Как найти проекцию катета на гипотенузу. Как найти проекцию катета на гипотенузу в прямоугольном треугольнике
Проекции катетов на гипотенузу | Треугольники
Так как высота, проведенная к гипотенузе, представляет собой проведенный к ней перпендикуляр, то катеты — это наклонные, а отрезки гипотенузы, на которые делит ее высота — проекции катетов на гипотенузу прямоугольного треугольника.
В треугольнике ABC, изображенном на рисунке, AD — проекция катета AC на гипотенузу AB, BD — проекция катета BC на гипотенузу.
Катеты, их проекции на гипотенузу, гипотенуза и высота прямоугольного треугольника связаны между собой формулами.
1) Свойство высоты, проведенной к гипотенузе.
Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) между проекциями катетов на гипотенузу.
или
2) Свойства катетов прямоугольного треугольника.
Катет прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
или
www.treugolniki.ru
Как найти проекцию катета на гипотенузу
Две короткие стороны прямоугольного треугольника называют катетами, а длинную - гипотенузой. Проекции коротких сторон на длинную делят гипотенузу на два отрезка разной длины. Если возникает необходимость в вычислении величины одного из этих отрезков, то способы решения задачи целиком зависят от предлагаемого в условиях набора исходных данных.Инструкция
- Если в исходных условиях задачи приведены длины гипотенузы (С) и того катета (А), проекцию которого (Ас) требуется вычислить, то используйте одно из свойств треугольника. Воспользуйтесь тем, что среднее геометрическое длин гипотенузы и искомой проекции равно длине катета: А = √(С*Ас). Так как понятие «среднее геометрическое» эквивалентно «корню из произведения», то для нахождения проекции катета возводите в квадрат длину катета и делите полученное значение на длину гипотенузы: Ас = (А/√С)² = А²/С.
- Если длина гипотенузы неизвестна, а даны лишь длины обоих катетов (А и В), то в вычислении длины нужной проекции (Ас) можно задействовать теорему Пифагора. Выразите в соответствии с ней длину гипотенузы через длины катетов √(А²+В²) и подставьте полученное выражение в формулу из предыдущего шага: Ас = А²/√(А²+В²).
- Если известна длина проекции одного из катетов (Вс) и длина гипотенузы (С), то способ нахождения длины проекции другого катета (Ас) очевиден - просто отнимите от второй известной величины первую: Ас = С-Вс.
- Если длины катетов неизвестны, но дано их соотношение (x/y), а также длина гипотенузы (C), то воспользуйтесь парой формул из первого и третьего шагов. Согласно выражению из первого шага, соотношение проекций катетов (Ас и Вс) будет равно соотношению квадратов их длин: Ас/Вс = x²/y². С другой стороны, согласно формуле из предыдущего шага, Ас+Вс = С. В первом равенстве выразите длину ненужной проекции через нужную и подставьте полученное значение во вторую формулу: Ас + Ас*x²/y² = Ас*(1 + x²/y²) = С. Из этого равенства выведите формулу нахождения нужной проекции катета: Ас = С/(1 + x²/y²).
- Если известна длина проекции на гипотенузу одного катета (Вс), а длина самой гипотенузы не приведена в условиях, но дана высота (Н), проведенная из прямого угла треугольника, то этого тоже будет достаточно для вычисления длины проекции другого катета (Ас). Возведите высоту в квадрат и разделите на длину известной проекции: Ас = Н²/Вс.
completerepair.ru
Свойства прямоугольного треугольника. Формулы прямоугольного треугольника.
Прямоугольный треугольник
Треугольник с прямым углом \(90°\) называют прямоугольным треугольником.
Самая длинная сторона треугольника называется гипотенузой, а две другие стороны - катеты.
Свойства прямоугольного треугольника - это свойства, определяющие прямоугольный треугольник.
- Если угол \(α\) равен \(30°\) градусов, то \(2a = c\).
- Площадь прямоугольного треугольника можно измерить с помощью формулы:
\(S = \frac{1}{2}×a×b\),
где \(a\) и \(b\) можно рассматривать как две стороны треугольника. Эта формула используется только для прямоугольного треугольника.
- Теорема Пифагора утверждает, что если \(c\)- гипотенуза, а \(a\) и \(b\) - две стороны треугольника, то в соответствии с теоремой Пифагора:
\( c^2=a^2+b^2\)
Квадрат гипотенузы равен сумме квадрата двух других сторон треугольника.
- Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника можно найти по формуле:
\(r = \frac{a+b-c}{2}\)
- Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника можно рассчитать по формуле:
\(r=\frac{c}{2}\),
где \(c\) - гипотенуза прямоугольного треугольника.
- Проекции катетов треугольника на гипотенузу:
\(b^2=q*c\)
\(a^2=p*c\)
\(h^2=q*p\)
Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы "Альфа". Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
myalfaschool.ru
геометрия. как найти катеты в прямоугольном треугольнике зная гипотенузу и высоту проведенную к ней
Обозначьте одну часть гипотенузы за Х, вторую часть выразите как разность гипотенузы и Х. Затем, по теореме Пифагора, в маленьких треугольниках выразите оба катета. И по той же теореме Пифагора составьте уравнения для большого треугольника, из него получите значение Х. После этого, думаю, вам не составит труда найти оба катета,
Найти площадь S. {a*b=2S {a^2+b^2=c^2 решите систему
Площадь треугольника равна: S=0.5*a*b=0.5*h*c. Следовательно, a*b=h*c Теорема Пифагора: a^2+b^2=c^2 Ну тут подставив значение высоты h и гипотенизы c получиш катеты a и b.
Я предлогаю более краткое решение (без теоремы Пифагора и без системы уравнений) . Пусть СТ высота прямоугольного треугольника АВС, проведённая к гипотенузе АВ. Тогда имеют место следующие равенства: 1) СТ^ = АТ*ВТ ( ^ -----квадрат, * ------знак умножения ) 2) АС^ = АТ*АВ 3) ВС^ = ВТ*ВА Словами: 1) Квадрат высоты равен произведению проекций катетов (на гипотенузу) ; 2) и 3) Квадрат катета равен произведению его проекции и гипотенузы. Это известные и очень полезные теоремы. Доказываются с помощью подобия треугольников. Александр, а теперь решим твою задачу. Для наглядности, решим её с числовыми данными: пусть гипотенуза АВ=25, а высота СТ=12. Обозначим АТ через х, тогда ВТ=25-х. Воспользуемся (1) формулой: 144=х (25-х) . Решив это квадратное уравнение, получим: х1=9, х2=16. а) Пусть АТ=9,тогдо, по (2)-ой формуле АС^ = 9*25, откуда АС=15, ВС^=16*25, ВС=20 б) Если АТ=16, то получим АС=20,ВС=15 Думаю, что тебе всё понятно. Если есть вопросы, то напиши мне.
touch.otvet.mail.ru
| § Как находить высоты и биссектрисы треугольника? Пример катеты прямоугольного треугольника равны 15 и Найдите высоту, опущенную на гипотенузуКатеты прямоугольного треугольника равны 15 и Найдите высоту, опущенную на гипотенузу | Abc гипотенуза ав равна сНайдите гипотенузу прямоугольного треугольника с острым углом 15°, если известно, что высота треугольника, опущенная на гипотенузу,... | ||
| Средняя линия треугольника Является ли отрезок ef средней линией треугольника авс?Стороны треугольника равны 4 м, 6 м, 8 м. Чему равны средние линии этого треугольника? | Стороны треугольника равны 3,4,5 см Стороны треугольника равны 3,4,5 смПлощадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними | ||
| Свойства прямоугольного треугольникаОдин из углов прямоугольного треугольника 60º, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18см. Найти гипотенузу и меньший катет | Задача №2 Задача №3Высота с d прямоугольного треугольника авс делит гипотенузу ав на части аd=16см и вd = 9см. Докажите, что Высота с d прямоугольного... | ||
| Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственными сторонами другого треугольника | Содержание Элементы треугольникаЕсли две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника,... | ||
| Abc вокруг катетаКонус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. На рисунке изображен конус, полученный... | Треугольник геометрия 7 класс ПланКаждый из треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совместятся, т е попарно совместятся их вершины и стороны.... |
dok.opredelim.com
