Базис векторов. Координаты вектора в произвольном базисе. Координаты вектора в базисе как найти


Найти координаты вектора в базисе

Задание.Даны векторы a (1; 2; 1), b (2; —2; 1), c (1; —2; 0) и d (0; 3; 1). Проверить, образуют ли векторы a, b, c базис, и если да, то найти координаты вектора d в этом базисе.

Решение.Запишем соотношение для векторов d=\alpha a+\beta b+\gamma c, которое будет справедливым для каждой проекции вектора на оси. Для этого подставим соответствующие координаты заданных векторов:

    \[\alpha\cdot 1+\beta\cdot 2+\gamma\cdot 1=0\]

    \[\alpha\cdot 2+\beta\cdot \left(-2\right)+\gamma\cdot 1=3\]

    \[\alpha\cdot 1+\beta\cdot \left(-2\right)+\gamma\cdot 0=1\]

В результате получили алгебраическая система из трёх уравнений с тремя неизвестными. Рассматривать возможные способы решения сейчас не будем. Лишь упомяну, что удобнее в данном случае корни вычислить с помощью нескольких методов, например, метода Крамера или же метода обратной матрицы. Мы же воспользуемся следующим методом:

    \[\left\{ \begin{array}{c} \alpha+2\beta+\gamma=0, \\ 2\alpha-2\beta+\gamma=3, \\ \alpha-2\beta=1 \end{array} \right.\]

К первому уравнению добавим третье и запишем результат на месте первого:

    \[\left\{ \begin{array}{c} 2\alpha+\gamma=1, \\ 2\alpha-2\beta+\gamma=3, \\ \alpha-2\beta=1 \end{array} \right.\]

От второго уравнения отнимем первое:

    \[\left\{ \begin{array}{c} 2\alpha+\gamma=1, \\ -2\beta=2, \\ \alpha-2\beta=1 \end{array} \right.\]

Выразим из второго уравнения \beta:

    \[\left\{ \begin{array}{c} 2\alpha+\gamma=1, \\ \beta=-1, \\ \alpha-2\beta=1 \end{array} \right.\]

Подставим это значение в третье уравнение и вычислим значение \alpha:

    \[\left\{ \begin{array}{c} 2\alpha+\gamma=1, \\ \beta=-1, \\ \alpha-2\cdot \left(-1\right)=1 \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{c} 2\alpha+\gamma=1, \\ \beta=-1, \\ \alpha=-2+1 \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{c} 2\alpha+\gamma=1, \\ \beta=-1, \\ \alpha=-1 \end{array} \right.\]

Подставим последнее полученное значение в первое уравнение, чтобы вычислить значение \gamma:

    \[\left\{ \begin{array}{c} 2\cdot \left(-1\right)+\gamma=1, \\ \gamma=-1, \\ \gamma=-1 \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{c} \gamma=3, \\ \beta=-1, \\ \alpha=-1 \end{array} \right.\]

Запишем решение данной системы:

    \[\alpha=-1\]

    \[\beta=-1\]

    \[\gamma=3\]

Следовательно, вектор d также будет иметь разложение в базисе векторов a, b, c:

    \[d=-a-b+3c\]

Ответ. d=-a-b+3c.

ru.solverbook.com

Разложение вектора по базису, формулы и примеры

Определение и формулы разложения вектора по базису

Если для произвольного вектора \bar{a} и произвольной системы векторов \left\{\bar{e}_{1} ,\; \bar{e}_{2} ,...,\; \bar{e}_{n} \right\} выполняется равенство

    \[\bar{a}=a_{1} \cdot \bar{e}_{1} +a_{2} \cdot \bar{e}_{2} +...+a_{n} \cdot \bar{e}_{n} \ \ \ \ (1)\]

то говорят, что вектор \bar{a}является линейной комбинации указанной системы векторов.

Если система векторов \left\{\bar{e}_{1} ,\; \bar{e}_{2} ,...,\; \bar{e}_{n} \right\} является базисом некоторого векторного пространства (то есть векторы \bar{e}_{1} ,\; \bar{e}_{2} ,...,\; \bar{e}_{n} – упорядоченная линейно независимая система векторов, и добавление к ней хотя бы одного вектора делает ее линейно зависимой), тогда разложение (1) называется разложением вектора \bar{a}

по базису \bar{e}_{1} ,\; \bar{e}_{2} ,...,\; \bar{e}_{n}.

Коэффициенты a_{1} ,\; a_{2} ,...,\; a_{n} линейной комбинации (1) называются координатами вектора \bar{a}в базисе \left\{\bar{e}_{1} ,\; \bar{e}_{2} ,...,\; \bar{e}_{n} \right\}.

Примеры разложения вектора по базису

ТЕОРЕМА

(О разложении вектора по базису). Любой вектор некоторого пространства можно разложить по его базису, причем такое разложение единственно.

Таким образом, чтобы разложить некоторый вектор \bar{a}

по базису \bar{e}_{1} ,\; \bar{e}_{2} ,...,\; \bar{e}_{n}, необходимо найти такие коэффициенты a_{1} ,\; a_{2} ,...,\; a_{n}, при которых линейная комбинация базисных векторов \bar{e}_{1} ,\; \bar{e}_{2} ,...,\; \bar{e}_{n} равна вектору \bar{a}:

    \[a_{1} \cdot \bar{e}_{1} +a_{2} \cdot \bar{e}_{2} +...+a_{n} \cdot \bar{e}_{n} =\bar{a}\]

ПРИМЕР
Задание Написать разложение вектора \bar{a}=\left(1;\; -1;\; 2\right) по векторам \bar{e}_{1} =\left(2;\; 3;\; 1\right), \bar{e}_{2} =\left(3;\; 7;\; 2\right), \bar{e}_{3} =\left(5;\; 4;\; 3\right)
Решение Векторы \bar{a},\; \bar{e}_{1} ,\; \bar{e}_{2} ,\; \bar{e}_{3}
заданы в одном базисе. Пусть искомое разложение имеет вид:

    \[\bar{a}=a_{1} \cdot \bar{e}_{1} +a_{2} \cdot \bar{e}_{2} +a_{3} \cdot \bar{e}_{3} \]

Запишем это равенство в векторной форме:

    \[\left(1;\; -1;\; 2\right)=a_{1} \cdot \left(2;\; 3;\; 1\right)+a_{2} \cdot \left(3;\; 7;\; 2\right)+a_{3} \cdot \left(5;\; 4;\; 3\right)\]

При умножении вектора на число надо каждую координату этого вектора умножить на указанное число:

    \[\left(1;\; -1;\; 2\right)=\left(2a_{1} ;\; 3a_{1} ;\; a_{1} \right)+\left(3a_{2} ;\; 7a_{2} ;\; 2a_{2} \right)+\left(5a_{3} ;\; 4a_{3} ;\; 3a_{3} \right)\]

Чтобы найти сумму векторов, заданных своими координатами, необходимо просуммировать соответствующие координаты:

    \[\left(1;\; -1;\; 2\right)=\left(2a_{1} +3a_{2} +5a_{3} ;\; 3a_{1} +7a_{2} +4a_{3} ;\; a_{1} +2a_{2} +3a_{3} \right)\]

Два вектора равны, если равны их соответствующие координаты, то есть получаем следующую систему относительно неизвестных коэффициентов a_{1} ,\; a_{2} ,\; a_{3} разложения:

    \[\left\{\begin{array}{l} {2a_{1} +3a_{2} +5a_{3} =1,} \\ {3a_{1} +7a_{2} +4a_{3} =-1,} \\ {a_{1} +2a_{2} +3a_{3} =2.} \end{array}\right. \]

Найдем решение полученной системы, например, методом Крамера. Основной определитель системы:

    \[\Delta =\left|\begin{array}{ccc} 2 & 3 & 5 \\ 3 & 7 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right|=2\cdot 7\cdot 3+3\cdot 2\cdot 5+3\cdot 4\cdot 1-1\cdot 7\cdot 5-2\cdot 4\cdot 2-3\cdot 3\cdot 3=6\ne 0\]

Вычислим теперь вспомогательные определители системы:

    \[\Delta _{1} =\left|\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 5 \\ -1 & 7 & 4 \\ 2 & 2 & 3 \end{array}\right|=1\cdot 7\cdot 3+\left(-1\right)\cdot 2\cdot 5+3\cdot 4\cdot 2-2\cdot 7\cdot 5-2\cdot 4\cdot 1-\left(-1\right)\cdot 3\cdot 3=-34;\]

    \[\Delta _{2} =\left|\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 5 \\ 3 & -1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right|=2\cdot \left(-1\right)\cdot 3+3\cdot 2\cdot 5+1\cdot 4\cdot 1-1\cdot \left(-1\right)\cdot 5-2\cdot 4\cdot 2-3\cdot 1\cdot 3=8;\]

    \[\Delta _{3} =\left|\begin{array}{ccc} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 7 & -1 \\ 1 & 2 & 2 \end{array}\right|=2\cdot 7\cdot 2+3\cdot 2\cdot 1+3\cdot \left(-1\right)\cdot 1-1\cdot 7\cdot 1-2\cdot \left(-1\right)\cdot 2-3\cdot 3\cdot 2=10\]

Тогда

    \[a_{1} =\frac{\Delta _{1} }{\Delta } =\frac{-34}{6} =-\frac{17}{3} ; a_{2} =\frac{\Delta _{2} }{\Delta } =\frac{8}{6} =\frac{4}{3} ; a_{3} =\frac{\Delta _{3} }{\Delta } =\frac{10}{6} =\frac{5}{3} \]

Следовательно, искомое разложение

    \[\bar{a}=-\frac{17}{3} \bar{e}_{1} +\frac{4}{3} \bar{e}_{2} +\frac{5}{3} \bar{e}_{3} \]

Ответ \bar{a}=-\frac{17}{3} \bar{e}_{1} +\frac{4}{3} \bar{e}_{2} +\frac{5}{3} \bar{e}_{3}
Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Как найти координаты вектора в базисе

Пара точек называется упорядоченной, если про них известно, какая из точек является первой, а какая – второй. Отрезок с упорядоченными концами называется направленным отрезком или вектором. Базисом в векторном пространстве называется такая упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства раскладывается по ней. Коэффициенты при данном разложении являются координатами вектора в этом базисе.

Инструкция

completerepair.ru

Базис. Координаты вектора в базисе

Определим понятие базиса на прямой, плоскости и в пространстве.

Базисом на прямойназывается любой ненулевой векторна этой прямой. Любой другой вектор, коллинеарный данной прямой, может быть выражен через векторв виде.

Базисом на плоскостиназываются любых два линейно независимых вектораиэтой плоскости, взятые в определенном порядке. Любой третий вектор, компланарный плоскости, на которой выбран базис, может быть представлен в виде.

Базисом в трехмерном пространстве называются любые три некомпланарных вектора , взятые в определенном порядке. Такой базис обозначается. Пусть‑ произвольный вектор трехмерного пространства, в котором выбран базис. Тогда существуют числатакие, что:

(4.5)

Коэффициенты называются координатами векторав базисе, а формула (4.5) есть разложение векторапо данному базису.

Координаты вектора в заданном базисе определяются однозначно. Введение координат для векторов позволяет сводить различные соотношения между векторами к числовым соотношениям между их координатами. Координаты линейной комбинации векторов равны таким же линейным комбинациям соответствующих координат этих векторов.

Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Координаты точек. Координаты векторов. Деление отрезка в данном отношении

Декартова прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием единицы масштаба для измерения длин и трех пересекающихся в точке взаимно перпендикулярных осей, первая из которых называется осью абсцисс, вторая – осью ординат, третья – осью аппликат; точка‑ начало координат (Рис. 4.4).

Положение координатных осей можно задать с помощью единичных векторов , направленных соответственно по осям. Векторыназываются основными или базисными ортами и определяют базисв трехмерном пространстве.

Пусть в пространстве дана точка . Проектируя ее на ось, получим точку. Первой координатойилиабсциссой точки называется длина вектора, взятая со знаком плюс, еслинаправлен в ту же сторону, что и вектор, и со знаком минус ‑ если в противоположную. Аналогично проектируя точкуна осии, определим ееординату иаппликату .Тройка чиселвзаимно однозначно соответствует точке.

Система координат называется правой, если вращение от осик осив ближайшую сторону видно с положительного направления осисовершающимися против часовой стрелки, илевой, если вращение от осик осив ближайшую сторону видно совершающимися по часовой стрелке.

Вектор , направленный из начала координат в точкуназываетсярадиус-вектором точки , т.е.:

(4.6)

Если даны координаты точек и, то координаты вектораполучаются вычитанием из координат его концакоординат начала:или.

Следовательно, по формуле (4.5):

или

(4.7)

При сложении (вычитании) векторов их координаты складываются (вычитаются), при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

.

(4.8)

Длина вектора ,заданного координатами своих концов, т.е. расстояние между точками и вычисляется по формуле:

.

(4.9)

Если иколлинеарны, то они отличаются друг от друга скалярным множителем. Следовательно, у коллинеарных векторов координаты пропорциональны:

.

(4.10)

Пусть точка делит отрезок между точкамиив отношении, тогда радиус-вектор точкивыражается через радиусы-векторыиего концов по формуле:.

Отсюда получаются координатные формулы:

.

В частности, если точка делит отрезокпополам, тои, т.е..

studfiles.net

Базис системы векторов. Аффинные координаты

Определение 3. Векторное пространство называется n-мерным, если в нём существует в точности n линейно независимых векторов.

Базисом  n-мерного пространства называется любая система из n независимых векторов этого пространства.

Пример 1.  Доказать, что векторы

образуют базис в четырёхмерном пространстве.

Решение. Система векторов образует базис, если: 1) количество векторов равно размерности пространства; 2) эти векторы линейно независимы. Первое требование выполнено, остаётся доказать, что эти векторы линейно независимы. Попытаемся составить из них линейную нулевую комбинацию:

Подставим в это равенство вместо данных векторов их выражения в координатах и преобразуем левую часть:

или

 

Но вектор является нулевым, когда все его проекции равны нулю, т.е.

Таким образом, из данных векторов невозможно составить нулевую линейную комбинацию, у которой хотя бы один коэффициент был отличен от нуля. Поэтому векторы

линейно независимы и, следовательно, образуют базис в четырёхмерном пространстве.

Аналогичным образом определяется разложение вектора по базису на плоскости: базис образуется двумя векторами, а координат разложенного по базису вектора также две.

Основное значение базиса состоит в том, что линейные операции над векторами при задании базиса становятся обычными линейными операциями над числами - координатами этих векторов.

Пример 2 Разложить вектор

по базису где

Решение. Рассматриваемые векторы принадлежат двумерному пространству: базис в этом пространстве должен состоять из двух векторов. В примере 7 установлено, что векторы

и

линейно независимы и, следовательно, образуют базис. Запишем разложение вектора по этому базису:

Чтобы найти значения и , подставим в это разложение выражения векторов , и через координаты:

Выполнив преобразования в правой части равенства, получим

или

Равенство векторов означает равенство их соответствующих координат, т.е.

откуда

Следовательно, разложение вектора по базису , имеет вид

Замечание. В каждом векторном пространстве существует бесконечное множество различных базисов и в различных базисах один и тот же вектор имеет различные разложения (подобно тому, как точка имеет различные координаты в различных системах коорднат).

Аффинные координаты в пространстве определяются заданием базиса , , и некоторой точки O, называемой началом координат.

Аффинными координатами любой точки M называются координаты вектора (относительно базиса , , .)

Поделиться с друзьями

Начало темы "Векторы"

Продолжение темы "Векторы"

function-x.ru

16. Базис. Координаты вектора в базисе

Определим понятие базиса на прямой, плоскости и в пространстве.

Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор на этой прямой. Любой другой вектор , коллинеарный данной прямой, может быть выражен через вектор в виде .

Базисом на плоскости называются любых два линейно независимых вектора и этой плоскости, взятые в определенном порядке. Любой третий вектор , компланарный плоскости, на которой выбран базис , может быть представлен в виде .

Базисом в трехмерном пространстве называются любые три некомпланарных вектора , взятые в определенном порядке. Такой базис обозначается. Пусть ‑ произвольный вектор трехмерного пространства, в котором выбран базис . Тогда существуют числа такие, что:

(4.5)

Коэффициенты называются координатами вектора в базисе , а формула (4.5) есть разложение вектора по данному базису.

Координаты вектора в заданном базисе определяются однозначно. Введение координат для векторов позволяет сводить различные соотношения между векторами к числовым соотношениям между их координатами. Координаты линейной комбинации векторов равны таким же линейным комбинациям соответствующих координат этих векторов.

< Предыдущая Следующая >
 

matica.org.ua

Базис векторов. Координаты вектора в произвольном базисе

Вектор  называется линейной комбинацией векторов  векторного пространства , если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа:

где  – какие угодно действительные числа

Векторы  векторного пространства  называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не равные одновременно нулю, что

В противном случае векторы  называются линейно независимыми.

Из приведенных выше определений следует, что векторы  линейно независимы, если последнее равенство справедливо лишь при , и линейно зависимы, если равенство выполняется, когда хотя бы одно из чисел  отлично от нуля.

Можно показать, что если векторы  линейно зависимы, то по крайней мере один из них линейно выражается через все остальные. Верно и обратное утверждение о том, что если один из векторов выражается через остальные, что все эти векторы в совокупности линейно зависимые.

Примеров линейно независимых векторов являются два неколлениарных на плоскости или три некомпланарных в трехмерном пространстве, т.е. определитель, составленный из координат этих векторов должен быть не равен нулю.

Условие задачи

Даны векторы  и  в некотором базисе. Показать, что векторы  образуют базис, и найти координаты вектора  в этом базисе.

Так как сайт 100task.ru c бесплатными решениями все таки коммерческий, то читателю этой страницы необходимо напомнить, что здесь можно купить качественно сделанную контрольную по высшей математике. :)

Решение задачи

Составим из координат векторов определитель и вычислим его:  

Определитель не равен нулю, следовательно, система векторов является линейно-независимой и образует базис трехмерного пространства.

Вектор  единственным образом разлагается по векторам этого базиса.

 

Приравнивая соответствующие координаты векторов, получаем следующую систему 3-х линейных уравнений: 

 

Решим систему уравнений методом Крамера:

Координаты вектора  в базисе векторов  или 

100task.ru