Уравнение с двумя переменными и его график. Квадратное уравнение с двумя переменными
Решение квадратных уравнений
6 июля 2011
Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.
Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:
- Не имеют корней;
- Имеют ровно один корень;
- Имеют два различных корня.
В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант.
Дискриминант
Пусть дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b2 − 4ac.
Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:
- Если D < 0, корней нет;
- Если D = 0, есть ровно один корень;
- Если D > 0, корней будет два.
Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:
Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:
- x2 − 8x + 12 = 0;
- 5x2 + 3x + 7 = 0;
- x2 − 6x + 9 = 0.
Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:a = 1, b = −8, c = 12;D = (−8)2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16
Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:a = 5; b = 3; c = 7;D = 32 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.
Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:a = 1; b = −6; c = 9;D = (−6)2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.
Дискриминант равен нулю — корень будет один.
Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.
Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.
Корни квадратного уравнения
Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:
Основная формула корней квадратного уравненияКогда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.
Задача. Решить квадратные уравнения:
- x2 − 2x − 3 = 0;
- 15 − 2x − x2 = 0;
- x2 + 12x + 36 = 0.
Первое уравнение:x2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;D = (−2)2 − 4 · 1 · (−3) = 16.
D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:
Второе уравнение:15 − 2x − x2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;D = (−2)2 − 4 · (−1) · 15 = 64.
D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их
\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left( -1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left( -1 \right)}=3. \\ \end{align}\]
Наконец, третье уравнение:x2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;D = 122 − 4 · 1 · 36 = 0.
D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:
\[x=\frac{-12+\sqrt{0}}{2\cdot 1}=-6\]
Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.
Неполные квадратные уравнения
Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:
- x2 + 9x = 0;
- x2 − 16 = 0.
Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:
Уравнение ax2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.
Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.
Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax2 + c = 0. Немного преобразуем его:
Решение неполного квадратного уравненияПоскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c/a) ≥ 0. Вывод:
- Если в неполном квадратном уравнении вида ax2 + c = 0 выполнено неравенство (−c/a) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
- Если же (−c/a) < 0, корней нет.
Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c/a) ≥ 0. Достаточно выразить величину x2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.
Теперь разберемся с уравнениями вида ax2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:
Задача. Решить квадратные уравнения:
- x2 − 7x = 0;
- 5x2 + 30 = 0;
- 4x2 − 9 = 0.
x2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.
5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = −30 ⇒ x2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.
4x2 − 9 = 0 ⇒ 4x2 = 9 ⇒ x2 = 9/4 ⇒ x1 = 3/2 = 1,5; x2 = −1,5.
Смотрите также:
- Теорема Виета
- Следствия из теоремы Виета
- Стандартный вид числа
- Комбинаторика в задаче B6: легкий тест
- Задача C2: уравнение плоскости через определитель
- Задачи на проценты считаем проценты с помощью формулы
www.berdov.com
Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике - Алгебра
Нелинейные уравнения с двумя неизвестными
Определение 1. Пусть A – некоторое множество пар чисел (x ; y) . Говорят, что на множестве A задана числовая функция z от двух переменных x и y , если указано правило, с помощью которого каждой паре чисел из множества A ставится в соответствие некоторое число.
Задание числовой функции z от двух переменных x и y часто обозначают так:
причем в записи (1) числа x и y называют аргументами функции, а число z – значением функции, соответствующим паре аргументов (x ; y) .
Определение 2. Нелинейным уравнением с двумя неизвестными x и y называют уравнение вида
где f (x , y) – любая функция, отличная от функции
f (x , y) = ax +by + c ,
где a , b , c – заданные числа.
Определение 3. Решением уравнения (2) называют пару чисел (x ; y) , для которых формула (2) является верным равенством.
Пример 1. Решить уравнение
| x2 – 4xy + 6y2 –– 12 y +18 = 0 . | (3) |
Решение. Преобразуем левую часть уравнения (3):
x2 – 4xy + 6y2 – 12 y +18 == (x2 – 4xy + 4y2) ++ (2y2– 12y +18) == (x – 2y)2 + 2(y – 3)2 .
Таким образом, уравнение (3) можно переписать в виде
| (x – 2y)2 + 2(y – 3)2 = 0 . | (4) |
Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то из формулы (4) вытекает, что неизвестные x и y удовлетворяют системе уравнений
решением которой служит пара чисел (6 ; 3) .
Ответ: (6 ; 3)
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Из неравенства
вытекает, что уравнение (5) решений не имеет.
Ответ: Решений нет.
Пример 3. Решить уравнение
Решение. В соответствии с определением логарифма из формулы (6) получаем
Следовательно, решением уравнения (6) является бесконечное множество пар чисел вида
(1 + y ; y) ,
где y – любое число.
Системы из двух уравнений, одно из которых линейное
Определение 4. Решением системы уравнений
называют пару чисел (x ; y) , при подстановке которых в каждое из уравнений этой системы получается верное равенство.
Системы из двух уравнений, одно из которых линейное, имеют вид
где a , b , c – заданные числа, а g(x , y) – функция двух переменных x и y .
Пример 4. Решить систему уравнений
| (7) |
Решение. Выразим из первого уравнения системы (7) неизвестное y через неизвестное x и подставим полученное выражение во второе уравнение системы:
Решая уравнение
x2 – 8x – 9 = 0 ,
находим корни
x1 = – 1 , x2 = 9 .
Следовательно,
y1 = 8 – x1 = 9 , y2 = 8 – x2 = – 1 .
Таким образом, решениями системы (7) являются две пары чисел
и
Ответ: (– 1 ; 9) , (9 ; – 1)
Однородные уравнения второй степени с двумя неизвестными
Определение 5. Однородным уравнением второй степени с двумя неизвестными x и y называют уравнение вида
ax2 + bxy + cy2 = 0 .
где a , b , c – заданные числа.
Пример 5. Решить уравнение
| 3x2 – 8xy + 5y2 = 0 . | (8) |
Решение. Для каждого значения y рассмотрим уравнение (8) как квадратное уравнение относительно неизвестного x . Тогда дискриминант D квадратного уравнения (8) будет выражаться по формуле
D = (8y)2 – 60y2 = 4y2 ,
откуда с помощью формулы для корней квадратного уравнения найдем корни уравнения (8):
Ответ. Решениями уравнения (8) являются все пары чисел вида
( y ; y) или
где y – любое число.
Следствие. Левую часть уравнения (8) можно разложить на множители
Системы из двух уравнений, одно из которых однородное
Системы из двух уравнений, одно из которых однородное, имеют вид
где a , b , c – заданные числа, а g(x , y) – функция двух переменных x и y .
Пример 6. Решить систему уравнений
| (9) |
Решение. Решим однородное уравнение
3x2 + 2xy – y2 = 0 ,
рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного x :
.
В случае, когда x = – y , из второго уравнения системы (9) получаем уравнение
4y2 = 16 ,
В случае, когда
,
из второго уравнения системы (9) получаем уравнение
которое корней не имеет.
Ответ: (– 2 ; 2) , (2 ; – 2)
Системы из двух уравнений, сводящиеся к системам, в которых одно из уравнений однородное
Пример 7. Решить систему уравнений
| (10) |
Решение. Совершим над системой (10) следующие преобразования:
- второе уравнение системы оставим без изменений;
- к первому уравнению, умноженному на 5 , прибавим второе уравнение, умноженное на 3 , и запишем полученный результат вместо первого уравнения системы (10).
В результате система (10) преобразуется в равносильную ей систему (11), в которой первое уравнение является однородным уравнением:
| (11) |
Решим однородное уравнение
3x2 + 17xy + 10y2 = 0 ,
рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного x :
.
В случае, когда x = – 5y , из второго уравнения системы (11) получаем уравнение
5y2 = – 20 ,
которое корней не имеет.
В случае, когда
,
из второго уравнения системы (11) получаем уравнение
,
корнями которого служат числа y1 = 3 , y2 = – 3 . Находя для каждого из этих значений y соответствующее ему значение x , получаем два решения системы: (– 2 ; 3) , (2 ; – 3) .
Ответ: (– 2 ; 3) , (2 ; – 3)
Примеры решения систем уравнений других видов
Пример 8. Решить систему уравнений (МФТИ)
| (12) |
Решение. Введем новые неизвестные u и v , которые выражаются через x и y по формулам:
| (13) |
Для того, чтобы переписать систему (12) через новые неизвестные, выразим сначала неизвестные x и y через u и v . Из системы (13) следует, что
| (14) |
Решим линейную систему (14), исключив из второго уравнения этой системы переменную x . С этой целью совершим над системой (14) следующие преобразования:
- первое уравнение системы оставим без изменений;
- из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.
В результате система (14) преобразуется в равносильную ей систему
из которой находим
| (15) |
Воспользовавшись формулами (13) и (15), перепишем исходную систему (12) в виде
| (16) |
У системы (16) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное u через неизвестное v и подставить это выражение во второе уравнение системы:
Решая уравнение
2v2 + 3v – 14 = 0 ,
находим корни
Следовательно, решениями системы (16) являются две пары чисел
Из формул (13) вытекает, что , поэтому первое решение должно быть отброшено. В случае u2 = 5, v2 = 2 из формул (15) находим значения x и y :
x = 13, y = – 3 .
Ответ: (13 ; – 3)
Определение 6. Решением системы из двух уравнений с тремя неизвестными называют тройку чисел (x ; y ; z) , при подстановке которых в каждое уравнение системы получается верное равенство.
Пример 9. Решить систему из двух уравнений с тремя неизвестными
| (17) |
Решение. У системы (17) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное z через неизвестные x и y и подставить это выражение во второе уравнение системы:
| (18) |
Перепишем второе уравнение системы (18) в другом виде:
Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то выполнение последнего равенства возможно лишь в случае x = 4, y = 4 .
Следовательно,
Ответ: (4 ; 4 ; – 4)
Замечание. Рекомендуем посетителю нашего сайта, интересующемуся методами решения систем уравнений, ознакомиться также c разделом справочника «Системы линейных уравнений» и нашим учебным пособием «Системы уравнений».
На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными». Запись по телефону (495) 509-28-10 |
Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит
У нас также для школьников организованы
МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»
www.resolventa.ru
Уравнения с одной переменной
Уравнение -- это равенство, которое имеет неизвестное число, обозначенное буквой. Неизвестное число называют переменной.
Например: $4x-9=x,\ \ 2\left(y+8\right)=5y-8,\ \ 3z-18=-\left(z+2\right).$
Уравнения могут иметь разное количество корней. Решить уравнение -- означает найти все его корни либо доказать, что их нет.
Если уравнения имеет одни и те же корни, то они называются равносильными. Равносильными считаются и те уравнения, которые не имею решения.
При решении равнений используют такие свойства:
- Если в любой из частей уравнения раскрыть скобки или свести подобные слагаемые, то получим уравнение, равносильное данному.
- Если в уравнении перенести слагаемое с одной части в другую, сменив знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.
- Если обе части уравнения умножить или поделить на одно и то самое число, отменное от нуля, то получим уравнение, равносильное данному.
Уравнение вида $ax=b,$ где $a$ и $b-$некоторые числа, $x-$переменная, называется линейным уравнением с одной переменной.
Возможны такие решения линейного уравнения:
Если $b\ne 0,\ \ c\ne 0,\ $ то квадратное уравнение называется полным.
Если $a=1,\ $то квадратное уравнение называется сведенным, если $a\ne 1,$ -- несведенным. Несведенное квадратное уравнение всегда можно сделать сведенным, разделив обе части его на первый коэффициент $a\ne 0.$
Сведенные квадратные уравнения обычно записывают в виде $x^2+px+q=0.$
Корни квадратного уравнения можно найти, выделив полный квадрат двучлена с квадратного трехчлена.
Если второй коэффициент $b$ либо свободный член $c$ равняется нулю, то квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0\ $называется неполным.
Корни уравнения $ax^2+bx+c=0$ находят по формуле
\[x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]Выражение $D=b^2-4ac$ называют дискриминантом квадратного уравнения.
Если $D
Если $D > 0,$ то уравнение имеет два действительных корня.
Если $D=0,$ то уравнение имеет один действительный корень.
В случае, когда $D=0,$ иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.
Используя обозначение $D=b^2-4ac$, можно переписать формулу в виде
\[x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\]Если $b=2k,\ $то формула принимает вид
\[x=\frac{-2k\pm \sqrt{4k^2-4ac}}{2a}=\frac{-2k\pm 2\sqrt{k^2-ac}}{2a}=\frac{-k\pm \sqrt{k^2-ac}}{a}\]Значит, $x=\frac{-k\pm \sqrt{k^2-ac}}{a}$, где $k=\frac{b}{2}.$
Уравнения с параметрами
Если в уравнении $ax=b\ \ \ \ x-$переменная, а буква $a$ обозначает какое либо число, то говорят, что это уравнение с параметром. Что б решить такое уравнение, необходимо рассмотреть такие случаи:
- При $a=0$ получаем уравнение $0x=b$
- При $b=0$ корнем будет любое число
- При $b\ne 0$ уравнение корней не имеет
- При $a\ne 0$ делим обе части уравнения на $a$ (которое не равняется нулю) и получаем $x=\frac{b}{a}.$
Имеем два случая:
Уравнение с параметром можно решать так само, как и обычные уравнения, но только до тех пор, пока каждое перевоплощение можно выполнить однозначно. Если же какое-то перевоплощение нельзя выполнить однозначно, то решение надо разбить на несколько случаев.
Пример 4
Решить уравнение $5ax+3a=2ax+9a,$ где $x-$переменная.
Решение. Перенесем члены со сменной $x$ в одну часть, а без $x-$ в другую:
\[5ax-2ax=9a-3a\]Сведем подобные слагаемые
\[3ax=6a\]Для нахождения переменной $x$ мы б хотели поделить обе части уравнения на $3a,\ $но при $a=0$ мы будем делить на $0,$ что невозможно. Значит, начиная с этого момента, надо рассматривать два случая. Можем записать так:
\[5ax-2ax=9a-3a\] \[3ax=6a\]Если $a=0,$ то $0\cdot x=0$, значит $x-$ любое число;
Если $a\ne 0,$ то $x=2.$
Ответ. При $a=0-$любое число; при $a\ne 0\ \ \ \ x=2.$
spravochnick.ru
Уравнение с двумя переменными и его график
Цель:
· уравнения с двумя переменными;
· решения уравнения с двумя переменными;
· степень уравнения с двумя переменными;
· график уравнения с двумя переменными.
Перед вами записаны уравнения:
Все они являются уравнениями с двумя переменными, так как в каждом из них есть две переменные. Возьмём, например, первое уравнение и подставим в него x=3 и y=5:
Получили неверное равенство. А если подставим x=3 и y=3, то получим верное числовое равенство.
Определение:
Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное числовое равенство.
Пара чисел (3; 3) является решением данного уравнения. Но это не единственное решение.
Для определения степени уравнения с двумя переменными, нужно преобразовать его так, чтобы в левой части стоял многочлен стандартного вида, а справа ноль. Тогда степень уравнения считают равной степени данного многочлена.
Чтобы определить степень многочлена с двумя переменными, нужно определить степень каждого одночлена, входящего в состав многочлена, и выбрать из них наибольшую. Степень данного уравнения равна 1.
Пример.
Определить степени уравнений и найти любых два решения.
1. Рассмотрим уравнение:
Преобразуем его:
Степень данного уравнения равна 2.
Найдём два любых решения:
Решением данного уравнения будут пары чисел (0; 2) и (0; -2).
2. Решить уравнение:
Степень уравнения равна 2.
Найдём два решения уравнения:
Получили две пары чисел: (-1; -6) и (3; 2).
3. Решить уравнение:
Преобразуем его:
Степень данного уравнения равна 3.
Найдём любые два решения:
Получили две пары: (1; 2) и (1; -2).
В ходе выполнения заданий стало понятно, что уравнения с двумя переменными имеют много решений. И указать все решения достаточно сложно. Если решением является пара значений, то его можно изобразить на координатной плоскости в виде точки. Так все решения и образуют график уравнения с двумя переменными.
Определение:
Графиком уравнения с двумя переменными является множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство.
Пример.
1. Построить график уравнения:
Так как произведение равно нулю, то каждый из множителей также равен нулю. Решим каждое из полученных уравнений:
Изобразим график данного уравнения:
Решением являются две прямые: х=7 и у=-3.
2. Построить график уравнения:
Так как произведение равно нулю, то каждый из множителей также равен нулю. Решим каждое из полученных уравнений:
Изобразим график данного уравнения:
Решением являются две прямые: х=-5 и х=2.
Пример.
Составить уравнения, графиками которых являются пары прямых, изображённых на рисунках.
Посмотрим на первый рисунок:
Получили, что прямые являются графиком уравнения.
Обратимся ко второму случаю:
Получили, что эти прямые являются графиком уравнения.
Рассмотрим уравнение:
Графиком уравнения является окружность с центром в точке начала координат и радиусом r.
Например, графиком уравнения:
является окружность с r=4.
Пример.
Записать уравнение окружности с центром в точке начала координат и r=6.
Получим уравнение окружности:
Если центром окружности не является точка начала координат, то уравнение окружности будет выглядеть так:
Центр окружности имеет координаты (a; b).
Например,
Выполним обратное действие. Но для записи уравнения окружности уже не достаточно только координат центра, необходимо знать и радиус. Например:
videouroki.net
Квадратные уравнения (способы решения)
Разделы: Математика
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.
Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры в Вавилоне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их книгописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, как полные квадратные уравнения.
Определение
Уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a, b, c - действительные числа, причем a ≠ 0, называют квадратным уравнением.
Если a = 1 , то квадратное уравнение называют приведенным; если a ≠ 1, то неприведенным . Числа a, b, c носят следующие названия: a - первый коэффициент, b - второй коэффициент, c - свободный член.
| Корни уравнения ax2 + bx + c = 0 находят по формуле |
Выражение D = b2- 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения.
- если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней;
- если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень;
- если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня.
В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.
Формулы
Полное квадратное уравнение
Неполные квадратные уравнения
Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным.
Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения - проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.
Способы решения неполных квадратных уравнений:
- c = 0, то уравнение примет видax2 + bx = 0.x(ax + b) = 0 ,x = 0 или ax + b = 0, x = -b : a.
- b = 0, то уравнение примет видax2 + c = 0,x2 = -c / a,x1, 2 = ±√(-c / a).
- b = 0 и c = 0 , то уравнение примет видax2 = 0,x = 0
Решение неполного квадратного уравнения
Квадратные уравнения с комплексными переменными
Сначала рассмотрим простейшее квадратное уравнение z2 = a, где a-заданное число, а z-неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение:
- имеет один корень z = 0, если а = 0;
- имеет два действительных корня z1, 2 = ±√a
- Не имеет действительных корней, если a < 0
Решение квадратных уравнений с помощью графиков
Не используя формул квадратное уравнение можно решить графическим способом. Например x2 + x + 1 = 0. Решим уравнение. Для этого построим два графика y = x2; y = x + 1.
y = x2, квадратичная функция, график парабола.y = x + 1, линейная функция, график прямая.
Графики пересекаются в двух точках, уравнение имеет два корня. Ответ: x ≈ -0,6; x ≈ 2,6.
Решение задач с помощью квадратных уравнений
| 10 - x | 35 / (10 - x) | 35 |
| 10 - x + 1 | 18 / (10 - x + 1) | 18 |
| x | ||
| x + 1 |
Зная, что скорость в стоячей воде равна 10 км/ч, составим уравнение.
ОДЗ: ∀ x ≠ 9, 10.
Практикум
т.к. D1 Ответ: корней нет. Ответ: x = 2,5.Заключение
Ещё в древности люди пользовались ими не зная, что это – квадратные уравнения.
В наше время невозможно представить себе решение как простейших, так и сложных задач не только в математике, но и в других точных науках, без применения решения квадратных уравнений.
Надеюсь и вы открыли для себя что-нибудь новое
Презентация
Поделиться страницей:xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
Квадратные уравнения. Полное квадратное уравнение. Неполное квадратное уравнение. Дискриминант.
Как решить квадратное уравнение?Как выглядит формула квадратного уравнения?Какие бывают квадратные уравнения?Что такое полное квадратное уравнение?Что такое неполное квадратное уравнение?Что такое дискриминант?Сколько корней имеет квадратное уравнение?Эти вопросы вас больше не будут мучить, после изучения материала.
Формула квадратного уравнения:
ax2+bx+c=0,где a≠0
где x — переменная,a,b,c — числовые коэффициенты.
Виды квадратного уравненияПример полного квадратного уравнения:
3x2-3x+2=0x2-16x+64=0
Решение полных квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта:
Формула дискриминанта:
D=b2-4aс
Если D>0, то уравнение имеет два корня и находим эти корни по формуле:
Корни квадратного уравненияЕсли D=0, уравнение имеет один корень
корень уравненияЕсли D<0, уравнение не имеет вещественных корней.
Рассмотрим пример №1:
x2-x-6=0
Записываем сначала, чему равны числовые коэффициенты a, b и c.
Коэффициент a всегда стоит перед x2, коэффициент b всегда перед переменной x, а коэффициент c – это свободный член.a=1,b=-1,c=-6
Находим дискриминант:D=b2-4ac=(-1)2-4∙1∙(-6)=1+24=25
Дискриминант больше нуля, следовательно, у нас два корня, найдем их:
Нахождения корней по дискриминантуОтвет: x1=3; x2=-2
Пример №2:x2+2x+1=0Записываем, чему равны числовые коэффициенты a,b и c.a=1,b=2,c=1Далее находи дискриминант.D=b2-4ac=(2)2-4∙1∙1=4-4=0Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень:x=-b/2a=-2/(2∙1)=-1
Ответ: x=-1
Пример №3:7x2-x+2=0Записываем, чему равны числовые коэффициенты a,b и c.a=7,b=-1,c=2Далее находи дискриминант.D=b2-4ac=(-1)2-4∙7∙2=1-56=-55Дискриминант меньше нуля, следовательно, корней нет.
Рассмотрим неполное квадратное уравнение:ax2+bx=0, где числовой коэффициент c=0.
Пример как выглядят такие уравнения:x2-8x=05x2+4x=0
Чтобы решить такое уравнение необходимо переменную x вынести за скобки. А потом каждый множитель приравнять к нулю и решить уже простые уравнения.ax2+bx=0x(ax+b)=0x1=0 x2=-b/a
Пример №1:3x2+6x=0Выносим переменную x за скобку,x(3x+6)=0Приравниваем каждый множитель к нулю,x1=0
3x+6=03x=-6Делим все уравнение на 3, чтобы получить у переменной x коэффициент равный 1.x=(-6)/3x2=-2
Ответ: x1=0; x2=-2
Пример №2:x2-x=0Выносим переменную x за скобку,x(x-1)=0Приравниваем каждый множитель к нулю,x1=0
x-1=0x2=1
Ответ: x1=0; x2=1
Рассмотрим неполное квадратное уравнение:ax2+c=0, где числовой коэффициент b=0.
Чтобы решить это уравнение, нужно записать так:x2=c/a , если число c/a будет отрицательным числом, то уравнение не имеет решения.А если c/a положительное число, то решение выглядит таким образом:
корень квадратного уравненияПример №1:x2+5=0x2=-5, видно, что -5<0, значит нет решения.Ответ: нет решения
Пример №2:3x2-12=03x2=12x2=12/3x2=4
4>0 следовательно, есть решение,x1=√4x1=2
x2=-√4x2=-2
Ответ: x1=2; x2=-2
Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.
tutomath.ru
Решение неполных квадратных уравнений — МегаЛекции
ax2 + bx = 0, a≠0, b≠0
Пусть неполное квадратное уравнение имеет вид , где a ≠ 0; b≠ 0. В левой части этого уравнения есть общий множитель .
1. Вынесем общий множитель за скобки.
Мы получим . Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаем или . Таким образом, данное уравнение эквивалентно двум уравнениям:
2. Решаем получившуюся систему уравнений.
Решив эту систему, мы получим и . Следовательно, данное квадратное уравнение имеет два корня и .
Пример 1.
Разложим левую часть уравнения на множители и найдем корни:
Ответ: 0; 4.
ax2 + c = 0, a≠0, с≠0
Для решения данного неполного квадратного уравнения выразим .
При решении последнего уравнения возможны два случая:
если , то получаем два корня:
если , то уравнение во множестве действительных числе не имеет решений.
Пример 2.
Таким образом, данное квадратное уравнение имеет два корня и
ax2 = 0, a≠0
Разделим обе части уравнения на , мы получим , . Таким образом, данное квадратное уравнение имеет один корень . В этому случае говорят, что квадратное уравнение имеет двукратный корень .
Решение полного квадратного уравнения
Найдем решение полного квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0.
Решение с помощью дискриминанта
Дискриминантом квадратного уравнения называется выражение b2 — 4ac.
При решении уравнения с помощью дискриминанта возможны три случая:
1. D > 0. Тогда корни уравнения равны:
2. D = 0. В данном случае решение даёт два двукратных корня:
3. D < 0. В этом случае уравнение не имеет решения.
5)Квадратные неравенства,решения.
Квадратное неравенство — это неравенство вида: . Вместо знака «меньше» может быть знак «больше», «больше, либо равно», «меньше, либо равно».
Алгоритм решения квадратного неравенства следующий:
1)Приводим первоначальное неравенство к уравнению .
2)Находим корни этого уравнения.
- Допустим, корней уравнения нет. Тогда и множество решений исходного неравенства пустое.
- Пусть теперь квадратное уравнение имеет единственный корень . Тогда решение неравенства сводится к выбору промежутка значений, как в линейных неравенствах.
- Если квадратное уравнение имеет 2 корня и ( ), то принцип определения промежутков тот же, но так как числовая прямая теперь разбита на 3 части, то для верного выбора промежутка надо пользоваться следующим правилом:
Выбираем, как и прежде произвольное значение , . Определяем знак выражения при этом значении. Пусть . Тогда, если – корень нечётной кратности (то есть при нахождении корней квадратного уравнения нашлось нечётное количество одинаковых корней ), то на промежутке выражение будет иметь знак, отличный от знака на . Допустим, корень имеет чётную кратность, тогда на интервале это выражение будет иметь знак такой же, как и на .
На графике разными цветами показаны интервалы, на которых выражение имеет разные знаки.
Ещё проще понять смысл выбора промежутка можно, построив график функции, задаваемой квадратным уравнением .
Тогда видно, что график лежит выше оси абсцисс, то есть , на интервале . А отрицателен график, , на промежутке .
У=Ах2+Вх+С.
6)Система двух линейных уравнений с двумя переменными.Их решение(подстановки,способалгебраического сложения,графический способ):
Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна 1.
Линейное уравнение можно представить
в общей форме:
в канонической форме:
Система уравнений с двумя переменными: f1(x y)=C1;f2(x y)=C2
Решением системы уравнений является пара чисел (a, b) , при подстановке которой в исходную систему получаются верные тождества: f1(a b) C1;f2(a b) C2
megalektsii.ru
