Как найти высоту в прямоугольном треугольнике. Как найти высоту треугольника прямоугольного треугольника
Все формулы высоты прямого угла в прямоугольном треугольнике
В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр - точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.
H - высота из прямого угла
a, b - катеты
с - гипотенуза
c1 , c2 - отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой
α, β - углы при гипотенузе
Формула длины высоты через стороны, (H):
Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы, (H):
Формула длины высоты через катет и угол, (H):
Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы , (H):
Подробности Автор: Administrator Опубликовано: 09 октября 2011 Обновлено: 16 мая 2017www-formula.ru
Высота прямоугольного треугольника | Треугольники
Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, может быть найдена тем или иным способом в зависимости от данных в условии задачи.
Длина высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, может быть найдена по формуле
или, в другой записи,
где BK и KC — проекции катетов на гипотенузу (отрезки, на которые высота делит гипотенузу).
Высоту, проведенную к гипотенузе, можно найти через площадь прямоугольного треугольника. Если применить формулу для нахождения площади треугольника
(половина произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне) к гипотенузе и высоте, проведенной к гипотенузе, получим:
Отсюда можем найти высоту как отношение удвоенной площади треугольника к длине гипотенузы:
Так как площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:
То есть длина высоты, проведенной к гипотенузе, равна отношению произведения катетов к гипотенузе. Если обозначить длины катетов через a и b, длину гипотенузы — через с, формулу можно переписать в виде
Так как радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы, длину высоты можно выразить через катеты и радиус описанной окружности:
Поскольку проведенная к гипотенузе высота образует еще два прямоугольных треугольника, ее длину можно найти через соотношения в прямоугольном треугольнике.
Из прямоугольного треугольника ABK
Из прямоугольного треугольника ACK
Длину высоты прямоугольного треугольника можно выразить через длины катетов. Так как
по теореме Пифагора
Если возвести в квадрат обе части равенства:
можно получить еще одну формулу для связи высоты прямоугольного треугольника с катетами:
www.treugolniki.ru
Как найти высоту в прямоугольном треугольнике
Неважно какая школьная программка содержит в себе таковой предмет как геометрия. Любой из нас, будучи учеником, изучал данную дисциплину и решал определенные задачки. Но для многих людей школьные годы остались сзади и часть обретенных познаний стерлась из памяти.
А что делать, если у вас вдруг появилась необходимость отыскать ответ на некий вопрос из школьного учебника, к примеру, как отыскать высоту в прямоугольном треугольнике? В данном случае современный продвинутый юзер компьютера сперва откроет веб и найдет интересующую его информацию.
Основная информация о треугольниках
Данная геометрическая фигура представляет собой 3 отрезка, соединенных меж собой в конечных точках, при чем места соприкосновения этих точек не находятся на одной прямой. Отрезки, из которых состоит треугольник, именуются его сторонами. Места соединения сторон образуют верхушки фигуры, также ее углы.
Типы треугольников зависимо от углов
Данная фигура может владеть 3-мя видами углов: наточенными, тупыми и прямыми. Зависимо от этого посреди треугольников различают последующие разновидности:
- Остроугольный – это тот, в каком все стороны, соприкасаясь в верхушках, образуют углы размером наименее 90?.
- Тупоугольный – это фигура, которая имеет 1 угол более 90?. Его именуют тупым, а 2 других угла в таком треугольнике имеют величину меньше 90?.
- Прямоугольный – у таковой фигуры две стороны в месте соприкосновения образуют угол с показателем ровно 90?.
Типы треугольников зависимо от длины сторон
Как было сказано ранее, данная фигура появляется из 3-х отрезков. Исходя из их размера, выделяют последующие виды треугольников:
- Равносторонние – это такие, у каких длина каждой из сторон имеет схожую величину. Подобные треугольники еще именуют «правильными».
- Равнобедренные – у данных геометрических фигур только 2 стороны равны меж собой.
- Многосторонние – в таких треугольниках любой из 3 отрезков, образующих стороны, имеет разную длину.
Как отыскать высоту прямоугольного треугольника
Две схожие стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол в месте собственного соприкосновения, именуются катетами. Отрезок, который их соединяет, носит заглавие «гипотенуза». Чтобы отыскать высоту в данной геометрической фигуре, нужно опустить линию из верхушки прямого угла на гипотенузу. При всем этом данная линия должна разделять угол в 90? ровно напополам. Таковой отрезок именуют биссектрисой.
На картинке выше представлен прямоугольный треугольник, высоту которого нам придется вычислить. Это можно сделать несколькими методами:
- Величину этого показателя можно посчитать по одной из последующих формул:
- Можно использовать другой метод и отыскать высоту через площадь фигуры. Итак, площадь треугольника рассчитывается по формуле:
Исходя из этого, выводим формулу для нашего определенного варианта:
После чего мы можем вычислить высоту:
- Так как площадь схожей фигуры являет собой ? от произведения катетов, в вычислениях нам посодействуют последующие формулы:
- Если мы представим равные стороны как a и b, а отрезок, соединяющий их, как с, то у нас получится такая формула:
Если начертить вокруг треугольника окружность и провести радиус, его величина будет вполовину меньше величины гипотенузы. Исходя из этого, высоту прямоугольного треугольника можно посчитать по формуле:
В этой статье мы поведали, как высчитать высоту прямоугольного треугольника различными методами. Зависимо от того, какие величины вам даны в начальном задании, вы сможете избрать себе более подходящий вариант вычислений.
tipsboard.ru
Как найти высоту в прямоугольном треугольнике
Любая школьная программа включает в себя такой предмет как геометрия. Каждый из нас, будучи учеником, изучал данную дисциплину и решал определенные задачи. Но для многих людей школьные годы остались позади и часть приобретенных знаний стерлась из памяти.
А что делать, если у вас вдруг возникла необходимость найти ответ на какой-то вопрос из школьного учебника, например, как найти высоту в прямоугольном треугольнике? В этом случае современный продвинутый пользователь компьютера первым делом откроет интернет и отыщет интересующую его информацию.
Основная информация о треугольниках
Реклама
Данная геометрическая фигура представляет собой 3 отрезка, соединенных между собой в конечных точках, при чем места соприкосновения этих точек не находятся на одной прямой. Отрезки, из которых состоит треугольник, называются его сторонами. Места соединения сторон образуют вершины фигуры, а также ее углы.
Типы треугольников в зависимости от углов
Данная фигура может обладать тремя видами углов: острыми, тупыми и прямыми. В зависимости от этого среди треугольников различают следующие разновидности:
- Остроугольный – это тот, в котором все стороны, соприкасаясь в вершинах, образуют углы размером менее 90º.
- Тупоугольный – это фигура, которая имеет 1 угол более 90º. Его называют тупым, а 2 остальных угла в таком треугольнике имеют величину меньше 90º.
- Прямоугольный – у такой фигуры две стороны в месте соприкосновения образуют угол с показателем ровно 90º.
Типы треугольников в зависимости от длины сторон
Как было сказано ранее, данная фигура образуется из трех отрезков. Исходя из их размера, выделяют следующие виды треугольников:
- Равносторонние – это такие, у которых длина каждой из сторон имеет одинаковую величину. Подобные треугольники еще называют «правильными».
- Равнобедренные – у данных геометрических фигур лишь 2 стороны равны между собой.
- Разносторонние – в таких треугольниках каждый из 3 отрезков, образующих стороны, имеет разную длину.
Как найти высоту прямоугольного треугольника
Две одинаковые стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол в месте своего соприкосновения, называются катетами. Отрезок, который их соединяет, носит название «гипотенуза». Чтоб найти высоту в данной геометрической фигуре, необходимо опустить линию из вершины прямого угла на гипотенузу. При этом данная линия должна делить угол в 90º ровно пополам. Такой отрезок называют биссектрисой.
На картинке выше представлен прямоугольный треугольник, высоту которого нам придется вычислить. Это можно сделать несколькими способами:
- Величину этого показателя можно посчитать по одной из следующих формул:
- Можно использовать другой способ и найти высоту через площадь фигуры. Итак, площадь треугольника рассчитывается по формуле:
- Поскольку площадь подобной фигуры являет собой ½ от произведения катетов, в вычислениях нам помогут следующие формулы:
- Если мы представим равные стороны как a и b, а отрезок, соединяющий их, как с, то у нас получится такая формула:
Если начертить вокруг треугольника окружность и провести радиус, его величина будет вполовину меньше величины гипотенузы. Исходя из этого, высоту прямоугольного треугольника можно посчитать по формуле:
В этой статье мы рассказали, как рассчитать высоту прямоугольного треугольника разными способами. В зависимости от того, какие величины вам даны в исходном задании, вы можете выбрать для себя наиболее подходящий вариант вычислений.
otvetkak.ru
Высота в прямоугольном треугольнике
Определение и формулы высоты в прямоугольном треугольнике
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону.В прямоугольном треугольнике высоты, опущенные из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника, а высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит треугольник на два треугольника, подобных исходному и подобных друг другу.
Длина высоты треугольника (рис.1), проведенной к гипотенузе , находится по формуле
где и – проекции катетов на гипотенузу.
Площадь треугольника можно найти по формуле
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1| Задание | В прямоугольном треугольнике высота делит гипотенузу на отрезки см и см. Найти катеты треугольника. |
| Решение | Найдем квадрат длины высоты пользуясь формулой
Рассмотрим прямоугольные треугольники и , и найдем в них стороны и : см см |
| Ответ | см см |
| Задание | В прямоугольном треугольнике катеты равны см и см. Найти высоту , опущенную на гипотенузу . |
| Решение | Пусть катет см, а см (рис. 2). Тогда по теореме Пифагора гипотенуза
см Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, т.е.
Высоту найдем по формуле
|
| Ответ | см |
Медиана в прямоугольном треугольнике
Равенство треугольников
Подобные треугольники
Соотношение между сторонами и углами треугольника
Центр окружности описанной около треугольника
ru.solverbook.com
Как найти высоту в прямоугольном треугольнике
Прямоугольный треугольник - это треугольник, в котором один из углов равен 90°. Очевидно, что катеты прямоугольного треугольника являются двумя его высотами. Найдем третью высоту, опущенную из вершины прямого угла к гипотенузе.Вам понадобится
- чистый лист бумаги;
- карандаш;
- линейка;
- учебник по геометрии.
Инструкция
- Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где ∠ABC = 90°. Опустим из этого угла высоту h на гипотенузу AC, точку пересечения высоты с гипотенузой обозначим D.
- Треугольник ADB подобен треугольнику ABC по двум углам: ∠ABC = ∠ADB = 90°, ∠BAD - общий. Из подобия треугольников получаем соотношение сторон: AD/AB = BD/BC = AB/AC. Берем первое и последнее соотношение пропорции и получаем, что AD = AB²/AC.
- Поскольку треугольник ADB прямоугольный, для него справедлива теорема Пифагора: AB² = AD² + BD². Подставляем в это равенство AD. Получается, что BD² = AB² - (AB²/AC)². Или, что то же, BD² = AB²(AC²-AB²)/AC². Так как треугольник ABC прямоугольный, то AC² - AB² = BC², тогда получим BD² = AB²BC²/AC² или, извлекая корень из обеих частей равенства, BD = AB*BC/AC.
- С другой стороны, треугольник BDC также подобен треугольнику ABC по двум углам: ∠ABC = ∠BDC = 90°, ∠DCB - общий. Из подобия этих треугольников получаем соотношение сторон: BD/AB = DC/BC = BC/AC. Из этой пропорции выражаем DC через стороны изначального прямоугольного треугольника. Для этого рассматриваем второе равенство в пропорции и получаем, что DC = BC²/AC.
- Из соотношения, полученного в шаге 2, имеем, что AB² = AD*AC. Из шага 4 имеем, что BC² = DC*AC. Тогда BD² = (AB*BC/AC)² = AD*AC*DC*AC/AC² = AD*DC. Таким образом, высота BD равна корню из произведения AD и DC или, как говорят, среднему геометрическому частей, на которые эта высота разбивает гипотенузу треугольника.
completerepair.ru
Высота треугольника | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU
Высота, проведенная в любом треугольнике, делит его на два прямоугольных треугольника, становясь смежным катетом. Сторона, на которую опущена высота, оказывается также разделенной на две пропорциональных части. Зная все три стороны, можно собрать их по теореме Пифагора, и приравняв высоту в качестве катета в двух вышеуказанных треугольниках, получить ее формулу для любого произвольного треугольника:
С другой стороны, можно использовать сторону, прилежащую к высоте и угол α, чтобы вычислить высоту треугольника.
Известная его сторона будет гипотенузой в прямоугольном треугольнике, а сама высота – катетом, противолежащим углу α. Два этих измерения связывает синус угла, поэтому высота равна его произведению на сторону a: h=a sinα
Высота в прямоугольном треугольнике, опущенная из прямого угла (остальные две совпадают с катетами), получает особые свойства. Так как все три получившихся прямоугольных треугольника подобны друг другу, их стороны составляют пропорцию, которая раскладывается как квадрат высоты, равный произведению проекцию катетов на гипотенузу, или проще говоря, частей гипотенузы, на которые ее делит высота.
Из этого следует, что высота равна квадратному корню из данного произведения, а это есть не что иное как среднее пропорциональное приведенного выражения.
В равностороннем треугольнике, высота делит угол, из которого она исходит, на два одинаковых угла по 30°. Высота, оказываясь катетом, прилежащим к этому углу, внутри прямоугольного треугольника, подчиняется отношению косинуса угла α, а так как , а гипотенуза a, то формула высоты в равностороннем треугольнике будет выглядеть так:
geleot.ru
