Как найти косинус угла в прямоугольном треугольнике. Как найти косинус не в прямоугольном треугольнике
Как найти косинус треугольника?
Косинус – это всем известная тригонометрическая функция, которая к тому же является еще и одной из основных функций тригонометрии. Косинус угла в треугольнике прямоугольного типа - это отношение прилежащего катета треугольника к гипотенузе треугольника. Наиболее часто определение косинуса связывают с треугольником именно прямоугольного типа. Но бывает и так, что тот угол, для которого необходимо вычислить в треугольнике прямоугольного типа косинус, в этом самом треугольнике прямоугольного типа не расположен. Что же тогда делать? Как найти косинус угла треугольника?
Если требуется вычислить косинус угла именно в треугольнике прямоугольного типа, то тут все очень просто. Нужно лишь вспомнить определение косинуса, в котором и кроется решение данной задачи. Просто требуется найти то самое отношение между прилежащим катетом, а также гипотенузой треугольника. Действительно здесь нетрудно выразить косинус угла. Формула выглядит следующим образом: - cosα = a/c, здесь "а" – это длина катета, а сторона "с", соответственно, длина гипотенузы. К примеру, косинус острого угла прямоугольного треугольника можно найти по этой формуле.
Если Вас интересует, чему равен косинус угла в произвольном треугольнике, то на помощь приходит теорема косинусов, которой и стоит воспользоваться в подобных случаях. Теорема косинусов гласит о том, что квадрат стороны треугольника априори равен сумме квадратов остальных сторон того же треугольника, но уже без удвоенного произведения этих сторон на косинус того угла, который расположен между ними.
- Если в треугольнике необходимо найти косинус острого угла, то нужно воспользоваться такой формулой: cosα = (a2 + b2 – c2)/(2ab).
- Если же в треугольнике необходимо найти косинус тупого угла, то нужно воспользоваться такой формулой: cosα = (с2 – a2 – b2)/(2ab). Обозначения в формуле – а и b – это длины сторон, которые являются прилежащими к искомому углу, с – это длинна стороны, которая является противолежащей искомому углу.
Также косинус угла можно вычислять при помощи теоремы синусов. Она гласит, что все стороны треугольника пропорциональны синусам углов, которые противоположны. При помощи теоремы синусов можно вычислять остальные элементы треугольника, имея сведения лишь о двух сторонах и угле, который является противолежащим одно стороне, или же по двум углам и одной стороне. Рассмотри на примере. Условия задачи: а=1; b=2; с=3. Угол, который противоположен стороне "А", обозначаем - α, тогда, согласно формулам, имеем: соsα=(b²+c²-а²)/(2*b*c)=(2²+3²-1²)/(2*2*3)=(4+9-1)/12=12/12=1. Ответ: 1.
Если же косинус угла нужно вычислить не в треугольнике, а в какой-то другой произво
elhow.ru
Замечательные отношения в прямоугольном треугольнике
Категория: ПланиметрияСправочные материалы
Елена Репина 2013-05-22 2013-08-04На всякий случай, уточним, что гипотенузой называется та сторона треугольника, что лежит против угла в 90 градусов, две оставшиеся стороны называются катетами прямоугольного треугольника.
Подробнее про прямоугольный треугольник здесь.
Синусом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенсом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
Бывает (и на ЕГЭ, ГИА), что приходится иметь дело с косинусами, синусами и тангенсами внешних углов треугольника. Формулы приведения позволяют увидеть, что есть еще и вот такая связь между смежными углами (помимо того, что их сумма равна 180):
Смотрите подборку задач на применение указанных соотношений в статье «Прямоугольный треугольник. Вычисление длин и углов» часть I, часть II.
Автор: egeMax | комментариев 8 | Метки: шпаргалки-таблицыegemaximum.ru
Как найти гипотенузу НЕ прямоугольного треугольника зная длину катетов и угол между катетом и гипотенузой?
во-первых, тогда это просто стороны, а не катет и гипотенуза.. а дальше сейчас напишу. . через площадь. только сначала по теореме синусов найдите другой угол, потом - площадь ( формула с синусом) , а если хотите -через косинус, ведь косинус угла вы легко найдёте по основному тригонометрическому тождеству как корень квадратный из (единица минус квадрат синуса) а оттуда по формуле площади через полупериметр поймёте, чему равна третья сторона. а можно вообще-то высоту там внутри треугольника достроить.. и тогда по частям найти третью сторону. . а вообще, по ТРЁМ элементам треугольник ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ (т. е. зная любые три элемента в треугольнике, всё остальное можно найти - это объясняют в курсе геометрии! ) давайте, я свои обозначения напишу, а вы уж на ваши поменяете? ок? сейчас картинку добавлю. . <img src="//otvet.imgsmail.ru/download/35513cac517f52d01898e3188b18c030_i-152.jpg" >
У НЕпрямоугольного треугольника нет ни катетов, ни гипотенузы. Если же забыть про терминологию, то ваш вопрос выглядит так. Вам известны длины двух сторон треугольника и угол между одной из этих сторон и третьей стороной. Как найти длину третьей стороны? - Ответ: никак. Если заданы две стороны и угол между одной из них и третьей стороной, то (в общем случае) этими условиями треугольник НЕ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ОДНОЗНАЧНО. Попробуйте нарисовать сами пару картинок, и вы увидите, что возможны ДВА РАЗНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКА, у которых совпадают длины двух сторон и угол между одной из этих сторон и третьей стороной. [Вы можете спросить, почему же тогда в прямоугольном треугольнике мы МОЖЕМ найти гипотенузу, зная катеты и угол между одним из катетов и гипотенузой. Ответ заключается в том, что в этом случае имеет место ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ОГРАНИЧЕНИЕ, которое в общем случае отсутствует: угол между двумя известными сторонами (в данном случае катетами) - прямой. При этом ограничении существует ТОЛЬКО ОДИН ТРЕУГОЛЬНИК с заданными катетами и углом между гипотенузой и катетом. ] Тася (ответ ниже) неправа, утверждая, что треугольник определяется ЛЮБЫМИ своими тремя элементами. Контрпример: заданы три угла. Можно построить сколько угодно подобных треугольников разного размера с этими углами. На самом деле, треугольник определяется однозначно по трем элементам только в следующих случаях: (1) Заданы три стороны (2) Заданы две стороны и угол МЕЖДУ НИМИ (3) Задана одна сторона и два прилежащих к ней угла. То, что сказал Михаил, правильно, но не помогает. Чтобы применить теорему косинусов, нужно знать угол МЕЖДУ ИЗВЕСТНЫМИ СТОРОНАМИ, а в условии дан угол МЕЖДУ ИЗВЕСТНОЙ И НЕИЗВЕСТНОЙ СТОРОНАМИ.
Гипотенуза и катеты есть только у прямоугольных треугольников.... если мне память не изменяет. У остальных просто стороны.
Можно разделить длину катета на косинус угла между катетом и гипотенузой, тогда вы получите длину самой гипотенузы.
Увы, гипотенуза водится только в прямоугольных треугольниках. Вот такая она зараза. Тем не менее, если, по пьяне называть гипотенузой третью сторону произвольного треугольника, то нужно обратиться к теореме косинусов: Квадрат стороны произвольного треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения длин этих сторон на косинус угла межу ними. Соответственно, длина стороны произвольного треугольника тупо равна корню квадратному из суммы квадратов двух других сторон без удвоенного произведения длин этих сторон на косинус угла межу ними. Вот.. . Типо так:)
touch.otvet.mail.ru
Как найти косинус угла в прямоугольном треугольнике
Рассмотрите такой вариант: Гипотенуза по т.Пифагора равна: \sqrt{ 5^{2} +13^{2}}= С одной стороны, площадь этого прямоугольного треугольника равна полупроизведению катетов, то есть 1/2 *13*5=65/2. С другой стороны, площадь этого же треугольника равна полупроизведению.
Косинус в треугольнике
Что такое косинус в треугольнике? Как найти косинус острого угла в прямоугольном треугольнике?
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Например, для угла A треугольника ABC
Соответственно, косинус угла A в треугольнике ABC — это
Прилежащим является катет BC.
Соответственно, косинус угла B в треугольнике ABC
Равен отношению BC к AB:
Таким образом, косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это некоторое число, получаемое в результате деления длины прилежащего катета на длину гипотенузы.
Длины отрезков — положительные числа, поэтому косинус острого угла прямоугольного треугольника также является положительным числом.
Поскольку длина катета всегда меньше длины гипотенузы, то косинус острого угла прямоугольного треугольника — число, меньшее единицы.
Косинус любого острого угла прямоугольного треугольника больше нуля, но меньше единицы:
Косинус зависит от величины угла.
Если в треугольнике изменить длины сторон, но не изменять угол, значение косинуса этого угла не изменится.
В треугольниках ABC и FPK
Косинус угла в произвольном (не прямоугольном треугольнике) определяется через теорему косинусов. О том, как это делать, мы будем говорить позже.
Как найти косинус угла в прямоугольном треугольнике
Косинус в прямоугольном треугольнике
Косинус в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к гипотенузе, он зависит исключительно от величины угла и не зависит от размеров самого треугольника.
Формула для нахождения косинуса угла в прямоугольном треугольнике
Косинус одного угла, равняется синусу другого угла. Математически это можно выразить следующим образом:
Исходя из указанных выше свойств и формул, можно найти величины 2-х сторон прямоугольного треугольника, зная величину одной стороны и его углов (а точнее их косинусов).
Кроме того существуют таблицы, которые содержат значения косинусов для всех возможных углов.
Как найти неизвестную сторону треугольника?
Зная величины двух сторон и угла, противолежащего неизвестной стороне, можем найти третью сторону в любом треугольнике (не обязательно прямоугольном), воспользовавшись формулой:
*Следует помнить, что для тупого угла (а > 90) косинус принимает отрицательное значение (меньше нуля).
Если по данной формуле попытаться найти размер стороны С, то получим стандартное представление Теоремы Пифагора. Это вызвано тем, что косинус угла 90 градусов равен нулю. Таким образом, произведение, записанное после знака минус, будет равно нулю.
Как найти косинус угла в прямоугольном треугольнике
Косинус в треугольнике
Что такое косинус в треугольнике? Как найти косинус острого угла в прямоугольном треугольнике?
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Например, для угла A треугольника ABC
Соответственно, косинус угла A в треугольнике ABC — это
Прилежащим является катет BC.
Соответственно, косинус угла B в треугольнике ABC
Равен отношению BC к AB:
Таким образом, косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это некоторое число, получаемое в результате деления длины прилежащего катета на длину гипотенузы.
Длины отрезков — положительные числа, поэтому косинус острого угла прямоугольного треугольника также является положительным числом.
Поскольку длина катета всегда меньше длины гипотенузы, то косинус острого угла прямоугольного треугольника — число, меньшее единицы.
Косинус любого острого угла прямоугольного треугольника больше нуля, но меньше единицы:
Косинус зависит от величины угла.
Если в треугольнике изменить длины сторон, но не изменять угол, значение косинуса этого угла не изменится.
В треугольниках ABC и FPK
Косинус угла в произвольном (не прямоугольном треугольнике) определяется через теорему косинусов. О том, как это делать, мы будем говорить позже.
poiskvstavropole.ru
