Основы математического анализа. Как найти производную? Как искать производные
Производная частного | Математика
При дифференцировании функций нахождение производной частного обычно вызывает наибольшие затруднения. Лучший способ разобраться и понять, как находится производная частного, — рассмотреть конкретные примеры с подробными пояснениями.
Именно этим мы сейчас и займемся. Для дифференцирования нам понадобится таблица производных. Напишем еще раз правило, по которому берется производная частного:
(Поначалу неплохо его выписать на листочек и держать перед глазами). В отличие от производной произведения, затруднений с определением, где здесь u, а где — v, в производной частного нет: понятно, что все, что вверху, в числителе — это u, а все что внизу, в знаменателе — v. Если u и v — табличные функции, производная частного может быть найдена легко: достаточно расписать все по формуле, найти каждую из производных, и упростить.
Пример. Найти производную частного:
Здесь u=2-4x, v=3x+7
Производную линейной функции полезно помнить: (kx+b)’=k, где k и b — числа, причем k — число, стоящее перех x. А можно найти как производную суммы: (kx+b)’=k·x’+b’=k·1+0=k. Таким образом, (2-4x)’=-4, (3x+7)’=3, и знак умножения перед скобкой и перед буквой обычно не пишется
Общий множитель в числителе выносим за скобку, затем дробь сокращаем:
u=2x³+7x-5, v=6x-8. Расписываем по формуле производной частного:
здесь числитель представляет собой сумму и разность функций. Как находить производную суммы и разности, мы уже знаем.
Здесь u=2lnx+1, v=2√x. Значит, производная частного равна
Примеры для самопроверки. Найти производную частного:
Показать решение
1) u=5x²-8x, v=7-x. Теперь ищем производную частного:
Пока что мы рассмотрели только самые простые примеры на производную частного. В более сложных примерах числитель и знаменатель дроби могут быть сложными функциями, либо являться, в свою очередь, производными произведения и частного. Такие примеры мы обсудим чуть позже.
www.matematika.uznateshe.ru
таблица производных | математика-повторение
На этом занятии мы будем учиться применять формулы и правила дифференцирования.
Примеры. Найти производные функций.
1. y=x7+x5-x4+x3-x2+x-9. Применяем правило I, формулы 4, 2 и 1. Получаем:
y’=7x6+5x4-4x3+3x2-2x+1.
2. y=3x6-2x+5. Решаем аналогично, используя те же формулы и формулу 3.
y’=3∙6x5-2=18x5-2.
Применяем правило I, формулы 3, 5 и 6 и 1.
Применяем правило IV, формулы 5 и 1.
В пятом примере по правилу I производная суммы равна сумме производных, а производную 1-го слагаемого мы только что находили (пример 4), поэтому, будем находить производные 2-го и 3-го слагаемых, а для 1-го слагаемого можем сразу писать результат.
Посмотрите на данный пример и полученный результат. Уловили закономерность? Хорошо. Это означает, что мы получили новую формулу и можем добавить ее в нашу таблицу производных.
Решим шестой пример и выведем еще одну формулу.
Используем правило IV и формулу 4. Получившиеся дроби сократим.
Смотрим на данную функцию и на ее производную. Вы, конечно, поняли закономерность и готовы назвать формулу:
Учим новые формулы!
В координатной плоскости хОу рассмотрим график функции y=f (x). Зафиксируем точку М(х0; f (x0)). Придадим абсциссе х0 приращение Δх. Мы получим новую абсциссу х0+Δх. Это абсцисса точки N, а ордината будет равна f (х0+Δх). Изменение абсциссы повлекло за собой изменение ординаты. Это изменение называют приращение функции и обозначают Δy.
Δy=f (х0+Δх) — f (x0). Через точки M и N проведем секущую MN, которая образует угол φ с положительным направлением оси Ох. Определим тангенс угла φ из прямоугольного треугольника MPN.
Пусть Δх стремится к нулю. Тогда секущая MN будет стремиться занять положение касательной МТ, а угол φ станет углом α. Значит, тангенс угла α есть предельное значение тангенса угла φ:
Определение производной. Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю, называют производной функции в данной точке:
Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через эту точку к данной кривой, и положительным направлением оси Ох:
Смотрите видео 10.3. Определение производной. Геометрический смысл производной.
Примеры.
1. Найти приращение аргумента и приращение функции y=x2, если начальное значение аргумента было равно 4, а новое -4,01.
Решение.
Новое значение аргумента х=х0+Δx. Подставим данные: 4,01=4+Δх, отсюда приращение аргумента Δх=4,01-4=0,01. Приращение функции, по определению, равно разности между новым и прежним значениями функции, т.е. Δy=f (х0+Δх) - f (x0). Так как у нас функция y=x2, то Δу=(х0+Δx)2— (х0)2=(х0)2+2x0 · Δx+(Δx)2— (х0)2=2x0 · Δx+(Δx)2=
=2 · 4 · 0,01+(0,01)2=0,08+0,0001=0,0801.
Ответ: приращение аргумента Δх=0,01; приращение функции Δу=0,0801.
Можно было приращение функции найти по-другому: Δy=y (х0+Δx) -y (х0)=у(4,01) -у(4)=4,012-42=16,0801-16=0,0801.
2. Найти угол наклона касательной к графику функции y=f (x) в точке х0, если f '(х0) = 1.
Решение.
Значение производной в точке касания х0 и есть значение тангенса угла наклона касательной (геометрический смысл производной). Имеем: f '(х0) = tgα = 1 → α = 45°, так как tg45°=1.
Ответ: касательная к графику данной функции образует с положительным направлением оси Ох угол, равный 45°.
3. Вывести формулу производной функции y=xn.
Смотрите видео: «10.3.0. Вывод формулы производной степени».
Дифференцирование — это действие нахождения производной функции.
При нахождении производных применяют формулы, которые были выведены на основании определения производной, так же, как мы вывели формулу производной степени: (xn)' = nxn-1.
Вот эти формулы.
Таблицу производных легче будет заучить, проговаривая словесные формулировки:
1. Производная постоянной величины равна нулю.
2. Икс штрих равен единице.
3. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.
4. Производная степени равна произведению показателя этой степени на степень с тем же основанием, но показателем на единицу меньше.
5. Производная корня равна единице, деленной на два таких же корня.
6. Производная единицы, деленной на икс равна минус единице, деленной на икс в квадрате.
7. Производная синуса равна косинусу.
8. Производная косинуса равна минус синусу.
9. Производная тангенса равна единице, деленной на квадрат косинуса.
10. Производная котангенса равна минус единице, деленной на квадрат синуса.
Учим правила дифференцирования.
1. Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных слагаемых.
2. Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго.
3. Производная «у», деленного на «вэ» равна дроби, в числителе которой "у штрих умноженный на «вэ» минус «у, умноженный на вэ штрих», а в знаменателе — «вэ в квадрате».
4. Частный случай формулы 3.
Учим вместе!
www.mathematics-repetition.com
Как найти производную?
Задача нахождения производной от заданной функции является одной из основных в курсе математики старшей школы и в высших учебных заведениях. Невозможно полноценно исследовать функцию, построить ее график без взятия ее производной. Производную функции легко можно найти, зная основные правила дифференцирования, а также таблицу производных основных функций. Давайте разберемся, как найти производную функции.
Производной функции называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Понять это определение достаточно сложно, так как понятие предела в полной мере не изучается в школе. Но для того, чтобы находить производные различных функций, понимать определение не обязательно, оставим его специалистам математикам и перейдем сразу к нахождению производной.
Процесс нахождения производной называется дифференцированием. При дифференцировании функции мы будем получать новую функцию.
Для их обозначения будем использовать латинские буквы f, g и др.
Существует много всевозможных обозначений производных. Мы будем использовать штрих. Например запись g' означает, что мы будем находить производную функции g.
Таблица производных
Для того чтобы дать ответ на вопрос как найти производную, необходимо привести таблицу производных основных функций. Для вычисления производных элементарных функций не обязательно производить сложные вычисления. Достаточно просто посмотреть ее значение в таблице производных.
- С'=0
- (sin x)'=cos x
- (cos x)'= –sin x
- (xn)'=n xn-1
- (ex)'=ex
- (ln x)'=1/x
- (ax)'=axln a
- (logax)'=1/x ln a
- (tg x)'=1/cos2x
- (ctg x)'= – 1/sin2x
- (arcsin x)'= 1/√(1-x2)
- (arccos x)'= - 1/√(1-x2)
- (arctg x)'= 1/(1+x2)
- (arcctg x)'= - 1/(1+x2)
Пример 1. Найдите производную функции y=500.
Мы видим, что это константа. По таблице производных известно, что производная константы, равна нулю (формула 1).
(500)' = 0
Пример 2. Найдите производную функции y=x100.
Это степенная функция в показателе которой 100 и чтобы найти ее производную нужно умножить функцию на показатель и понизить на 1 (формула 3).
(x100)'=100 x99
Пример 3. Найдите производную функции y=5x
Это показательная функция, вычислим ее производную по формуле 4.
(5x)'= 5xln5
Пример 4. Найдите производную функции y= log4x
Производную логарифма найдем по формуле 7.
(log4x)'=1/x ln 4
Правила дифференцирования
Давайте теперь разберемся, как находить производную функции, если ее нет в таблице. Большинство исследуемых функций, не являются элементарными, а представляют собой комбинации элементарных функций с помощью простейших операций (сложение, вычитание, умножение, деление, а также умножение на число). Для
elhow.ru
Как найти производную функции | LAMPA
Чтобы найти производную функции, необходимо последовательно сделать следующие шаги:
- Определить, на какие простые функции разбивается исходная функция:
Функцию f(x)=sinx1−x2f(x)=\frac{\sin x}{\sqrt{1-x^2} }f(x)=1−x2sinx можно представить в виде f=g(h2,h3)f=g(h_1,h_2)f=g(h2,h3), где g(x,y)=xyg(x,y)=\frac{x}{y}g(x,y)=yx, h2(x)=sinxh_1(x)=\sin xh2(x)=sinx, h3(x)=1−x2h_2(x)=\sqrt{1-x^2}h3(x)=1−x2.
- Продифференцировать функции, используя и :
f′(x)=(sinx1−x2)′=sin′x1−x2−sinx(1−x2)′(1−x2)2=f'(x)=(\frac{\sin x}{\sqrt{1-x^2} })'=\frac {\sin'x\sqrt{1-x^2}-\sin x(\sqrt{1-x^2})'}{(\sqrt{1-x^2})^2}=f′(x)=(1−x2sinx)′=(1−x2)2sin′x1−x2−sinx(1−x2)′==cosx1−x2−12⋅2xsinx(1−x2)−11−x2==\frac{\cos x\sqrt{1-x^2}-\frac{1}{2}\cdot 2x\sin x(\sqrt{1-x^2})^{-1} }{1-x^2}==1−x2cosx1−x2−21⋅2xsinx(1−x2)−1==cosx1−x2−xsinx(1−x2)3=\frac{\cos x}{\sqrt{1-x^2} }-\frac{x\sin x}{(\sqrt{1-x^2})^3}=1−x2cosx−(1−x2)3xsinx
Правила дифференцирования
Пусть uuu и vvv - дифференцируемые функции, а CCC - любое действительное число.
(C)′=0(C)'=0(C)′=0 – производная константы;
(u+v)′=u′+v′(u+v)'=u'+v'(u+v)′=u′+v′ – производная суммы;
(Cu(x))′=C(u(x))′(Cu(x))'=C(u(x))'(Cu(x))′=C(u(x))′ – вынесение константы;
(u⋅v)′=u′v+uv′(u\cdot v)'=u'v+uv'(u⋅v)′=u′v+uv′ – производная произведения;
(uv)′=u′v−v′uv2(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-v'u}{v^2}(vu)′=v2u′v−v′u – производная частного;
(f(g(x)))′=g′(x)⋅f′(g(x))(f(g(x)))'=g'(x)\cdot f'(g(x))(f(g(x)))′=g′(x)⋅f′(g(x)) – производная .
(cosx2)′=(x2)′⋅cos′x2=2x⋅(−sinx2)=−2xsinx2.(\cos{x^2})'=(x^2)'\cdot \cos'{x^2}=2x\cdot (-\sin{x^2})=-2x\sin x^2 .(cosx2)′=(x2)′⋅cos′x2=2x⋅(−sinx2)=−2xsinx2.
Таблица производных
| Константа (число) | (C)′=0(C)'=0(C)′=0 | |
| Линейная | (kx+b)′=k(kx+b)'=k(kx+b)′=k | x′=1x'=1x′=1 |
| Степенная | (xa)′=axa−1(x^a)'=ax^{a-1}(xa)′=axa−1 | (x2)′=2x(x^2)'=2x(x2)′=2x |
| Показательная | (ax)′=ax⋅lna(a^x)'=a^x\cdot \ln a(ax)′=ax⋅lna | (ex)′=ex(e^x)'=e^x(ex)′=ex |
| Логарифмическая | (logax)′=1x⋅lna(\log_a x)'=\frac{1}{x\cdot \ln a}(logax)′=x⋅lna1 | (lnx)′=1x(\ln x)'=\frac{1}{x}(lnx)′=x1 |
| Тригонометрические | (sinx)′=cosx(\sin x)'=\cos x(sinx)′=cosx (cosx)′=−sinx(\cos x)'=-\sin x(cosx)′=−sinx (tgx)′=1cos2x(\text{tg} x)'=\frac{1}{\cos^2 x}(tgx)′=cos2x1 (ctgx)′=−1sin2x(\text{ctg} x)'=-\frac{1}{\sin^2 x}(ctgx)′=−sin2x1 | |
Обратные тригонометрическим | (arcsinx)′=11−x2(\text{arcsin} x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}(arcsinx)′=1−x21 (arccosx)′=−11−x2(\text{arccos} x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}(arccosx)′=−1−x21 (arctgx)′=11+x2(\text{arctg} x)'=\frac{1}{1 + x^2}(arctgx)′=1+x21 (arcctgx)′=−11+x2(\text{arcctg} x)'=-\frac{1}{1 + x^2}(arcctgx)′=−1+x21 |
lampa.io
Производная по определению (через предел). Примеры решений
Когда человек сделал первые самостоятельные шаги в изучении математического анализа и начинает задавать неудобные вопросы, то уже не так-топросто отделаться фразой, что «дифференциальное исчисление найдено в капусте». Поэтому настало время набраться решимости и раскрыть тайну появления на светтаблицы производных и правил дифференцирования. Начало положено в статьео смысле производной, которую я настоятельно рекомендую к изучению, поскольку там мы как раз рассмотрели понятие производной и начали щёлкать задачи по теме. Этот же урок носит ярко выраженную практическую направленность, более того,
рассматриваемые ниже примеры, в принципе, можно освоить и чисто формально (например, когда нет времени/желания вникать в суть производной). Также крайне желательно (однако опять не обязательно) уметь находить производные «обычным» методом – хотя бы на уровне двух базовых занятий: Как найти производную?и Производная сложной функции.
Но без чего-чегосейчас точно не обойтись, так это безпределов функций. Вы должны ПОНИМАТЬ, что такое предел и уметь решать их, как минимум, на среднем уровне. А всё потому, чтопроизводная
функции в точке определяется формулой:
Напоминаю обозначения и термины: называютприращением аргумента;
– приращением функции;
– это ЕДИНЫЕ символы («дельту» нельзя «отрывать» от «икса» или «игрека»).
Очевидно, что является «динамической» переменной,– константой и результат вычисления предела– числом(иногда – «плюс» либо «минус» бесконечностью).
В качестве точки можно рассмотреть ЛЮБОЕ значение, принадлежащееобласти определения функции, в котором существует производная.
! Примечание: оговорка «в котором существует производная» –в общем случае существенна! Так, например, точкахоть и входит в область определения функции, но производной
там не существует. Поэтому формула
не применима в точке,
и укороченная формулировка без оговорки будет некорректна. Аналогичные факты справедливы и для других функций с «обрывами» графика, в частности, для арксинуса и арккосинуса.
Таким образом, после замены , получаем вторую рабочую формулу:
Обратите внимание на коварное обстоятельство, которое может запутать чайника: в данном пределе «икс», будучи сам независимой переменной, исполняет роль статиста, а «динамику» задаёт опять же приращение . Результатом вычисления предела
является производная функция.
Исходя из вышесказанного, сформулируем условия двух типовых задач:
–Найти производную в точке, используя определение производной.
–Найти производную функцию, используя определение производной. Эта версия, по моим наблюдениям, встречается заметно чаще и ей будет уделено основное внимание.
Принципиальное отличие заданий состоит в том, что в первом случае требуется найти число (как вариант, бесконечность), а во втором –
функцию. Кроме того, производной может и вовсе не существовать.
Как найти производную по определению?
Составить отношение и вычислить предел.
Откуда появилась таблица производных и правила дифференцирования? Благодаря единственному пределу
. Кажется волшебством, но в
действительности – ловкость рук и никакого мошенничества. На уроке Что такое производная? я начал рассматривать конкретные примеры, где с помощью определения нашёл производные линейной и квадратичной функции. В целях познавательной разминки продолжим тревожитьтаблицу производных, оттачивая алгоритм и технические приёмы решения:
Пример 1
Найти производную функции , пользуясь определением производной
По сути, требуется доказать частный случай производной степенной функции, который обычно фигурирует в таблице: .
Решение технически оформляется двумя способами. Начнём с первого, уже знакомого подхода: лесенка начинается с дощечки, а производная функция – с производной в точке.
Рассмотрим некоторую (конкретную) точку, принадлежащуюобласти определения функции, в которой существует производная. Зададим в данной точке приращение (разумеется, не выходящее за рамки о/о-я) и составим соответствующее приращение функции:
Вычислим предел:
Неопределённость 0:0 устраняется стандартным приёмом, рассмотренным ещё в первом веке до нашей эры. Домножим
числитель и знаменатель на сопряженное выражение :
Техника решения такого предела подробно рассмотрена на вводном уроке о пределах функций.
Итак, .
Поскольку в качестве можно выбрать ЛЮБУЮ точкуинтервала
, то, осуществив замену, получаем:
Ответ: по определению производной:
Готово.
В который раз порадуемся логарифмам:
Пример 2
Найти производную функции , пользуясь определением производной
Решение: рассмотрим другой подход к раскрутке той же задачи. Он точно такой же, но более рационален с точки зрения оформления. Идея состоит в том, чтобы в начале решения избавиться от
подстрочного индекса и вместо буквы использовать букву.
Рассмотрим произвольную точку, принадлежащуюобласти определения функции(интервалу), и зададим в ней приращение.А вот здесь, кстати, как и в большинстве случаев, можно обойтись без всяких оговорок, поскольку логарифмическая функция дифференцируема в любой точке области определения.
Тогда соответствующее приращение функции:
Найдём производную:
Простота оформления уравновешивается путаницей, которая может
возникнуть у начинающих (да и не только). Ведь мы привыкли, что в пределе изменяется буква «икс»! Но тут всё по-другому:– античная статуя, а– живой посетитель, бодро шагающий по коридору музея. То есть «икс» – это «как бы константа».
Устранение неопределённости закомментирую пошагово:
(1)Используем свойство логарифма .
(2)В скобках почленно делим числитель на знаменатель.
(3)В знаменателе искусственно домножаем и делим на «икс» чтобы
воспользоваться замечательным пределом , при этом в качествебесконечно малой величины выступает.
Ответ: по определению производной:
Или сокращённо:
Предлагаю самостоятельно сконструировать ещё две табличные формулы:
Пример 3
Найти производную по определению
тоже вполне конкретное число | и так же подставляем его в | |
функцию | вместо «икса»: | |
|
| . Записываем разность |
| , при этом | необходимо полностью взять в |
скобки. |
|
|
Составленное приращение функции бывает выгодно сразу же упростить. Зачем? Облегчить и укоротить решение дальнейшего предела.
Используем формулы , раскрываем скобки и сокращаем всё, что можно сократить:
Индейка выпотрошена, с жаркое никаких проблем:
В итоге:
Поскольку в качестве можно выбрать любое действительное число, то проведём заменуи получим.
Ответ:по определению.
В целях проверки найдём производную с помощью правил
дифференцирования и таблицы:
Всегда полезно и приятно знать правильный ответ заранее, поэтому лучше мысленно либо на черновике продифференцировать предложенную функцию «быстрым» способом в самом начале решения.
Пример 6
Найти производную функции по определению производной
Это пример для самостоятельного решения. Результат лежит на поверхности:
Вернёмся к стилю №2: Пример 7
Пользуясь определением, найти производную функции
Давайте немедленно узнаем, что должно получиться. По правилу дифференцирования сложной функции:
Решение: рассмотрим произвольную точку, принадлежащую, зададим в ней приращение аргументаи составим приращение
функции:
Найдём производную:
(1) Используем тригонометрическую формулу
.
(2)Под синусом раскрываем скобки, под косинусом приводим подобные слагаемые.
(3)Под синусом сокращаем слагаемые, под косинусом почленно делим числитель на знаменатель.
(4)В силу нечётности синуса выносим «минус». Под косинусом
указываем, что слагаемое .
(5) В знаменателе проводим искусственное домножение, чтобы использовать первый замечательный предел . Таким образом, неопределённость устранена, причёсываем результат.
Ответ:по определению Как видите, основная трудность рассматриваемой задачи упирается в
сложность самого предела + небольшое своеобразие упаковки. На практике встречаются и тот и другой способ оформления, поэтому я максимально подробно расписываю оба подхода. Они равноценны, но всё-таки,по моему субъективному впечатлению, чайникам целесообразнее придерживаться1-говарианта с «икс нулевым».
Пример 8
Пользуясь определением, найти производную функции
Это задание для самостоятельного решения. Образец оформлен в том же духе, что предыдущий пример.
Разберём более редкую версию задачи:
Пример 9
Найти производную функции в точке, пользуясь определением производной.
Во-первых,что должно получиться в сухом остатке? Число Вычислим ответ стандартным способом:
Решение: с точки зрения наглядности это задание значительно проще, так как в формулевместо
Это пример для самостоятельного решения.
Заключительная бонус-задачапредназначена, прежде всего, для студентов с углубленным изучением математического анализа, но и всем остальным тоже не помешает:
Пример 11
Будет ли дифференцируема функция в точке?
Решение: очевидно, чтокусочно-заданнаяфункциянепрерывна в точке, но будет ли она там дифференцируема?
Алгоритм решения, причём не только для кусочных функций, таков:
1)Находим левостороннюю производнуюв данной точке: .
2)Находим правостороннюю производнуюв данной точке: .
3)Если односторонние производныеконечны и совпадают:
, то функциядифференцируема в точкеи
геометрически здесь существует общая касательная (см. теоретическую часть урока Определение и смысл производной).
Если получены два разных значения: (одно из которых может оказаться и бесконечным), то функция не дифференцируема в точке.
Если же обе односторонние производные равны бесконечности
(пусть даже разных знаков), то функция не
дифференцируема в точке , но там существует бесконечная производная и общая вертикальная касательная к графику(см. Пример 5 урока Уравнение нормали).
Ответ:по определению производной
Ответ:по определению.
Пример 8: Решение: рассмотрим произвольную точку, принадлежащую, зададим в ней приращениеи составим приращение функции:
Найдём производную:
Используем тригонометрическую формулу
и первый замечательный
предел:
Ответ:по определению
Пример 10: Решение: Зададим приращениев точке. Тогда приращение функции:
Вычислим производную в точке:
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение:
Ответ:по определению производной в точке
studfiles.net
Производная функции: основные понятия и определения
Пусть задана функция . Рассмотрим два значения (исходное) и (новое) из области определения функции.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Разность называется приращением аргумента в точке и обозначается («дельта икс»):
Замечание. Символ рассматривается как единый, а не представляет собой произведение, то есть .
Значение рассматриваемой функции в точке равно . Зададим аргументу приращение . Получим значение функции в новой точке .
Приращение функции в точке
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Приращением функции в точке , соответствующее приращению аргумента , называется величина
Определение производной
Функция имеет производную на интервале , если производная существует в каждой точке этого интервала.
Левая и правая производные функции
Основные теоремы производных
ТЕОРЕМА (О непрерывности функции в точке.) Если функция имеет конечную производную в точке , то она непрерывна в этой точке.Замечание. Обратное заключение не всегда верно: если функция непрерывна в некоторой точке , то она может и не иметь производной в этой точке.
ТЕОРЕМА (О необходимом и достаточном условии дифференцируемости.) Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы имела в точке конечную производную.Теорема устанавливает, что для функции дифференцируемость в данной точке и существование конечной производной в этой точке – понятия равносильные. Поэтому операцию нахождения производной называют также дифференцированием этой функции.
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
ru.solverbook.com
Основы математического анализа. Как найти производную?
Производной некоторой функции f(x) в конкретной точке x0 называют границу соотношения прироста функции к приросту аргумента при условии, что x следует к 0, а граница существует. Производную обычно обозначают штрихом, иногда с помощью точки либо через дифференциал. Нередко запись производно через границу приводит в заблуждение, так как такое представление используется крайне редко.
Функцию, которая имеет производную в определенной точке x0, принято называть дифференцируемой в такой точке. Предположим, D1 - множество точек, в каких функция f дифференцирована. Поставив в соответствие каждому числу число x, принадлежащее D f’(x), получим функцию с областью обозначения D1. Эта функция является производной y=f(x). Ее обозначают так: f’(x).
Кроме того, производная широко используется в физике и технике. Рассмотрим самый простой пример. Материальная точка двигается по координатной прямо, при чем задан закон движения, то есть координатой x этой точки является известная функция x(t). На протяжении интервала времени от t0 до t0+t перемещение точки равняется x(t0+t)-x(t0)= x, а ее средняя скорость v(t) равна x/t.
Иногда характер движения представлен так, что при малых отрезках времени средняя скорость не изменяется, имеется в виду то, что движение с большей степенью точности считается равномерным. Или же значение средней скорости, если t0 следует к некоторому абсолютно точному значению, которое и называют моментальной скоростью v(t0) этой точки в конкретный момент времени t0. Считается, что моментальная скорость v(t) известна для любой дифференцированной функции x(t), при чём v(t) будет равно x’(t). Проще говоря, скорость – это производная от координаты по времени.
Моментальная скорость имеет и положительные, и отрицательные значения, а также значение 0. Если же она на некотором интервале времени (t1; t2) положительная, тогда точка движется в таком же направлении, то есть координата x(t) увеличивается со временем, а если v(t) отрицательная, тогда координата x(t) уменьшается.
В более сложных случаях точка движется в плоскости или в пространстве. Тогда скорость – векторная величина и определяет каждую из координат вектора v(t).
Аналогично можно сопоставить с ускорением движения точки. Скорость является функцией от времени, то есть v=v(t). А производная такой функции - ускорением движения: a=v’(t). То есть получается, что производная от скорости по времени является ускорением.
Предположим y=f(x) - любая дифференцированная функция. Тогда можно рассмотреть движение материальной точки по координатной прямой, которое происходит за законом x=f(t). Механическое содержание производной дает возможность представить наглядную интерпретацию теорем дифференциального исчисления.
Как найти производную? Нахождение производной некоторой функции называется ее дифференцированием.
Наведем примеры того, как найти производную функцию:
Производная постоянной функции равна нулю; производная функции y=x равна единице.
А как найти производную дроби? Для этого рассмотрим следующий материал:
При любом x0<>0 будем иметь
y/x=-1/x0*(x+x)
Существует несколько правил, как найти производную. А именно:
Если функции A и B дифференцированы в точке x0, то их сумма дифференцирована в точке: (A+B)’=A’+B’. Проще говоря, производная суммы равна сумме производных. Если функция дифференцирована в некоторой точке, тогда ее прирост следует к нулю при следовании к нулю прироста аргумента.
Если функции A и B дифференцированы в точке x0, то их произведение дифференцировано в точке: (A*B)’=A’B+AB’. (Значения функций и их производных рассчитываются в точке x0). Если функция A(x) дифференцирована в точке x0, а С – постоянная, тогда функция CA дифференцирована в этой точке и (CA)’=CA’. То есть, такой постоянный множитель выносится за знак производной.
Если функции A и B дифференцированы в точке x0, и функция B не равна нулю, то их соотношение так же дифференцировано в точке: (A/B)’=(A’B-AB’)/B*B.
fb.ru
