенного ряда. Далее можно будет рассмотреть материал о сумме степенного ряда и разложении функций в степенные ряды.

Понятие функционального ряда и степенного ряда

Обычный числовой ряд, вспоминаем, состоит из чисел:

Все члены ряда – этоЧИСЛА.

Функциональный же ряд состоит из ФУНКЦИЙ:

В общий член ряда помимо многочленов, факториалов и других подарковнепременновходит буковка «икс». Выглядит это, например, так: . Как и числовой ряд, любой функциональный ряд можно расписать в развернутом виде:

Как видите, все члены функционального ряда – этофункции.

Наиболее популярной разновидностью функционального ряда является степенной ряд.

Определение:

Степенной ряд – это ряд, в общий член которого входятцелые положительные степени независимой переменной . Упрощенно степенной ряд во многих учебниках записывают так:, где– это старая знакомая «начинка» числовых рядов (многочлены, степени, факториалы, зависящиетолько от «эн»). Простейший пример: 

Посмотрим на это разложение и еще раз осмыслим определение: члены степенного ряда содержат «иксы» в целых положительных (натуральных) степенях.  Очень часто степенной ряд можно встретить в следующих «модификациях»: или, где– константа. Например:

Строго говоря, упрощенные записи степенного ряда ,илине совсем корректны. В показателе степени вместо одинокой буквы «эн» может располагаться более сложное выражение, например:

Или такой степенной ряд:

Лишь бы показатели степеней при «иксАх» были натуральными.

Сходимость степенного ряда.  Интервал сходимости, радиус сходимости и область сходимости

Не нужно пугаться такого обилия терминов, они идут «рядом друг с другом» и не представляют особых сложностей для понимания. Лучше выберем какой-нибудь простой подопытный ряд и сразу начнём разбираться.

Прошу любить и жаловать степенной ряд .

Переменная может приниматьлюбое действительное значение от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности». Подставим в общий член ряда несколько произвольных значений «икс»: Если , тоЕсли, тоЕсли, тоЕсли, тоИ так далее.

Очевидно, что, подставляя в то или иное значение «икс», мы получаем различные числовые ряды. Некоторые числовые ряды будут сходиться, а некоторые расходиться. И наша задачанайти множество значений «икс», при котором степенной ряд будетсходиться. Такое множество и называется областью сходимости ряда.

Для любого степенного ряда (временно отвлекаемся от конкретного примера) возможны три случая:

1) Степенной ряд сходится абсолютно на некотором интервале . Иными словами, если мы выбираем  любое значение «икс» из интервалаи подставляем его в общий член степенного ряда, то у нас получаетсяабсолютно сходящийся числовой ряд. Такой интервал и называетсяинтервалом сходимости степенного ряда.

Радиус сходимости, если совсем просто, это половина длины интервала сходимости: 

Геометрически ситуация выглядит так:

В данном случае, интервал сходимости ряда: , радиус сходимости ряда:

Широко распространен тривиальный случай, когда интервал сходимости симметричен относительно нуля:

>

Здесь интервал сходимости ряда: , радиус сходимости ряда:

А что будет происходить на концах интервала ?  В точках,степенной рядможет, как сходиться, так и расходится, и для выяснения этого необходимо проводить дополнительное исследование. После такого исследования речь идёт уже об области сходимости ряда:

– Если установлено, что степенной ряд расходится на обоих концах интервала, то область сходимости ряда совпадает с интервалом сходимости: 

– Если установлено, что степенной ряд сходится на одном конце интервала и расходится на другом, то область сходимости ряда представляет собой полуинтервал: или.

– Если установлено, что степенной ряд сходится на обоих концах интервала, то область сходимости ряда представляет собой отрезок: 

Термины очень похожи, область сходимости ряда – это чуть более детализированныйинтервал сходимости ряда.

С двумя оставшимися случаями всё короче и проще:

2) Степенной ряд сходится абсолютно при любом значении . То есть, какое бы значение «икс» мы не подставили в общий член степенного ряда – в любом случае у нас получитсяабсолютно сходящийся числовой ряд. Интервал сходимости и область сходимости в данном случае совпадают: . Радиус сходимости:. Рисунок приводить не буду, думаю, нет необходимости.

3) Степенной ряд сходится в единственной точке. Если ряд имеет вид , то он будет сходиться в единственной точке. В этом случае интервал сходимости и область сходимости ряда тоже совпадают и равны единственному числу – нулю:. Если ряд имеет вид, то он будет сходиться в единственной точке, если ряд имеет вид, то, понятно, – в точке «минус а». Радиус сходимости ряда во всех случаях, естественно, нулевой:.

Других вариантов нет. Область сходимости степенного ряда – это всегда либо единственная точка, либо любое «икс», либо интервал (возможно полуинтервал, отрезок). Подчеркиваю, чтоданная классификация справедлива для степенных рядов. Для произвольного функционального ряда она в общем случае является неверной.

Исследование степенного ряда на сходимость

После небольшой порции теоретического материала переходим к рассмотрению типового задания, которое практически всегда встречается на зачетах и экзаменах по высшей математике.

Пример 1

Найти область сходимости степенного ряда 

Задание часто формулируют эквивалентно: Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала.

Алгоритм решения довольно прозрачен и трафаретен.

На первом этапе находим интервал сходимости ряда. Почти всегда необходимо использовать признак Даламбера и находить предел . Технология применения признака Даламбера точно такая же, как и для числовых рядов, с ней можно ознакомиться на урокеПризнак Даламбера. Признаки Коши. Единственное отличие – все дела у нас происходят под знаком модуля.

Итак, решаем наш предел:

(1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему.

(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.

(3) В числителе по правилу действий со степенями «отщипываем» один «икс». В знаменателе возводим двучлен в квадрат.

(4) Выносим оставшийся «икс» за знак предела, причем, выносим его вместе со знаком модуля. Почему со знаком модуля? Дело в том, что наш предел и так будет неотрицательным, а вот «икс» вполне может принимать отрицательные значения. Поэтому модуль относится именно к нему.

Кстати, почему можно вообще вынести за знак предела? Потому-что «динамической» переменной в пределе у нас является «эн», и от этого нашему «иксу» ни жарко ни холодно.

(5) Устраняем неопределенность стандартным способом.

После того, как предел найден, нужно проанализировать, что у нас получилось.

Если в пределе получается ноль, то алгоритм решения заканчивает свою работу, и мы даём окончательный ответ задания: «Область сходимости степенного ряда: » (любое действительное число – случай №2 предыдущего параграфа). То есть, степенной ряд сходится при любом значении «икс». Ответ можно записать эквивалентно: «Ряд сходится при» (значокв математике обозначает принадлежность).

Если в пределе получается бесконечность, то алгоритм решения также заканчивает свою работу, и мы даём окончательный ответ задания: «Ряд сходится при » (или прилибо»). Смотрите случай №3 предыдущего параграфа.

Если в пределе получается не ноль и не бесконечность, то у нас самый распространенный на практике случае №1 – ряд сходится на некотором интервале.

В данном случае предел равен . Как найти интервал сходимости ряда? Составляем неравенство:

В ЛЮБОМ задании данного типа в левой части неравенства должен находиться результат вычисления предела, а в правой части неравенства – строго единица. Не буду объяснять, почему именно такое неравенство и почему справа единица. Уроки носят практическую направленность, и уже очень хорошо, что от моих рассказов не повесился профессорско-преподавательский состав стали понятнее некоторые теоремы.

Техника работы с модулем и решения двойных неравенств подробно рассматривалась на первом курсе в статье Область определения функции, но для удобства я постараюсь максимально подробно закомментировать все действия. Раскрываем неравенство с модулем по школьному правилу . В данном случае:

 – интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

Половина пути позади.

На втором этапе необходимо исследовать сходимость ряда на концах найденного интервала.

Сначала берём левый конец интервала и подставляем его в наш степенной ряд:

При 

Получен числовой ряд, и нам нужно исследовать его на сходимость (уже знакомая из предыдущих уроков задача).

Используем признак Лейбница: 1) Ряд является знакочередующимся. 2) – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно.

Вывод: ряд сходится.

Исследуем ряд на абсолютную сходимость: – сходится (случай обобщенного гармонического ряда).

Таким образом, полученный числовой ряд сходится абсолютно.

Далее рассматриваем правый конец интервала , подставляем это значение в наш степенной ряд:

При – сходится.

Таким образом, степенной ряд сходится на обоих концах найденного интервала.

Ответ: Область сходимости исследуемого степенного ряда: 

Имеет право на жизнь  и другое оформление ответа: Ряд сходится, если 

Иногда в условии задачи требуют указать радиус сходимости. Очевидно, что в рассмотренном примере .

Пример 2

Найти область сходимости степенного ряда 

Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:

Составляем стандартное неравенство:  Ряд сходится при 

Слева нам нужно оставить только , поэтому умножаем обе части неравенства на 3:

И раскрываем неравенство с модулем по правилу :– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

Исследуем сходимость степенного ряда на концах найденного интервала. 1) При 

Обратите внимание, что при подстановке значения в степенной ряду нас сократилась степень. Это верный признак того, что мы правильно нашли интервал сходимости ряда.

Исследуем полученный числовой ряд на сходимость.

Используем признак Лейбница.  – Ряд является знакочередующимся. – – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно. Вывод: Ряд сходится.

Исследуем ряд на абсолютную сходимость: Сравним данный ряд с расходящимся рядом.  Используем предельный признак сравнения:Получено конечное число, отличное от нуля, значит, рядрасходится вместе с рядом.

Таким образом, ряд сходится только условно.

2) При – расходится (по доказанному).

Ответ: Область сходимости исследуемого степенного ряда: . Приряд сходится только условно.

В рассмотренном примере областью сходимости степенного ряда является полуинтервал, причем во всех точках интервала степенной рядсходится абсолютно (см. предыдущий параграф), а в точке , как выяснилось –сходится только условно.

Пример 3

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала 

Это пример для самостоятельного решения.

Рассмотрим пару примеров, которые встречаются редко, но встречаются.

Пример 4

Найти область сходимости ряда: 

Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:

(1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему.

(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.

(3) Кубы ипо правилу действий со степенями подводим под единую степень. В числителе хитро раскладываем степень, т.е. раскладываем таким образом, чтобы на следующем шаге сократить дробь на. Факториалы расписываем подробно.

 (4) Под кубом почленно делим числитель на знаменатель, указывая, что . В дроби сокращаем всё, что можно сократить. Множительвыносим за знак предела, его можно вынести, поскольку в нём нет ничего, зависящего от «динамической» переменной «эн». Обратите внимание, что знак модуля не нарисован – по той причине, чтопринимает неотрицательные значения при любом «икс».

В пределе получен ноль, а значит, можно давать окончательный ответ:

Ответ: Ряд сходится при 

А сначала-то казалось, что этот ряд со «страшной начинкой» будет трудно решить. Ноль или бесконечность в пределе – почти подарок, ведь решение заметно сокращается!

Пример 5

Найти область сходимости ряда 

Это пример для самостоятельного решения. Будьте внимательны ;-) Полное решение ответ в конце урока.

Рассмотрим еще несколько примеров, содержащих элемент новизны в плане использования технических приемов.

Пример 6

Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала 

Решение: В общий член степенного ряда входит множитель , обеспечивающий знакочередование. Алгоритм решения полностью сохраняется, но при составлении пределамы игнорируем (не пишем) этот множитель, поскольку модуль уничтожает все «минусы».

Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:

Составляем стандартное неравенство: Ряд сходится при Слева нам нужно оставить только модуль, поэтому умножаем обе части неравенства на 5: Теперь раскрываем модуль уже знакомым способом:

В середине двойного неравенства нужно оставить только «икс», в этих целях из каждой части неравенства вычитаем 2:

 – интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала:

1) Подставляем значение в наш степенной ряд:

 

Будьте предельно внимательны, множитель не обеспечивает знакочередование, при любом натуральном «эн». Полученный минус выносим за пределы ряда и забываем про него, поскольку он (как и любая константа-множитель) никак не влияет на сходимость или расходимость числового ряда.

Еще раз заметьте, что в ходе подстановки значения в общий член степенного ряда у нас сократился множитель. Если бы этого не произошло, то это бы значило, что мы либо неверно вычислили предел, либо неправильно раскрыли модуль.

Итак, требуется исследовать на сходимость числовой ряд . Здесь проще всего использовать предельный признак сравнения и сравнить данный ряд с расходящимся гармоническим рядом. Но, если честно, предельный признак сравнения до ужаса мне надоел, поэтому внесу некоторое разнообразие в решение.

Используем интегральный признак. Подынтегральная функция непрерывна на.Таким образом, полученный числовой ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

2) Исследуем второй конец интервала сходимости. При 

Используем признак Лейбница:  – Ряд является знакочередующимся. – – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно. Вывод: ряд сходится

Рассматриваемый числовой ряд не является абсолютно сходящимся поскольку  – расходится (по доказанному).

Ответ: – область сходимости исследуемого степенного ряда, приряд сходится только условно.

studfiles.net