Как сложить числа в двоичной системе. Как складывать двоичные числа в столбик
Как сложить числа в двоичной системе
Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2. Все числа в это системе записываются с поддержкой 2-х символов — 0 и 1. Двоичная система счисления имеет богатую историю и до сего времени применяется в вычислительной технике. Именно она дала толчок в становлении кибернетики.
Инструкция
1. При сложении чисел в двоичной системе главно помнить, что она имеет каждого два символа — 0 и 1. Никаких других символов быть в ней не может. Следственно сложение 2-х единиц 1+1 дает не 2, как в десятичной системе , а 10, потому что 10 — это следующее за единицей число в двоичной системе .Нужно запомнить простейшие правила сложения в двоичной системе : 0+0 = 0, 1+0 = 0+1 = 1, 1+1 = 10. Эти правила нужны, дабы складывать числа в двоичной системе в столбик. Как видно, в случае прибавления единицы к единице, единица идет в дальнейший разряд.Видимо, что прибавление нуля к любому двоичному числу не изменит это число.
2. Огромные двоичные числа комфортно складывать в столбик. Правила в двоичной системе аналогичны сложению правилам сложения в столбик в десятичной системе .Пускай складываются числа 1111 и 101. Записываем число с меньшим числом разрядов 101 под числом 1111 — цифра разряда одного числа должна располагаться над цифрой того же разряда иного числа . Сейчас дозволено складывать эти числа . В первом разряде 1+1 дает 10 — записываете 0 под единицами в первом разряде. Единица из 10 переходит в сумму цифр второго разряда. Во втором разряде 1+0. Позже прибавления единицы из первого разряда получится тоже 10. Единица переходит теснее в 3-й разряд, а во втором разряде суммы тоже будет нуль. В третьем разряде 1+1+1 (единица перешла сюда!) дает 11. В третьем разряде суммы будет 1, а иная единица из числа 11 перейдет в четвертый разряд. Четвертый разряд имеет только число 1111. 1+1 = 10. Таким образом, 1111+101 = 10100.
3. Рассматриваемый пример дозволено записать в столбик 1111 + 101 —— 10100
Системы счисления представляют разные варианты записи чисел и устанавливают порядок действий над ними. Наибольшее распространение получили позиционные системы счисления , среди которых, помимо каждом знаменитой десятичной системы, дозволено подметить двоичную, шестнадцатеричную и восьмеричную системы счисления . Сложение в позиционных системах производится с учетом цельного правила переполнения разряда и переноса. При этом переполнение разряда происходит при достижении итогом основания числа.
Инструкция
1. Сложите два числа в шестнадцатеричной системе счисления . Для этого запишите числа на листе друг над ином так, дабы крайние правые символы чисел находились на одном ярусе. Возьмите два крайних правых символа и произведите их сложение с учетом таблицы соответствий. То есть для буквенного символа шестнадцатеричного числа обнаружьте его десятичный эквивалент и сложите обыкновенным образом. Скажем, крайние символы С и 7 при сложении дозволено расписать 12 + 7, потому что буквенное обозначение С соответствует числу 12 в десятичной системе. Получившееся число при сложении (19) следует проверить на переполнение разряда. Разряд 16 поменьше 19, следственно, происходит переполнение и при сложении будет перенос дополнительной единицы в старший разряд. В нынешнем разряде оставляем число равное разности итога и основания 16 (19-16=3). Запишите под складываемыми числами получившуюся цифру (3).
2. Сложите два следующих числа. К их сумме нужно прибавить 1 из переполненного предыдущего разряда. При записи получившихся значений рассматривайте буквенные обозначения чисел свыше 9 из таблицы соответствий. Так, при сложении 7 и 6 у вас получится число 13, которое в шестнадцатеричной системе имеет буквенное представление D – именно его запишите в итог. При переполнении в данном разряде произведите те же действия, что и в предыдущем шаге.
3. Сложение 2-х чисел в двоичной системе счисления происходит по аналогичным правилам, только разрядность в данной системе составляет не 16, а 2. Запишите два двоичных числа друг над ином, как указано выше. Таким же образом, начиная справа и сдвигаясь налево, складывайте цифры по порядку. При этом при сложении 1+1 возникает переполнение разряда. Действуя по выше описанному алгорифму, с учетом основания системы 2 в результирующем значении запишите 0 (2-2=0), а в старший разряд перенесите 1. Если в старшем разряде сумма чисел с переносом оказывается равной 3 (1+1+1=3), то в итог записывается 1 (3-2=1) и вновь в старший разряд уходит единица. Суммой двоичных чисел будет являться получившаяся запись из 0 и 1 позже сложения всех цифр.
Полезный совет Аналогичным образом происходит сложение чисел во всех позиционных системах счисления.
Десятичная система счисления – одна из самых распространенных в математической теории. Впрочем с происхождением информационных спецтехнологий, двоичная система получила не менее широкое распространение, от того что она является основным методом представления информации в компьютерной памяти.
Инструкция
1. Любая система счисления – это метод записи числа при помощи определенных символов. Существуют позиционные, непозиционные и смешанные системы счисления . Десятичная и двоичная системы являются позиционными, т.е. значение определенной цифры в записи числа определяется в зависимости от того, какую позицию она занимает.
2. Позиции цифр в числе именуются разрядами. В десятичной системе счисления эту роль исполняет число 10, т.е. всякая цифра в числе является множителем числа 10 в соответствующей степени. Число разрядов начинается с нуля, а чтение происходит справа налево. Скажем, число 173 дозволено прочитать дальнейшим образом: 3*10^0 + 7*10^1 + 1*10^2.
3. В двоичной системе разрядом числа является цифра 2. Таким образом, в записи двоичного числа участвует только два числовых знака: 0 и 1. Скажем, число 0110 в подробной записи выглядит так: 0*2^0 + 1*2^1 + 1*2^2 + 0*2^3. В десятичной системе это число равнялось бы 6.
4. Реформирование из десятичной системы в двоичную реализуется как для целых чисел, так и для дробных. Перевод целого десятичного числа производится способом последовательного деления его на 2. При этом число итераций (действий) возрастает до тех пор, пока частное не станет равно нулю, а итоговое двоичное число записывается в виде полученных остатков справа налево.
5. Скажем, процедура реформирования числа 19 выглядит так:19/2 = 18/2 + 1 = 9, в остатке – 1, пишем 1;9/2 = 8/2 + 1 = 4, в остатке – 1, пишем 1;4/2 = 2, остаток отсутствует, пишем 0;2/2 = 1, остаток отсутствует, пишем 0;1/2 = 0 + 1, в остатке – 1, пишем 1.Выходит, позже использования способа последовательного деления к числу 19 получилось двоичное число 10011.
6. При реформировании дробного десятичного числа в двоичное вначале переводится целая часть. Дробная переводится в двоичный код путем последовательного умножения на 2 до тех пор, пока не получится целая часть, которая даст 1 в двоичном числе. Полученные цифры записываются позже запятой слева направо.
7. Скажем, число 3,4 в переводе в двоичное число выглядит так:3/2 = 2/2 + 1, пишем 1;? = 0 + 1, пишем 1.Выходит, целая часть числа 3,4 равна 11 в двоичной системе счисления . Сейчас переводим дробную часть 0,4:0,4*2 = 0,8, пишем 0;0,8*2 = 1,6, пишем 1;0,6*2 = 1,2, пишем 1;0,2*2 = 0,4, пишем 0;и т.д.Символьная запись реформирования 2-х чисел выглядит так:3,4_10 = 11,0110_2.
jprosto.ru
Двоичная арифметика
Лабораторная работа №122. Двоичная арифметика.
Цель работы. Научиться выполнять арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деления) с двоичными числами.
Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицами двоичных сложения, вычитания и умножения.
Таблица двоичного сложения | Таблица двоичного вычитания | Таблица двоичного умножения |
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10 | 0–0=0 1–0=1 1–1=0 10–1=1 | 00=0 01=0 10=0 11=1 |
Задание 1. Выполните сложение чисел в двоичной системе счисления 100100111,0012+100111010,1012
Методические указания.
При сложении двоичных чисел в каждом разряде производится сложение цифр слагаемых и цифры, переносимой из соседнего младшего разряда, если она имеется При этом необходимо учитывать, что 1+1 дают нуль в данном разряде и единицу переноса в следующий разряд.
Примеры.
1) Выполнить сложение двоичных чисел X=1101, Y=111.
В приведенном примере в младшем нулевом разряде две единицы: 1+1=10 дают нуль в данном разряде и единицу переноса в следующий. В первом разряде: 0+1+1=10 (крайняя единица перенесена из нулевого разряда) дают 0 и единицу переноса в следующий. Во втором разряде 1+1+1=11(крайняя единицы перенесена из первого разряда) дают 1 и единицу переноса в следующий. В старшем третьем разряде 1 и единица переноса из предыдущего разряда дают 1+1=10.
Результат: 1101+111=10100.
2) Сложить три двоичных числа X=1101, Y=101, Z=111.
Результат: 1101+101+111=11001.
Задание 2. Выполните вычитание чисел в двоичной системе счисления: 1100110110,00112– 11111110,012.
Методические указания.
При вычитании двоичных чисел в данном разряде при необходимости занимается 1 из старшего разряда. Эта занимаемая 1 равна двум единицам данного разряда, так как 10=1+1.
Примеры.
1) Заданы двоичные числа X=10010 и Y=101. Вычислить X–Y.
Результат: 100102 – 1012 = 11012.
Замечание. Число 100…002 можно представить в виде суммы
Данное разложение на слагаемые объясняет правило вычитания в столбик. Если вы занимаете 1 из ближайшего старшего разряда, тогда над всеми следующими за единицей нулями следует дописывать 1, а над крайним нулем, для которого произведен заем, 1+1 или 10.
2) Выполнить вычитание: 1100000011,0112 – 101010111,12
Результат: 1100000011,0112 – 101010111,12 = 110101011,1112.
Задание 3. Выполните умножение чисел 110012 и 10111002 в двоичной системе счисления.
Методические указания.
Правила умножения двоичных чисел такие же, как и для умножения десятичных чисел в столбик, с использованием двоичного умножения и сложения.
Пример. Найти произведение 100121012
1001
101
1001
+1001
101101
Результат: 100121012=1011012.Задание 4. Выполните деление чисел 1111012 и 11102 в двоичной системе счисления.
Методические указания.
Деление двоичных чисел производится так же, как и десятичных чисел, при этом используется двоичное умножение и вычитание.
Пример. Найти частное от деления 1100,0112: 10,012
_110001,1 | 1001 |
1001 | 101,1 |
_1101 | |
1001 | |
_1001 1001 | |
0 |
Результат: 1100,0112:10,012=101,12.
Задания для самостоятельной работы
Вариант | Заданы двоичные числа X и Y. Вычислить X+Y и X–Y , если: | Заданы двоичные числа X и Y. Вычислить X*Y и X/Y , если: |
| Х=100101,1012 Y=11101,112 | X=100101,0112 Y=110,12 |
| Х=101101,1012 Y=1101,1112 | X=110000,112 Y=2 |
| Х=110101,1012 Y=11101,112 | X=111001,00012 Y=1010,0112 |
| Х=1101111,1012 Y=10101,112 | X=111011,00012 Y=101,012 |
| Х=1000111,112 Y=11101,1112 | X=111100,0112 Y=101,112 |
| Х=1110001,1012 Y=10011,112 | X=110110,1012 Y=100,112 |
| Х=1010001,1012 Y=10011,112 | X=100110,00012 Y=111,012 |
| Х=1000011,1012 Y=10011,0112 | X=101011,1112 Y=110,112 |
| Х=1101001, 1012 Y=10111,112 | X=1010110,1012 Y=1000,012 |
| Х=1010001,1012 Y=1111,0112 | X=111111,012 Y=101,12 |
| Х=101001, 1012 Y=10111,1112 | X=1011010,1012, Y=111,012 |
| Х=1010111, 1012 Y=11100,1112 | X=1000101,00112, Y=110,112 |
| Х=110101,1012 Y=1111,112 | X=100101,0112, Y=110,12 |
| Х=101111,1012 Y=1101,1112 | X=100000,11012, Y=101,012 |
| Х=110101,0112 Y=10011,112 | Х=110111,112 Y=101,112 |
| Х=1001011,112 Y=10101,1012 | Х=100101,112 Y=111,012 |
| Х=100011,0112 Y=10011,1112 | Х=100011,012 Y=1011,12 |
| Х=1010001,1012 Y=1011,0112 | Х=100001,1012 Y=1001,012 |
| Х=110001,1012 Y=10111,112 | Х=111001,1012 Y=1101,112 |
| Х=1000111,0112 Y=11111,112 | Х=1010111,0112 Y=111,112 |
| Х=111001, 1012 Y=1110,1112 | Х=11100001, 1012 Y=110,112 |
| Х=100001,1012 Y=1111,1112 | Х=1000001,1012 Y=1111,012 |
| Х=1011101, 1012 Y=10111,0112 | Х=1010101, 1012 Y=100,0112 |
| Х=1111000, 1012 Y=101111,112 | Х=1111001, 0112 Y=1011,112 |
| Х=1100000, 1012 Y=1111,1112 | Х=1100011, 012 Y=11,1112 |
Контрольные вопросы.
1. Каковы правила сложения двоичных чисел?
2. Каковы правила вычитания двоичных чисел?
3. Каковы правила умножения двоичных чисел?
4. Каковы правила вычитания двоичных чисел?
studfiles.net
Как складывать двоичные числа - PontCost
Перейти к контентуДвоичная система
- Начертите таблицу разрядных значений, состоящую из двух строк и четырех столбцов. В двоичной системе используется основание 2, поэтому вместо единиц, десятков, сотен и тысяч в десятичной системе (с основанием 10) разрядными значениями в двоичной системе являются единицы, двойки, четверки и восьмерки. Единицы расположатся в самом правом столбце таблицы, а восьмерки — в крайнем левом.
- Запишите в нижней строке таблицы какое-либо двоичное число. В двоичной системе для записи чисел используются лишь 1 и 0Например, можно написать 1 в разряде восьмерок, 1 в разряде четверок, 0 в разряде двоек и 1 в разряде единиц, в результате получится следующее двоичное число: 1101.
- Рассмотрим разряд единиц. Если на этом месте стоит 0, разрядное значение равно 0. Если же стоит 1, значение равно 1.Например, в двоичном числе 1101 в разряде единиц стоит 1, поэтому разрядное значение составляет 1. Таким образом, двоичное число 1 эквивалентно десятичному числу 1.
- Рассмотрим разряд двоек. Если в этом разряде стоит 0, разрядное значение равно 0. Если же в разряде двоек стоит 1, разрядное значение равно 2.Например, в двоичном числе 1101 в разряде двоек стоит 0, поэтому разрядное значение равно 0. Таким образом, двоичное число 01 эквивалентно десятичному числу 1, поскольку в разряде двоек стоит 0, а в разряде единиц 1: 0 + 1 = 1.
- Рассмотрим разряд четверок. Если в этом разряде стоит 0, разрядное значение составляет 0. Если же в разряде четверок стоит 1, разрядное значение равно 4.Например, в двоичном числе 1101 в разряде четверок стоит 1, поэтому разрядное значение составляет 4. Таким образом, двоичное число 101 эквивалентно десятичному числу 5, поскольку имеет в разряде четверок 1, в разряде двоек 0 и в разряде единиц 1: 4 + 0 + 1 = 5.
- Рассмотрим разряд восьмерок. Если в этом разряде стоит 0, разрядное значение равно 0. Если же в разряде восьмерок стоит 1, разрядное значение составляет 8.Например, в двоичном числе 1101 в разряде восьмерок стоит 1, поэтому разрядное значение составляет 8. Таким образом, двоичное число 1101 эквивалентно десятичному числу 13, поскольку имеет в разряде восьмерок 1, в разряде четверок 1, в разряде двоек 0 и в разряде единиц 1: 8 + 4 + 0 + 1 = 13.
Сложение двоичных чисел с использованием разрядных значений
- Запишите числа в столбик и сложите соответствующие цифры. Поскольку складывается два числа, сумма отдельных цифр может равняться 0, 1 или 2. Если сумма равна 0, напишите внизу соответствующего столбика 0. Если сумма составляет 1, запишите 1. Если же сумма равна 2, напишите внизу столбика 0 и перенесите 1 в соседний столбик двоек.Например, при сложении двоичных чисел 0111 и 1110 в столбике единиц 1 и 0 дают в сумме 1, поэтому внизу этого столбика следует написать 1.
- Сложите цифры в столбике двоек. При сложении может получиться 0, 1, 2 или 3 (если вы перенесли 1 из столбика единиц). Если сумма равна 0, запишите под чертой 0 в разряде двоек. Если сумма составляет 1, запишите внизу столбика 1. Если сумма равна 2, напишите под чертой 0 и перенесите 1 в столбик четверок. Если же сумма равна 3, напишите внизу 1 и перенесите 1 в столбик четверок (3 двойки = 6 = 1 двойка и 1 четверка).Например, при сложении двоичных чисел 0111 и 1110 две единицы в столбике двоек дают 2 (две двойки, то есть одну четверку), поэтому запишите под чертой 0 и перенесите 1 в столбик четверок.
- Сложите цифры в столбике четверок. При сложении может получиться 0, 1, 2 или 3 (если вы перенесли 1 из столбика двоек). Если сумма равна 0, запишите под чертой 0 в разряде четверок. Если сумма составляет 1, запишите внизу столбика 1. Если сумма равна 2, напишите под чертой 0 и перенесите 1 в столбик восьмерок. Если же сумма равна 3, напишите внизу 1 и перенесите 1 в столбик восьмерок (3 четверки = 12 = 1 четверка и 1 восьмерка).Например, при сложении двоичных чисел 0111 и 1110 следует сложить три единицы (с учетом перенесенной из столбика двоек). В результате имеем 3 четверки, то есть 12, поэтому запишите 1 в столбике четверок и перенесите 1 в столбик восьмерок.
- Продолжайте складывать цифры в каждом столбике разрядов, пока не получите окончательный результат. Для удобства можно запомнить, что 0 = 0, 1 = 1, 2 = 10 и 3 = 11.Например, при сложении двоичных чисел 0111 и 1110 в столбике восьмерок следует сложить две единицы (с учетом перенесенной из столбика четверок). В результате получаем 2, записываем 0 в столбике восьмерок и переносим 1 в разряд шестнадцати. Поскольку в столбике шестнадцати нет цифр, мы записываем под чертой 1. Таким образом, 0111 + 1110 = 10101.
Навигация по записям
pontcost.com
Двоичная арифметика
Выполнение арифметических действий в любых позиционных системах счисления производится по тем же правилам, которые используются в десятичной системе счисления.
Так же, как и в десятичной системе счисления, для выполнения арифметических действий необходимо знать таблицы сложения (вычитания) и умножения.
Таблица сложения, вычитания и умножения для двоичной системы счисления
Сложение | Вычитание | Умножение |
0 + 0 = 0 | 0 — 0 = 0 | 0 ∙ 0 = 0 |
0 + 1= 1 | 1 — 0 = 1 | 0 ∙ 1 = 0 |
1 + 0 = 1 | 1 — 1 = 0 | 1 ∙ 0 = 0 |
1 + 1 = 10 | 10 — 1 = 1 | 1 ∙ 1 = 1 |
Сложение двоичных чисел
Сложение в двоичной системе счисления выполняется по тем же правилам, что и в десятичной. Два числа записываются в столбик с выравниванием по разделителю целой и дробной части и при необходимости дополняются справа незначащими нулями. Сложение начинается с крайнего правого разряда. Две единицы младшего разряда объединяются в единицу старшего.
Пример: 1011,12 + 1010,112
Интересна также ситуация, когда складываются больше двух чисел. В этом случае возможен перенос через несколько разрядов.Пример: 111,12 + 1112 + 101,12При сложении в разряде единиц (разряд 0) оказывается 4 единицы, которые, объединившись, дают 1002. Поэтому из нулевого разряда в первый разряд переносится 0, а во второй — 1.Аналогичная ситуация возникает во втором разряде, где с учетом двух перенесенных единиц получается число 5 = 1012. 1 остается во втором разряде, 0 переносится в третий и 1 переносится в четвёртый.
Вычитание двоичных чисел
В случаях, когда занимается единица старшего разряда, она дает две единицы младшего разряда. Если занимается единица через несколько разрядов, то она дает по одной единице во всех промежуточных нулевых разрядах и две единицы в том разряде, для которого занималась.Пример: 10110,012 — 1001,12
Умножение и деление двоичных чисел
Зная операции двоичной арифметики, можно переводить числа из двоичной системы счисления в любую другую.Пример: Перевести число 1011110112 в десятичную систему счисления.Поскольку 1010 = 10102, запишем
Полученные остатки, 10012 = 910, =1112 = 710, 112 = 310. Искомое число 1011110112 = 37910.
Назад: Представление данных и архитектура ЭВМprog-cpp.ru
Как сложить числа в двоичной системе
Двоичная система счисления - позиционная система счисления с основанием 2. Все числа в это системе записываются с помощью двух символов - 0 и 1. Двоичная система счисления имеет богатую историю и до сих пор используется в вычислительной технике. Именно она дала толчок в развитии кибернетики.Инструкция
- При сложении чисел в двоичной системе важно помнить, что она имеет всего два символа - 0 и 1. Никаких других символов быть в ней не может. Поэтому сложение двух единиц 1+1 дает не 2, как в десятичной системе, а 10, так как 10 - это следующее за единицей число в двоичной системе.Необходимо запомнить простейшие правила сложения в двоичной системе: 0+0 = 0, 1+0 = 0+1 = 1, 1+1 = 10. Эти правила необходимы, чтобы складывать числа в двоичной системе в столбик. Как видно, в случае прибавления единицы к единице, единица идет в следующий разряд.Очевидно, что прибавление нуля к любому двоичному числу не изменит это число.
- Большие двоичные числа удобно складывать в столбик. Правила в двоичной системе аналогичны сложению правилам сложения в столбик в десятичной системе.Пусть складываются числа 1111 и 101. Записываем число с меньшим количеством разрядов 101 под числом 1111 - цифра разряда одного числа должна располагаться над цифрой того же разряда другого числа. Теперь можно складывать эти числа. В первом разряде 1+1 дает 10 - записываете 0 под единицами в первом разряде. Единица из 10 переходит в сумму цифр второго разряда. Во втором разряде 1+0. После прибавления единицы из первого разряда получится тоже 10. Единица переходит уже в третий разряд, а во втором разряде суммы тоже будет ноль. В третьем разряде 1+1+1 (единица перешла сюда!) дает 11. В третьем разряде суммы будет 1, а другая единица из числа 11 перейдет в четвертый разряд. Четвертый разряд имеет только число 1111. 1+1 = 10. Таким образом, 1111+101 = 10100.
- Рассматриваемый пример можно записать в столбик1111+ 101-----10100
completerepair.ru
Двоичное счисление: вычитание, сложение, умножение, деление
Двоичное счисление
Двоичное счисление это
Двоичное счисление имеет в своей основе только две цифры: 0 и 1. Все числа записывают с помощью этих двух цифр. Основание двоичной системы счисления равно двум.
Двоичная система счисления применяется в компьютерной технике. Бит — это наименьшая единица информации. Слово «бит», по-английски bit, происходит от «binary digit», что значит «двоичная цифра». Бит может быть единицей или нулём, ведь в двоичной системе счисления имеются только две цифры: 0 и 1.
Двоичное счисление относится к позиционным системам счисления. Это значит, что значение двоичного числа связано с позициями цифр в нём. Пример: двоичные числа 1101 и 1011 составлены из одинакового количества единиц и нулей, но позиции их различны, значит и числа различны.
Вот таблица позиций числа 1101:
цифра | 1 | 1 | 0 | 1 |
позиция | 3 | 2 | 1 | 0 |
Теперь таблица позиций числа 1011:
цифра | 1 | 0 | 1 | 1 |
позиция | 3 | 2 | 1 | 0 |
Номера позиций начинаются с нуля.
Двоичные дроби
Дроби в двоичной системе счисления записывают как и в десятичной:1101,1101
Таблица позиций числа 1101,1101
цифра | 1 | 1 | 0 | 1 | . | 1 | 1 | 0 | 1 |
позиция | 3 | 2 | 1 | 0 | -1 | -2 | -3 | -4 |
Позиции дробной части начинаются с -1.
Перевод дробного двоичного числа в десятичное
Переведём двоичное дробное число 1101,1101 в десятичную дробь.Таблица позиций числа 1101,1101
цифра | 1 | 1 | 0 | 1 | . | 1 | 1 | 0 | 1 |
позиция | 3 | 2 | 1 | 0 | -1 | -2 | -3 | -4 |
1 * 23 + 1 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 + 1 * 2-1 + 1 * 2-2 + 0 * 2-3 + 1 * 2-4 = 8 + 4 + 0 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0 + 0.0625 = 13.8125
Степени 2 равны номеру позиции.
Итак, двоичное число 1101,1101 равно 13,8125 в десятичной системе счисления.
Двоичная система счисления: как сравнить два числа?
Двоичные числа сравнивают также, как и в десятичной системе счисления, примеры:
100 > 10100 < 110111 < 1111111 < 1000
www.sbp-program.ru
Как складывать двоичные числа? » Советчик
В прошлой статье я писал о том, как переводить числа в двоичную систему. Сегодня, я продолжу тему информатики, а в частности — тему бинарных (двоичных) чисел, и расскажу вам о том, как складывать двоичные числа.
Перед тем, как начать свою статью, я должен вам рассказать о трех видах кода числа. Код числа — это запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа.
Всего существует три вида кода:
- прямой код;
- обратный;
- дополнительный.
Для нас, с точки зрения образования, интересны все три вида кода, поэтому я вам расскажу обо всех видах.
Что такое прямой код?
Прямой код — это код, в котором находятся все положительные числа. Мы будем рассматривать двоичные числа, которые представлены в 1 байте, т.е. в 8 битах. Сразу хочу сказать, что в компьютере нет знака «+» или «-», а есть лишь код. Поэтому изначально было принято, что знак «минус» соответствует числу «1″, а знак «плюс» — «0″.
Что это значит?
Это значит, что если мы хотим записать число 15 в десятичном коде в двоичный, то мы запишем просто 1111. Но на самом деле, для числа отведено 8 ячеек, так как мы рассматриваем восьми битное представление числа. Поэтому, число 15 будет представлено в двоичном коде, как 00001111, где первый «0″ — знаковое место. А если мы захотим представить число -15? Все просто! Берем число -15 по модулю, получаем 1111 в двоичной записи, а минус поставим в знаковом поле. В результате, мы получим число 10001111 — это и будет -15. Все выше сказанное верное, если число занимает 1 байт = 8 бит.
Резюмируем вышесказанное, прямой код — это код, в который вы, например, переведете число из десятичной системы, или код у числа, которое положительное. Все положительные числа могут быть представлены только в прямом коде!
Что такое обратный код?
Обратный код получается из прямого путем замены всех «0» в прямом коде на «1», а всех «1» — на «0», кроме знакового числа. Обратный код доступен только для отрицательных чисел! Положительные числа существуют только в прямом коде. Приведу пример. Пусть у нас есть число -15 в десятичной системе, т.е. -1111 в двоичной. Как мы уже с вами поняли, на число приходится 8 клеток – 8 бит. Т.е. если мы запишем число -1111 в прямом коде, то у нас получится число 10001111. Давайте, теперь запишем его в обратном коде. Как я уже выше писал, нужно поменять все нули на единицы, а единицы – на нули, кроме знакового числа. Тогда, -15 в обратном коде имеет следующий вид: 11110000.
Что такое дополнительный код?
Дополнительный код, как и обратный, доступен только для отрицательного числа. Он получается из обратного кода путем прибавления единицы к крайнему правому разряду числа. Опять же возьмем число -15. В обратном коде имеет следующий вид: 11110000. Прибавляем единицу к правому крайнему разряду. Имеем, число -15 в дополнительном коде: 11110001.
Теперь перейдём непосредственно к вопросу о том, как складывать двоичные числа.
Ещё раз хочу отменить, что все положительные числа представляются только в прямом коде, а отрицательные – в зависимости от задания.
Пусть нам дано задание – сложить два числа с использованием обратного кода:
- -35+15=20. -35 (в десятичной системе) = -100011 (в двоичной, но в прямом коде) = 10100011 (в двоичной системе, но в обратном коде).
- 15 (в десятичной) = 1111 (в двоичной, но в прямом коде) = 00001111 (в двоичной, но в прямом коде).
Сложение чисел в двоичной системе происходит также, как и в десятичной – столбиком. Если 0+1, то записываем 1, если 1+1, то записываем 0, а 1 запоминаем. Если так случилось, что появился 9 разряд, то зачеркиваем эту единицу, и прибавляем её к самому правому разряду – это в обратном коде, в дополнительном – все иначе.
Важно:
Если у нас получилось положительное число (8 разряд – 0), то оставляем это число, как есть.
А если у нас получилось отрицательное число (8 разряд – 1), то переводим его в прямой код.
Как мы видим, у нас получилось отрицательное число. Значит, следуя алгоритму, нам нужно перевести его в прямой код.
10110010(в обратном) = -1001101 (в прямом).
В дополнительном коде правила сложения двоичных чисел такие же. Если получилось отрицательное число — переводим его в прямой код (сначала в обратный, а затем – в прямой). Если у нас получилось так, что появился девятый разряд, то в отличие от обратного кода, мы его не куда не прибавляем, а просто зачеркиваем.
Общие правила сложения двоичных чисел.
У нас есть рамки числа – это 8 бит. Как вы понимаете, мы не может выйти за них, так как в компьютере нет больше памяти на это число. Из-за этого при сложение двоичных чисел, у нас появляется такое понятие, как переполнение. Что это такое? А это ещё одна возможность ошибиться, когда вы будете выполнять задания на информатике. К примеру, вы будете складывать два отрицательных числа, а получится у вас положительное. Конечно же, вам сразу поставят 0 балов за задание.
- Что же нужно сделать, чтобы избежать ошибок?
А нужно не только выполнять алгоритм, но и всегда думать головой при выполнение этого задания. Если вам даны два отрицательных числа, а получается у вас положительное число, то ничего не бойтесь, просто пишите, что возникло переполнение. Ничего в этом страшного нет, ведь это не вы виноваты, что на число отведено всего лишь 8 бит.
Переполнение может быть в 2 случаях:
- Складываются 2 положительных числа, а получается отрицательное.
- Складываются 2 отрицательных числа, а получается положительное.
Я надеюсь, что после прочтения этой статьи у вас не возникнет вопросов о том, как складывать двоичные числа, но если возникнут, то пишите их в комментарии, а я на них отвечу.
sovetchik.info