Деление на целые числа. Два, три и одинадцать. Как делить нацело


Конспект урока на тему: "Деление нацело".

УРОК № 28. Тема 1. Натуральные числа и нуль (46 – 1 = 45 часа)

Подтема 2. Умножение и деление натуральных чисел (22 часа)

Тема. Деление нацело.

Цель. Продолжить формировать навыки деления натуральных чисел нацело. Рассмотреть свойство частного.

Ход урока.

  1. Организационный момент.

  2. Проверка домашнего задания.

  3. Актуализация опорных знаний.

1. Что называют степенью числа а с натуральным показателем n? Основание степени? Показатель степени?

2. Чему равно 1 в степени п?

3. Чему равно а в степени 1?

4. Чему равно 0 в степени п?

5. Какой порядок выполнения действий в выражении, содержащим степени?

  1. Решение упражнений.

1. Вычислите:

1) ; 2) .

1) ; 1) ;

2) ; 2) 324 : 36 = 9;

3) 16 + 49 = 65. 3) ;

4) 9 – 9 = 0.

  1. Объяснение нового материала.

Деление нацело.

В начальной школе вместе с действием умножения вы изучали и другое арифметическое действие второй ступени — деление.

Как называются компоненты при делении? (число, которое делят, называется делимым, а то, на которое делят, — делите­лем. Результат действия деления называется частным).

Умножение и деление — взаимно обратные действия. Именно поэтому умножение проверяют делением, а деление — умножением.

Пусть а и b – натуральные числа и .

Определение. а делится на b нацело, если существует натуральное число с, при умножении которого на b получается а.

а : b = с, т.к. а = b  с.

? Всегда ли одно натуральное число можно разделить на другое нацело? Не всегда. Например, частное 5 : 3 невозможно выразить натуральным числом.

Любое натуральное число а делится на 1 и само на себя:

а : а = 1, т.к. а  1 = а;

а : 1 = а, т.к. 1  а = а;

0 : а = 0, т.к. а  0 = 0;

а : 0 – нельзя.

Обратите внимание:

1) произведение двух натуральных чисел всегда является натуральным числом;

2) частное двух натуральных чисел не всегда мож­но выразить натуральным числом;

  1. на 0 делить нельзя.

Свойство частного.

Свойство. Делимое и делитель можно умножить или разделить нацело на одно и то же натуральное число – частное от этого не изменится.

Пример 1. Использование свойства частного: 48 : 8.

1) 48 : 8 = 6;

2) (48  2) : (8  2) = 96 : 16 = 6;

3) (48 : 4) : (8 : 4) = 12 : 2 = 6.

Пример 2. Вычислите, используя свойство частного:

1) 3 600 : 400 = (3 600 : 100) : (400 : 100) = 36 : 4 = 9;

2) 2 500 : 50 = (2 500 : 10) : (50 : 10) = 250 : 5 = 50.

Обратите внимание: с помощью действия деления:

  1. по известному произведению и одному из мно­жителей находят второй множитель;

  2. данное число уменьшают в указанное количе­ство раз;

  3. выясняют, во сколько раз одно число больше второго или меньше его.

  1. Решение упражнений.

Уч.с.42 № 179(Устно). Объясните почему верно равенство:

а) (42 : 6)  6 = 42; а) (625 : 25)  25 = 625.

Уч.с.42 № 180(1ст.). Заполните пропуски:

а) , ;

в) , .

Уч.с.42 № 182(д,ж,з). Запишите следующее число в виде произведения двух множителей различными способами:

д) 27 = 1  27, ж) 16 = 1  16, з) 24 = 1  24,

27 = 3  9; 16 = 2  8, 24 = 2  12,

16 = 4  4, 24 = 3  8,

16 = 16  1; 24 = 4  6.

Уч.с.42 № 184(1ст.). Найдите частное чисел:

а) 40 : 8 = 5; г) 560 : 7 = 80; ж) 606 : 2 = 303.

Уч.с.42 № 185(1ст.). Вычислите частное по образцу:

а) 400 : 80 = (400 : 10) : (80 : 10) = 40 : 8 = 5; (образец)

б) 800 : 400 = (800 : 100) : (400 : 100) = 8 : 4 = 2;

д) 6400 : 1600 = (6400 : 100) : (1600 : 100) = 64 : 16 = 4.

  1. Подведение итогов урока.

1. Назовите компоненты действия деления. Как называется результат действия деления? Можно ли найти результат деления, если делимое рав­но 0? Делитель равен 0?

2. Что будет результатом деления, если делитель равен де­лимому?

3. Что будет результатом деления, если делитель равен 1?4. Сформулируйте свойство частного.

  1. Домашнее задание. § 1.12 (выучить теорию) 180(2ст.), 182(а-г), 184(2ст.), 185(2ст.).

kopilkaurokov.ru

Деление с остатком | Математика

Если одно натуральное число не делится на другое нацело, можно выполнить деление с остатком.

Как и при делении нацело, числа, которые делим, называются делимое и делитель.

Результат деления называется неполным частным.

Число, которое остаётся от делимого в результате деления (это число меньше делителя), называется остаток.

Чтобы выполнить проверку, надо:

  1. Неполное частное умножить на делитель.
  2. К полученному произведению прибавить остаток.
  3. В результате должно получиться делимое.

Рассмотрим конкретные примеры деления с остатком.

Примеры.

Выполнить деление чисел с остатком и сделать проверку:

1) 29 : 8;

2) 613 : 6;

3) 279 : 10;

4) 784 : 23;

5) 4057 : 35;

6) 8591 : 62;

7) 52779 : 2524;

8) 15 : 79.

Решение: 1)

29 : 8 = 3 (остаток 5).

Проверка:

3 · 8 + 5 = 24 + 5 = 29.

2)

513 : 6 = 85 (остаток 3).

513 — делимое, 6 — делитель, 85 — неполное частное, 3 — остаток.

Проверка:

85 · 6 + 3 = 510 + 3 = 513.

3)

279 : 10 = 27 (остаток 9).

279 — делимое, 10 — делитель, 27 — неполное частное, 9 — остаток.

Проверка:

27 · 10 + 9 = 270 + 9 = 279.

4)

784 : 23 = 34 (остаток 2).

784 — делимое, 23 — делитель, 34 — неполное частное, 2 — остаток.

Проверка:

34 · 23 + 2 = 782 + 2 = 784.

5)

4057 : 35 = 115 (остаток 32).

4057 — делимое, 35 — делитель, 115 — неполное частное, 32 — остаток.

Проверка:

115 · 35 + 32 = 4025 + 32 = 4057.

6)

8591 : 62 = 138 (остаток 35).

8591 — делимое, 62 — делитель, 138 — неполное частное, 35 — остаток.

Проверка:

138 · 62 + 35 = 8556 + 35 = 8591.

7)

52779 : 2524 = 20 (остаток 2299).

52779 — делимое, 2524 — делитель, 20 — неполное частное, 35 — 2299.

Проверка:

20 · 2524 + 2299 = 50480 + 2299= 52779.

8) 15 : 79 = 0 (остаток 15).

15 — делимое, 79 — делитель, 0 — неполное частное, 15 — остаток.

( Если делимое меньше делителя, неполное частное всегда равно нулю, а остаток — делимому).

www.for6cl.uznateshe.ru

Деление с остатком. Формула деления с остатком и проверка. Примеры

Деление с остатком.

Рассмотрим простой пример:15:5=3В этом примере натуральное число 15 мы поделили нацело на 3, без остатка.

Иногда натуральное число полностью поделить нельзя нацело. Например, рассмотрим задачу:В шкафу лежало 16 игрушек. В группе было пятеро детей. Каждый ребенок взял одинаковое количество игрушек. Сколько игрушек у каждого ребенка?

Решение:Поделим число 16 на 5 столбиком получим:

Мы знаем, что 16 на 5 не делиться. Ближайшее меньшее число, которое делиться на 5 это 15 и 1 в остатке. Число 15 мы можем расписать как 5⋅3. В итоге (16 – делимое, 5 – делитель, 3 – неполное частное, 1 — остаток). Получили формулу деления с остатком, по которой можно сделать проверку решения.

16=5⋅3+1

a=b⋅c+da – делимое,b – делитель,c – неполное частное,d – остаток.

Ответ: каждый ребенок возьмет по 3 игрушки и одна игрушка останется.

Остаток от деления

Остаток всегда должен быть меньше делителя.

Если при делении остаток равен нулю, то это значит, что делимое делиться нацело или без остатка на делитель.

Если при делении остаток больше делителя, это значит, что найденное число не самое большое. Существует число большее, которое поделит делимое и остаток будет меньше делителя.

Вопросы по теме “Деление с остатком”:Остаток может быть больше делителя?Ответ: нет.

Остаток может быть равен делителю?Ответ: нет.

Как найти делимое по неполному частному, делителю и остатку?Ответ: значения неполного частного, делителя и остатка подставляем в формулу и находим делимое. Формула:a=b⋅c+d(a – делимое, b – делитель, c – неполное частное, d – остаток.)

Пример №1:Выполните деление с остатком и сделайте проверку: а) 258:7 б) 1873:8

Решение:а) Делим столбиком:

258 – делимое,7 – делитель,36 – неполное частное,6 – остаток. Остаток меньше делителя 6<7.

Подставим в формулу и проверим правильно ли мы решили пример:7⋅36+6=252+6=258

б) Делим столбиком:

1873 – делимое,8 – делитель,234 – неполное частное,1 – остаток. Остаток меньше делителя 1<8.

Подставим в формулу и проверим правильно ли мы решили пример:8⋅234+1=1872+1=1873

Пример №2:Какие остатки получаются при делении натуральных чисел: а) 3 б)8?

Ответ:а) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 3. В нашем случае остаток может быть равен 0, 1 или 2.б) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 8. В нашем случае остаток может быть равен 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 или 7.

Пример №3:Какой наибольший остаток может получиться при делении натуральных чисел: а) 9 б) 15?

Ответ:а) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 9. Но нам надо указать наибольший остаток. То есть ближайшее число к делителю. Это число 8.б) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 15. Но нам надо указать наибольший остаток. То есть ближайшее число к делителю. Это число 14.

Пример №4:Найдите делимое: а) а:6=3(ост.4) б) с:24=4(ост.11)

Решение:а) Решим с помощью формулы:a=b⋅c+d(a – делимое, b – делитель, c – неполное частное, d – остаток.)а:6=3(ост.4)(a – делимое, 6 – делитель, 3 – неполное частное, 4 – остаток.) Подставим цифры в формулу:а=6⋅3+4=22Ответ: а=22

б) Решим с помощью формулы:a=b⋅c+d(a – делимое, b – делитель, c – неполное частное, d – остаток.)с:24=4(ост.11)(с – делимое, 24 – делитель, 4 – неполное частное, 11 – остаток.) Подставим цифры в формулу:с=24⋅4+11=107Ответ: с=107

Задача:

Проволоку 4м. нужно разрезать на куски по 13см. Сколько таких кусков получится?

Решение:Сначала надо метры перевести в сантиметры.4м.=400см.Можно поделить столбиком или в уме получим:400:13=30(ост.10)Проверим:13⋅30+10=390+10=400

Ответ: 30 кусков получиться и 10 см. проволоки останется.

tutomath.ru

ДЕЛЕНИЕ НА 8: НАЦЕЛО И С ОСТАТКОМ

Благодарен вашему журналу за публикацию моего материала о признаке делимости целых чисел на 7 (см. "Наука и жизнь" № 10, 1997 г.). Рискну предложить еще один новый признак делимости, но уже на 8.

Я перелистал много книг по занимательной математике, но такого признака не нашел нигде.

Общепринятый признак делимости на 8 выглядит так: число делится на 8 в том и только в том случае, если его последние три цифры образуют число, делящееся на 8.

Этот способ деления основан на том, что все числа, кратные 1000, делятся на 8 без остатка.

Значит, определение признака делимости на 8 любых многозначных целых чисел сводится в итоге к определению признака делимости на 8 трехзначных чисел.

Трехзначные числа и будем рассматривать.

Б. А. Кордемский сводит делимость уже трехзначных чисел к делимости двузначных (образованных цифрами сотен и десятков): "На 8 делится всякое трехзначное число, у которого двузначное число, образованное цифрами сотен и десятков, сложенное с половиной числа единиц, делится на 4".

Он приводит пример с числом 592. Применяя к нему признак делимости, получаем:

59 + 1 = 60,

где 1 - это 2:2, половина числа единиц.

Число 60 делится на 4, значит, число 592 делится на 8 без остатка.

При данном методе определения остатка от деления надо учитывать, что трехзначные числа, оканчивающиеся нечетной цифрой (1, 3, 5, 7, 9), надо сначала "округлить" в разряде единиц до ближайшей большей или меньшей четной цифры и в конечном результате опять же учесть эту единицу, то есть прибавить ее или отнять. Это первое.

Второе: в некоторых случаях сумма двузначного числа, образованного цифрами сотен и десятков, и половины единиц будет также трехзначным числом, что опять же не совсем удобно. Это будет происходить с рядом чисел в промежутке от 968 до 999.

Однако всех этих неудобств - прибавления (вычитания) 1 и оперирования трехзначными числами - можно избежать.

Вспомним, что четное число сотен - 2, 4, 6, 8 (200, 400, 600, 800) делится на 8 без остатка. Следовательно, у таких, к примеру, чисел, как 059, 237, 461, 632, 844, определить остаток от деления на 8 можно сразу по двузначному числу, составленному из десятков и единиц, то есть по числам 59, 37, 61, 32, 44. Достаточно в уме разделить эти двузначные числа на 8.

Если цифры сотен в трехзначных исходных числах нечетны (1, 3, 5, 7, 9), то опять же делим на 8 двузначные числа, образованные десятками и единицами, но в этом случае прибавляем (или отнимаем) к двузначным числам цифру 4. Этот факт следует из того, что все целые нечетные сотни (100, 300, 500, 700, 900) при делении на 8 дают один остаток - 4.

Для примера возьмем числа 165, 371, 587, 716, 923. "Превратим" их в двузначные числа, прибавляя (можно отнимая) 4:

69, 75, 91, 20, 27.

Делить эти двузначные числа на 8 опять же просто. Остатки от делений и будут остатками от деления на 8 исходных трехзначных чисел.

А как поступить, если трехзначное число 997?

Выше говорилось, что цифру 4 можно не только прибавлять, но и отнимать от двузначного числа. Значит, делить на 8 будем уже число 93: 97- 4 = 93.

Так происходит "избавление" от трехзначных чисел.

Обобщая все вышесказанное, алгоритм упрощенного признака делимости на 8 целых чисел можно записать так: отделяем, отсчитывая справа, три цифры исходного числа; если третья справа цифра четная (0, 2, 4, 6, 8), то делим на 8 только число, образованное двумя крайними правыми цифрами; остаток от этого деления и будет остатком от деления на 8 всего исходного числа; если третья справа цифра в исходном числе нечетная (1, 3, 5, 7, 9), делим на 8 число, образованное двумя крайними правыми цифрами, плюс (минус) 4; остаток от деления этой суммы и даст остаток от деления на 8 всего исходного целого числа.

Как видно, этот признак делимости совсем прост, и для его освоения понадобятся минимальные усилия и знание элементарной арифметики.

Литература

Кордемский Б. А. Математическая смекалка. М., 1991.

Воробьев Н. Н. Признаки делимости. М., 1980.

Гарднер М. Математические досуги. М., 1995.

www.nkj.ru

Открытый урок. Деление нацело.

Добрый день, ребята!

Сегодня на уроке мы будем совершенствовать навыки деления натуральных чисел, повторим алгоритм устного и письменного деления (слайд 1)

Сегодня мы с вами проведем не просто урок математики, а урок-память героям Великой Отечественной войны. Каждое наше задание будет посвящено великой Победе нашей страны над фашистскими захватчиками, героям, которые отдали жизни за нас.

1. Устный счет. «Салют Победе!» (слайд 2)

Работаем устно: по цепочке решение и ответ.

Правильно!

72 года назад в 1945 году наша великая страна победила фашистских захватчиков (слайд 3)

2. Повторение. «День Победы» (слайд 4,5,6,7)

Работа по рядам.

Проверим, а правильно ли вы помните День Победы

В вопросах, который появятся на эране зашифрована дата Дня Победы. Ответьте на вопросы правильно, и вы это узнаете.

На доске пойдет записывать Туташбаев Алмаз

Вопрос 1 ряду - (Гурина Люба)

-Как называются числа при делении?

а) множители, произведение.

б) делимое, делитель, частное

7

9

Вопрос 2 ряду

- Как найти делимое? – (Скороб. Альбина)

а) частное разделить на делитель

б) частное умножить на делитель

И

М

Вопрос 3 ряду – (Буинов Никита)

-Как найти неизвестный делитель?

а) делимое разделить на частное

б) делимое умножить на частное

А

О

Дополнительный вопрос всем – ( Кузнецов Дима)

- Какое деление выполнить нельзя?

а) деление на 1

б) деление на 0

Н

Я

Что у нас получилось, Алмаз?

Правильно 9 мая. Это день Победы нашей страны над фашистскими захватчиками.

3. Решение примеров. «Наши Герои-земляки Великой Отечественной войны» (слайд 8)

Работа для каждого.

Теперь наступает самый ответственный момент нашего урока. Сейчас мы с вами будем вспоминать наших героев-земляков, погибших в этой войне. На доске зашифрованы фамилии двух наших земляков-героев Великой Отечественной войны. Тем, кого я вызову, нужно будет решить пример на доске и выбрать правильный вариант ответа, взяв в кружок нужную букву. А завершающий ученик должен будет вписать буквы в клеточки и расшифровать фамилию.

Вот посмотрите ребята у нас получились 2 фамилии: Ларин и Голосов.

Ребята подготовили краткие сообщения о героях, послушаем их.

Федор Иванович Ларин – Колесников Дима (слайд 9)

Дмитрий Николаевич Голосов – Гурина Люба (слайд 10)

4. Физкультминутка «Победная» (слайд 11)

Пусть всегда будет солнце! Поднять руки вверх над головой. 

Пусть всегда будет небо! Развести руки в стороны над головой. 

Пусть всегда будет море! Развести руки в стороны перед собой. 

Пусть всегда буду я! Подняться на носочки, погладить себя. 

Пусть всегда поют песни! Сделать наклоны головы в стороны. 

Пусть всегда будут танцы! Наклоны в сторону 

Пусть всегда будут птицы! Наклоны в стороны, отводя руки назад. 

Пусть всегда будет мир! Хлопки над головой.

5. Самостоятельная работа «Пятиконечная звезда» - символ нашей Победы (слайд 12)

У всех на партах лежат карточки с пятью примерами. Решите их самостоятельно, затем проведем самопроверку, и вы сами оцените свои работы.

А теперь давайте проверим Ваши ответы. (слайд 13)

6. Домашнее задание:  (Слайд 14)

7. И окончание нашего урока. Встаньте все, пожалуйста (слайд 15)

В битве великойне сгинут бесследнопавшие с честьюво имя идей.Их имена с нашейПесней победнойСтанут священнымиллионам людей!

infourok.ru

Правила деления на целые числа. Два, три и одинадцать

Продолжим наше путешествие в теорию чисел и рассмотрим правила деления без остатка на такие числа как два, три и одинадцать.

Самое простое правило это деление на два.

Если произвольное целое число  заканчивается на одну из цифр 0,2,4,6 и 8  то оно делится  без остатка на 2.

Доказательство? Оно очень простое.

представим трехзначное число АБВ как А*100+Б*10+В

10 делится на 2, 100 делиться на 10, а значит и на 2 тоже.

Тогда число АБВ делится на 2 нацело если В делится на 2. А таких чисел, как мы уже сказали всего 4-ре: 0,2,4,6 и 8.

Так же можем взять четырехзначное, пятизначное и другое многозначное число доказательство там такое же.

Теперь рассмотрим правило деления на 3. Оно тоже не очень сложное и очень похоже на правило деления на девять. Правила деления на целые числа. Девять

Возьмем четырехзначное число  АБВГ и представим его в  виде 1000*А+100*Б+10*В+Г

представим  10 как 9+1, 100 как 99+1, 1000 как 999+1

и тогда число АБВГ можно представить как 999*А+99*Б+9*В+А+Б+В+Г

9 делится на 3, 99 делится на 9, а значит делится и на 3.. и так далее..

Таким образом получается,  что правило деления на 3 следующее: Число делится на 3 без остатка, если сумма цифр его составляющих  также делится на три.

Число 123 делится на 3, так как сумма его циф 1+2+3=6 также делится на 3

а число 235 не делится, так как сумма цифр 2+3+5=10 не делится на 3

И последнее правило. Деление многозначного числа на одинадцать без остатка.

Само правило тоже очень простое, а доказывается оно очень просто

Возьмем четырехзначное число  АБВГ и представим его в  виде 1000*А+100*Б+10*В+Г

10 представим как 11-1

100 представим как 9*11+1

1000 представим  как 91*11-1

10000 представим как 1111*9+1

и так далее

Как можно заметить числа 11,9*11,91*11,111*9 делятся без остатка на 11

и у нас остается  следующее, что  выражение -А+Б-В+Г  должно делится на 11

То есть общее правило деления многозначного числа на 11 без остатка таково: Если разница сумм цифр стоящих на четных  местах многозначного числа  и сумм цифр стоящих на нечетных местах  равна 0 или делится на 11  нацело , то само многозначное число делится на одинадцать без остатка

Например число 2293434 на 11 делится нацело так как 2+9+4+4 -(2+3+3)=11

Нам осталось теперь рассмотреть самое сложное правило деления нацело для однозначного числа, и это число - семь.  Но это будет уже в другой статье.

А пока  посмотрите  следующие материалы Остаток числа в степени по модулю  и Правила деления на целые числа. Девять

 

www.abakbot.ru

деление нацело - это... Что такое деление нацело?

 деление нацело

exact division

Новый русско-английский словарь. 2013.

Смотреть что такое "деление нацело" в других словарях:

new_ru_en.academic.ru