Скалярное произведение векторов. Угол между векторами! Как вычислить скалярное произведение векторов
Как найти скалярное произведение векторов, примеры решений
Формула
Пусть даны векторы и . Как найти скалярное произведение векторов? Для того, чтобы найти скалярное произведение векторов необходимо воспользоваться формулой: Стоит заметить, что скалярное произведение записывается в скобках, в которых векторы записываются через запятую. Данное обозначение широко применяется в математике и его нужно запомнить.
Если в задаче векторы заданы тремя координатами (в пространстве), то найти скалярное произведение векторов нужно по другой формуле, основанной на предыдущей. Но с тем же смыслом:
По сути скалярное произведение – это сумма произведений соответствующих координат данных векторов. Первая координата умножается на первую, вторая на вторую и затем произведения суммируются.
Примеры решений
| Пример 1 |
| Найти скалярное произведение векторов и |
| Решение |
| В данном примере векторы заданы двумя координатами, поэтому применяем первую формулу для плоской задачи. Умножаем соответствующие координаты, а потом складываем их: Произведение получилось равным нулю, а это кстати означает, что векторы оказались ортогональными (перпендикулярными) друг к другу. |
| Ответ |
| Пример 2 |
| В пространстве заданы начала и концы векторов: Требуется найти скалярное произведение векторов и . |
| Решение |
| В примеры решения данной задачи даны только точки и сразу вычислить произведение векторов не представляется возможным. Сначала нужно найти сами векторы и . Вычисляются они с помощью разности соответствующих координат точек (из конца вычитается начало вектора): Теперь, когда необходимые векторы найдены, то вычисляем их произведение: |
| Ответ |
В статье мы ответили на вопрос: «Как найти скалярное произведение векторов?», а так же привели формулы и примеры решений задач.
Скалярное произведение векторов: теория и решения задач
Определение 1. Скалярным произведением векторов называется число (скаляр), равное произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла между ними. Формула скалярного произведения векторов согласно определению 1: (1)
Можно встретить и другое название этой операции: внутреннее произведение.
Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом.
Сформулируем другое определение, эквивалентное определению 1.
Определение 2. Скалярным произведением векторов называется число (скаляр), равное произведению длины одного их этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов. Формула согласно определению 2:
(2)
или
(3)
Если в задаче и длины векторов, и угол между ними преподнесены "на блюдечке с голубой каёмочкой", то условие задачи и её решение выглядят так:
Пример 1. Даны векторы . Найти скалярное произведение векторов , если их длины и угол между ними представлены следующими значениями:
Решение:
Определение 3. Скалярное произведение векторов - это число, равное сумме попарных произведений их соответствующих координат.
На плоскости
Если два вектора и на плоскости определены своими двумя декартовыми прямоугольными координатами
и
,
то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат:
.
В пространстве
Если два вектора и в пространстве определены своими тремя декартовыми прямоугольными координатами
и
,
то скалярное произведение этих векторов также равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, только координат уже три:
.
Геометрические свойства
В определениях изучаемой операции мы уже касались понятия угла между двумя векторами. Пора уточнить это понятие.
На рисунке выше видны два вектора, которые приведены к общему началу. И первое, на что нужно обратить внимание: между этими векторами существуют два угла - φ1 и φ2. Какой из этих углов фигурирует в определениях и свойствах скалярного произведения векторов? Сумма рассмотренных углов равна 2π и поэтому косинусы этих углов равны. В определение скалярного произведения входит только косинус угла, а не значение его выражения. Но в свойствах рассматривается только один угол. И это тот из двух углов, который не превосходит π, то есть 180 градусов. На рисунке этот угол обозначен как φ1.
1. Два вектора называют ортогональными и угол между этими векторами - прямой (90 градусов или π/2), если скалярное произведение этих векторов равно нулю:
.
Ортогональностью в векторной алгебре называется перпендикулярность двух векторов.
2. Два ненулевых вектора составляют острый угол (от 0 до 90 градусов, или, что тоже самое - меньше π/2) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно.
3. Два ненулевых вектора составляют тупой угол (от 90 до 180 градусов, или, что то же самое - больше π/2) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение отрицательно.
Пример 3. Даны длины двух векторов и угол между ними:
.
Определить, при каком значении числа векторы и ортогональны (перпендикулярны).
Решение. Перемножим векторы по правилу умножения многочленов:
.
Теперь вычислим каждое слагаемое:
.
Составим уравнение (равенство произведения нулю), приведём подобные члены и решим уравнение:
Ответ: мы получили значение λ = 1,8, при котором векторы ортогональны.
Пример 4. В координатах даны векторы:
.
Вычислить скалярные произведения всех пар данных векторов. Какой угол (острый, прямой, тупой) образуют эти пары векторов?
Решение. Вычислять будем путём сложения произведений соответствующих координат.
.
Получили отрицательное число, поэтому векторы образуют тупой угол.
.
Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.
.
Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.
.
Получили нуль, поэтому векторы образуют прямой угол.
.
Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.
.
Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.
Решить задачу самостоятельно, а затем посмотреть решение
Иногда выигрышным для наглядности является представление двух перемножаемых векторов в виде матриц. Тогда первый вектор представлен в виде матрицы-строки, а второй - в виде матрицы-столбца:
Тогда скалярное произведение векторов будет произведением этих матриц:
Результат тот же, что и полученный способом, который мы уже рассмотрели. Получили одно единственное число, и произведение матрицы-строки на матрицу-столбец также является одним единственным числом.
В матричной форме удобно представлять произведение абстрактных n-мерных векторов. Так, произведение двух четырёхмерных векторов будет произведением матрицы-строки с четырьмя элементами на матрицу-столбец также с четырьмя элементами, произведение двух пятимерных векторов - произведением матрицы-строки с пятью элементами на матрицу-столбец также с пятью элементами и так далее.
Пример 6. Найти скалярные произведения пар векторов
и
,
используя матричное представление.
Решение. Первая пара векторов. Представляем первый вектор в виде матрицы-строки, а второй - в виде матрицы-столбца. Находим скалярное произведение этих векторов как произведение матрицы-строки на матрицу-столбец:
Аналогично представляем вторую пару и находим:
Как видим, результаты получились те же, что и у тех же пар из примера 4.
Чтобы выразить скалярное произведение векторов
(1)
в координатной форме, предварительно найдём скалярные произведение ортов. Скалярное произведение вектора на само себя по определению:
То, что записано в формуле выше, означает: скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины. Косинус нуля равен единице, поэтому квадрат каждого орта будет равен единице:
Так как векторы
попарно перпендикулярны, то попарные произведения ортов будут равны нулю:
Теперь выполним умножение векторных многочленов:
Подставляем в правую часть равенства значения соответствующих скалярных произведений ортов:
Получаем формулу косинуса угла между двумя векторами:
Пример 7. Даны три точки A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).
Найти угол .
Решение. Находим координаты векторов:
,
.
По формуле косинуса угла получаем:
Следовательно, .
Пример 8. Даны два вектора
и
Найти сумму, разность, длину, скалярное произведение и угол между ними.
Решение.
1.Сумма
2.Разность
3.Длина
4.Скалярное произведение
5.Угол между и :
Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример 12. Среди векторов
Найти а) коллинеарные; б) ортогональные.
Решение.
а) проверим пропорциональность соответствующих координат векторов - условие коллинеарности (повторение материала предыдущей части темы "Векторы").
Для векторов и :
Равенство не выполняется.
Для векторов и :
Равенство выполняется.
Для векторов и :
Равенство не выполняется.
Наше исследование показало, что коллинеарны векторы и .
б) найдём скалярные произведения векторов.
Наше исследование показало, что ортогональны векторы и и и .
Расчёт работы постоянной силы
Посмотрите ещё раз на рисунок в начале статьи. Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из начала координат в конец вектора B под действием постоянной силы F = A, образующей угол с перемещением S = A. Из физики известно, что работа силы F при перемещении S равна . Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении её точки приложения равна скалярному произведению вектора силы F = B на вектор перемещения S = A.
Скалярное произведение векторов позволяет находить угол между двумя векторами. Поэтому оно часто встречается в последующих разделах математики, особенно, аналитической геометрии. Стоит ли говорить о том, что нахождение скалярного произведения векторов - фундаментальный навык для любого будущего инженера, проектирующего всё что угодно, от гладильных досок и лестниц-стремянок до зданий, или для программиста, собирающегося разрабатывать игры?
Экономический смысл скалярного произведения векторов
В экономических задачах можно рассматривать скалярное произведение вектора цен p на вектор объёма проданных товаров x . Скалярное произведение px в этом случае даёт суммарную стоимость проданных товаров x при ценах p . Например, если объём всех товаров, проданных предприятием, выражается вектором x = (400; 750; 200; 300), элементы которого означают соответственно количество товаров различных групп, а цены в одних и тех же денежных единицах заданы в соответствующем порядке вектором p = (3; 2,1; 1,2; 0,5), то скалярное произведение
выражает суммарную стоимость всех товаров x.
Поделиться с друзьями
Начало темы "Векторы"
Продолжение темы "Векторы"
function-x.ru
Скалярное произведение векторов, формула и примеры
Определение и формула скалярного произведения векторов
Если векторы заданы своими координатами, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:
Свойства скалярного произведения векторов
1. Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля:
Выражение называется скалярным квадратом вектора .
2. Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:
3. Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:
4. Операция скалярного умножения коммуникативна:
5. Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны (перпендикулярны):
6. .
7. Операция скалярного умножения дистрибутивна:
8. Если угол между векторами острый, то скалярное произведение этих векторов будет положительным числом (так как косинус острого угла – положительное число). Если угол между векторами тупой, то скалярное произведение будет отрицательным (так как косинус тупого угла есть величина отрицательная). Имеют место и обратные утверждения.
9. Если векторы сонаправлены, то угол между ними будет равен , а скалярное произведение будет положительным. Угол между противоположно направленными векторами равен и их скалярное произведение отрицательно.
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
ru.solverbook.com
Скалярное произведение векторов
Скалярное произведение векторов (далее в тексте СП). Дорогие друзья! В состав экзамена по математике входит группа задач на решение векторов. Некоторые задачи мы уже рассмотрели. Можете посмотреть их в категории «Векторы». В целом, теория векторов несложная, главное последовательно её изучить. Вычисления и действия с векторами в школьном курсе математики просты, формулы не сложные. Загляните в справочник. В этой статье мы разберём задачи на СП векторов (входят в ЕГЭ). Теперь «погружение» в теорию:
Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты его начала
И ещё:
*Длина вектора (модуль) определяется следующим образом:
Данные формулы необходимо запомнить!!!
Покажем угол между векторами:
Понятно, что он может изменяться в пределах от 0 до 1800 (или в радианах от 0 до Пи).
Можем сделать некоторые выводы о знаке скалярного произведения. Длины векторов имеют положительное значение, это очевидно. Значит знак скалярного произведения зависит от значения косинуса угла между векторами.
Возможны случаи:
1. Если угол между векторами острый (от 00 до 900), то косинус угла будет иметь положительное значение.
2. Если угол между векторами тупой (от 900 до 1800), то косинус угла будет иметь отрицательное значение.
*При нуле градусов, то есть когда векторы имеют одинаковое направление, косинус равен единице и соответственно результат будет положительным.
При 180о, то есть когда векторы имеют противоположные направления, косинус равен минус единице, и соответственно результат будет отрицательным.
Теперь ВАЖНЫЙ МОМЕНТ!
При 90о, то есть когда векторы перпендикулярны друг другу, косинус равен нулю, а значит и СП равно нулю. Этот факт (следствие, вывод) используется при решение многих задач, где речь идёт о взаимном расположении векторов, в том числе и в задачах входящих в открытый банк заданий по математике.
Сформулируем утверждение: скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда данные векторы лежат на перпендикулярных прямых.
Итак, формулы СП векторов:
Если известны координаты векторов или координаты точек их начал и концов, то всегда сможем найти угол между векторами:
Рассмотрим задачи:
27724 Найдите скалярное произведение векторов a и b.
Скалярное произведение векторов мы можем найти по одной из двух формул:
Угол между векторами неизвестен, но мы без труда можем найти координаты векторов и далее воспользоваться первой формулой. Так как начала обоих векторов совпадают с началом координат, то координаты данных векторов равны координатам их концов, то есть
Как найти координаты вектора изложено в этой статье.
Вычисляем:
Ответ: 40
Найдём координаты векторов и воспользуемся формулой:
Чтобы найти координаты вектора необходимо из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты его начала, значит
Вычисляем скалярное произведение:
Ответ: 40
Найдите угол между векторами a и b. Ответ дайте в градусах.
Пусть координаты векторов имеют вид:
Для нахождения угла между векторами используем формулу скалярного произведения векторов:
Косинус угла между векторами:
Следовательно:
Координаты данных векторов равны:
Подставим их в формулу:
Угол между векторами равен 45 градусам.
Ответ: 45
Посмотреть решение
Посмотреть решение
27710. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите скалярное произведение векторов АВ и AD.
Посмотреть решение
27719. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О и равны 12 и 16. Найдите скалярное произведение векторов AB и BO.
Посмотреть решение
27719. Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите скалярное произведение векторов AB и АС.
Посмотреть решение
На этом всё! Успехов вам!
С уважением, Александр Крутицких.
На уроке физкультуры: — Так, парни, кто из вас курит? Честно! Не врать! Так. ... значит, ты... и ты. ... Понятно... Значит, так: мы с вами покурим, остальным — пять кругов по стадиону.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
matematikalegko.ru
Скалярное произведение (a,b)
Скалярным произведением двух векторов (a, b) называют число равное сумме попарных произведений координат векторов с каждой оси, т.е.
Из формулы видно что вычисление скалярного произведения - это самое простое занятие, которое может выполнить любой школьник.
Например, если есть два вектора в пространстве с координатами
то их скалярное произведение равно 6
В математике есть еще одно определение скалярного произведения.
Согласно второму определению скалярное произведение двух векторов равно числу, которое получают умножением длин векторов (их модулей) на косинус угла между ними
Данное определение используют не столько для нахождения скалярного произведения, как для исчисления значение косинуса угла и уже из таблиц - самого угла между векторами. Из определения получают удобную формулу для вычисления угла между векторами
или в координатной форме
Приведем примеры вычисления скалярного произведения для трехмерных векторов.
--------------------------------------------
Примеры.
Задано векторы и . Вычислить их скалярное произведение, если
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Решение. Выполним вычисления согласно формул
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
-----------------------------------
Из примеров Вы убедились, что нахождение скалярного произведения попарным перемножением координат векторов, а затем их суммированием не является сложным. В следующих статьях будут рассмотрены другие стороны скалярного произведения и его применение к векторному анализу.
Посмотреть материалы:
yukhym.com
Скалярное произведение векторов.
Навигация по странице:
Геометрическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов умноженного на косинус угла между ними:a · b = |a| · |b| cos α
Алгебраическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b.
Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами
Формула скалярного произведения векторов для плоских задач
В случае плоской задачи скалярное произведение векторов a = {ax ; ay} и b = {bx ; by} можно найти воспользовавшись следующей формулой:
a · b = ax · bx + ay · by
Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач
В случае пространственной задачи скалярное произведение векторов a = {ax ; ay ; az} и b = {bx ; by ; bz} можно найти воспользовавшись следующей формулой:
a · b = ax · bx + ay · by + az · bz
Формула скалярного произведения n -мерных векторов
В случае n-мерного пространства скалярное произведение векторов a = {a1 ; a2 ; ... ; an} и b = {b1 ; b2 ; ... ; bn} можно найти воспользовавшись следующей формулой:
a · b = a1 · b1 + a2 · b2 + ... + an · bn
Свойства скалярного произведения векторов
- Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля:
a · a ≥ 0
- Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:
a · a = 0 <=> a = 0
- Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:
a · a = |a|2
- Операция скалярного умножения коммуникативна:
a · b = b · a
- Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны:
a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0 <=> a ┴ b
(αa) · b = α(a · b)
- Операция скалярного умножения дистрибутивна:
(a + b) · c = a · c + b · c
Примеры задач на вычисление скалярного произведения векторов
Примеры вычисления скалярного произведения векторов для плоских задач
Пример 1. Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2} и b = {4; 8}.Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.
Пример 2. Найти скалярное произведение векторов a и b, если их длины |a| = 3, |b| = 6, а угол между векторами равен 60˚.Решение: a · b = |a| · |b| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.
Пример 3. Найти скалярное произведение векторов p = a + 3b и q = 5a - 3 b, если их длины |a| = 3, |b| = 2, а угол между векторами a и b равен 60˚.Решение:
p · q = (a + 3b) · (5a - 3b) = 5 a · a - 3 a · b + 15 b · a - 9 b · b == 5 |a|2 + 12 a · b - 9 |b|2 = 5 · 32 + 12 · 3 · 2 · cos 60˚ - 9 · 22 = 45 +36 -36 = 45.
Пример вычисления скалярного произведения векторов для пространственных задач
Пример 4. Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2; -5} и b = {4; 8; 1}.Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 - 5 = 15.
Пример вычисления скалярного произведения для n -мерных векторов
Пример 5. Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2; -5; 2} и b = {4; 8; 1; -2}.Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
0oq.ru
Скалярное произведение двух векторов и его свойства
Определение. Скалярным произведением двух векторов 
и
называется число, равное произведению модулей векторов
и
на косинус угла между ними.
Скалярное произведение векторов 
и
обозначают
, или
.
Итак, по определению
,
где 
- угол между векторами
та
.
Если хотя бы один из векторов нулевой, то угол не определен и скалярное произведение по определению считают равным нулю.
Поскольку по формуле
то формулу скалярного произведения можно записать еще и таким образом:
или
.
Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного из векторов на проекцию второго вектора на направление первого.
Скалярное произведение имеет следующие свойства:
1.Скалярное произведение коммутативно, то есть для любых векторов . (2.14)
2. , т.е. для произвольного вектора его скалярный квадрат равняется квадрату модуля этого вектора. Отсюда
. (2.15)
3. Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны или хотя бы один из них равен нулю.
4. Скалярное произведение ассоциативно относительно скалярного множителя, то есть. (2.16)
5. Скалярное произведение дистрибутивный относительно сложения, то есть для произвольных трех векторов 
имеет место равенство
.
6. Векторы ортонормального базиса удовлетворяют соотношениям:
,
.
Рассмотрим теперь два вектора 
и
, которые заданы координатами в прямоугольной системе координат:;,
Т.е.,.
Тогда, пользуясь перечисленными свойствами скалярного произведения, получим,
, скалярное произведение двух векторов в ортонормальном базисе равно сумме произведений их соответствующих координат.
, модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.
Косинус угла между двумя векторами 
.
Для ортонормального базиса получим:
и условие ортогональности двух векторов приобретает вид: .
Если 
,
,
при 
,
при
.
Векторное произведение двух векторов, его свойства
Определение 2.21. Векторным произведением вектора 
на вектор
называется вектор
(рис. 2.15), у которого: 1) длина численно равняется площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
2) вектор 
перпендикулярен к плоскости, в которой лежат векторы
и
, т.е.
и
;
3) вектор 
направлен таким образом, чтобы кратчайший поворот от вектора
к вектору
осуществлялся против часовой стрелки, если смотреть на него из конца вектора
.
Векторное произведение векторов 
и
обозначается символом
или
.
Из определения вытекает, что .Свойства:
1) - антикоммутативность;
2) - ассоциативность относительно скалярного множителя;
3) - дистрибутивность относительно сложения;
4) 
означает коллинеарность векторов
и
.
Для векторного произведения основных ортов 
справедлива такая таблица (табл.2.1).
Таблица 2.1
С использованием этой таблицы можно доказать, что если векторы 
и
заданные своими координатами в прямоугольной системе координатт.е.
; ,
то
.
Если 
и
коллинеарны, то
и из (2.31) получим, что
, - условие коллинеарности векторов.
Векторное произведение может использоваться для вычисления площади параллелограмма, а значит, треугольника и любого плоского многоугольника, а также для вычисления момента силы. В случае, когда тело неподвижно закреплено в т.
, а в т.
этого тела приложена сила
, тогда момент силы, а величина момента равна
.
Пример Сила 
приложена к точке
. Определить момент этой силы относительно начала координат.
studfiles.net
