Как умножить степени с разными основаниями и показателями? Как умножать числа с одинаковыми основаниями и разными степенями

Как умножить степени с разными основаниями и показателями?

1) Если умножаются 2 числа с одинаковыми основаниями, но разными показателями, то общее основание возводится в сумму степеней.:

Пример3⁴*3³=3⁴⁺³=3⁷

2) Если основания разные, а показатели одинаковые. В этом случае мы возводим в степень произведение оснований.aⁿ*bⁿ=(ab)ⁿ

Пример:5²*2²=(5*2)²=10²=1003) Если основания разные и показатели разные, то тут 2 варианта:1. Выделяем одинаковое основание, т.е. раскладываем один из множителей.

Представим число b=a*c

Пример

2. Приводим к общему показателю:

Пример

Оцени ответ

nebotan.com

Как умножать степени | Алгебра

Как умножать степени? Какие степени можно перемножить, а какие — нет? Как число умножить на степень?

В алгебре найти произведение степеней можно в двух случаях:

1) если степени имеют одинаковые основания;

2) если степени имеют одинаковые показатели.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями надо основание оставить прежним, а показатели — сложить:

${a^m} \cdot {a^n} = {a^{m + n}}$

При умножении степеней с одинаковыми показателями общий показатель можно вынести за скобки:

${a^n} \cdot {b^n} = {(ab)^n}$

Рассмотрим, как умножать степени, на конкретных примерах.

$1){a^9} \cdot {a^5} = {a^{9 + 5}} = {a^{14}};$

Единицу в показателе степени не пишут, но при умножении степеней — учитывают:

$2){b^7} \cdot b = {b^{7 + 1}} = {b^8};$

При умножении количество степеней может быть любое. Следует помнить, что перед буквой знак умножения можно не писать:

$3){c^3}{c^{11}}{c^7} = {c^{3 + 11 + 7}} = {c^{21}};$

$4){x^{10}}{x^2}{x^4}{x^{17}} = {x^{10 + 2 + 4 + 17}} = {x^{33}};$

$5){a^4} \cdot {b^4} = {(ab)^4};$

$6){x^{12}} \cdot {y^{12}} \cdot {z^{12}} = {(xyz)^{12}}.$

В выражениях возведение в степень выполняется в первую очередь.

Если нужно число умножить на степень, сначала следует выполнить возведение в степень, а уже потом — умножение:

$7)10 \cdot {5^3} = 10 \cdot 125 = 1250;$

$8)0,002 \cdot {3^4} = 0,002 \cdot 81 = 0,162.$

www.algebraclass.ru

Как умножать и делить степени? Что делают при умножении и делении степеней?

Если говорить простыми словами, то возведение числа в степень - это операция, при которой число многократно умножается само на себя.

Здесь число a - это основание степени, а число n - это показатель степени.

Умножение степеней.

При умножении степеней их основания могут совпадать, а могут различаться.

Сначала рассмотрим, как умножать степени с одинаковыми основаниями.

Для этого нужно сложить показатели степеней, а основания оставить без изменений.

Здесь a - основание степеней, а n и m - показатели.

Например:

6² * 6³ = 6^5 = 7776.

Проверить эту формулу очень легко - достаточно возвести в степень каждый множитель, а затем перемножить полученные числа.

6² * 6³ = (6*6) * (6*6*6) = 36 * 216 = 7776.

Теперь об умножении степеней с разными основаниями.

Здесь возможны 3 варианта:

1) Основания степеней различаются, но показатели совпадают.

В этом случае нужно перемножить основания и возвести их в указанную степень.

Например:

5³ * 6³ = (5 * 6)³ = 30³ = 27000.

2) Основания и показатели различаются, но имеется возможность привести степени к одному основанию.

Например:

9² * 81².

Здесь 81 можно представить в виде 9².

Поэтому 81² = (9²)² = 9^4 (при возведении степени в степень показатели перемножаются).

В итогу получим, что 9² * 81² = 9^2 * 9^4 = 9^6 = 531441.

3) Основания и показатели различаются, но можно привести данные степени к одному показателю.

Например:

5² * 8^4.

8^4 можно представить как 8² * 8².

Поэтому:

5² * 8^4 = 5² * 8² * 8² = (5*8*8)² = 320² = 102400.

4) Основания и показатели различаются, возможность приведения степеней к одному основанию и показателю отсутствует.

Например:

3² * 7³.

Основания и показатели в этом случае являются простыми числами. Поэтому здесь единственный вариант - возводить в степень каждый множитель отдельно, а затем перемножать результаты.

3² * 7³ = 9 * 343 = 3087.

Деление степеней.

Здесь всё по аналогии с умножением - основания степеней бывают одинаковыми, а бывают разными.

Если вы выполняете деление степеней с одинаковыми основаниями, то нужно делать следующее:

Основания оставить без изменений, а показатели степеней отнять друг от друга.

Например:

7³ : 7² = 7^1 = 7.

Проверка выполняется описанным выше способом:

7³ : 7² = 343 : 49 = 7.

Что касается деления степеней с разными основаниями, то здесь все принципы будут аналогичны умножению.

Если основания и показатели степеней - простые числа, то нужно отдельно возводить в степень делимое и делитель.

В ином случае степени можно привести либо к одному основанию, либо к одному показателю.

Вот несколько примеров:

4² : 2^4 = 4² : (2²)² = 4² : 4² = 1.

10³ : 5³ = (10 : 5)³ = 2³ = 8.

9³ : 2^6 = 9³ : (2³ * 2³) = 4,5³ : 2³ = 2,25³ = 11,390625.

www.bolshoyvopros.ru

Что делать со степенями при сложении и вычитании числе?

Если умножать степени с одинаковым основанием, то показатели степени складываются:

Например: 2^2 х 2^4 = 2^6 = 64

Если делить степени с одинаковым основанием, то показатели степени вычитаются:

Например: 2^4 / 2^2 = 2^2 = 4.

Если же умножать или делить степени с разным основанием, то нужно сначала возвести основание в степень, а потом совершать умножение или деление.

В вашем случае 2^3 x 4^5 = 8 х 1024 = 8192.

При умножении степеней, которые имеют одинаковые основания - числа степеней складываются.

При делении степеней, которые имеют одинаковые основания - числа степеней вычитаются.

А вот если умножать, либо делить степени, которые имеют разные основания, нужно выполнить следующие действия:

возвести основание в степень
выполнить заданное умножение или деление.

На вашем примере нужно привести к одной основе, то есть 4 - это 2^2. Поэтому запишем выражение следующим образом 2^3 x 4^5 = 2^3 x (2^2)^5. Теперь нам нужно избавиться от этих скобочек. Мы знаем, что по правилу степени просто перемножаются, поэтому, у нас получится следующее выражение: 2^3 x 2^10. А теперь у нас есть единая основа, значит мы можем просто сложить степени. Получится такое выражение: 2^13. Ответ будет 8192.

Итак, на представленном вами примере мы использовали всего лишь 2 правила, а именно сложение степеней, когда есть одна основа, и умножение их, когда мы возводим одну степень в другую.

У вас не сложение , или вычитание , а умножение. И это очень меняет дело*

В данном примере нужно привести 4 к степени двойки : 4 =2^(2) , тогда

2^(3) * 4^(5) = 2^(3) * 2^(2)^5 = 2^(3 * 2^(10) = 2 ^ (3+10) = 2 ^ (13) или 2 в 13 степени.

Если бы был пример на сложение ,то есть :

2 ^ (3) + 4 ^ (5) = 2 ^( 3) + (2 )^ 2 ^ 5 = 2 ^ (3) + 2 ^( 10)= 2 ^(3) *1+2 ^( 7).

И это совсем другой результат.А правила действий со степенями такие :

a ^ (m) * a ^ (n) = a ^ (m+n)

a ^(m) a ^ (n) = a ^ (m-n)

a^ (m )+ a ^( n) = a ^(m) *a ^(m-n)+1}

Вот это правило очень важное,потому что когда степени стоят как слагаемые,то их нельзя иначе преобразовать,как только вынести общий множитель за скобки.

({a ^ (m)}^n= a ^ (m*n)

Ничего кроме выполнения отдельных операций согласно их приоритету, вы тут не сделаете. Если вам нужно сложить два разных числа в разных степенях, то сначала каждое число вы возводите в свою степень и после этого выполняете сложение.

Если у двух слагаемых в основании одно число в разных степенях, можно вынести общее кратное:

Например, а^x+y + а^x = а^x * (а^y + 1)

Если основания разные, но степень одна, то в некоторых простых частных случаях можно воспользоваться алгебраическими формулами вроде: а^2-b^2= (а-b) * (a+b). Но это очень редкие совпадения, расчитывать на которые не стоит.

В общем случае с этим ничего не сделать, в вашем конкретном примере можно 4 представить как 2 во 2-й степени. Получится (2^2)^5. Далее, т.к. при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, получаем 2^3 x 2^10 = 2^13 = 8192.

Т.е. числа нужно приводить ко одинаковому основанию или показателю степени. Тут 2 правила:

X^a * X^b = X^(a+b)

X^a * Y^a = (XY)^a.

В общем случае ничего с таким умножением сделать нельзя. То есть если требуется умножить 2 в квадрате на 3 в кубе, то это не значит, что мы должны 2 умножить на 3 и возвести результат в 5 степень - ответ получится неверный. Приходится возводить 2 в квадрат, а 3 в куб и только потом перемножать числа. Но если требуется 2 в произвольной степени умножить на 4 в произвольной степени, то мы представляем 4 как 2 в квадрате и просто складываем степени. Если же мы складываем или вычитаем два числа возведенных в степени, то тут нет никакого правила - надо возводить и складывать (вычитать) результат: а^3 + b^4 не упростить да и не надо.

info-4all.ru

Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями

Умножение степеней с одинаковыми основаниями

При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются.

Рассмотрим, почему показатели складываются. Во-первых, возведение в степень - это сокращённая запись умножения:

23 = 2 · 2 · 2

Во-вторых, умножение числа самого на себя, имеющего при этом разные степени, означает, что это число берётся сомножителем столько раз, сколько указывают показатели степеней:

23 · 22 =	(2 · 2 · 2)	·	(2 · 2)	=	2 · 2 · 2 · 2 · 2	= 25
	3 множ.		2 множ.		5 множ.

Из примера становится понятно, что при сложении показателей степеней, мы получаем общую сумму сомножителей, поэтому для любого выражения будет верна формула:

ax · ay = ax+y

Примеры умножения степеней

Пример 1. Запишите в виде степени:

n3n5

Решение:

n3n5 = n3 + 5 = n8

Пример 2. Упростите:

xy2z3x4y5z6

Решение: чтобы легче было провести умножение степеней с одинаковыми основаниями можно сначала сгруппировать степени по основаниям:

(xx4)(y2y5)(z3z6)

Теперь выполним умножение степеней:

(xx4)(y2y5)(z3z6) = (x1 + 4)(y2 + 5)(z3 + 6) = x5y7z9

Следовательно:

xy2z3x4y5z6 = x5y7z9

Пример 3. Выполните умножение:

а) nxn5; б) xxn; в) amam

Решение:

а) nxn5 = nx + 5 б) xxn = xn + 1 в) amam = am + m = a2m

Пример 4. Упростите выражение:

а) -a2 · (-a)2 &middot a; б) -(-a)2 · (-a) &middot a

Решение:

а) -a2 · (-a)2 &middot a = -a2 · a2 &middot a = -(a2a2a) = -(a2 + 2 + 1) = -a5 б) -(-a)2 · (-a) &middot a = -a2 · (-a) &middot a = a3 &middot a = a4

Деление степеней с одинаковыми основаниями

При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Рассмотрим частное двух степеней с одинаковыми основаниями:

n12 : n5

где n – это число не равное нулю, так как на 0 делить нельзя. Запишем частное в виде дроби:

Представим n12 в виде произведения n7 · n5, тогда числитель и знаменатель дроби можно будет сократить на общий множитель n5:

n12	=	n7 · n5	= n7
n5		n5

Верность совершённого действия легко проверить с помощью умножения:

n7 · n5 = n7+5 = n12

Следовательно, общая формула для деления степеней с одинаковым основанием будет выглядеть так:

ax : ay = ax-y

Примеры деления степеней

Пример 1. Частное степеней замените степенью с тем же основанием:

а)	a5	; б)	m18
	a		m10

Решение:

а)	a5	=	a4 · a	= a4
	a		a

б)	m18	=	m8 · m10	= m8
	m10		m10

Пример 2. Выполните деление:

а) x7 : x2; б) n10 : n5; в) a30 : a10

Решение:

а) x7 : x2 = x7 - 2 = x5 б) n10 : n5 = n10 - 5 = n5 в) a30 : a10 = a30 - 10 = a20

Пример 3. Чему равно значение выражения:

а)	an	; б)	mx	; в)	b5 · b8
	a2		m		b3

Решение:

в)	b5 · b8	=	b2 · b3 · b8	= b2 · b8 = b10
	b3		b3

naobumium.info

Как делить степени | Алгебра

Как делить степени? При каких условиях деление степеней возможно?

В алгебре найти частное степеней можно в двух случаях:

1) если степени имеют одинаковые основания;

2) если степени имеют одинаковые показатели.

Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, надо основание оставить прежним, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя (или коротко: при делении степеней показатели вычитают):

${a^m}:{a^n} = {a^{m - n}}$

или

$\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}$

или

$\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = \frac{1}{{{a^{n - m}}}}$

(последнюю формулу удобно использовать, если показатель степени в знаменателе больше показателя степени в числителе).

При делении степеней с одинаковыми показателями общий показатель можно вынести за скобки:

$\frac{{{a^n}}}{{{b^n}}} = {(\frac{a}{b})^n}$

Рассмотрим, как делить степени, на конкретных примерах.

$1){a^{14}}:{a^2} = {a^{14 - 2}} = {a^{12}};$

Единицу в показателе степени не пишут, но при делении степеней ее следует учесть:

$2){d^5}:d = {d^{5 - 1}} = {d^4};$

При делении степеней с одинаковыми основаниями и одинаковыми показателями получаем единицу:

$3){y^9}:{y^9} = {y^{9 - 9}} = {y^0} = 1;$

$4)\frac{{{b^{20}}}}{{{b^5}}} = {b^{20 - 5}} = {b^{15}};$

$4)\frac{{{x^3}}}{{{x^{12}}}} = \frac{1}{{{x^{12 - 3}}}} = \frac{1}{{{x^9}}};$

$6)\frac{{{a^8}}}{{{b^8}}} = {(\frac{a}{b})^8};$

Вынесение общего показателя при делении степеней позволяет упростить вычисления:

$7)\frac{{{{36}^4}}}{{{{12}^4}}} = {(\frac{{36}}{{12}})^4} = {3^4} = 81;$

$8)\frac{{{5^3}}}{{{{40}^3}}} = {(\frac{5}{{40}})^3} = {(\frac{1}{8})^3} = \frac{1}{{512}}.$

В выражениях возведение в степень выполняется в первую очередь.

Если нужно число разделить на степень либо степень разделить на число, сначала следует выполнить возведение в степень, а затем — деление:

$9)160:{2^5} = 160:32 = 5;$

$10){6^3}:100 = 216:100 = 2,16.$

www.algebraclass.ru

как умножить или разделить степени с разными показателями и основаниями? пожалуйста, очень срочно нужно!

Приводят все основания к одному и действуют по правилам. Если к одному основанию свести нельзя, то считают каждую степень по отдельности.

Если основания одинаковы, то при умножении основание остается прежним, показатели складываются (при делении вычитаются) . Степень с разными основаниями нельзя умножать или делить, пока эти основания не приравнять друг к другу. Показатели тут роли не играют.

представь 14^2 как 2^2*7^2 и тогда все получится

touch.otvet.mail.ru

Как умножить степени с разными основаниями и показателями? Как умножать числа с одинаковыми основаниями и разными степенями