Как переводить из десятичной системы счисления в двоичную. Из десятичной в двоичную системы


Правила перевода из десятичной в двоичную систему.

Для перевода десятичного числа в двоичную систему отдельно переводят дробную и целую части.

Чтобы перевести целое число из 10-ой в 2-ую систему нужно выполнять последовательное деление числа на 2 до тех пор, пока результат не станет меньше 2. Последний результат и остатки от деления, взятые в обратном порядке дают двоичное число.

Например:

           
         
       
       
       
       
       
         
             
               

В результате .

Для перевода правильной дроби из 10-й системы счисления в 2-ю систему счисления нужно умножить исходную дробь и дробные части получающихся произведений на основание 2, представленное в старой 10-системе. Целые части получающихся произведений дают последовательность цифр, которая является представлением дроби в 2-ой системе счисления.

Правила перевода из двоичной в десятичную систему.

Для перевода необходимо разложить число по основанию системы счисления и посчитать результат.

Например,

Подробно>>

Выполнение арифметических операций в двоичной системе. Подробнее>>

В компьютерах двоичная система особенно удобна тем, что двоичные цифры соответствуют тому, что электронная система может находиться лишь в одном из двух состояний – либо “выключено” (цепь разомкнута, двоичная цифра 0), либо “включено” (цепь замкнута, двоичная цифра 1). Числа, записанные в двоичной системе, требуют большего числа знаков, чем их аналоги в десятичной системе, но при проектировании компьютеров, предназначенных для работы с числами, не превышающими 10 миллионов, оказалось, что легче оперировать с 24-разрядными двоичными числами (т.е. 24 реле или переключателя типа “вкл.” – “выкл.”), чем с семизначными десятичными числами (реле или переключателями, которые могут находиться в 10 состояниях). И в двоичной, и в десятичной системе суть состоит в позиционном принципе записи чисел, поэтому ясно, что современные суперкомпьютеры стали возможны благодаря тому, что четыре тысячи лет назад в Месопотамии было совершено важнейшее открытие в области обозначения чисел.

Системы счисления, родственные двоичной

На ранних этапах развития вычислительной техники программы писали в машинных кодах, то есть без использования языков программирования. Для обозначение кодов операций машина оперирует с довольно длинными двоичными числами. Программисту трудно было работать с таким количеством знаков. Поэтому стали использовать системы счисления, которые с одной стороны относительно малозначны. А с другой обеспечивают легкий перевод чисел в двоичную систему и обратно. Такими системами являются системы, родственные двоичной.

Система называется родственной двоичной, если ее основание является степенью числа 2. К таким системам относятся четверичная, восьмеричная и шестнадцатеричная.

Восьмеричная система счисления является вспомогательной системой представления информации в памяти компьютера и используется для компактной записи двоичных чисел и команд.

В системе счисления с основанием 8 используются цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Над числами в восьмеричной системе счисления можно выполнять арифметические действия.

Подробнее>>

Элементы комбинаторики

обратно

Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Обозначим его . Перестановкой из n элементов называется заданный порядок во множестве .

Примеры перестановок:

1)распределение n различных должностей среди n человек;

2)расположение n различных предметов в одном ряду.

Сколько различных перестановок можно образовать во множестве ? Число перестановок обозначается Pn (читается“Р из n”).

Чтобы вывести формулу числа перестановок, представим себе n ячеек, пронумерованных числами 1,2,...n. Все перестановки будем образовывать, располагая элементы Unв этих ячейках. В первую ячейку можно занести любой из n элементов (иначе: первую ячейку можно заполнить n различными способами). Заполнив первую ячейку, можно найти n–1 вариантов заполнения второй ячейки. Таким образом, существует n(n–1) вариантов заполнения двух первых ячеек. При заполнении первых двух ячеек можно найти n–2 варианта заполнения третьей ячейки, откуда получается, что три ячейки можно заполнить n(n-1)(n-2) способами. Продолжая этот процесс, получим, что число способов заполнения n ячеек равно . Отсюда

Pn = n(n – 1)(n – 2)...× 3× 2× 1

Число n(n – 1)(n – 2)...× 3× 2× 1, то есть произведение всех натуральных чисел от 1 до n, называется “n-факториал” и обозначается n! Отсюда Pn =n!

По определению считается: 1!=1; 0!=1.

Пример. Сколько существует вариантов замещения 5-ти различных вакантных должностей 5-ю кандидатами?

.

Размещениями из n элементов по k элементов будем называть упорядоченные подмножества, состоящие из k элементов множества (множества, состоящего из n элементов). Число размещений из n элементов по k элементов обозначается (читается “А из n по k”).

Одно размещение из n элементов по k элементов может отличаться от другого как набором элементов, так и порядком их расположения.

Примеры задач, приводящих к необходимости подсчета числа размещений

1) Сколькими способами можно выбрать из 15 человек 5 кандидатов и назначить их на 5 различных должностей?

2) Сколькими способами можно из 20 книг отобрать 12 и расставить их в ряд на полке?

В задачах о размещениях полагается k<n. В случае, если k=n, то легко получить

Для подсчета используем тот же метод, что использовался для подсчета Pn, только здесь возьмем лишь k ячеек. Первую ячейку можно заполнить n способами, вторую, при заполненной первой, можно заполнить n–1 способами. Таким образом, существует п(п–1) вариантов заполнения первых двух ячеек. Можно продолжать этот процесс до заполнения последней k–й ячейки. Эту ячейку при заполненных первых k–1 ячейках можно заполнить n–(k–1) (или n–k+1) способами. Таким образом, все k ячеек заполняются числом способов, равным

Отсюда получаем:

Пример. Сколько существует различных вариантов выбора 4-х кандидатур из 9-ти специалистов для поездки в 4 различных страны?

Сочетаниями из n элементов по k элементов называются подмножества, состоящие из k элементов множества (множества, состоящего из n элементов).

Одно сочетание от другого отличается только составом выбранных элементов (но не порядком их расположения, как у размещений).

Число сочетаний из n элементов по k элементов обозначается (читается “C из n по k”).

Примеры задач, приводящих к подсчету числа сочетаний:

1) Сколько существует вариантов выбора 6-ти человек из 15 кандидатов для назначения на работу в одинаковых должностях?

2) Сколькими способами можно из 20 книг отобрать 12 книг?

Выведем формулу для подсчета числа сочетаний. Пусть имеется множество и нужно образовать упорядоченное подмножество множества , содержащее k элементов (то есть образовать размещение). Делаем это так:

1) выделим какие-либо k элементов из n элементов множества Это, согласно сказанному выше, можно сделать способами;

2) упорядочим выделенные k элементов, что можно сделать способами. Всего можно получить вариантов (упорядоченных подмножеств), откуда следует: , то есть

(1)

Пример: 6 человек из 15 можно выбрать числом способов, равным

Несложно понять, что осуществить выбор подмножества из т элементов множества, насчитывающего п элементов, можно, выбрав п–т элементов, которые не войдут в интересующее нас подмножество. Отсюда следует свойство числа сочетаний

Эту формулу можно доказать, используя формулу (1).

Задачи на подсчет числа подмножеств конечного множества называются комбинаторными. Рассмотрим некоторые комбинаторные задачи.

1. Из семи заводов организация должна выбрать три для размещения трех различных заказов. Сколькими способами можно разместить заказы?

Так как из условия ясно, что каждый завод может либо получить один заказ, либо не получить ни одного, и что выбрав три завода, можно по-разному разместить среди них заказы, здесь нужно считать число размещений

2. Если из текста задачи 1 убрать условие различия трех заказов, сохранив все остальные условия, получим другую задачу. Теперь способ размещения заказов определяется только выбором тройки заводов, так как все эти заводы получат одинаковые заказы, и число вариантов определяется как число сочетаний.

3. Имеются 7 заводов. Сколькими способами организация может разместить на них три различных производственных заказа? (Заказ нельзя дробить, то есть распределять его на нескольких заводах).

В отличие от условия первой задачи, здесь организация может отдать все три заказа первому заводу или, например, отдать два заказа второму заводу, а один –- седьмому.

Задача решается так. Первый заказ может быть помещен семью различными способами (на первом заводе, на втором и т.д.). Поместив первый заказ, имеем семь вариантов помещения второго (иначе, каждый способ помещения первого заказа может сопровождаться семью способами помещения второго). Таким образом, существует 7× 7=49 способов размещения первых двух заказов. Разместив их каким-либо образом, можем найти 7 вариантов помещения третьего (иначе, каждый способ размещения первых двух заказов может сопровождаться семью различными способами помещения третьего заказа). Следовательно, существуют 49× 7=73 способов размещения трех заказов. (Если бы заказов было n, то получилось бы 7n способов размещения).

4.Как решать задачу 3, если в ее тексте вместо слов “различных производственных заказа” поставить “одинаковых производственных заказа”? Это трудная задача. Ниже приводится аналогичная задача– Задача 5 с решением.

5.Добавим к условию задачи 1 одну фразу: организация также должна распределить три различных заказа на изготовление деревянных перекрытий среди 4-х лесопилок. Сколькими способами могут быть распределены все заказы?

Каждый из способов распределения заказов на заводах может сопровождаться способами размещения заказов на лесопилках. Общее число возможных способов размещения всех заказов будет равно

6. Риэлтерская фирма предлагает на продажу 5 больших квартир и 4 малогабаритных квартиры. Банк намеревается купить 4 квартиры, причём среди них не должно быть более двух малогабаритных. Сколько вариантов выбора имеет банк?

Банк может купить 4 большие квартиры. У него есть возможность выбрать 4 из 5-ти предлагаемых квартир, и число вариантов здесь равно . Если банк решит купить три большие квартиры и одну малогабаритную, то число вариантов выбора у него будет равно . Если будет принято решение купить две малогабаритных квартиры и две больших квартиры, то число вариантов будет равным . Таким образом, у банка есть 105 вариантов выбора.

Читайте также:

lektsia.com

Перевод из десятичной системы в двоичную



Обратная связь

ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение

Как определить диапазон голоса - ваш вокал

Как цель узнает о ваших желаниях прежде, чем вы начнете действовать. Как компании прогнозируют привычки и манипулируют ими

Целительная привычка

Как самому избавиться от обидчивости

Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам

Тренинг уверенности в себе

Вкуснейший "Салат из свеклы с чесноком"

Натюрморт и его изобразительные возможности

Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д.

Как научиться брать на себя ответственность

Зачем нужны границы в отношениях с детьми?

Световозвращающие элементы на детской одежде

Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия

Как слышать голос Бога

Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ)

Глава 3. Завет мужчины с женщиной

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Кодирование данных двоичным кодом

Для автоматизации работы с данными, относящимися к различным типам, очень важно унифицировать их форму представления. Для этого обычно используют прием кодирования, т.е. выражение данных одного типа через данные другого типа.

Примеры систем кодирования: человеческие языки, азбуки (кодирование языка с помощью графических символов), запись математических выражений, телеграфная азбука Морзе, код Брайля для слепых, морская флажковая азбука и т.п.

Своя система кодирования существует и в вычислительной технике – она называется двоичным кодированием и основана на представлении данных последовательностью всего двух знаков: 0 и 1. Эти знаки называются двоичными цифрами или бит.

Одним битом можно выразить два понятия: 0 или 1 (да или нет, черное или белое, истина или ложь и т.п.). Если увеличить количество битов до двух, то уже можно выразить четыре различных понятия – 00 01 10 11. Тремя битами можно закодировать уже восемь различных понятий –

000 001 010 100 101 110 101 111.

Увеличивая на единицу количество разрядов в системе двоичного кодирования, можно увеличить в два раза количество значений, которое можно закодировать:

N=2I, где I – число разрядов, N - количество значений.

Компьютер может обрабатывать числовые, текстовые, графические, звуковые и видео данные. Все эти виды данных кодируются в последовательности электрических импульсов: есть импульс (1), нет импульса (0), т.е. в последовательности нулей и единиц. Такие логические последовательности нулей и единиц называются машинным языком.

Системы счисления

При работе с компьютерами приходится параллельно использовать несколько позиционных систем счисления – двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную.

Системы счисления – принятый способ наименования и записи чисел с помощью символов, имеющих определенные количественные значения.

Все системы счисления можно разделить на два класса: позиционные и непозиционные. В позиционной системе счисления количественное значение каждой цифры зависит от ее места (позиции) в числе. В непозиционных системах счисления значение цифры не зависит от места, которое он занимает в числе. Самый известный пример – римская система счисления. В этой системе счисления используется 7 знаков

I (1) V (5) X (10) L (50) C (100) D(500) M(1000)

Например, III (три) LIX (59) DLV (555)

Для записи чисел в различных системах счисления используется некоторое количество отличных друг от друга знаков. Число таких знаков в позиционной системе счисления называется основанием системы счисления.

Некоторые системы счисления

Основание Системы счисления Знаки
Двоичная 0, 1
Пятеричная 0, 1, 2, 3, 4
Восьмеричная 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Десятичная 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Шестнадцатеричная 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E,F

В позиционной системе счисления число может быть представлено в виде суммы произведений коэффициентов на степени основания системы счисления.

Например, 23,43(10) = 2*101 + 3*100 + 4*10-1 + 3*10-2

Т. е. значение каждого знака в числе зависит от позиции, которую занимает знак в записи числа. В примере первый знак 3 означает число единиц, второй – число сотых долей единицы.

692(10) = 6*102 + 9*101 + 2*100

1101(2) = 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 = 13(10)

112(3) = 1*32 + 1*31 + 2*30 = 14(10)

341,5(8) = 3*82 + 4*81 + 1*80 + 5*8-1 = 225,625(10)

A1F,4(16) = A*162 + 1*161 + F*160 + 4*16-1 = 2591,06(10)

Если в приведенных выше примерах произвести арифметические действия в правой части равенства, то получится число в десятичной системе счисления. Это и есть способ перевода из любой системы счисления в десятичную.

Чтобы перевести целую часть числа из десятичной системы в систему с основанием В, необходимо разделить ее на В. Остаток даст младший разряд числа. Полученное при этом частное необходимо вновь разделить на В – остаток даст следующий разряд числа и т.д. Для перевода дробной части ее необходимо умножить на В. Целая часть, полученного произведения будет первым (после запятой, отделяющей целую часть от дробной) знаком. Дробную часть произведения необходимо вновь умножить на В. Целая часть полученного числа будет следующим знаком и т.д.

Двоичная система счисления

Особая значимость двоичной системы счисления в информатике определяется тем, что внутреннее представление любой информации в компьютере является двоичным, т.е. описываемым наборами только из двух знаков (0 и 1).

Перевод из десятичной системы в двоичную

Целая и дробная части переводятся порознь. Для перевода целой части числа необходимо ее разделить на основание системы счисления 2 и продолжать делить частные от деления до тех пор пока частное не станет равным 0. Значение получившихся остатков, взятые в обратной последовательности, образуют искомое двоичное число.

Например,

25 : 2 = 12 (1),

12 : 2 = 6 (0),

6 : 2 = 3 (0),

3 : 2 = 1 (1),

1 : 2 = 0 (1).

25(10) = 11001(2)

Для перевода дробной части надо умножить ее на 2. Целая часть произведения будет первой цифрой числа в двоичной системе. Затем, отбрасывая у результата дробную часть, вновь умножаем на 2 и т.д. Конечная десятичная дробь при этом вполне может стать бесконечной (периодической) двоичной.

Например,

0,73 * 2 = 1,46 (целая часть 1)

0,46 * 2 = 0,92 (целая часть 0)

0,92 * 2 = 1,84 (целая часть 1)

0,84 * 2 = 1,68 (целая часть 1) и т.д. 0,73(10) = 0,1011…(2)

 

megapredmet.ru

Алгоритм перевода числа из десятичной в двоичную систему счисления .

 

 

Перевести 1910 10→2

• 19 /2 = 9 с остатком 1

• 9 /2 = 4 c остатком 1

• 4 /2 = 2 с остатком 0

• 2 /2 = 1 с остатком 0

• 1 /2 = 0 с остатком 1

• Результат : 100112

Перевести 2210 10→2

Алгоритм перевода числа из десятичной в восьмеричную систему счисления (10→8).

• Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Перевести 57110 10→8

 

 

Алгоритм перевода числа из десятичной в шестнадцатеричную систему счисления 10→16.

 

• Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке

Перевести 746710 10→16

 

Пример: Перевести 714310 10→16

• 7143/16=446 + 7

• 446/16= 27 + 14 (Е)

• 27/16 = 1 + 11 (В)

• 1/16 = 0 + 1

• 714310 = 1ВЕ716

• Перевод чисел, содержащих целую и дробную часть, производится в два этапа

Правила перевода дробных чисел:

• 10→16 0,217510

• 0,2175 * 16 = 3,48 = 3 + 0,48

• 0,48 * 16 = 7,68 = 7 + 0,68

• 0,68 * 16 = 10,88=А + 0,88

• 0,88 * 16 = 14,08=Е + 0,08

• 0,08 * 16 = 1,28 = 1 + 0,28

• 0,28 * 16 = 4,48 = 4 + 0,48

• 0,48 * 16 = 7,68 = 7 + 0,68

• 0,217510 = 0,37АЕ147АЕ14716

 

В27. Арифметические операциина примере двоичной системы

• Основное преимущество двоичной системы – крайняя простота правил выполнения арифметических операций.

• Таблица сложения двоичных чисел

• 0 + 0 = 0

• 0 + 1 = 1

• 1 + 0 = 1

• 1 + 1 = 10

Пример сложения многоразрядных двоичных чисел:

• 100111

+ 101011

Таблица разности двоичных чисел:

• 0 - 0 = 0

• 1 - 0 = 1

• 1 - 1 = 0

• 10 - 1 = 1

Таблица умножения двоичных чисел

• 0 * 0 = 0

• 0 * 1 = 0

• 1 * 0 = 0

• 1 * 1 = 1

Пример умножения многоразрядных двоичных чисел:

* 11

+110

Пример деления многоразрядных двоичных чисел:

110 11

- 11 10

 

Операция деления выполняется по аналогичному алгоритму, как и для десятичных чисел

Арифметические операции в восьмеричной и шестнадцатеричной с/с

• Восьмеричная с/с:

+ 25

Шестнадцатеричная система:

- 78

Таблица сложения в восьмеричной системе:

 

Таблица умножения в восьмеричной системе:

 

Таблица сложения в 16-ричной системе:

 

 

Таблица умножения в 16-ричной системе:

 

В.28Правила перевода чисел из двоичной системы в восьмеричную и обратно

• Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (влево от «,» для целой части и вправо от «,» для дробной части) 8 = 23

Пример: 2→8

11,101112

Дополняем нулями справа и слева:

011,101 1102 = 3,568

 

 

Перевод из 8→2

• Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой.

 

 

Правила перевода чисел из двоичной системы в шестнадцатеричную и обратно

• Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду заменить соответствующей шестнадцатеричной цифрой (влево от «,» для целой части и вправо от «,» для дробной части) 16 = 24

 

Пример : 2→16

 

 

10111,111112 = 1 0111,1111 1000 = =17,F816

Перевод чисел из 16→2

• Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой.

 

Перевод чисел из 8→16; 16→8

• При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно, необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему.

 

 

В29. Представление чисел в обратном и дополнительном коде.

• Прямой код числа.

• Представление числа в привычной форме "знак"-"величина", при которой старший разряд ячейки отводится под знак, а остальные - под запись числа в двоичной системе, называется прямым кодом двоичного числа. Например, прямой код двоичных чисел 1001 и -1001 для 8-разрядной ячейки равен 00001001 и 10001001 соответственно.

• Положительные числа в К всегда представляются с помощью прямого кода. Прямой код числа полностью совпадает с записью самого числа в ячейке машины. Прямой код отрицательного числа отличается от прямого кода соответствующего положительного числа лишь содержимым знакового разряда. Но отрицательные целые числа не представляются в К с помощью прямого кода, для их представления используется так называемый дополнительный код.

Дополнительный код числа.

• Дополнительный код положительного числа равен прямому коду этого числа. Дополнительный код отрицательного числа m равен 2k-|m|, где k - количество разрядов в ячейке.Дополнительный код используется для упрощения выполнения арифметических операций.

• Если бы вычислительная машина работала с прямыми кодами положительных и отрицательных чисел, то при выполнении арифметических операций следовало бы выполнять ряд дополнительных действий. Например, при сложении нужно было бы проверять знаки обоих операндов и определять знак результата. Если знаки одинаковые, то вычисляется сумма операндов и ей присваивается тот же знак. Если знаки разные, то из большего по абсолютной величине числа вычитается меньшее и результату присваивается знак большего числа. То есть при таком представлении чисел (в виде только прямого кода) операция сложения реализуется через достаточно сложный алгоритм. Если же отрицательные числа представлять в виде дополнительного кода, то операция сложения, в том числе и разного знака, сводится к из поразрядному сложению.

lektsia.com

Перевод из десятичной системы счисления в двоичную

Правила перевода чисел из десятичной системы в двоичную вытекают из формулы представления числа. Рассмотрим сначала целое десятичное число N, представленное в виде пока неизвестных нам двоичных цифр:

.

Как найти неизвестные цифры ? Попробуем разделить десятичное числоN на 2. Очевидно, что получится какое-то частное, равное целой части от деления N пополам, и остаток. Последний будет равным 0, если исходное число N было четным, и 1 – если нечетным. А теперь посмотрим, что произойдет при делении на 2 эквивалентного выражения:

.

Очевидно, что первых слагаемых делятся на 2 без остатка, т.к. в их состав входят сомножители из степеней двойки. Единственное слагаемое, которое может дать ненулевой остаток, это – цифра, не превосходящая единицы. Но ведь мы делили на 2 одно и то же, поэтому остаток от деленияN пополам должен совпасть с цифрой . Итак, младшую цифру в двоичном разложении числаN мы установили.

Теперь внимательно приглядимся к частному от нашего первого деления. Обозначим его через :

.

Что произойдет при следующем делении на 2? Очевидно, получится новое частое, а очередной остаток должен совпасть со следующей двоичной цифрой. И так продолжают до тех пор, пока частное после очередного деления на 2 не превратится в нуль. Процесс этот обязательно завершится через конечное число шагов. К этому моменту мы будем знать уже все цифры двоичного разложения исходного числаN.

Пример: N = 96

остаток

остаток

остаток

остаток

остаток

остаток

остаток

Пишем двоичные цифры, начиная с последней:

9610=11000002

Что изменится, если потребуется преобразовать число дробное десятичное число m в двоичную систему? Вспомним формулу разложения:

Попытка разделить левую и правую части на 2 ни к чему хорошему не приводит. А вот если попробовать умножать на 2, получится то, что надо:

Оказалось, что в целую часть произведения «перебралась» старшая цифра . Отбросим найденную цифру в левой и правой частях равенства:

После очередного умножения на 2 в разряд целых перекочует двоичная цифраи т. д.

Пример: . Выполним действия:

И поскольку очередная дробная часть оказалась равной нулю, то последующие умножения ничего нового не принесут. В данном случае пишем двоичные цифры, начиная с первой. В результате:

На практике удобнее запись процесса перевода дробных чисел вести следующим образом:

875

Возникает вопрос: а всегда ли такой процесс завершится через конечное число шагов? С целыми числами такой проблемы не существовало. Любое целое число после многократного деления пополам, в конце концов, превратится в нуль. С дробями дело обстоит несколько иначе:

Пример:

6

1

0

0

1

1

2

4

8

6

2

Обратите внимание, что этот процесс будет продолжаться бесконечно долго, но периодичность повторяющихся цифр уже установлена:

Этот пример показывает, что не любая конечная десятичная дробь преобразуется в конечную же двоичную. Поэтому некоторые числа в машине могут быть представлены неточно за счет потери «хвоста». Если ЭВМ будет прибавлять 1/10, то может получиться не ожидаемая единица, а число, которое чуть-чуть меньше. В этом таятся подводные камни приближенных вычислений, с которыми иногда приходиться считаться. Но с целыми числами ошибок такого рода не бывает, и результат умножения 2 на 2 в ЭВМ всегда будет равен 4.

Теперь представим себе, что необходимо перевести в двоичную систему смешанное число 96,875. В таких случаях отдельно переводят целую часть числа путем последовательных делений на 2, а затем переводят дробную часть и объединяют полученные результаты:

96,87510=1100000,1112

Десятичная система счисления, с которой начинается наша школьная, а порой и дошкольная математика, относится к позиционным системам счисления. Для нее характерно наличие – числа 10 и цифр , не превосходящих основание. В зависимости от номера позиции, занимаемой в числе, каждая цифра множится на соответствующую степень основания:

1996 = 6•1 + 9•10 + 9•100 + 1•1000

По-другому это можно записать так:

1996 = 1•103 + 9•102 + 9•101 + 6•100.

Отсюда также ясно, как записать любое четырехзначное число :

N = a3•103 + a2•102 + a1•101 + a0•100,

где a0, a1, a2, a3 десятичные цифры числа, причем цифра a3 не должна быть нулем, иначе число не будет четырехзначным.

Пример 1. Число 534110 запишем в форме многочлена:

534110 = 5 • 103 + 3 • 102 + 4 • 101 + 1 • 100

Пример 2. Число 32110 запишем в двоичной системе счисления. Для этого необходимо разложить число в виде суммы по степеням 2:

32110 = 1• 28+ 1• 26 + 1• 20.

Записываем коэффициенты при степенях двойки (от минимальной нулевой степени к максимальной) справа налево. Поэтому данное число в двоичной системе счис­ления будет иметь вид: 1010000012.

Пример 3. Для того чтобы решить обратную задачу: перевести число из двоичной системы счисления в десятичную, не­обходимо воспользоваться формулой и произвести вычис­ления в десятичной системе счисления.

Число 101001012 перевести в 10-ную систе­му счисления:

101001012 = 1 • 20 + 1 • 22 + 1 • 23 + 1 • 27 = 16510.

Пример 4. Для перевода целого числа из десятичной в двоичную систему счисления необходимо это число делить на двой­ку. Если поделилось без остатка, то пишем 0; если с ос­татком 1, то пишем 1. Это будет последняя цифра в запи­си числа. Например:

25 — 24 = 1 (остаток 1)

25/2 = 12

12 - 12 = 0 (остаток 0) 12/2 = 6

6 — 6 = 0 (остаток 0) 6/2 = 3

3 — 2 = 1 (остаток 1)

3/2 = 1 (остаток от деления числа 25 на 2) — это и будет первая цифра в записи числа 25 в двоичной системе. То есть 2510 = 110012.

Пример 5. Для перевода целого числа из двоичной системы в де­сятичную необходимо цифры умножать на двойку в сте­пени номера позиции (номер позиции начинается с нуля и нумеруется справа налево, а для дробей - слева направо). Например:

110012 = 1 • 20 + 0 • 21 + 0 • 22 + 1 • 23 + 1 • 24 = = 1 + 0 + 0 + 8 +16 = 25.

0,1022=1• 2-1+0• 2-2+1• 2-3 = 0,62510

4,3,2,1,0 — номера позиций цифр в числе — они являют­ся степенями двойки.

Таблица систем счисления

Двоичная

Восьмеричная

Десятичная

Шестнадцатеричная

0

000

0

0

0

1

001

1

1

1

2

010

2

2

2

3

011

3

3

3

4

100

4

4

4

5

101

5

5

5

6

110

6

6

6

7

111

7

7

7

8

1000

10

8

8

9

1001

11

9

9

10

1010

12

10

A

11

1011

13

11

B

12

1100

14

12

C

13

1101

15

13

D

14

1110

16

14

E

15

1111

17

15

F

16

10000

20

16

10

17

10001

21

17

11

studfiles.net

Как переводить из десятичной системы счисления в двоичную

Десятичная (основанная на десяти) система счисления имеет 10 возможных значений (0,1,2,3,4,5,6,7,8 или 9) для каждого поместного значения. Двоичная система счисления (основанная на двух), в свою очередь, имеет два возможных значения каждого поместного значения – 0 или 1. Так как двоичная система является внутренним языком компьютеров, то серьезные программисты должны понимать, как переводить из десятичной системы счисления в двоичную, о чем вам и расскажет данная статья.

Способы представления чисел

Двоичные (binary) числа – каждая цифра означает значение одного бита (0 или 1), старший бит всегда пишется слева, после числа ставится буква «b». Для удобства восприятия тетрады могут быть разделены пробелами. Например, 1010 0101b.Шестнадцатеричные (hexadecimal) числа – каждая тетрада представляется одним символом 0…9, А, В, …, F. Обозначаться такое представление может по-разному, здесь используется только символ «h» после последней шестнадцатеричной цифры. Например, A5h. В текстах программ это же число может обозначаться и как 0хА5, и как 0A5h, в зависимости от синтаксиса языка программирования. Незначащий ноль (0) добавляется слева от старшей шестнадцатеричной цифры, изображаемой буквой, чтобы различать числа и символические имена.Десятичные (decimal) числа – каждый байт (слово, двойное слово) представляется обычным числом, а признак десятичного представления (букву «d») обычно опускают. Байт из предыдущих примеров имеет десятичное значение 165. В отличие от двоичной и шестнадцатеричной формы записи, по десятичной трудно в уме определить значение каждого бита, что иногда приходится делать.Восьмеричные (octal) числа – каждая тройка бит (разделение начинается с младшего) записывается в виде цифры 0–7, в конце ставится признак «о». То же самое число будет записано как 245о. Восьмеричная система неудобна тем, что байт невозможно разделить поровну.

Алгоритм перевода чисел из одной системы счисления в другую

Перевод целых десятичных чисел в любую другую системы счисления осуществляется делением числа на основание новой системы счисления до тех пор, пока в остатке не останется число меньшее основания новой системы счис­ления. Новое число записывается в виде остатков деления, начиная с последнего.Перевод правильной десятичной дроби в другую ПСС осуществляется умножением только дробной части числа на основание новой системы счисления до тех пор пока в дробной части не останутся все нули или пока не будет достигнута заданная точность перевода. В результате выполнения каждой операции умножения формируется одна цифра нового числа начиная со старшего.Перевод неправильной дроби осуществляется по 1 и 2 правилу. Целую и дробную часть записывают вместе, отделяя запятой.

ПРИМЕР №1.

Перевод из 2 в 8 в 16 системы счисления.Эти системы кратны двум, следовательно, перевод осуществляется с использованием таблицы соответствия (см. ниже).

Для перевода числа из двоичной системы счисления в восьмиричную (шестнадцатиричную) необходимо от запятой вправо и влево разбить двоичное число на группы по три (четыре – для шестнадцатиричной) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние группы. Каждую группу заменяют соответствующей восьмиричной или шестнадцатиричной цифрой.

ПРИМЕР №2. 1010111010,1011 = 1.010.111.010,101.1 = 1272,518здесь 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1

При переводе в шестнадцатеричную систему необходимо делить число на части, по четыре цифры, соблюдая те же правила.ПРИМЕР №3. 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13HEXздесь 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13

Перевод чисел из 2, 8 и 16 в десятичную систему исчисления производят путем разбивания числа на отдельные и умножения его на основание системы (из которой переводится число) возведенное в степень соответствующую его порядковому номеру в переводимом числе. При этом числа нумеруются влево от запятой (первое число имеет номер 0) с возрастанием, а в правую сторону с убыванием (т.е. с отрицательным знаком). Полученные результаты складываются.

ПРИМЕР №4.

Еще раз повторим алгоритм перевода чисел из одной системы счисления в другую ПСС

  1. Из десятичной системы счисления:
    • разделить число на основание переводимой системы счисления;
    • найти остаток от деления целой части числа;
    • записать все остатки от деления в обратном порядке;
  2. Из двоичной системы счисления
    • Для перевода в десятичную систему счисления необходимо найти сумму произведений основания 2 на соответствующую степень разряда;
    • Для перевода числа в восьмеричную необходимо разбить число на триады.Например, 1000110 = 1 000 110 = 1068
    • Для перевода числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную необходимо разбить число на группы по 4 разряда.Например, 1000110 = 100 0110 = 4616

Позиционной называется система, для которой значимость или вес цифры зависит от ее места расположения в числе. Соотношение между системами выражается таблицей.Таблица соответствия систем счисления:

Двоичная СС Шестнадцатеричная СС
0000 0
0001 1
0010 2
0011 3
0100 4
0101 5
0110 6
0111 7
1000 8
1001 9
1010 A
1011 B
1100 C
1101 D
1110 E
1111 F

Таблица для перевода в восьмеричную систему счисления

Двоичная СС Восьмеричная СС
000 0
001 1
010 2
011 3
100 4
101 5
110 6
111 7

bichka.info

Перевод из десятичной системы в двоичную

Дом Перевод из десятичной системы в двоичную

просмотров - 1146

Перевод из двоичной системы в десятичную

Переводы целых чисел в позиционных системах

Вопросы для проверки знаний.

1.Что называют системой счисления и в чем особенности позиционных систем ?

2.Что называют основанием позиционной системы счисления ?

3.Что называют алфавитом системы счисления и какой алфавит используют в позиционных системах с постоянными основаниями ?

4.Что такое “развернутой формой представления целых чисел” в позиционной системе с постоянным основанием, равным р ?

5. Какие позиционные системы с постоянными основаниями являются наиболее распространенными?

Двоичную запись числа представляют в развернутой форме как сумму степеней числа 2, переводя затем степени в десятичную систему. Показатель степени числа 2 равен номеру рассматриваемого разряда.

Пример 1. Перевести в десятичную систему число 10010012.

Решение. Последовательно записываем разложение числа по степеням основания 2, выражаем полученные степени в десятич­ной системе и суммируем: 10010012=1×26+1×23+1×20=6410+810+110=7310.

Проще всœего разложить десятичное число по степеням 2 последовательным многократным делœением его на 2. При этом остатки от делœения на каждом шаге и самое последнее частное образуют обратную двоичную запись числа.

Пример 2. Перевести в двоичную систему число 2910.

Решение. Последовательно делим число и получающиеся частные на 2, выделяя подчеркиванием остатки от делœения на каждом шаге и самое последнее частное:

29 ½ 2

28 ½ 14 ½ 2

1 14 ½ 7 ½ 2

0 6 ½ 3 ½ 2

1 2 ½ 1

1

Двоичную запись числа получим, располагая подчеркнутые числа в обратном порядке: 2910=111012.

2.1.3. Перевод чисел из систем с основаниями р=4, р=8, р=16 в десятичную систему

Для компактной записи двоичной информации удобно использовать числа в системах счисления с основаниями, являющимися степенями 2: р=4=22, р=8=23, р=16=24. Поскольку в шестнадцатеричной системе счисления в каждом разряде могут стоять величины, соответствующие значениям от 0 до р-1 = 15, то для обозначения ве­личин, превышающих 9, в алфавите системы по общему правилу используют латинские буквы (большие и малые): 1010=А16, 1110=В16, 1210=С16, 1310=D16, 1410=E16, 1510=F16.

Перевод чисел из рассмотренных систем счисления производится, как и для двоичной системы, с использованием развернутой формы представления числа по степеням числа р.

Пример 3. Перевести в десятичную систему число, представленное в шестнадцатеричной системе как 8DВ416.

Решение. Последовательно записываем развернутую форму представления числа по степеням основания 16, выражаем полученные степени в десятичной системе и суммируем: 8DВ416 = 8×163+D×162+11×161+4×160 = 8×4096+13×256+11×16+4 = 3276810+ 332810+ 17610+410=3627610.

Пример 4. Перевести в десятичную систему число, представленное в четверичной системе как 203134.

Решение. Используем развернутую форму представления числа по степеням основания 4, выражаем их в десятичной системе и суммируем:

203134=2×44+3×42+1×41+3×40=2×256+3×16+1×4+3×1=51210+4810+410+310=56710.

2.1.4. Перевод чисел из десятичной системы в системы с основаниями p=4, p=8, p=16

Производится аналогично двоичной системе путем последовательного делœения десятичной записи числа на p и записи в обратном порядке всœех остатков от делœения на каждом шаге и самого последнего частного.

Пример 5. Перевести в 16-ричную систему число 153210.

Решение. Последовательно делим число и его частные на 16, выделяя остатки от делœения и самое последнее частное:

_ 1532½16

1520½95 ½16

1280 ½5

15

Шестнадцатеричную запись числа получаем, переводя всœе подчеркнутые числа в 16-ричную систему (1210=С16, 1510=F16) и рас­по­ла­гая их в обратном порядке: 153210=5FС16.

Переходы между системами с основаниями вида р=2s, являющимися степенями 2, проще выполнять через двоичную систему.

2.1.5. Перевод целого числа из системы с основанием p=2s в двоичную

Все цифры (в том числе и 0), стоящие в разрядах числа, заменяют их двоичными записями длины s. В случае если в самых старших разрядах двоичной записи (слева) оказались стоящие подряд нули, их можно отбросить, как незначащие.

Пример 6. Перевести в двоичную систему число, представленное в восьмеричной системе: 31078.

Решение. Так как 8=23, то s=3. Представляя по очереди цифры в разрядах числа их двоичными записями длины s=3, получим: 38=0112, 18=0012, 08=0002, 78=1112. Соединяя полученные двоичные выражения и отбрасывая незначащий нуль в первой записи (для цифры 3), получим искомый ответ:

31078=110010001112.

Пример 7. Перевести в двоичную систему число, представленное в шестнадцатеричной системе как 2А0D16.

Решение. 16=24, s=4. Все цифры в разрядах числа пооче­редно заменяем их двоичными записями длины s=4: 216=00102, А16= 10102, 016=00002, D16=11012. Соединяя найденные двоичные выражения и отбрасывая незначащие нули в первой записи, получим: 2А0D16=101010000011012.

2.1.6. Прямой перевод целого числа из двоичной системы в систему с основанием р=2s

Все разряды двоичной записи числа, начиная с младших (стоящих справа), разбивают на группы длины s. В случае если последняя группа получилась длины, меньшей s, ее спереди дополняют незначащими нулями. Затем двоичные числа в полученных группах заменяют цифрами в системе с основанием р=2s и объединяют в одну запись, которая и является искомым выражением.

Пример 8. Перевести в шестнадцатеричную систему двоичное число 10110100112.

Решение. 16=24, s=4. Разбиение на группы длины s=4 с дополнением первой группы из двух цифр двумя незначащими нулями дает следующие двоичные числа: 0010, 1101, 0011. Заменяя их числами в шестнадцатеричной системе (00102=216, 11012=D16, 00112= 316) и записывая слитно, получаем искомую запись числа: 2D316.

Пример 9. Перевести в четверичную систему двоичное число 111011110002.

Решение. 4=22, s=2. Разбиение на группы длины s=2 с дополнением первой группы одним незначащим нулем дает следую­щие двоичные числа: 01, 11, 01, 11, 10, 00. Заменяя их числами в четверичной системе (012=14, 112=34, 012=14, 112=34, 102=24, 002=04) и записывая слитно, получаем искомую четверичную запись числа:

111011110002=1313204.

2.1.7. Перевод целых чисел из системы с основанием р=2s в систему с другим основанием, равным степени 2

В общем случае можно производить через двоичную систему. Для упрощенного перевода из шестнадцатеричной системы в четверичную можно использовать зависимость 42=16 и переводить непосредственно пары цифр четверичной записи, отсчитываемые от младших разрядов (справа налево) в шестнадцатеричные цифры и обратно.

Пример 10. Перевести в восьмеричную систему шестнадцатеричное число C7А016.

Решение. В исходной системе 16=24, s=4, в связи с этим каждый знак в разряде заменяем двоичным числом длины 4: (C16=11002, 716=01112, А16=10102, 016=00002). Соединяя полученные записи, получаем двоичную запись числа 11000111101000002. В итоговой системе 8=23, s=3, в связи с этим двоичную запись, начиная с младших разря­дов, делим на группы длины 3 и записываем их в восьмеричной системе. Получим: 12=18, 1002=48, 0112=38, 1102=68, 1002=48, 0002=08. Записывая полученные восьмеричные числа слитно, получим искомую запись числа в восьмеричной системе: C7А016=1436408.

Читайте также

  • - Перевод из десятичной системы в двоичную

    Перевод из двоичной системы в десятичную Переводы целых чисел в позиционных системах Вопросы для проверки знаний. 1.Что называют системой счисления и в чем особенности позиционных систем ? 2.Что называют основанием позиционной системы счисления ? 3.Что... [читать подробенее]

  • oplib.ru

    Из десятичной в двоичную систему счисления

    Количество просмотров публикации Из десятичной в двоичную систему счисления - 620

    Перевод из десятичной системы счисления в двоичную систему тоже не труден, только вместо сложения потребуется вычитание.

    Последовательность перевода в десятичную систему счисления следующая: нужно вычесть из переводимого числа ближайшее (меньшее или равное) число к нему из степеней двойки. Далее проделать тоже самое с получившимся значением, и так до нуля. Учитывая зависимость отиспользуемой степени двойки записать цифру 1 в нужном разряде двоичного числа, пропуски заполнить единицами.

    Смотрите примеры, и вопросы отпадут сами собой.

    Число десятичное 7: 7-4=3 - ближайшее меньшее (или равное) число к 7 из степеней двойки это 4 (2^2). Вычитаем из 7 число 4, получаем 3. Далее 3-2=1 - ближайшее меньшее (или равное) число к 3 из степеней двойки это 2 (2^1). Вычитаем из 3 число 2, получаем 1. 1-1=0 - ближайшее меньшее (или равное) число к 1 из степеней двойки это 1 (2^0). Вычитаем из 1 число 1, получаем 0. Всего из нашего числа мы вычли 4, 2 и 1, ᴛ.ᴇ. 2^2, 2^1 и 2^0. Ставим единицы в разряды по степеням двоек – 111. В случае если мы считаем октетом, то нужно добавить нули – 00000111. Готово.

    Чтобы не сбивать вас, уберём слова:

    Число десятичное 10: 10-8=2; 2-2=0. Двоичное число – 00001010.

    Число десятичное 129: 129-128=1; 1-1=0. Двоичное число – 10000001.

    Число десятичное 131: 131-128=3; 3-2=1; 1-1=0. Двоичное число –10000001.

    Число десятичное 127: 127-64=63; 63-32=31; 31-16=15; 15-8=7; 7-4=3; 3-2=1; 1-1=0. Двоичное число – 01111111.

    Число десятичное 255: 255-128=127; 127-64=63; 63-32=31; 31-16=15; 15-8=7; 7-4=3; 3-2=1; 1-1=0. Двоичное число – 11111111.

    Число десятичное 123: 123-64=59; 59-32=27; 27-16=11; 11-8=3; 3-2=1; 1-1=0. Двоичное число – 01111011.

    Число десятичное 209: 209-128=81; 81-64=17; 17-16=1; 1-1=0. Двоичное число – 11010001.

    Заключение

    Как вы видите, переводить из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления не очень сложно. Это преобразование мы будет часто использовать при делœении сетей на подсети.

    Попробуйте сами преобразовать ваши число и год рождения. Для проверки можете использовать виндовс-калькулятор в инженерном режиме или режиме Программист.

    Уделите несколько минут для ʼʼсистем счисления в ipʼʼ - двоичной и десятичной

    referatwork.ru