Теоретическая механика студентам НУК. Как найти центр тяжести прямоугольника треугольника круга


Положения центра тяжести некоторых фигур

Прямоугольник. Так как прямоугольник имеет две оси симметрии , то его центр тяжести находится на пересечении осей симметрии, т.е. в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

Треугольник. Центр тяжести лежит в точке пересечения его медиан. Из геометрии известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении 1:2 от основания.

Круг. Так как круг имеет две оси симметрии, то его центр тяжести находится на пересечении осей симметрии.

Полукруг. Полукруг имеет одну ось симметрии, то центр тяжести лежит на этой оси. Другая координата центра тяжести вычисляется по формуле: .

Многие конструктивные элементы изготавливают из стандартного проката – уголков, двутавров, швеллеров и других. Все размеры, а так же геометрические характеристики прокатных профилей это табличные данные, которые можно найти в справочной литературе в таблицах нормального сортамента (ГОСТ 8239-89, ГОСТ 8240-89).

Пример 1. Определить положение центра тяжести фигуры, представленной на рисунке.

Решение:

  1. Выбираем оси координат, так чтобы ось Ох прошла по крайнему нижнему габаритному размеру, а ось Оу – по крайнему левому габаритному размеру.

  2. Разбиваем сложную фигуру на минимальное количество простых фигур:

  1. прямоугольник 20х10;

  2. треугольник 15х10;

  3. круг R=3 см.

  1. Вычисляем площадь каждой простой фигуры, её координаты центра тяжести. Результаты вычислений заносим в таблицу

№ фигуры

Площадь фигуры А,

Координаты центра тяжести

Х, см

У, см

1

=20·10=200

20:2=10

10:2=5

2

3

10

5

  1. Вычисляем координаты центра тяжести фигуры по формулам:

Ответ: С(14,5; 4,5)

Пример 2. Определить координаты центра тяжести составного сечения, состоящего из листа и прокатных профилей.

Решение.

  1. Выбираем оси координат, так как показано на рисунке.

  2. Обозначим фигуры номерами и выпишем из таблицы необходимые данные:

  1. – швеллер №10; высота h=100 мм; ширина b=46 мм; площадь сечения ;

  2. - двутавр №16; высота h=160 мм; ширина b=81 мм; площадь сечения ;

  3. – лист 5х100; толщина 5 мм; ширина 100 мм.

  1. Вычисляем координаты центра тяжести каждой фигуры. Составное сечение симметрично, поэтому центр тяжести находится на оси симметрии и координата . Результаты вычислений заносим в таблицу

№ фигуры

Площадь фигуры А,

Координаты центра тяжести

Х, см

У, см

1

=10,9

0

2

0

3

0

  1. Вычисляем координаты центра тяжести фигуры по формулам:

Ответ: С(0; 10)

Лабораторная работа №1 «Определение центра тяжести составных плоских фигур»

Цель: Определить центр тяжести заданной плоской сложной фигуры опытным и аналитическим способами и сравнить их результаты.

Порядок выполнения работы

  1. Начертить в тетрадях свою плоскую фигуру по размерам, с указанием осей координат.

  2. Определить центр тяжести аналитическим способом.

    1. Разбить фигуру на минимальное количество фигур, центры тяжести которых, мы знаем, как определить.

    2. Указать номера площадей и координаты центра тяжести каждой фигуры.

    3. Вычислить координаты центра тяжести каждой фигуры.

    4. Вычислить площадь каждой фигуры.

    5. Вычислить координаты центра тяжести всей фигуры по формулам (положение центра тяжести нанести на чертеж фигуры):

;

    1. Записать координаты центра тяжести.

  1. Определить центр тяжести опытным путем на установке для определения координат центра тяжести.

    1. Вырезать данную фигуру из тонкого картона.

    2. Определить центр тяжести своей фигуры на установке.

Установка для опытного определения координат центра тяжести способом подвешивания состоит из вертикальной стойки 1 (см. рис.), к которой прикреплена игла 2. Плоская фигура 3 изготовлена из картона, в котором легко проколоть отверстие. Отверстия А и В прокалываются в произвольно расположенных точках (лучше на наиболее удаленном расстоянии друг от друга). Плоская фигура подвешивается на иглу сначала в точке А, а потом в точке В. При помощи отвеса 4, закрепленного на той же игле, на фигуре прочерчивают карандашом вертикальную линию, соответствующую нити отвеса. Центр тяжести С фигуры будет находиться в точке пересечения вертикальных линий, нанесенных при подвешивании фигуры в точках А и В.

    1. Приклеить фигуру с определенным центром тяжести в тетрадь.

    2. Записать значения координат центра тяжести, найденных при подвешивании фигур:

  1. Сравнить результаты: ;

  2. Сделать вывод:

Задание для лабораторной работы. Номер схемы соответствует Вашему порядковому номеру в журнале.

studfiles.net

Как найти центр тяжести фигуры? Расчет в Excel!

Опубликовано 21 Окт 2013Рубрика: Механика | 3 комментария

В инженерной практике случается, что возникает необходимость вычислить координаты центра тяжести сложной плоской фигуры, состоящей из простых элементов, для которых расположение центра тяжести известно. Такая задача является частью задачи определения...

...геометрических характеристик составных поперечных сечений балок и стержней. Часто с  подобными вопросами приходится сталкиваться инженерам-конструкторам вырубных штампов при определении координат центра давления, разработчикам схем погрузки различного транспорта при размещении грузов, проектировщикам строительных металлических конструкций при подборе сечений элементов и, конечно, студентам при изучении дисциплин «Теоретическая механика» и «Сопротивление материалов».

Библиотека элементарных фигур.

Для симметричных  плоских фигур центр тяжести совпадает с центром симметрии. К симметричной группе элементарных объектов относятся: круг, прямоугольник (в том числе квадрат), параллелограмм (в том числе ромб), правильный многоугольник.

Из десяти фигур, представленных на рисунке выше, только две являются базовыми. То есть, используя треугольники и сектора кругов, можно скомбинировать почти любую фигуру, имеющую практический интерес. Любые произвольные кривые можно, разбив на участки, заменить дугами окружностей.

Оставшиеся восемь фигур являются самыми распространенными, поэтому они и были включены в эту своеобразную библиотеку. В нашей классификации эти элементы не являются базовыми. Прямоугольник, параллелограмм и трапецию можно составить из двух треугольников. Шестиугольник – это сумма из четырех треугольников. Сегмент круга — это разность сектора круга и треугольника. Кольцевой сектор круга — разность двух секторов. Круг – это сектор круга с углом α=2*π=360˚. Полукруг – это, соответственно, сектор круга с углом α=π=180˚.

Расчет в Excel координат центра тяжести составной фигуры.

Передавать и воспринимать информацию, рассматривая пример, всегда легче, чем изучать вопрос на чисто теоретических выкладках.  Рассмотрим решение задачи «Как найти центр тяжести?» на примере составной фигуры, изображенной на рисунке, расположенном ниже этого текста.

Составное сечение представляет собой прямоугольник (с размерами a1=80 мм, b1=40 мм), к которому слева сверху добавили равнобедренный треугольник (с размером основания  a2=24 мм и высотой h3=42 мм) и из которого справа сверху вырезали полукруг (с центром в точке с координатами x03=50 мм и y03=40 мм, радиусом r3=26 мм).

В помощь для выполнения расчета привлечем программу MS Excel или программу OOo Calc. Любая из них легко справится с нашей задачей!

В ячейках с желтой заливкой выполним вспомогательные предварительныерасчеты.

В ячейках со светло-желтой заливкой считаем результаты.

Синий шрифт – это исходные данные.

Черный шрифт – это промежуточные результаты расчетов.

Красный шрифт – это окончательные результаты расчетов.

Начинаем решение задачи – начинаем поиск координат центра тяжести сечения.

Исходные данные:

1. Названия элементарных фигур, образующих составное сечение впишем соответственно

в ячейку D3: Прямоугольник

в ячейку E3: Треугольник

в ячейку F3: Полукруг

2. Пользуясь представленной в этой статье «Библиотекой элементарных фигур», определим координаты центров тяжести элементов составного сечения xci и yci в мм относительно произвольно выбранных осей 0x и 0y и запишем

в ячейку D4: =80/2=40,000

xc1=a1/2

в ячейку D5: =40/2=20,000

yc1= b1/2

в ячейку E4: =24/2=12,000

xc2=a2/2

в ячейку E5: =40+42/3=54,000

yc2= b1+h3/3

в ячейку F4: =50=50,000

xc3=x03

в ячейку F5: =40-4*26/3/ПИ()=28,965

yc3= y03-4*r3/3/π

3. Рассчитаем площади элементов F1, F2, F3 в мм2, воспользовавшись вновь формулами из раздела  «Библиотека элементарных фигур»

в ячейке D6: =40*80=3200

F1=a1*b1

в ячейке E6: =24*42/2=504

F2=a2*h3/2

в ячейке F6: =-ПИ()/2*26^2=-1062

F3= -π/2*r3^2

Площадь третьего элемента – полукруга – отрицательная потому, что это вырез – пустое место!

Расчет координат центра тяжести:

4. Определим общую площадь итоговой фигуры F0 в мм2

в объединенной ячейке D8E8F8: =D6+E6+F6=2642

F0=F1+F2+F3

5. Вычислим статические моменты составной фигуры Sx и Sy в мм3 относительно выбранных осей 0x и 0y

в объединенной ячейке D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6=60459

Sx=yc1*F1+ yc2*F2+ yc3*F3

в объединенной ячейке D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6=80955

Sy=xc1*F1+ xc2*F2+ xc3*F3

6. И в завершение рассчитаем координаты центра тяжести составного сечения Xc и Yc в мм в выбранной системе координат 0x — 0y

в объединенной ячейке D11E11F11: =D10/D8=30,640

Xc=Sy/F0

в объединенной ячейке D12E12F12: =D9/D8=22,883

Yc=Sx/F0

Задача решена, расчет в Excel выполнен — найдены координаты центра тяжести сечения, составленного при использовании трех простых элементов!

Заключение.

Пример в статье был выбран очень простым для того, чтобы легче было разобраться в методологии расчетов центра тяжести  сложного сечения. Метод заключается в том, что любую сложную фигуру следует разбить на  простые элементы с известными местами расположения центров тяжести и произвести итоговые вычисления для всего сечения.

Если сечение составлено из прокатных профилей – уголков и швеллеров, то их нет необходимости разбивать на прямоугольники и квадраты с вырезанными круговыми «π/2»- секторами. Координаты центров тяжести этих профилей приведены в таблицах ГОСТов, то есть и уголок и швеллер будут в ваших расчетах составных сечений базовыми элементарными элементами (о двутаврах, трубах, прутках и шестигранниках говорить нет смысла – это центрально симметричные сечения).

Расположение осей координат на положение центра тяжести фигуры, конечно, не влияет! Поэтому выбирайте систему координат, упрощающую вам расчеты. Если, например, я развернул бы  в нашем примере систему координат на 45˚ по часовой стрелке, то вычисление координат центров тяжести прямоугольника, треугольника и полукруга превратилось бы в еще один отдельный и громоздкий этап расчетов, который «в уме» не выполнишь.

Представленный ниже расчетный файл Excel в данном случае программой не является. Скорее – это набросок калькулятора, алгоритм, шаблон по которому следует в каждом конкретном случае составлять свою последовательность формул для ячеек с яркой желтой заливкой.

Итак, как найти центр тяжести любого сечения вы теперь знаете! Полный расчет всех геометрических характеристик произвольных сложных составных сечений будет рассмотрен в одной из ближайших статей в рубрике «Механика». Следите за новостями на блоге.

Для получения информации о выходе новых статей и для скачивания рабочих файлов программ прошу вас подписаться на анонсы в окне, расположенном в конце статьи или в окне вверху страницы.

После ввода адреса своей электронной почты и нажатия на кнопку «Получать анонсы статей» НЕ ЗАБЫВАЙТЕ  ПОДТВЕРЖДАТЬ ПОДПИСКУ кликом по ссылке в письме, которое тут же придет к вам на указанную почту (иногда — в папку «Спам»)!

Несколько слов о бокале, монете и двух вилках, которые изображены на «значке-иллюстрации» в самом начале статьи. Многим из вас, безусловно, знаком этот «трюк», вызывающий восхищенные взгляды детей и непосвященных взрослых. Тема этой статьи – центр тяжести. Именно он и точка опоры, играя с нашим сознанием и опытом, попросту дурачат наш разум!

Центр тяжести системы «вилки+монета» всегда располагается на фиксированном расстоянии по вертикали вниз от края монеты, который в свою очередь является точкой опоры. Это положение устойчивого равновесия! Если покачать вилки, то сразу становится очевидным, что система стремится занять свое прежнее устойчивое положение! Представьте маятник – точка закрепления (=точка опоры монеты на кромку бокала), стержень-ось маятника (=в нашем случае ось виртуальная, так как масса двух вилок разведена в разные стороны пространства) и груз внизу оси (=центр тяжести всей системы «вилки+монета»). Если начать отклонять маятник от вертикали в любую сторону (вперед, назад, налево, направо), то он неизбежно под действием силы тяжести будет возвращаться в исходное устойчивое состояние равновесия (это же самое происходит и с нашими вилками и монетой)!

Кто не понял, но хочет понять – разберитесь самостоятельно. Это ведь очень интересно «доходить» самому! Добавлю, что этот же принцип использования устойчивого равновесия реализован и в игрушке ванька–встань-ка. Только центр тяжести у этой игрушки расположен выше точки опоры, но ниже центра полусферы опорной поверхности.

Всегда рад вашим комментариям, уважаемые читатели!!!

Прошу, УВАЖАЯ труд автора, скачивать файл ПОСЛЕ ПОДПИСКИ на анонсы статей.

Ссылка на скачивание файла: raschet-tsentra-tyazhesti (xls 17,0KB).

Другие статьи автора блога

На главную

Статьи с близкой тематикой

Отзывы

al-vo.ru

Как найти центр тяжести треугольника

Треугольник – одна из основных геометрических фигур. И только он имеет «восхитительные» точки. К ним относится, скажем, центр тяжести – точка, на которую доводится вес каждой фигуры. Где же находится эта «восхитительная» точка и как ее обнаружить?

Вам понадобится

Инструкция

1. Начертите сам треугольник. Для этого возьмите линейку и проведите карандашом отрезок. Потом начертите ещё один отрезок, начиная от одного из концов предыдущего. Замкните фигуру, объединив две оставшиеся свободные точки отрезков. Получился треугольник. Именно его центр тяжести предстоит искать.

2. Возьмите линейку и измерьте длину одной из сторон. Обнаружьте середину этой стороны и подметьте её карандашом. Проведите отрезок из противоположной вершины к обозначенной точке. Получившийся отрезок именуется медианой.

3. Приступите ко 2-й стороне. Измерьте её длину, поделите на две равные части и проведите медиану из лежащей наоборот вершины.

4. То же самое проделайте с третьей стороной. Обратите внимание на то, что, если вы все сделали верно, то медианы пересекутся в одной точке. Это и будет центр тяжести либо, как его ещё называют, центр масс треугольника.

5. Если перед вами стоит задача, обнаружить центр тяжести равностороннего треугольника, то проведите высоту из всей вершины фигуры. Для этого возьмите линейку с прямым углом и одной из сторон, прислоните к основанию треугольника, а вторую направьте к противолежащей вершине. То же самое проделайте с остальными сторонами. Точка пересечения будет являться центр ом тяжести . Специфика равносторонних треугольников заключается в том, что одни и те же отрезки являются и медианами, и высотами, и биссектрисами.

6. Центр тяжести всякого треугольника делит медианы на два отрезка. Их соотношение составляет 2:1, если глядеть от вершины. Если треугольник разместить на булавку таким образом, что центр оид окажется на её острие, то он не упадет, а будет находиться в равновесии. Также центр тяжести является той точкой, на которую доводится каждая масса, помещенная на вершинах треугольника. Проделайте данный навык и удостоверитесь в том, что эта точка недаром именуется «восхитительной».

Равносторонний треугольник — это треугольник, все стороны которого равны, как следует из его наименования. Эта специфика значительно упрощает нахождение остальных параметров треугольника , в том числе его высоты.

Вам понадобится

Инструкция

1. В равностороннем треугольнике все углы также равны. Угол равностороннего треугольника , отсель, равен 180/3 = 60 градусов. Видимо, что потому что все стороны и все углы такого треугольника равны, то все его высоты также будут равны.

2. В равностороннем треугольнике ABC дозволено провести, скажем, высоту AE. Потому что равносторонний треугольник — это частный случай равнобедренного треугольника , а AB = AC. Следственно, по свойству равнобедренного треугольника высота AE будет единовременно медианой (то есть BE = EC) треугольника ABC и биссектрисой угла BAC (то есть BAE = CAE).

3. Высота AE будет являться катетом прямоугольного треугольника BAE с гипотенузой AB. AB = a — длина стороны равностороннего треугольника . Тогда AE = AB*sin(ABE) = a*sin(60o) = sqrt(3)*a/2. Следственно, для нахождения высоты равностороннего треугольника , довольно знать только длину его стороны.

4. Видимо, что если задана медиана либо биссектриса равностороннего треугольника , то она и будет являться его высотой.

Видео по теме

В произвольном треугольнике дозволено выделить несколько отрезков, длины которых доводится вычислять особенно зачастую. Эти отрезки соединяют точки, лежащие в вершинах треугольника, в серединах его сторон, в центрах вписанной и описанной окружностей, а также другие важные для геометрии треугольника точки. Некоторые варианты расчета длин таких отрезков в евклидовой геометрии приведены ниже.

Инструкция

1. Если отрезок, тот, что требуется обнаружить, соединяет всякие две вершины произвольного треугольника, то он является одной из сторон этой геометрической фигуры. Если вестимы, скажем, длины 2-х других сторон (А и B) и величина угла, тот, что они образуют (?), то длину этого отрезка (С) вы можете рассчитать, исходя из теоремы косинусов. Сложите квадраты длин сторон, отнимите от итога две длины этих же сторон, умноженных на косинус вестимого угла, а после этого обнаружьте квадратный корень из полученного значения: C=?(А?+B?-2*А*B*cos(?)).

2. Если отрезок начинается в одной из вершин треугольника, заканчивается на противолежащей стороне и перпендикулярен ей, то такой отрезок именуется высотой (h). Обнаружить его дозволено, скажем, зная площадь (S) и длину (A) той стороны, на которую опущена высота — поделите удвоенную площадь на длину стороны: h=2*S/A.

3. Если отрезок соединяет середину всякий стороны произвольного треугольника и вершину, лежащую наоборот этой стороны, то именуется данный отрезок медианой (m). Обнаружить его длину дозволено, скажем, зная длины всех сторон (A, B, C) — сложите удвоенные квадраты длин 2-х сторон, отнимите от полученного значения квадрат той стороны, на середине которой заканчивается отрезок, а после этого обнаружьте квадратный корень из четверти полученного итога: m=?((2*А?+2*B?-C?)/4).

4. Если отрезок соединяет центр вписанной в произвольный треугольник окружности и всякую из точек касания этой окружности со сторонами треугольника, то обнаружить его длину дозволено, вычислив радиус (r) вписанной окружности. Для этого, скажем, поделите площадь (S) треугольника на его периметр (P): r=S/P.

5. Если отрезок соединяет центр окружности, описанной около произвольного треугольника, с всякий из вершин этой фигуры, то его длину дозволено рассчитать, обнаружив радиус описанной окружности (R). Если вестимы, скажем, длина одной из сторон (A) в таком треугольнике и угол (?), лежащий наоборот нее, то для вычисления длины надобного вам отрезка поделите длину стороны на удвоенный синус угла: R=A/(2*sin(?)).

Видео по теме

Медиана треугольника — это отрезок, тот, что соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В равностороннем треугольнике медиана является биссектрисой и высотой единовременно. Таким образом, необходимый отрезок дозволено возвести несколькими методами.

Вам понадобится

Инструкция

1. При помощи линейки и карандаша поделите сторону равностороннего треугольника напополам. Проведите отрезок, соединяющий обнаруженную точку и противоположный угол треугольника. Таким же образом отложите два следующих отрезка. Вы начертили медианы равностороннего треугольника.

2. Начертите высоту равностороннего треугольника. При помощи угольника опустите перпендикуляр из вершины треугольника к противоположной стороне. Вы возвели высоту равностороннего треугольника. Она является единовременно его медианой.

3. Постройте биссектрисы равностороннего треугольника. Всякий угол равностороннего треугольника равен 60?. Приложите транспортир к одной из сторон треугольника так, дабы точка отсчета совпадала с вершиной треугольника. Одна из его сторон должна идти верно по линии измерительного прибора, иная сторона пересекать полуокружность в точке с отметкой 60?.

4. Подметьте точкой деление в 30?. Проведите луч, соединяющий обнаруженную точку и вершину треугольника. Обнаружьте точку пересечения луча со стороной треугольника. Полученный отрезок является биссектрисой равностороннего треугольника, которая и есть его медиана.

5. Если равносторонний треугольник вписан в окружность, проведите прямую, соединяющую его вершину с центром окружности. Подметьте точку пересечения этой прямой со стороной треугольника. Отрезок, соединяющий вершину треугольника и его сторону, будет медианой равностороннего треугольника.

Видео по теме

Полезный совет Возвести биссектрису угла ? равностороннего треугольника дозволено при помощи циркуля. Для этого постройте две окружности с центром в 2-х других вершинах треугольника и радиусом, равным стороне треугольника. Окружности пересекутся в 2-х точках: в вершине угла ? и в точке N. Объедините эти точки между собой. Вы возвели биссектрису угла ?.

Центр фигуры дозволено обнаружить несколькими методами, смотря какие данные о ней теснее знамениты. Стоит разобрать нахождение центра окружности, которая является общностью точек, располагающихся на равном расстоянии от центра, потому что эта фигура — одна из особенно распространенных.

Вам понадобится

Инструкция

1. Примитивный метод обнаружить центр окружности – согнуть лист бумаги, на котором она начерчена, удостоверясь, глядя на просвет, что она сложилась верно напополам. После этого согните лист перпендикулярно первому сгибу. Так вы получите диаметры, точка пересечения которых и есть центр фигуры.

2. Безусловно, данный метод безупречен, только если окружность начерчена на бумаге, довольно тонкой, дабы дозволено было посмотреть на просвет, верно ли труден лист.

3. Возможен, рассматриваемую фигуру начертили на твердой, несгибаемой поверхности либо это отдельная деталь, которая также не поддается сгибу. Дабы обнаружить центр окружности в этом случае, вам необходима линейка.

4. Диаметр является самым длинным отрезком, соединяющим 2 точки окружности. Как вестимо, проходит он через центр, следственно задача нахождения центра окружности сводится к нахождению диаметра и его середины.

5. Наложите линейку на окружность, позже чего зафиксируйте в всякий точке фигуры нулевую отметку. Приложите линейку к окружности, получив секущую, а после этого двигайте по направлению к центру фигуры. Длина секущей будет повышаться, пока не дойдет до пиковой точки. Вы получите диаметр, а обнаружив его середину, обнаружите и центр окружности.

6. Центр описанной окружности для всякого треугольника располагается на пересечении срединных перпендикуляров. В случае, если треугольник прямоугольный, ее центр неизменно будет совпадать с серединой гипотенузы. То есть решение кроется в построении внутри окружности прямоугольного треугольника с вершинами, лежащими на окружности.

7. Трафаретом для прямого угла могут послужить школьный либо строительный угольник, линейка либо даже лист бумаги/картона. Разместите в всякую точку окружности вершину прямого угла, сделайте отметки в тех местах, где стороны угла пересекают рубеж окружности, объедините их. У вас получился диаметр – гипотенуза.

8. Таким же методом обнаружьте еще один диаметр, место пересечения 2-х таких отрезков и будет центром окружности.

Видео по теме

Обратите внимание! В заданиях может быть указано, что нужно обнаружить центр тяжести, центр масс либо центроид. Все три наименования обозначают одно и то же.

jprosto.ru

Центры тяжести простейших фигур — Мегаобучалка

Центр тяжести треугольника.Воспользуемся способом разбиения и разделим треугольник АВС на элементарные полоски, проведя линии, параллельные стороне АС треугольника. Каждую такую полоску можно принять за прямоугольник; центры тяжести этих прямоугольников находятся в их серединах, т.е. на медиане BD треугольника. Следовательно, центр тяжести треугольника должен лежать на этой же медиане BD.

Разбивая теперь треугольник на элементарные полоски линиями, параллельными стороне АВ, заключаем, что центр тяжести треугольника должен быть расположен на медиане ЕС.

Следовательно, центр тяжести треугольника находится в точке пересечения его медиан. Эта точка, как известно, делит каждую из медиан на отрезки в отношении , т.е .

Центр тяжести трапеции.Аналогично предыдущему, разобьем трапецию ABCD на элементарные полоски, параллельные основаниям ВС и АD. Центры тяжести полосок расположатся на прямой KL, соединяющей середины оснований трапеции. Следовательно, и центр тяжести трапеции лежит на этой прямой. Для того, чтобы найти его расстояние от нижнего основания, разобьем трапецию на треугольники АВС и АСD. Для этих треугольников соответственно имеем , , , .

Используя формулу (8.20), получаем

.

Центр тяжести дуги окружности. Рассмотрим дугу АDВ окружности радиуса с центральным углом . Поместим начало координат в центре окружности и направим ось перпендикулярно хорде АВ.

Так как вследствие симметрии фигуры относительно оси центр тяжести будет лежать на этой оси , т.е. , то остается только найти абсциссу центра тяжести ; для этого воспользуемся формулой (8.18).

Согласно рис. имеем , , и, следовательно,

, (8.22) где – половина центрального угла в радианах.

В частности, для дуги полуокружности будем иметь

.

Центр тяжести кругового сектора.Для определения положения центра тяжести кругового сектора разобьем его на элементарные секторы, как показано на рис. Каждый элементарный сектор можно принять за равнобедренный треугольник с высотой, равной . Но высота в равнобедренном треугольнике является также и его медианой; следовательно, центр тяжести каждого элементарного треугольника лежит на расстоянии от начала координат О. Соответственно геометрическим местом центров тяжести всех элементарных треугольников является дуга окружности радиусом .

Это означает, что центр тяжести площади кругового сектора можно искать как центр тяжести материальной линии, по которой непрерывно и равномерно распределен вес этого сектора. Применив формулу (8.22), получим координату центра тяжести площади сектора

, (8.23) где – половина центрального угла в радианах. В частности, для сектора в виде полукруга получим

. (8.24)

Задача 8.3.Пластина получена из квадрата, сторона которого равна , после того, как из него была вырезана часть, составляющая четверть круга радиуса с центром в вершине А квадрата. Определить центр тяжести пластины.

Решение.Ось проведем по диагонали квадрата, взяв начало оси в вершине А. Так как ось является осью симметрии пластины, то центр тяжести ее находится на этой оси. Площадь квадрата без выреза , абсцисса его центра тяжести ; площадь вырезанной части , абсцисса центра тяжести ее определяется формулой (8.23), в которой , :

.

Центр тяжести пластины определим по формуле

или, подставляя соответствующие величины,

.

Приведем без вывода формулы, определяющие положения центров тяжести некоторых простейших однородных тел.

megaobuchalka.ru

Как найти центр тяжести?

Перед тем, как найти центр тяжести простых фигур, таких которые обладают прямоугольной, круглой, шарообразной или цилиндрической, а также квадратной формой, необходимо знать, в какой точке находится центр симметрии конкретной фигуру. Поскольку в данных случаях, центр тяжести будет совпадать с центром симметрии.

Центр тяжести однородного стержня располагается в его геометрическом центре. Если необходимо определить центр тяжести круглого диска однородной структуры, то для начала найдите точку пересечения диаметров круга. Она и будет центром тяжести данного тела. Рассматривая такие фигуры, как шар, обруч и однородный прямоугольный параллелепипед, можно с уверенностью сказать, что центр тяжести обруча будет находиться в центре фигуры, но вне ее точек, центр тяжести шара - геометрический центр сферы, и в последнем случае, центром тяжестью считается пересечение диагоналей прямоугольного параллелепипеда.

Центр тяжести неоднородных тел

Чтобы найти координаты центра тяжести, как и сам центр тяжести неоднородного тела, необходимо разобраться, на каком отрезке данного тела располагается точка, в которой пересекаются все силы тяжести, действующие на фигуру, если ее переворачивать. На практике для нахождения такой точки подвешивают тело на нить, постепенно меняя точки прикрепления нити к телу. В том случае, когда тело находится в равновесии, то центр тяжести тела будет лежать на линии, которая совпадает с линией нити. В противном случае сила тяжести приводит тело в движение.

Возьмите карандаш и линейку, начертите вертикальные прямые, которые визуально будут совпадать с нитевыми направлениями (нити, закрепляемые в различных точках тела). Если форма тела достаточно сложная, то проведите несколько линий, которые будут пересекаться в одной точке. Она и станет центром тяжести для тела, над которым вы производили опыт.

Центр тяжести треугольника

Для нахождения центра т

elhow.ru

Теоретическая механика студентам НУК: Статика. Центр тяжести

Центр тяжести – центр приложения равнодействующей сил тяготения (веса) системы тел или материального тела. При определении положения центра тяжести тела используются гипотезы:

1. Линии действия сил тяготения, приложенные к отдельным частицам тела, параллельны.

2. Ускорение свободного падения g = const (высота рассматриваемых тел много меньше радиуса Земли и изменением величины ускорения свободного падения по высоте тела можно пренебречь)

3. Рассматриваемые тела – однородные (нет включений материалов с другой плотностью) и сплошные (нет пустот).

На практике обычно, когда у нас есть тело несимметричной формы, пользуются методом подвешивания – экспериментальный метод. Достаточно фигуру подвесить поочередно за две любые точки и прочертить соответствующие вертикали. Точка пересечений этих прямых соответствует положению центра тяжести фигуры.

При решении задач обычно пользуются методом Разбиения. Тело разбивается на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести C  и площадь  S известны либо легко находятся. Например, изображённую деталь можно представить в виде двух плоских фигур с площадями S1  и  S2 (S = S1 + S2). Центры тяжести этих фигур находятся в точках  C1(x1, y1) и  C2(x2, y2). Тогда координаты центра тяжести тела равны:

Координаты центра тяжести объемного тела постоянной плотности находятся по формулам:

${{X}_{C}}=\frac{\sum{{{x}_{i}}{{V}_{i}}}}{\sum{{{V}_{i}}}}\quad \quad \quad {{Y}_{C}}=\frac{\sum{{{y}_{i}}{{V}_{i}}}}{\sum{{{V}_{i}}}}\quad \quad \quad {{Z}_{C}}=\frac{\sum{{{z}_{i}}{{V}_{i}}}}{\sum{{{V}_{i}}}}$

где ${{x}_{i}}$ ${{y}_{i}}$ ${{z}_{i}}$ – координаты центров тяжести элементарных частей, ${{V}_{i}}$ – объем i-й части.

Если тело представляет собой однородную пластину постоянной толщины, то координаты ее центра тяжести:

${{X}_{C}}=\frac{\sum{{{x}_{i}}{{S}_{i}}}}{\sum{{{S}_{i}}}}\quad \quad \quad {{Y}_{C}}=\frac{\sum{{{y}_{i}}{{S}_{i}}}}{\sum{{{S}_{i}}}}$

где ${{S}_{i}}$ – площадь i-го элемента.

Для стержневых конструкций, образованных стержнями одинаковой плотности и постоянного поперечного сечения, координаты центра тяжести определяются по формулам:

${{X}_{C}}=\frac{\sum{{{x}_{i}}{{l}_{i}}}}{\sum{{{l}_{i}}}}\quad \quad \quad {{Y}_{C}}=\frac{\sum{{{y}_{i}}{{l}_{i}}}}{\sum{{{l}_{i}}}}$

где ${{l}_{i}}$ – длина элемента линии.

Таблица. Площади и координаты центров тяжести плоских фигур

Наименование

Расчетная схема

Площадь

Координаты центра

Круг

$S=\pi {{R}^{2}}$

Прямоугольник

$S=ab$

Треугольник

$S=\frac{1}{2}ah$

Круговой сектор

$S=\alpha {{R}^{2}}$

Пример решения задачи

Дано: Дана схема плоской фигуры. Размеры указаны в сантиметрах. Определить координаты центра тяжести изображенной на рисунке пластины.

Решение:

Чтобы найти площадь заштрихованной фигуры, нужно от суммы площадей полукруга, сектора (четверти круга) и треугольника отнять площадь выреза (прямоугольника). Обозначим эти элементы цифрами, как это показано на рисунке и укажем расположение их центров тяжести. Начало координат поместим в центре круга.

Площадь полукруга и координаты его центра тяжести находим по формулам для кругового сектора из таблицы, учитывая, что α = π/2 рад:

\[{{S}_{1}}=\frac{\pi {{R}^{2}}}{2}=\frac{3.14\cdot {{30}^{2}}}{2}=1413\,c{{m}^{2}}\]

\[{{x}_{1}}=0\quad \quad {{y}_{1}}=\frac{4R}{3\pi }=\frac{4\cdot 30}{3\cdot 3.14}=12.74\ cm\]

Для нахождения площади и координат центра тяжести С2 сектора 2 также воспользуемся таблицей. Размеры этого сектора определяются углом  . рад. Поэтому

\[{{S}_{1}}=\frac{\pi {{R}^{2}}}{4}=\frac{3.14\cdot {{30}^{2}}}{4}=706.5\,c{{m}^{2}}\]

 

\[O{{C}_{2}}=\frac{2R\sin \frac{\pi }{4}}{3\pi /4}=\frac{2\cdot 30\cdot 0.707}{3\cdot 3.14/4}=18.9\ cm\]

\[{{x}_{2}}=O{{C}_{2}}\sin {{45}^{\circ }}=12.84\ cm\]

\[{{y}_{2}}=-{{x}_{2}}=-12.84\ cm\]

Центр тяжести прямоугольного равнобедренного треугольника 3 находится на пересечении его медиан (в точке  ). Медиана ОМ является также и высотой, поэтому

 

$OM=OL\cos {{45}^{\circ }}=R\frac{\sqrt{2}}{2}$

$O{{C}_{3}}=\frac{2}{3}OM=\frac{2}{3}R\frac{\sqrt{2}}{2}=14.14\ cm$

Тогда площадь и координаты центра тяжести треугольника 3:

 

${{S}_{3}}=\frac{{{R}^{2}}}{2}=\frac{{{30}^{2}}}{2}=450\,c{{m}^{2}}$

${{x}_{3}}=-O{{C}_{3}}\sin {{45}^{\circ }}=-R\frac{\sqrt{2}}{3}\frac{\sqrt{2}}{3}=-10\ cm$

${{y}_{3}}=-O{{C}_{3}}\cos {{45}^{\circ }}=-R\frac{\sqrt{2}}{3}\frac{\sqrt{2}}{3}=-10\ cm$

Найдем площадь и координаты центра тяжести прямоугольника. Так как он является вырезом, его площадь берем со знаком “–“. Центр тяжести прямоугольника находится в точке пересечения его диагоналей. Следовательно,

 

${{S}_{4}}=-15\cdot 25=-375\ cm$

${{x}_{4}}=-\frac{25}{2}=-12.5\ cm\quad \quad \quad {{y}_{4}}=\frac{15}{2}=7.5\ cm$

Координаты центра тяжести рассматриваемой пластины определяем по формулам:

${{X}_{C}}=\frac{\sum{{{x}_{i}}{{S}_{i}}}}{\sum{{{S}_{i}}}}=\frac{1413\cdot 0+706.5\cdot 12.84+450\cdot (-10)-375\cdot (-10)}{1413+706.5+450-375}=4.219\ cm$

${{Y}_{C}}=\frac{\sum{{{y}_{i}}{{S}_{i}}}}{\sum{{{S}_{i}}}}=\frac{1413\cdot 12.74+706.5\cdot (-12.84)+450\cdot (-10)-375\cdot 7.5}{1413+706.5+450-375}=0.737\ cm$

По результатам расчета на рисунке изображаем точку С, являющуюся центром тяжести пластины.

teormeh.blogspot.com

Тема 1.6. Центр тяжести тела

Поиск Лекций

Тема относительно проста для усвоения, однако крайне важна при изучении курса сопротивления материалов. Главное внимание здесь необходимо обратить на решение задач как с плоскими и геометрическими фигурами, так и со стандартными прокатными профилями.

 

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое центр параллельных сил?

Центр параллельных сил есть точка, че­рез которую проходит линия равнодействую­щей системы параллельных сил, прило­женных в заданных точках, при любом изменении на­правления этих сил в простран­стве.

2. Как найти координаты центра параллельных сил?

Для определения координат центра параллельных сил воспользуемся теоремой Вариньона.

Относительно оси x

 

Mx(R) = ΣMx(Fk), -yCR = ΣykFk и yC = ΣykFk /ΣFk.

 

Относительно оси y

 

My(R) = ΣMy(Fk), -xCR = ΣxkFk и xC = ΣxkFk /ΣFk.

 

Чтобы определить координату zC, повернем все силы на 90° так, чтобы они стали параллельны оси y (рисунок 1.5, б). Тогда

 

Mz(R) = ΣMz(Fk), -zCR = ΣzkFk и zC = ΣzkFk /ΣFk.

 

Следовательно, формула для определения радиус-вектора центра параллельных сил принимает вид

 

rC = ΣrkFk /ΣFk.

 

3. Что такое центр тяжести тела?

Центр Тяжести-неизменно связанная с твердым телом точка, через которую проходит равнодействующая сил тяжести, действующих на частицы этого тела при любом положении тела в пространстве. У однородного тела, имеющего центр симметрии (круг, шар, куб и т. д.), центр тяжести находится в центре симметрии тела. Положение центра тяжести твердого тела совпадает с положением его центра масс.

4. Как найти центр тяжести прямоугольника, треугольника, круга?

 

Для нахождения центра тяжести треугольника, необходимо нарисовать треугольник – фигуру, состоящую из трех отрезков, соединенных между собой в трех точках. Перед тем, как найти центр тяжести фигуры, необходимо, используя линейку, измерить длину одной стороны треугольника. В середине стороны поставьте отметку, после чего противоположную вершину и середину отрезка соедините линией, которая называется медианой. Тот же самый алгоритм повторите со второй стороной треугольника, а затем и с третьей. Результатом вашей работы станут три медианы, которые пересекаются в одной точке, которая будет являться центром тяжести треугольника. Если необходимо определить центр тяжести круглого диска однородной структуры, то для начала найдите точку пересечения диаметров круга. Она и будет центром тяжести данного тела. Рассматривая такие фигуры, как шар, обруч и однородный прямоугольный параллелепипед, можно с уверенностью сказать, что центр тяжести обруча будет находиться в центре фигуры, но вне ее точек, центр тяжести шара - геометрический центр сферы, и в последнем случае, центром тяжестью считается пересечение диагоналей прямоугольногопараллелепипеда.

5. Как найти координаты центра тяжести плоского составного сечения?

 

Метод разбиения: если плоскую фигуру можно разбить на конечное число таких частей, для каждой из которых положение центра тяжести известно, то координаты центра тяжести всей фигуры опредляются по формулам:

ХC = ( sk xk ) / S; YC = ( sk yk ) / S,

где xk, yk - координаты центров тяжести частей фигуры;

sk - их площади;

S = sk - площадь всей фигуры.

 

 

6. Центр тяжести

 

 

1. В каком случае для определения центра тяжести достаточно определить одну координату расчетным путем?

В первом случае для определения центра тяжести достаточно определить одну координату Тело разбивается на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести C и площадь S известны. Например, проекцию тела на плоскость xOy (рисунок 1.) можно представить в виде двух плоских фигур с площадями S1 и S2 (S = S1 + S2). Центры тяжести этих фигур находятся в точках C1(x1, y1) и C2(x2, y2). Тогда координаты центра тяжести тела равны

 

Так как центры фигур лежат на оси ординат (х = 0), то находим только координату Ус.

2 Как учитывается площадь отверстия в фигуре 4 в формуле для определения центра тяжести фигуры?

poisk-ru.ru