Свойства определителя матрицы | Мозган калькулятор онлайн. Как найти a 1 в матрице


Задания к контрольной работе по дисциплине «Линейная алгебра»

1. Общие указания. Контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку с полями для пометок. Текст работы пишется разборчиво от руки чернилами одного цвета. При выполнении заданий необходимо полностью привести их условие. Задания, в которых даны лишь ответы без решений, будут считаться нерешенными. Контрольные работы другого варианта не засчитываются. Работа должна быть выполнена аккуратно, чисто, без помарок.

Контрольная работа должна быть выполнена, оформлена и сдана студентом для проверки до начала сессии.

Каждый студент выполняет свой вариант контрольной работы. Номер варианта определяется последней цифрой зачетной книжки или студенческого билета. Если последней цифрой является ноль, то выполняется десятый вариант.

2. Варианты заданий.

Задание 1

Найти произведение матриц А и В:

, .

Решение:

Так как сомножители имеют размеры и , то их произведение определено и имеет размеры . Следовательно,

Варианты задания 1

Найти произведение матриц А и В:

, .

Вариант

k1

k2

k3

1

-5

7

-3

2

2

5

-3

3

-2

3

1

4

4

3

-3

5

2

3

-2

6

4

-4

-3

7

-1

-2

3

8

2

-4

1

9

3

-5

2

10

5

2

-3

Задание 2

Дана матрица А. Найти матрицу А-1 и установить, что АА-1=Е.

Решение:

, где

Для нахождения матрицы А-1 необходимо, прежде всего, вычислить определитель матрицы А и убедиться в том, что она существует. Для этого воспользуемся методом Саррюса.

Вычислим алгебраические дополнения к каждому элементу матрицы по формуле:

Подставим найденные значения в исходную формулу для вычисления А-1.

.

Выполним проверку:

Проверка подтвердила правильность найденной нами матрицы.

Варианты задания 2

Дана матрица А. Найти матрицу А-1 и установить, что АА-1=Е.

Вариант

МатрицаА

Вариант

МатрицаА

1

6

2

7

3

8

4

9

5

10

Задание 3

Найти решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) одним из предложенных методов:

Сделать проверку решения.

Решение:

Выпишем матрицу коэффициентов системы

  1. Решим систему методом Крамера.

Сначала рассмотрим условие совместимости, т.е.

Следовательно система совместна, т.е. имеет единственное решение.

где- получается из определителя заменой i-го столбца столбцом свободных элементов.

где - точка пересечения прямых системы.

ИтакСделаем проверку, подставив найденное решение в каждое уравнение системы.

Проверка:

;.

Итак, мы видим, что после подстановки в систему каждое уравнение обратилось в числовое тождество. Следовательно, решение системы найдено верно.

  1. Решим систему методом обратной матрицы.

Запишем систему в матричном виде:

,,.

; . Найдем обратную матрицуА-1.

, где

Определитель найден в решении системы методом Крамера:

Для нахождения матрицы А-1 осталось вычислить алгебраические дополнения к каждому элементу матрицы по формуле:

Подставим найденные значения в исходную формулу для вычисления А-1.

.

Выполним проверку:

Проверка подтвердила правильность найденной нами матрицы.

Найдем матрицу-столбец неизвестных:

.

Ответ совпадает с решением, найденным методом Крамера, поэтому проверку делать не будем.

  1. Решим систему методом Гаусса.

Поскольку элементарные преобразования системы аналогичны элементарным преобразованиям матрицы, для решения системы выпишем расширенную матрицу системы:

.

Приведем расширенную матрицу системы к эквивалентной матрице системы в ступенчатом виде.

- по теореме Кронекера-Капелли система имеет решение, если ранг расширенной матрицы равен рангу приведенной матрицы.

Найденный ответ совпадает с ответами, найденными предыдущими методами. Делать проверку нет необходимости, т.к. она сделана ранее.

studfiles.net

Обратная матрица с помощью элементарных преобразований

Для того что бы найти обратную матрицу можно использовать два метода: с помощью алгебраических дополнений (метод присоединённой (союзной) матрицы) или элементарных преобразований (метод Жордано-Гаусса). Рассмотрим как найти обратную матрицу с помощью элементарных преобразований.

Обратной матрицей называется матрицы A-1 при умножении на исходную матрицу A получается единичная матрица E.

A·A-1 = A-1 · A = E

Алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью элементарных преобразований:

  1. Найти определитель (детерминант) матрицы A. Если определитель ≠ 0, то обратная матрица существует. Если определитель = 0, то обратная матрица не существует.
  2. Дописываем справа единичную матрицу
  3. Делаем прямой ход. Обнуляем все элементы (с помощью элементарных преобразований) левой матрицы стоящей под ее главной диагонали.
  4. Делаем обратный ход. Обнуляем все элементы (с помощью элементарных преобразований) левой матрицы стоящей над ее главной диагонали.
  5. Элементы главной диагонали левой матрицы, преобразуем в единицы.

Пример

Рассмотрим данный метод на примере. Дана матрицы 3х3:

Найдем определитель (детерминант) матрицы, detA = 8 обратная матрица существует.

Допишем к нашей матрице слева единичную матрицу.

Чтобы сделать нули под элементом a11, вычтем 1-ую строку из всех строк, что расположены ниже её, при чём, для того, чтобы работать с меньшими числами, поделим каждую из этих строк на a11.

Чтобы сделать нули над элементом a33, вычтем 3-ую строку с всех строк, что расположены выше её, при чём, для того, чтобы работать с меньшими числами, поделим каждую из этих строк на a33.

Чтобы сделать нули над элементом a22, вычтем 2-ую строку с всех строк, что расположены выше её, при чём, для того, чтобы работать с меньшими числами, поделим каждую из этих строк на a22.

Поделим каждую строку на элемент, который стоит на главной диагонали.

Вот мы и нашли обратную матрицу.

mozgan.ru

Обратная матрица онлайн

Для любой невырожденной квадратной матрицы (т.е. такой определитель которой отличен от нуля), существует обратная матрица, такая, что её произведение на исходную матрицу равно единичной:

A∙A−1 = A−1∙A = E

Наш калькулятор поддерживает два различных способа вычисления обратной матрицы: по методу Гаусса-Жордана и при помощи построения алгебраических дополнений к исходной матрице.

Для нахождения обратной матрицы по методу Гаусса-Жордана, к исходной матрице справа дописывают единичную матрицу:

( A | E )

Затем, с помощью элементарных преобразований приводят исходную матрицу к единичной, выполняя теже самые операции и над единичной матрицей, записанной справа. В результате таких действий исходная матрица приводится к единичной, а единичная к обратной:

( A | E) → ( E | A−1)

Метод довольно простой, удобный и не очень трудоемкий.

Для нахождения обратной матрицы при помощи метода алгебраических дополнений используют следующую формулу:

где | A | - определитель матрицы A,Ai j - алгебраическое дополнение элемента ai j матрицы A.

Реклама

По определению:

Ai j = (-1) i+j Mi j

где Mi j - минор элемента ai j матрицы A.

По определению - минор элемента ai j матрицы A - это определитель, полученный путем вычеркивания i строки, j столбца матрицы A.

Таким образом, метод алгебраических дополнений для вычисления обратной матрицы порядка n является достаточно трудоемким, поскольку помимо определителя исходной матрицы, нужно вычислить n2 определителей n-1 порядка.

www.mathforyou.net

Обратные матрицы - Как найти обратную матрицу

Каталин Дэвид

Матрица обратима, если ее определитель отличен от нуля. Если A - обратимая матрица, то обратная ей матрица есть $A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|} \cdot adj(A)$. $adj(A)$ - присоединённая матрица исходной матрицы A.

Вычисление обратной матрицы

  1. Вычисляем определитель матрицы.
  2. Записываем транспонированную матрицу.
  3. Заменяем каждый элемент транспонированной матрицы его алгебраическим дополнением. Полученная матрица является присоединённой матрицей.
  4. Вычисляем обратную матрицу.

Пример 46$A=\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}$

$\left|A\right|=1\cdot 5-6=-1$Матрица обратима, значит, можно найти обратную ей матрицу.

$ A^{T}= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 5 \end{pmatrix}$

Заменяем элементы транспонированной матрицы их алгебраическими дополнениями.

$1\longrightarrow (-1)^{1+1}\cdot \Delta_{1,1}=(-1)^{2}\cdot5 = 5$$2\longrightarrow (-1)^{1+2}\cdot \Delta_{1,2}=(-1)^{3}\cdot3 = -3$$3\longrightarrow (-1)^{2+1}\cdot \Delta_{2,1}=(-1)^{3}\cdot2 = -2$$5\longrightarrow (-1)^{2+2}\cdot \Delta_{2,2}=(-1)^{4}\cdot1 = 1$

$adj(A)= \begin{pmatrix} 5 & -3\\ -2 & 1\\ \end{pmatrix}$

$A^{-1}=- \begin{pmatrix} 5 & -3\\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 3\\ 2 & -1 \end{pmatrix}$

Пример 47$B=\begin{pmatrix} 2 & -7\\ -1 & 6 \end{pmatrix}$

$\left|B\right|=2\cdot 6-(-7)\cdot (-1) = 5$

Матрица обратима, значит, можно найти обратную ей матрицу.$A^{T}= \begin{pmatrix} 2 & -1\\ -7 & 6 \end{pmatrix}$

Заменяем элементы транспонированной матрицы их алгебраическими дополнениями.$2\longrightarrow (-1)^{1+1}\cdot \Delta_{1,1}=(-1)^{2}\cdot6 = 6$$-1\longrightarrow (-1)^{1+2}\cdot \Delta_{1,2}=(-1)^{3}\cdot(-7) = 7$$-7\longrightarrow (-1)^{2+1}\cdot \Delta_{2,1}=(-1)^{3}\cdot(-1) = 1$$6\longrightarrow (-1)^{2+2}\cdot \Delta_{2,2}=(-1)^{4}\cdot2 = 2$

$adj(A)= \begin{pmatrix} 6 & 7\\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

$A^{-1}=\frac{1}{5} \begin{pmatrix} 6 & 7\\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{6}{5} & \frac{7}{5}\\ \frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix}$

Пример 48$C=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2\\ 4 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3\\ \end{pmatrix}$

Вычисляем определитель по известной формуле и получаем $\left|B\right|=-18$.

Матрица обратима, значит, можно найти обратную ей матрицу.$C^{T}=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 1\\ 3 & 1 & 2\\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

Заменяем каждый элемент транспонированной матрицы его алгебраическим дополнением.$ 1\longrightarrow (-1)^{1+1}\cdot \Delta_{1,1}=(-1)^{2}\cdot \begin{vmatrix} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 3 - 2 = 1$

$4\longrightarrow (-1)^{1+2}\cdot \Delta_{1,2}=(-1)^{3}\cdot \begin{vmatrix} 3 & 2\\ 2 & 3 \end{vmatrix} = -(9-4)=-5$

$1\longrightarrow (-1)^{1+3}\cdot \Delta_{1,3}=(-1)^{4}\cdot \begin{vmatrix} 3 & 1\\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 3-2=1$

$3\longrightarrow (-1)^{2+1}\cdot \Delta_{2,1}=(-1)^{3}\cdot \begin{vmatrix} 4 & 1\\ 1 & 3\\ \end{vmatrix} = -(12-1)=-11$

$1\longrightarrow (-1)^{2+2}\cdot \Delta_{2,2}=$ $(-1)^{4}\cdot\begin{vmatrix} 1 & 1\\ 2 & 3\\ \end{vmatrix}=3-2=1$

$2\longrightarrow (-1)^{1+3}\cdot \Delta_{2,3}=$ $(-1)^{5}\cdot\begin{vmatrix} 1 & 4\\ 2 & 1 \end{vmatrix}= -(1-8)=7$

$2\longrightarrow (-1)^{3+1}\cdot \Delta_{3,1}=$ $(-1)^{4}\cdot\begin{vmatrix} 4 & 1\\ 1 & 2 \end{vmatrix}=8-1=7$

$1\longrightarrow (-1)^{3+2}\cdot \Delta_{3,2}=$ $(-1)^{5}\cdot \begin{vmatrix} 1 & 1\\ 3 & 2 \end{vmatrix}=-(2-3)=1$

$3\longrightarrow (-1)^{3+3}\cdot \Delta_{3,3}=$ $(-1)^{6}\cdot\begin{vmatrix} 1 & 4\\ 3 & 1 \end{vmatrix}=1-12=-11$

$adj(A)= \begin{pmatrix} 1 & -5 & 1\\ -11 & 1 & 7\\ 7 & 1 & -11 \end{pmatrix}$

$A^{-1} = - \frac{1}{18}\cdot \begin{pmatrix} 1 & -5 & 1\\ -11 & 1 & 7\\ 7 & 1 & -11 \end{pmatrix} =$ $\begin{pmatrix} - \frac{1}{18} & \frac{5}{18} & -\frac{1}{18}\\ \frac{11}{18} & -\frac{1}{18} & -\frac{7}{18}\\ -\frac{7}{18} & -\frac{1}{18} & \frac{11}{18} \end{pmatrix}$

Свойства обратной матрицы

Если A - обратимая матрица, то:$A\cdot A^{-1} = A^{-1}\cdot A=I_{n}$

Пример 49$A=\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}$

$A^{-1}= \begin{pmatrix} -5 & 3\\ 2 & -1 \end{pmatrix}$

$A\cdot A^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -5 & 3\\ 2 & -1 \end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} 1\cdot(-5)+3\cdot2 & 1\cdot3 + 3\cdot(-1)\\ 2\cdot(-5)+5\cdot2 & 2\cdot3 +5\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}= I_{2}$

$A^{-1}\cdot A= \begin{pmatrix} -5 & 3\\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} -5\cdot1 + 3\cdot2 & -5\cdot3 + 3\cdot 5\\ 2\cdot1 +(-1)\cdot2 & 2\cdot3 +(-1)\cdot5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}=I_{2}$

www.math10.com

Обратная матрица

15 февраля 2018

Эта тема является одной из самых ненавистных среди студентов. Хуже, наверное, только определители.

Фишка в том, что само понятие обратного элемента (и я сейчас не только о матрицах) отсылает нас к операции умножения. Даже в школьной программе умножение считается сложной операцией, а уж умножение матриц — вообще отдельная тема, которой у меня посвящён целый параграф и видеоурок.

Сегодня мы не будем вдаваться в подробности матричных вычислений. Просто вспомним: как обозначаются матрицы, как они умножаются и что из этого следует.

Повторение: умножение матриц

Прежде всего договоримся об обозначениях. Матрицей $A$ размера $\left[ m\times n \right]$ называется просто таблица из чисел, в которой ровно $m$ строк и $n$ столбцов:

\[A=\left[ m\times n \right]=\underbrace{\left[ \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & ... & {{a}_{1n}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & ... & {{a}_{2n}} \\ ... & ... & ... & ... \\ {{a}_{m1}} & {{a}_{m2}} & ... & {{a}_{mn}} \\\end{matrix} \right]}_{n}\]

Чтобы случайно не перепутать строки и столбцы местами (поверьте, на экзамене можно и единицу с двойкой перепутать — что уж говорить про какие-то там строки), просто взгляните на картинку:

Определение индексов для клеток матрицы

Что происходит? Если разместить стандартную систему координат $OXY$ в левом верхнем углу и направить оси так, чтобы они охватывали всю матрицу, то каждой клетке этой матрицы можно однозначно сопоставить координаты $\left( x;y \right)$ — это и будет номер строки и номер столбца.

Почему система координат размещена именно в левом верхнем углу? Да потому что именно оттуда мы начинаем читать любые тексты. Это очень просто запомнить.

А почему ось $x$ направлена именно вниз, а не вправо? Опять всё просто: возьмите стандартную систему координат (ось $x$ идёт вправо, ось $y$ — вверх) и поверните её так, чтобы она охватывала матрицу. Это поворот на 90 градусов по часовой стрелке — его результат мы и видим на картинке.

В общем, как определять индексы у элементов матрицы, мы разобрались. Теперь давайте разберёмся с умножением.

Определение. Матрицы $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$, когда количество столбцов в первой совпадает с количеством строк во второй, называются согласованными.

Именно в таком порядке. Можно сумничать и сказать, мол, матрицы $A$ и $B$ образуют упорядоченную пару $\left( A;B \right)$: если они согласованы в таком порядке, то совершенно необязательно, что $B$ и $A$, т.е. пара $\left( B;A \right)$ — тоже согласована.

Умножать можно только согласованные матрицы.

Определение. Произведение согласованных матриц $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$ — это новая матрица $C=\left[ m\times k \right]$, элементы которой ${{c}_{ij}}$ считаются по формуле:

\[{{c}_{ij}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{{{a}_{ik}}}\cdot {{b}_{kj}}\]

Другими словами: чтобы получить элемент ${{c}_{ij}}$ матрицы $C=A\cdot B$, нужно взять $i$-строку первой матрицы, $j$-й столбец второй матрицы, а затем попарно перемножить элементы из этой строки и столбца. Результаты сложить.

Да, вот такое суровое определение. Из него сразу следует несколько фактов:

  1. Умножение матриц, вообще говоря, некоммутативно: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
  2. Однако умножение ассоциативно: $\left( A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left( B\cdot C \right)$;
  3. И даже дистрибутивно: $\left( A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
  4. И ещё раз дистрибутивно: $A\cdot \left( B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Дистрибутивность умножения пришлось отдельно описывать для левого и правого множителя-суммы как раз из-за некоммутативности операции умножения.

Если всё же получается так, что $A\cdot B=B\cdot A$, такие матрицы называются перестановочными.

Среди всех матриц, которые там на что-то умножаются, есть особые — те, которые при умножении на любую матрицу $A$ снова дают $A$:

Определение. Матрица $E$ называется единичной, если $A\cdot E=A$ или $E\cdot A=A$. В случае с квадратной матрицей $A$ можем записать:

\[A\cdot E=E\cdot A=A\]

Единичная матрица — частый гость при решении матричных уравнений. И вообще частый гость в мире матриц.:)

А ещё из-за этой $E$ кое-кто придумал всю ту дичь, которая будет написана дальше.

Что такое обратная матрица

Поскольку умножение матриц — весьма трудоёмкая операция (приходится перемножать кучу строчек и столбцов), то понятие обратной матрицы тоже оказывается не самым тривиальным. И требующим некоторых пояснений.

Ключевое определение

Что ж, пора познать истину.

Определение. Матрица $B$ называется обратной к матрице $A$, если

\[A\cdot B=B\cdot A=E\]

Обратная матрица обозначается через ${{A}^{-1}}$ (не путать со степенью!), поэтому определение можно переписать так:

\[A\cdot {{A}^{-1}}={{A}^{-1}}\cdot A=E\]

Казалось бы, всё предельно просто и ясно. Но при анализе такого определения сразу возникает несколько вопросов:

  1. Всегда ли существует обратная матрица? И если не всегда, то как определить: когда она существует, а когда — нет?
  2. А кто сказал, что такая матрица ровно одна? Вдруг для некоторой исходной матрицы $A$ найдётся целая толпа обратных?
  3. Как выглядят все эти «обратные»? И как, собственно, их считать?

Насчёт алгоритмов вычисления — об этом мы поговорим чуть позже. Но на остальные вопросы ответим прямо сейчас. Оформим их в виде отдельных утверждений-лемм.

Основные свойства

Начнём с того, как в принципе должна выглядеть матрица $A$, чтобы для неё существовала ${{A}^{-1}}$. Сейчас мы убедимся в том, что обе эти матрицы должны быть квадратными, причём одного размера: $\left[ n\times n \right]$.

Лемма 1. Дана матрица $A$ и обратная ей ${{A}^{-1}}$. Тогда обе эти матрицы — квадратные, причём одинакового порядка $n$.

Доказательство. Всё просто. Пусть матрица $A=\left[ m\times n \right]$, ${{A}^{-1}}=\left[ a\times b \right]$. Поскольку произведение $A\cdot {{A}^{-1}}=E$ по определению существует, матрицы $A$ и ${{A}^{-1}}$ согласованы в указанном порядке:

\[\begin{align} & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end{align}\]

Это прямое следствие из алгоритма перемножения матриц: коэффициенты $n$ и $a$ являются «транзитными» и должны быть равны.

Вместе с тем определено и обратное умножение: ${{A}^{-1}}\cdot A=E$, поэтому матрицы ${{A}^{-1}}$ и $A$ тоже согласованы в указанном порядке:

\[\begin{align} & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end{align}\]

Таким образом, без ограничения общности можем считать, что $A=\left[ m\times n \right]$, ${{A}^{-1}}=\left[ n\times m \right]$. Однако согласно определению $A\cdot {{A}^{-1}}={{A}^{-1}}\cdot A$, поэтому размеры матриц строго совпадают:

\[\begin{align} & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end{align}\]

Вот и получается, что все три матрицы — $A$, ${{A}^{-1}}$ и $E$ — являются квадратными размером $\left[ n\times n \right]$. Лемма доказана.

Что ж, уже неплохо. Мы видим, что обратимыми бывают лишь квадратные матрицы. Теперь давайте убедимся, что обратная матрица всегда одна.

Лемма 2. Дана матрица $A$ и обратная ей ${{A}^{-1}}$. Тогда эта обратная матрица — единственная.

Доказательство. Пойдём от противного: пусть у матрицы $A$ есть хотя бы два экземпляра обратных —$B$ и $C$. Тогда, согласно определению, верны следующие равенства:

\[\begin{align} & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end{align}\]

Из леммы 1 мы заключаем, что все четыре матрицы — $A$, $B$, $C$ и $E$ — являются квадратными одинакового порядка: $\left[ n\times n \right]$. Следовательно, определено произведение:

\[B\cdot A\cdot C\]

Поскольку умножение матриц ассоциативно (но не коммутативно!), мы можем записать:

\[\begin{align} & B\cdot A\cdot C=\left( B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left( A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \end{align}\]

Получили единственно возможный вариант: два экземпляра обратной матрицы равны. Лемма доказана.

Приведённые рассуждения почти дословно повторяют доказательство единственность обратного элемента для всех действительных чисел $b\ne 0$. Единственное существенное дополнение — учёт размерности матриц.

Впрочем, мы до сих пор ничего не знаем о том, всякая ли квадратная матрица является обратимой. Тут нам на помощь приходит определитель — это ключевая характеристика для всех квадратных матриц.

Лемма 3. Дана матрица $A$. Если обратная к ней матрица ${{A}^{-1}}$ существует, то определитель исходной матрицы отличен от нуля:

\[\left| A \right|\ne 0\]

Доказательство. Мы уже знаем, что $A$ и ${{A}^{-1}}$ — квадратные матрицы размера $\left[ n\times n \right]$. Следовательно, для каждой из них можно вычислить определитель: $\left| A \right|$ и $\left| {{A}^{-1}} \right|$. Однако определитель произведения равен произведению определителей:

\[\left| A\cdot B \right|=\left| A \right|\cdot \left| B \right|\Rightarrow \left| A\cdot {{A}^{-1}} \right|=\left| A \right|\cdot \left| {{A}^{-1}} \right|\]

Но согласно определению $A\cdot {{A}^{-1}}=E$, а определитель $E$ всегда равен 1, поэтому

\[\begin{align} & A\cdot {{A}^{-1}}=E; \\ & \left| A\cdot {{A}^{-1}} \right|=\left| E \right|; \\ & \left| A \right|\cdot \left| {{A}^{-1}} \right|=1. \\ \end{align}\]

Произведение двух чисел равно единице только в том случае, когда каждое из этих чисел отлично от нуля:

\[\left| A \right|\ne 0;\quad \left| {{A}^{-1}} \right|\ne 0.\]

Вот и получается, что $\left| A \right|\ne 0$. Лемма доказана.

На самом деле это требование вполне логично. Сейчас мы разберём алгоритм нахождения обратной матрицы — и станет совершенно ясно, почему при нулевом определителе никакой обратной матрицы в принципе не может существовать.

Но для начала сформулируем «вспомогательное» определение:

Определение. Вырожденная матрица — это квадратная матрица размера $\left[ n\times n \right]$, чей определитель равен нулю.

Таким образом, мы можем утверждать, что всякая обратимая матрица является невырожденной.

Как найти обратную матрицу

Сейчас мы рассмотрим универсальный алгоритм нахождения обратных матриц. Вообще, существует два общепринятых алгоритма, и второй мы тоже сегодня рассмотрим.

Тот, который будет рассмотрен сейчас, очень эффективен для матриц размера $\left[ 2\times 2 \right]$ и — частично — размера $\left[ 3\times 3 \right]$. А вот начиная с размера $\left[ 4\times 4 \right]$ его лучше не применять. Почему — сейчас сами всё поймёте.

Алгебраические дополнения

Готовьтесь. Сейчас будет боль. Нет, не переживайте: к вам не идёт красивая медсестра в юбке, чулках с кружевами и не сделает укол в ягодицу. Всё куда прозаичнее: к вам идут алгебраические дополнения и Её Величество «Союзная Матрица».

Начнём с главного. Пусть имеется квадратная матрица размера $A=\left[ n\times n \right]$, элементы которой именуются ${{a}_{ij}}$. Тогда для каждого такого элемента можно определить алгебраическое дополнение:

Определение. Алгебраическое дополнение ${{A}_{ij}}$ к элементу ${{a}_{ij}}$, стоящего в $i$-й строке и $j$-м столбце матрицы $A=\left[ n\times n \right]$ — это конструкция вида

\[{{A}_{ij}}={{\left( -1 \right)}^{i+j}}\cdot M_{ij}^{*}\]

Где $M_{ij}^{*}$ — определитель матрицы, полученной из исходной $A$ вычёркиванием той самой $i$-й строки и $j$-го столбца.

Ещё раз. Алгебраическое дополнение к элементу матрицы с координатами $\left( i;j \right)$ обозначается как ${{A}_{ij}}$ и считается по схеме:

  1. Сначала вычёркиваем из исходной матрицы $i$-строчку и $j$-й столбец. Получим новую квадратную матрицу, и её определитель мы обозначаем как $M_{ij}^{*}$.
  2. Затем умножаем этот определитель на ${{\left( -1 \right)}^{i+j}}$ — поначалу это выражение может показаться мозговыносящим, но по сути мы просто выясняем знак перед $M_{ij}^{*}$.
  3. Считаем — получаем конкретное число. Т.е. алгебраическое дополнение — это именно число, а не какая-то новая матрица и т.д.

Саму матрицу $M_{ij}^{*}$ называют дополнительным минором к элементу ${{a}_{ij}}$. И в этом смысле приведённое выше определение алгебраического дополнения является частным случаем более сложного определения — того, что мы рассматривали в уроке про определитель.

Важное замечание. Вообще-то во «взрослой» математике алгебраические дополнения определяются так:

  1. Берём в квадратной матрице $k$ строчек и $k$ столбцов. На их пересечении получится матрица размера $\left[ k\times k \right]$ — её определитель называется минором порядка $k$ и обозначается ${{M}_{k}}$.
  2. Затем вычёркиваем эти «избранные» $k$ строчек и $k$ столбцов. Снова получится квадратная матрица — её определитель называется дополнительным минором и обозначается $M_{k}^{*}$.
  3. Умножаем $M_{k}^{*}$ на ${{\left( -1 \right)}^{t}}$, где $t$ — это (вот сейчас внимание!) сумма номеров всех выбранных строчек и столбцов. Это и будет алгебраическое дополнение.

Взгляните на третий шаг: там вообще-то сумма $2k$ слагаемых! Другое дело, что для $k=1$ мы получим лишь 2 слагаемых — это и будут те самые $i+j$ — «координаты» элемента ${{a}_{ij}}$, для которого мы ищем алгебраическое дополнение.

Таким образом сегодня мы используем слегка упрощённое определение. Но как мы увидим в дальнейшем, его окажется более чем достаточно. Куда важнее следующая штука:

Определение. Союзная матрица $S$ к квадратной матрице $A=\left[ n\times n \right]$ — это новая матрица размера $\left[ n\times n \right]$, которая получается из $A$ заменой ${{a}_{ij}}$ алгебраическими дополнениями ${{A}_{ij}}$:

\[A=\left[ \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & ... & {{a}_{1n}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & ... & {{a}_{2n}} \\ ... & ... & ... & ... \\ {{a}_{n1}} & {{a}_{n2}} & ... & {{a}_{nn}} \\\end{matrix} \right]\Rightarrow S=\left[ \begin{matrix} {{A}_{11}} & {{A}_{12}} & ... & {{A}_{1n}} \\ {{A}_{21}} & {{A}_{22}} & ... & {{A}_{2n}} \\ ... & ... & ... & ... \\ {{A}_{n1}} & {{A}_{n2}} & ... & {{A}_{nn}} \\\end{matrix} \right]\]

Первая мысль, возникающая в момент осознания этого определения — «это сколько же придётся всего считать!» Расслабьтесь: считать придётся, но не так уж и много.:)

Что ж, всё это очень мило, но зачем это нужно? А вот зачем.

Основная теорема

Вернёмся немного назад. Помните, в Лемме 3 утверждалось, что обратимая матрица $A$ всегда не вырождена (т.е. её определитель отличен от нуля: $\left| A \right|\ne 0$).

Так вот, верно и обратное: если матрица $A$ не вырождена, то она всегда обратима. И даже существует схема поиска ${{A}^{-1}}$. Зацените:

Теорема об обратной матрице. Пусть дана квадратная матрица $A=\left[ n\times n \right]$, причём её определитель отличен от нуля: $\left| A \right|\ne 0$. Тогда обратная матрица ${{A}^{-1}}$ существует и считается по формуле:

\[{{A}^{-1}}=\frac{1}{\left| A \right|}\cdot {{S}^{T}}\]

А теперь — всё то же самое, но разборчивым почерком. Чтобы найти обратную матрицу, нужно:

  1. Посчитать определитель $\left| A \right|$ и убедиться, что он отличен от нуля.
  2. Составить союзную матрицу $S$, т.е. посчитать 100500 алгебраических дополнений ${{A}_{ij}}$ и расставить их на месте ${{a}_{ij}}$.
  3. Транспонировать эту матрицу $S$, а затем умножить её на некое число $q={1}/{\left| A \right|}\;$.

И всё! Обратная матрица ${{A}^{-1}}$ найдена. Давайте посмотрим на примеры:

Задача. Найдите обратную матрицу:

\[\left[ \begin{matrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end{matrix} \right]\]

Решение. Проверим обратимость. Посчитаем определитель:

\[\left| A \right|=\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end{matrix} \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Определитель отличен от нуля. Значит, матрица обратима. Составим союзную матрицу:

\[S=\left[ \begin{matrix} {{A}_{11}} & {{A}_{12}} \\ {{A}_{21}} & {{A}_{22}} \\\end{matrix} \right]\]

Посчитаем алгебраические дополнения:

\[\begin{align} & {{A}_{11}}={{\left( -1 \right)}^{1+1}}\cdot \left| 2 \right|=2; \\ & {{A}_{12}}={{\left( -1 \right)}^{1+2}}\cdot \left| 5 \right|=-5; \\ & {{A}_{21}}={{\left( -1 \right)}^{2+1}}\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & {{A}_{22}}={{\left( -1 \right)}^{2+2}}\cdot \left| 3 \right|=3. \\ \end{align}\]

Обратите внимание: определители |2|, |5|, |1| и |3| — это именно определители матриц размера $\left[ 1\times 1 \right]$, а не модули. Т.е. если в определителях стояли отрицательные числа, убирать «минус» не надо.

Итого наша союзная матрица выглядит так:

\[S=\left[ \begin{array}{*{35}{r}}2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end{array} \right]\]

Осталось посчитать обратную:

\[{{A}^{-1}}=\frac{1}{\left| A \right|}\cdot {{S}^{T}}=\frac{1}{1}\cdot {{\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end{array} \right]}^{T}}=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end{array} \right]\]

Ну вот и всё. Задача решена.

Ответ. $\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end{array} \right]$

Задача. Найдите обратную матрицу:

\[\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end{array} \right]\]

Решение. Опять считаем определитель:

\[\begin{align} & \left| \begin{array}{*{35}{r}} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end{array} \right|=\begin{matrix} \left( 1\cdot 2\cdot 1+\left( -1 \right)\cdot \left( -1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left( 2\cdot 2\cdot 1+\left( -1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left( -1 \right)\cdot 0 \right) \\\end{matrix}= \\ & =\left( 2+1+0 \right)-\left( 4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end{align}\]

Определитель отличен от нуля — матрица обратима. А вот сейчас будет самая жесть: надо посчитать аж 9 (девять, мать их!) алгебраических дополнений. И каждое из них будет содержать определитель $\left[ 2\times 2 \right]$. Полетели:

\[\begin{matrix} {{A}_{11}}={{\left( -1 \right)}^{1+1}}\cdot \left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right|=2; \\ {{A}_{12}}={{\left( -1 \right)}^{1+2}}\cdot \left| \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end{matrix} \right|=-1; \\ {{A}_{13}}={{\left( -1 \right)}^{1+3}}\cdot \left| \begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end{matrix} \right|=-2; \\ ... \\ {{A}_{33}}={{\left( -1 \right)}^{3+3}}\cdot \left| \begin{matrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end{matrix} \right|=2; \\ \end{matrix}\]

Короче, союзная матрица будет выглядеть так:

\[S=\left[ \begin{matrix} 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end{matrix} \right]\]

Следовательно, обратная матрица будет такой:

\[{{A}^{-1}}=\frac{1}{-1}\cdot \left[ \begin{matrix} 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{array}{*{35}{r}}-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end{array} \right]\]

Ну и всё. Вот и ответ.

Ответ. $\left[ \begin{array}{*{35}{r}} -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end{array} \right]$

Как видите, в конце каждого примера мы выполняли проверку. В связи с этим важное замечание:

Не ленитесь выполнять проверку. Умножьте исходную матрицу на найденную обратную — должна получиться $E$.

Выполнить эту проверку намного проще и быстрее, чем искать ошибку в дальнейших вычислениях, когда, например, вы решаете матричное уравнение.

Альтернативный способ

Как я и говорил, теорема об обратной матрице прекрасно работает для размеров $\left[ 2\times 2 \right]$ и $\left[ 3\times 3 \right]$ (в последнем случае — уже не так уж и «прекрасно»), а вот для матриц больших размеров начинается прям печаль.

Но не переживайте: есть альтернативный алгоритм, с помощью которого можно невозмутимо найти обратную хоть для матрицы $\left[ 10\times 10 \right]$. Но, как это часто бывает, для рассмотрения этого алгоритма нам потребуется небольшая теоретическая вводная.

Элементарные преобразования

Среди всевозможных преобразований матрицы есть несколько особых — их называют элементарными. Таких преобразований ровно три:

  1. Умножение. Можно взять $i$-ю строку (столбец) и умножить её на любое число $k\ne 0$;
  2. Сложение. Прибавить к $i$-й строке (столбцу) любую другую $j$-ю строку (столбец), умноженную на любое число $k\ne 0$ (можно, конечно, и $k=0$, но какой в этом смысл? Ничего не изменится же).
  3. Перестановка. Взять $i$-ю и $j$-ю строки (столбцы) и поменять местами.

Почему эти преобразования называются элементарными (для больших матриц они выглядят не такими уж элементарными) и почему их только три — эти вопросы выходят за рамки сегодняшнего урока. Поэтому не будем вдаваться в подробности.

Важно другое: все эти извращения нам предстоит выполнять над присоединённой матрицей. Да, да: вы не ослышались. Сейчас будет ещё одно определение — последнее в сегодняшнем уроке.

Присоединённая матрица

Наверняка в школе вы решали системы уравнений методом сложения. Ну, там, вычесть из одной строки другую, умножить какую-то строку на число — вот это вот всё.

Так вот: сейчас будет всё то же, но уже «по-взрослому». Готовы?

Определение. Пусть дана матрица $A=\left[ n\times n \right]$ и единичная матрица $E$ такого же размера $n$. Тогда присоединённая матрица $\left[ A\left| E \right. \right]$ — это новая матрица размера $\left[ n\times 2n \right]$, которая выглядит так:

\[\left[ A\left| E \right. \right]=\left[ \begin{array}{rrrr|rrrr}{{a}_{11}} & {{a}_{12}} & ... & {{a}_{1n}} & 1 & 0 & ... & 0 \\{{a}_{21}} & {{a}_{22}} & ... & {{a}_{2n}} & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\{{a}_{n1}} & {{a}_{n2}} & ... & {{a}_{nn}} & 0 & 0 & ... & 1 \\\end{array} \right]\]

Короче говоря, берём матрицу $A$, справа приписываем к ней единичную матрицу $E$ нужного размера, разделяем их вертикальной чертой для красоты — вот вам и присоединённая.:)

В чём прикол? А вот в чём:

Теорема. Пусть матрица $A$ обратима. Рассмотрим присоединённую матрицу $\left[ A\left| E \right. \right]$. Если с помощью элементарных преобразований строк привести её к виду $\left[ E\left| B \right. \right]$, т.е. путём умножения, вычитания и перестановки строк получить из $A$ матрицу $E$ справа, то полученная слева матрица $B$ — это обратная к $A$:

\[\left[ A\left| E \right. \right]\to \left[ E\left| B \right. \right]\Rightarrow B={{A}^{-1}}\]

Вот так всё просто! Короче говоря, алгоритм нахождения обратной матрицы выглядит так:

  1. Записать присоединённую матрицу $\left[ A\left| E \right. \right]$;
  2. Выполнять элементарные преобразования строк до тех пор, пока права вместо $A$ не появится $E$;
  3. Разумеется, слева тоже что-то появится — некая матрица $B$. Это и будет обратная;
  4. PROFIT!:)

Конечно, сказать намного проще, чем сделать. Поэтому давайте рассмотрим парочку примеров: для размеров $\left[ 3\times 3 \right]$ и $\left[ 4\times 4 \right]$.

Задача. Найдите обратную матрицу:

\[\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end{array} \right]\]

Решение. Составляем присоединённую матрицу:

\[\left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end{array} \right]\]

Поскольку последний столбец исходной матрицы заполнен единицами, вычтем первую строку из остальных:

\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end{array} \right] \\ \end{align}\]

Больше единиц нет, кроме первой строки. Но её мы не трогаем, иначе в третьем столбце начнут «размножаться» только что убранные единицы.

Зато можем вычесть вторую строку дважды из последней — получим единицу в левом нижнем углу:

\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end{matrix}\to \\ & \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{array} \right] \\ \end{align}\]

Теперь можно вычесть последнюю строку из первой и дважды из второй — таким образом мы «занулим» первый столбец:

\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{array} \right] \\ \end{align}\]

Умножим вторую строку на −1, а затем вычтем её 6 раз из первой и прибавим 1 раз к последней:

\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} \ \\ \left| \cdot \left( -1 \right) \right. \\ \ \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end{array} \right] \\ \end{align}\]

Осталось лишь поменять местами строки 1 и 3:

\[\left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\\end{array} \right]\]

Готово! Справа — искомая обратная матрица.

Ответ. $\left[ \begin{array}{*{35}{r}}4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end{array} \right]$

Задача. Найдите обратную матрицу:

\[\left[ \begin{matrix} 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end{matrix} \right]\]

Решение. Снова составляем присоединённую:

\[\left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end{array} \right]\]

Немного позалимаем, попечалимся от того, сколько сейчас придётся считать... и начнём считать. Для начала «обнулим» первый столбец, вычитая строку 1 из строк 2 и 3:

\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end{array} \right] \\ \end{align}\]

Наблюдаем слишком много «минусов» в строках 2—4. Умножим все три строки на −1, а затем «выжжем» третий столбец, вычитая строку 3 из остальных:

\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} \ \\ \left| \cdot \left( -1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left( -1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left( -1 \right) \right. \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end{array} \right] \\ \end{align}\]

Теперь самое время «поджарить» последний столбец исходной матрицы: вычитаем строку 4 из остальных:

\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end{array} \right] \\ \end{align}\]

Финальный бросок: «выжигаем» второй столбец, вычитая строку 2 из строки 1 и 3:

\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end{array} \right] \\ \end{align}\]

И снова слева единичная матрица, значит справа — обратная.:)

Ответ. $\left[ \begin{matrix} 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & -1 \\\end{matrix} \right]$

Ну вот и всё. Проверку сделайте сами — мне в лом.:)

Смотрите также:

  1. Как считать определитель матрицы
  2. Угол между двумя прямыми
  3. Тест к уроку «Сложение и вычитание дробей» (средний)
  4. Комбинаторика в задаче B6: легкий тест
  5. Тест по методу интервалов для строгих неравенств
  6. Формула простого процента: как найти исходное значение

www.berdov.com

Свойства определителя матрицы | Мозган калькулятор онлайн

  1. Определитель единичной матрицы равен единице: det(E) = 1. Единичная матрица — это квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице, а все остальные элементы равны 0.
  2. Определитель матрицы с двумя равными строками или столбцами равен нулю.
  3. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками или столбцами равен нулю.
  4. Определитель матрицы, содержащий нулевую строку или столбец, равен нулю.
  5. Определитель матрицы равен нулю, если две или несколько строк или столбцов матрицы линейно зависимы.
  6. При транспонировании значение определителя матрицы не меняется: det(A) = det(AT).
  7. Определитель обратной матрицы: det(A-1) = det(A)-1.
  8. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке или столбцу прибавить другую строку или столбец, умноженную на некоторое число.
  9. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке или столбцу прибавить линейную комбинации других строк или столбцов.
  10. Если поменять местами две строки или два столбца матрицы, то определитель матрицы поменяет знак.
  11. Общий множитель в строке или столбце можно выносить за знак определителя:
  12. Если квадратная матрица n-того порядка умножается на некоторое ненулевое число, то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на это число в n-той степени: B = k·A => det(B) = kn·det(A), где A матрица n×n, k - число.
  13. Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем:
  14. Определитель верхней или нижней треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.
  15. Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц: det(A·B) = det(A)·det(B).

Другой материал по теме

mozgan.ru