Критические точки функции: максимумы и минимумы. Критические точки функции что такое


Критические точки функции: максимумы и минимумы

 

Рассмотрим следующий рисунок.

рисунок

На нем изображен график функции y = x^3 – 3*x^2. Рассмотрим некоторый интервал содержащий точку х = 0, например от -1 до 1. Такой интервал еще называют окрестностью точки х = 0. Как видно на графике, в этой окрестности функция y = x^3 – 3*x^2 принимает наибольшее значение именно в точке х = 0. 

Максимум и минимум функции

В таком случае, точку х = 0 называют точкой максимума функции. По аналогии с этим, точку х = 2 называют точкой минимума функции y = x^3 – 3*x^2. Потому что существует такая окрестность этой точки, в которой значение в этой точке будет минимальным среди всех других значений из этой окрестности. 

Точкой максимума функции f(x) называется точка x0, при условии, что существует окрестность точки х0 такая, что для всех х не равных х0 из этой окрестности, выполняется неравенство f(x) < f(x0).

Точкой минимума функции f(x) называется точка x0, при условии, что существует окрестность точки х0 такая, что для всех х не равных х0 из этой окрестности, выполняется неравенство f(x) > f(x0).

В точках максимума и минимума функций значение производной функции равно нулю. Но это не достаточное условие для существования в точке максимума или минимума функции.

Например, функция y = x^3 в точке х = 0 имеет производную равную нулю. Но точка х = 0 не является точкой минимума или максимума функции. Как известно функция y = x^3 возрастает на всей числовой оси.

Таким образом, точки минимума и максимума всегда будут находиться среди корне уравнения f’(x) = 0. Но не все корни этого уравнения будут являться точками максимума или минимума.

Стационарные и критические точки

Точки, в которых значение производной функции равно нулю, называются стационарными точками. Точки максимума или минимума могут иметься и вточках, в которых производной у функции вообще не существует. Например, у = |x| в точке х = 0 имеет минимум, но производной в этой точке не существует. Эта точка будет являться критической точкой функции.

Критическими точками функции называются точки, в которых производная равна нулю, либо производной в этой точке не существует, то есть функция в этой точке недифференцируема. Для того чтобы найти максимум или минимум функции необходимо выполнение достаточного условия.

Пусть f(x) некоторая дифференцируемая на интервале (a;b) функция. Точка х0 принадлежит этому интервалу и f’(x0) = 0. Тогда:

1. если при переходе через стационарную точку х0 функция f(x) и её производная меняет знак, с «плюса» на «минус», тогда точка х0 является точкой максимума функции.

2. если при переходе через стационарную точку х0 функция f(x) и её производная меняет знак, с «минуса» на «плюс», тогда точка х0 является точкой минимума функции.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Касательная к графику ункции: уравнение касательной Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspПримеры применения производной к исследованию функции: ↑ и ↓

Все неприличные комментарии будут удаляться.

www.nado5.ru

Критические точки на графике функции

Критические точки – это точки в которых производная функции равна нулю или не существует. Если производная равна 0 то функция в этой точке принимает локальный минимум или максимум. На графике в таких точках функция имеет горизонтальную асимптоту, то есть касательная параллельна оси Ох.

Такие точки называют стационарными. Если видите на графике непрерывной функции «горб» или «яму» помните, что максимум или минимум достигается в критической точке. Рассмотрим для примера следующее задание.

Пример 1. Найти критические точки функции y=2x^3-3x^2+5 . Решение. Алгоритм нахождения критических точек следующий:

Итак функция имеет две критические точки.

Далее, если нужно провести исследование функции то определяем знак производной слева и справа от критической точки. Если производная при переходе через критическую точку меняет знак с «-» на «+», то функция принимает локальный минимум. Если с «+» на «-» должны локальный максимум.

Второй тип критических точек это нули знаменателя дробных и иррациональных функций

Функции с логарифмами и тригонометрические, которые не определены в этих точкахТретий тип критических точек имеют кусочно-непрерывные функции и модули.Например любая модуль-функция имеет минимум или максимум в точке излома.

Например модуль y = | x -5 | в точке x = 5 имеет минимум (критическую точку).Производная в ней не существует, а справа и слева принимает значение 1 и -1 соответственно.

Попробуйте определить критические точки функций

1) 2) 3) 4) 5)

Если в ответе у Вы получите значение1) x=4; 2) x=-1;x=1; 3) x=9; 4) x=Pi*k; 5) x=1.то Вы уже знаете как найти критические точки и сможете справиться с простой контрольной или тестами.

yukhym.com

Что такое стационарные и критические точки функции? Как их найти?

Прежде всего, напишем уравнение математической функции

y = f(x) (1)

где х – аргумент функции, а у – сама функция. То есть мы задаем какое-либо значение аргумента х и вычисляем по уравнению (1) значение функции в этой точке. Принято рисовать график функции y = f(x). Рисуем оси координат х и у. Значение х откладываем по горизонтальной оси х. Эта ось называется осью абсцисс. По вертикали откладываем значение вычисленной функции у (эта ось называется осью ординат). На рисунке приведен график некоторой функции

Как мы видим при х = 3 и х = 8 функция у имеет максимумы. А при х = 5 функция имеет минимум. То есть функция y = f(x) может иметь как минимумы, так и максимумы. Итак

Точка максимума – значение х, при котором функция имеет максимум.

Точка минимума – значение х, при котором функция имеет минимум.

Обе эти точки называются общим словом – экстремум. То есть в точках экстремума функция имеет максимальное или минимальное значение.

Нам еще потребуется знание, что такое производная функции. Если мы знаем саму функцию (1), то производная берется следующим образом

dy/dx = df(x)/dx (2)

Смысл производной – тангенс угла наклона функции в данной точке х. Можно провести в любой точке функции касательную линию и угол между этой касательной и осью х и будет определять угол наклона. Но удобнее вычислять не сам угол наклона α, а тангенс этого угла tgα. Иными словами,

tgα = dy/dx = df(x)/dx (3)

Как видно из вышеприведенного рисунка в точках экстремума функции tgα = 0. То есть производная в этих точках равна нулю. Если нам известно уравнение функции (1), то приравнивая производную к нулю, получаем алгебраическое уравнение для вычисления точек максимума и минимума

df(x)/dx (3) = 0 (4)

А что такое критические и стационарные точки функции? Точки экстремума функции (то есть там, где функция имеет максимум или минимум) иногда называю еще и стационарными точками. Это на приведенном выше рисунке точки х = 3, 5 и 8. Иногда бывает, что функция у(х) имеет концы, то есть кривая функции не уходит на бесконечность ни влево ни вправо. Например, на вышеприведенном рисунке будем считать, что эта функция расположена между точками х = -1 и х = 10. Если бы в этих крайних точках функция имела бы минимум (или максимум), то есть экстремум (производная равна нулю), то эти точки не называются стационарными.

А вот внутренние точки функции, в которых функция непрерывна, но в этих точках производная не существует, называются критическими точками. Смотри рисунок ниже

В точке х = 0 эта функция имеет максимум, но в этой точке имеется и перелом функции. Острый максимум. Производная (наклон функции) слева от точки х = 0 положительная, а справа от этой точки производная отрицательная. Это критическая точка. А вот в точке х = 1 имеется минимум (производная равна нулю), но функция меняет знак без перелома (то есть постепенно). Это точка минимума и точка стационарная.

www.bolshoyvopros.ru

51. Критические точки.

Критические точки – точки, подозрительные на экстремум.

Если производная функции в точкеравна нулю или не существует, то эта точка – подозрительная на экстремум (критическая точка).

Каждая точка экстремума – критическая (но не наоборот).

52. Достаточные условия экстремума.

Достаточное условие экстремума. Если непрерывная функция , дифференцируема в некоторой окрестности точкии при переходе через нее производная меняет свой знак, то- точка экстремума.

Если при переходе через точку экстремума производная меняет свой знак с плюса на минус, то эта точка – точка максимума, если с минуса на плюс – точка минимума.

53. Исследование функций с помощью производных высших порядков.

Если функция во всех точках (a;b) имеет положительную (отрицательную) вторую производную, то график функции на этом интервале выпуклый вниз (вверх).

54. Выпуклость и вогнутость кривой.

График дифференцируемой функции называетсявыпуклым вниз на интервале (a;b), если он расположен выше любой касательной на этом интервале, выпуклым вверх, если он расположен ниже.

55. Точки перегиба.

Точка, при переходе через которую график функции переходит с одной стороны касательной на другую (вторая производная меняет свой знак) называется точкой перегиба.

56. Асимптоты.

Асимптота кривой – прямая, расстояние от которой до точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат от этой точки по кривой.

Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными

Прямая являетсявертикальной асимптотой графика функции , если, или, или

Уравнение наклонной асимптоты будем искать в виде y = kx + b. ,.

Горизонтальная асимптота – частный случай наклонной (когда ),

57. Схема исследования функций.

  1. Область определения функции (D(y))

  2. Точки пересечения графика с осями координат

  3. Интервалы знакопостоянства

  4. Четность\нечетность (- нечетная,- четная)

  5. Асимптоты

  6. Интервалы монотонности (возрастание\убывание)

  7. Экстремумы (минимумы\макимумы)

  8. Интервалы выпуклости\вогнутости и точки перегиба

58. Неопределенный интеграл.

Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале (a;b), если для любого выполняется равенство(или)

Если функция F(x) является первообразной функции f(x) на (a;b), то множество всех первообразных для f(x) задается формулой F(x) + C, где C – постоянное число.

Множество всех первообразных функций F(x)+C для f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом

, f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования, - знак неопределенного интеграла.

59. Свойства неопределенного интеграла.

1) Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции .

2) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной

3) Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла

4) Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых.

5) (Инвариантность формулы интегрирования). Если , то и, где- произвольная функция, имеющая постоянную производную

studfiles.net

Как найти точки экстремума функции и экстремум функции? Объясните не научным языком, понятно Заранее благодарю :3

1. Взять производную функции. 2. Приравнять эту производную к нулю. Решив это уравнение, получаете одно или несколько значений Х. Это - критические точки. 3. Рисуете числовую прямую (прямую линию со стрелочкой на правом конце) , последовательно наносите на нее эти точки. У вас получилось несколько интервалов - на 1 больше, чем точек. 4. Из каждого интервала выбираете число (например, из промежутка "от минус бесконечности до нуля" берете значение "-5") и подставляете его вместо Х в выражение производной функции. Вычисляете. Если получаете положительное значение производной - значит, функция на этом участке ВОЗРАСТАЕТ; если отрицательное - УБЫВАЕТ. 5. Точками экстремума являются те критические точки, которые разделяют интервалы возрастания-убывания. Например: на первом участке функция убывает, на втором возрастает, на третьем возрастает, на четвертом убывает. Значит, точек экстремума будет две: та, которая разделяет 1й и 2й участки; и та, которая разделяет 3й и 4й участки. Та точка, в которой функция перестает убывать и начинает возрастать, называется точкой МИНИМУМА; в которой функция перестает возрастать и начинает убывать - точкой МАКСИМУМА.

Науку не излагают не научным языком.. . Это тебе к гадалкам...

пожалуйста. Что такое экстремум - это максимум или минимум чего-то. В жизни экстремум роста дерева - это его наибольшая высота, или наибольшая толщина, в общем что-то наибольшее или наименьшее. Как найти экстремум этого дерева - нужно мереть каждый год, затем найти наибольшее или наименьшее значение, это и будет экстремум. В математике меряют не деревья, а функции и там нашли очень хитрый способ нахождения экстремума этих функций. Процедура такова: 1) нужно найти производную от функции 2) затем эту производную приравнять к нулю и найти X 3) найденные X будут экстремумы, но не все 4) нужно подставить X из 3) в самую первую функцию (то, что было дано) и посмотреть результаты. Самые большие и малые значения будут экстремумы

О каких функциях идет речь: сколько переменных?

touch.otvet.mail.ru

Критические точки функции: максимумы и минимумы

Разделы: Математика

Цели урока:

Обучающая:

Воспитывающая:

Развивающая

Тип урока: комбинированный

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, репродуктивный.

Структура урока

1. Организационный момент. (1-2 мин.)

Учитель здоровается с ребятами и предлагает, посмотрев на экран, догадаться какая тема будет на сегодняшнем уроке. Далее сообщает цель урока.

2. Актуализация знаний.

 Устная работа(1-2 мин.) Заполнение схемы (Учащимся необходимо  правильно соединить части правил).

(За правильный ответ ученик получает бонус)

Достаточный признак возрастания функции: Если  f′(х)> 0  в каждой точке интервала  I, то функция возрастает на  I.

Достаточный признак убывания функции:  Если  f′(х)<  0  в каждой точке интервала  I, то функция убывает на  I.     .

Необходимое условие экстремума: Если точка х  является точкой экстремума функции f   и в этой  точке существует производная  f ′ , то она равна нулю:   f′(х°) =0.

Признак максимума функции: Если функция f непрерывна в точке х, а   f ′ (х)> 0  на интервале  (а;х°) и  f ′ (х)<  0  на интервале (х°; в) , то точка х является точкой максимума функции f  .

Признак минимума функции: Если функция f непрерывна в точке х°, а   f ′ (х)<  0   на интервале  (а;х°) и f ′ (х)> 0  на интервале (х°; в) , то точка х° является точкой максимума функции f  .

Теперь коснемся вопроса последовательности операций, которые нужно выполнить при отыскании экстремумов функции.(3-4 минуты)

Выполнение теста.

Учитель: Ребята, сейчас вам необходимо выполнить тест, который вам поможет  разделить понятия максимума и минимума с помощью графиков функции (на тест отводится  3-4 минуты)

Ответы к тесту:

За каждый правильный ответ ученик получает  один бонус.

4.Совместное выполнение задания. (10 мин.) Следующим этапом нашего урока является выполнение задания               (один ученик выходит к доске, остальные решают на месте)  Необходимо исследовать на экстремум функцию и построить ее график.

  1. Д(у)=R, т.к. у- многочлен
  2. у′ = 3х(х-2)
  3. у′ = 0 при х=0 , х=2
  4. х=0 – точка максимума Х=2- точка минимума
  5. Экстремумы функции у(0)=0 У(2)=4
  6. Точки пересечения с осями. С осью ОХ: у=0 при х=0; х=3 т.е. (0;0) , (3;0) С осью оу: х=0,у=0 т.е. (0;0)
  7. функция возрастает на (-∞;0] и [2; ∞) Функция убывает [0;2]
  8. график функции

5.Самостоятельная работа. .(5 мин.)

Учащиеся выполняют на месте

Далее на экране появляются правильные ответы, и каждый учащийся дает оценку  своему решению.

Критерии оценок:

5 бонусов - верно выполненное задание 4 бонуса – в работе имеются небольшие недочеты 3 бонуса – работа выполнена  на 50%

7.Домашнее задание. (2 минуты)

- составить слайды о жизни и деятельности  Пьера Ферма - Найти промежутки возрастания и убывания функции  (функции у каждого учащегося на столе)

8.

9. Рефлексия.(2 минуты)

 - С каким настроением уходите с урока? - С чем ассоциируется математические понятия  максимума и минимума?

10.

Приложение

Поделиться страницей:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Критическая точка (математика) - Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Критической точкой дифференцируемой функции f:D→R{\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }, где D{\displaystyle D} — область в Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, называется точка, в которой все её частные производные обращаются в нуль. Это условие эквивалентно обращению в ноль дифференциала функции в данной точке, а также равносильно горизонтальности касательной гиперплоскости к графику функции. Это условие является необходимым (но не достаточным) для того, чтобы внутренняя точка области могла быть точкой локального минимума или максимума дифференцируемой функции.

Значение функции в критической точке называется критическим значением. Согласно лемме Сарда, множество критических значений любой C1{\displaystyle C^{1}}-гладкой функции f:[a,b]→R{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} } имеет нулевую меру Лебега (хотя критических точек при этом может быть сколько угодно, например, для функции f=const{\displaystyle f=const} любая точка является критической).

Понятие критической точки допускает обобщение на случай дифференцируемых отображений f:Rn→Rm{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}, и на случай дифференцируемых отображений произвольных многообразий f:Nn→Mm{\displaystyle f:N^{n}\to M^{m}}. В этом случае определение критической точки состоит в том, что ранг матрицы Якоби отображения f{\displaystyle f} в ней меньший максимального (равного числу min{n,m}{\displaystyle \min\{n,m\}}).

Критические точки функций и отображений играют важную роль в таких областях математики, как дифференциальные уравнения, вариационное исчисление, теория устойчивости, а также в механике и физике. Исследование критических точек гладких отображений составляет один из главных вопросов теории катастроф.

Понятие критической точки обобщается также на случай функционалов, определенных на бесконечномерных функциональных пространствах. Поиск критических точек таких функционалов является важной частью вариационного исчисления. Критические точки функционалов (которые, в свою очередь, являются функциями) называются экстремалями.

Формальное определение[ | ]

Критической точкой (или особой т

encyclopaedia.bid