Способы найти корень уравнения - правила вычисления. Найди корень уравнения
Найти корень уравнения? Это просто! :: SYL.ru
В математике встречаются разнообразные уравнения. Их всегда нужно решать, то есть искать все числа, которые сделают его верным равенством. Пути поиска решений определяются первоначальным видом уравнения. От него же будет зависеть и количество верных значений переменной, которые обозначаются, как корень уравнения. Это число может варьироваться от нуля до бесконечности.
Что подразумевается под уравнением и его корнем?
Из названия понятно, что оно приравнивает две величины, которые могут быть представлены числовыми или буквенными выражениями. Кроме того, они содержат еще неизвестные величины. Самое простое уравнение имеет только одну.
Видов уравнений большое количество, но понятие корня для них всегда одно и то же. Корень уравнения — это такое значение неизвестного числа, при котором уравнение принимает становится верным равенством. Бывают ситуации, когда таких чисел несколько, тогда неизвестная называется переменной.
Поиск всех возможных корней уравнения является его решением. То есть нужно выполнить ряд математических действий, которые его упрощают. А потом приводят к равенству, в котором содержится только неизвестная и какое-либо число.
В алгебре при решении уравнений можно прийти к такой ситуации, что корней не будет совсем. Тогда говорят о том, что оно неразрешимо. А в ответе такого уравнения нужно записать, что решений нет.
Но иногда бывает и противоположное. То есть в процессе многочисленных преобразований появляются посторонние корни. Они не дадут верного равенства при подстановке. Поэтому числа всегда нужно проверять, чтобы избежать ситуации с лишними корнями в ответе. Иначе уравнение не будет считаться решенным.
О линейном уравнении
Оно всегда может быть преобразовано в запись следующего вида: а * х + в = 0. В нем «а» всегда не равно нулю. Чтобы понять сколько корней имеет уравнение, его потребуется решить в общем виде.
Алгоритм преобразований:
- перенести в правую часть равенства слагаемое «в», заменив его знак на противоположный;
- разделить обе части получившегося равенства на коэффициент «а».
Общий вид решения такой:
х = -в/а.
Из него ясно, что ответом будет одно число. То есть всего один корень.
Квадратное уравнение
Его общий вид: а * х2 + в * х + с = 0. Здесь коэффициенты являются любыми числами, кроме первого, «а», которое не может быть равным нулю. Ведь тогда оно автоматически превратится в линейное. Ответ на вопрос, сколько корней имеет уравнение, уже не будет столь однозначным, как это было в предыдущем случае.
Все будет зависеть от значения дискриминанта. Он вычисляется по формуле Д = в2 - 4 а * с. После расчетов «Д» может получиться больше, меньше или равным нулю. В первом случае корней уравнения будет два, во втором ответом будет «корней нет», а третья ситуация даст только одно значение неизвестной.
Формулы, которые используют для нахождения корней квадратного уравнения, и содержащие дискриминант
В общем случае, когда «Д» положительное число, не равное нулю, нужно использовать такую формулу:
х1,2 = (-в ± √Д) / (2 * а).
Здесь всегда получится два ответа. Это связано с тем, что в исходной формуле стоит знак «плюс/минус». Он существенно изменяет значение неизвестной.
При равенстве «Д» нулю корень уравнения — это единственное число. Просто потому что квадратный корень из нуля равен нулю. А значит, прибавлять и вычитать нужно будет ноль. От этого число не изменится. Поэтому формулу корня уравнения можно записать без упоминания "Д":
х = (-в) / (2 * а).
При отрицательном значении дискриминанта извлечь из него квадратный корень не представляется возможным. Поэтому корней у такого уравнения не будет.
Замечание. Это верно для курса школьной программы, в которой не изучаются комплексные числа. Когда они вводятся, то получается, что и в этой ситуации ответов будет два.
Формулы для расчета корней квадратного уравнения, не использующие дискриминант
Речь идет о теореме Виета. Она действительна в случае, когда квадратное уравнение записывается в несколько другом виде:
х2 + в * х + с = 0.
Тогда формула корней квадратного уравнения сводится к тому, чтобы выполнить решение двух линейных:
х1 + х2 = -вих1 * х2 = с.
Оно решается за счет того, что из первого выводится выражение для одного из корней. И это значение нужно подставить во второе. Так будет найден второй корень, а потом первый.
К этому варианту всегда можно прийти от общего вида квадратного уравнения.
Достаточно только разделить все коэффициенты на «а».
Как быть, если нужно узнать наименьшее значение корня?
Решать уравнение и находить все возможные числа, которые подойдут для ответа. А потом выбрать самое малое. Это и будет наименьший корень уравнения.
Чаще всего такие вопросы встречаются в заданиях, которые имеют степень большую, чем 2, или содержат тригонометрические функции. Примером, когда нужно найти наименьший корень, может служить такое равенство:
2 х5 + 2 х4 - 3 х3 - 3 х2 + х + 1 = 0.
Чтобы найти каждое значение, которое можно назвать "корень уравнения", это равенство нужно преобразовать. Первое действие: сгруппировать его члены попарно: первый со вторым и так далее. Потом из каждой пары вынести общий множитель.
В каждой скобке останется (х + 1). Общим множителем в первой из пар будет 2 х4, во второй 3 х2. Теперь снова нужно выполнить вынесение общего множителя, которым будет являться одинаковая скобка.
После множителя (х + 1) будет стоять (2 х4 - 3 х2 + 1). Произведение двух множителей равняется нулю, только если один из них принимает значение, равное нулю.
Первая скобка равна нулю при х = -1. Это будет одним из корней уравнения.
Другие будут получены из уравнения, образованного второй скобкой, приравненной к нулю. Оно биквадратное. Для его решения нужно ввести обозначение: х2 = у. Тогда уравнение существенно преобразится и примет привычный вид квадратного уравнения.
Его дискриминант равен Д = 1. Он больше нуля, значит корней будет два. Первый корень оказывается равным 1, второй будет 0,5. Но это значения для «у».
Нужно вернуться к введенному обозначению. х1,2 = ± 1, х3,4 = ± √0,5. Все корни уравнения: -1; 1; -√0,5; √0,5. Наименьший из них — -1. Это ответ.
В качестве заключения
Напоминание: все уравнения нужно проверять на то, подходит ли корень. Может быть, он посторонний? Стоит выполнить проверку предложенного примера.
Если подставить в изначально данное уравнение вместо "х" единицу, то получается, что 0 = 0. Этот корень верный.
Если х = -1, то получается такой же результат. Корень тоже подходящий.
Аналогично, при значениях "х" равных -√0,5 и √0,5 опять выходит верное равенство. Все корни подходят.
Этот пример не дал посторонних корней. Такое бывает не всегда. Вполне могло оказаться, что самое маленькое значение не подходило бы при проверке. Тогда пришлось бы выбирать из оставшихся.
Вывод: надо помнить о проверке и внимательно подходить к решению.
www.syl.ru
Задание В5. Простейшие уравнения | Подготовка к ЕГЭ по математике
Проверяемые требования (умения): уметь решать уравнения и неравенства.Задание В5 - первое задание, хотя и простое, - из программы по математике старших классов.
В открытом банке заданий представлены простейшие уравнения различных видов:
1. Алгебраические целые уравнения
2. Дробно-рациональные
3. Иррациональные
4. Показательные
5. Логарифмические
6. Тригонометрические
Разберем поочередно все виды.
Объяснительный текст
1. Алгебраические целые уравнения
Такие уравнения изучались вами еще в 7-9 классах.
Помните, что решением должно быть одно целое число или конечная десятичная дробь.
Никаких округлений. Если так не получается, ищите ошибку в своем решении.
Рассмотрим примеры прототипов.
Задача 1.
Найдите корень уравнения:Решение:
Это линейное уравнение.
Стремимся к тому, чтобы в левой части остался только х и больше ничего.
Умножим обе части уравнения на -9 (не забываем поменять знаки)
Получим 2х = -81
Делим обе части уравнения на 2:
х = - 40,5
Ответ: - 40,5
Задача 2.
Найдите корень уравнения: x² - 17x + 72 = 0.
Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.
Решение:
Это полное квадратное уравнение.
Находим дискриминант D = 17² - 4·1·72 = 289 - 288 = 1
1>0? - значит уравнение имеет 2 корня, нам нужен меньший.
Можно сначала найти оба корня, затем выбрать из них меньший.
А можно, не тратя время, сразу найти именно его. Для этого в формуле корней берем знак "минус":
х = (17 - 1):2 = 8
Нужный корень можно найти устно и быстро, если вам знакома теорема Виета.
Ответ: 8
Задача 3.
Решение
Это уравнение сводится к линейному, если раскрыть скобки.
4х² + 28х +49 = 4х² - 4х + 1
28х +4х = 1- 49
32х = -48
х = -1,5
Ответ: -1,5
Задача 4.
Решите уравнение х² - 16 = 0.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Решение
Неполное квадратное уравнение.
х² = 16
Уравнение имеет 2 противоположных корня.
Выбираем меньший, т.е. отрицательный:
х = - 4
Ответ: -4.
Задача 5.
Найдите корень уравнения (x-1)³ = 8.
Решение
Не следует здесь возводить в куб двучлен.
Лучше извлекём кубический корень из обеих частей уравнения.
Обратите внимание: мы имеем право это делать, т.к. корень нечетной степени (с квадратными корнями так не поступайте, потеряете решение).
х - 1 = 2
х = 3
ответ: 3.
2. Алгебраические дробно-рациональные уравнения
Дробь не имеет смысла, если ее знаменатель равен нулю.
При решении дробно-рациональных уравнений не забываем проверять на равенство нулю знаменателя.
Чтобы избавляться от дробей, надо умножать обе части уравнения на общий знаменатель.
Задача 6.
Найдите корень уравнения:
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.
Решение
Умножим обе части на х - 2.
(Заметим, можно умножать только на число, отличное от нуля. Поэтому может появиться посторонний корень х=2)
х(х - 2) = 6х - 15
Раскрываем скобки, приходим к квадратному уравнению
х² - 2х = 6х - 15
х² - 8х +15 = 0
Уравнение имеет 2 решения 3 и 5. Оба подходят. Это можно определить 2-мя способами:
- подстановкой корней в уравнение
- проверкой условия х отлично от 2, т.к. посторонний корень мог появиться только в результате умножения на х-2, который не должен обратиться в 0.
Итак, два корня подходят. Как быть?
Прочитаем еще раз вопрос (это всегда надо делать)
В ответе даем больший корень 5.
Ответ: 5.
Задача 7.
Решите уравнение .
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Решение
Умножим обе части уравнения на х² - 16, отличное от нуля.
9 = х² - 16
х² = 25
Больший корень 5.
Проверяем.
Ответ: 5.
Задача 8.
Решите уравнение .
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.
Решение
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель (5х+7)(7х+5), отличный от нуля.
(х+8)(7х+5) = (х+8)(5х+7)
Далее, раскрыв скобки, перенеся слагаемые, получим квадратное уравнение и выберем больший корень, как сказано в условии задачи.
Но проще это уравнение решить по свойству дробей.
Две дроби с одинаковыми числителями могут быть равны, если
- этот числитель равен нулю
- знаменатели равны между собой
При этом ни один знаменатель не обращается в 0.
Тогда найти корни можно практически устно. Это -8 и 1.
Ответ: 1.
3. Иррациональные уравнения
К иррациональным уравнениям относятся уравнения, содержащие знак радикала.
Чтобы избавиться от знака корня, возводим обе части уравнения в степень корня (чаще в квадрат).
Но при этом проверяем, не получены ли посторонние корни, ведь возведение в квадрат обеих частей уравнения может привести к появлению посторонних корней.
Задача 9.
Найдите корень уравнения .
Решение:
Возводим обе части уравнения в квадрат.
115 - 2х = 9
х = 53
Корень проверяем
Ответ: 53
Задача 10.
Найдите корень уравнения:
Решение
Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.
Возводим обе части уравнения в квадрат.
- 72 - 17х = х²
Квадратное уравнение имеет корни- 8 и -9. Оба корня подходят.
Выбираем меньший.
Ответ6 -9.
4. Показательные уравнения
Это пример самого простого показательного уравнения.
При решении показательных уравнений следует помнить таблицу степеней для наиболее употребляемых чисел
Обычно приходится представлять числа в виде степеней с нужным основанием.
Задача 11.
Найдите корень уравнения .
Решение
Представим число 4 в виде степени с основанием ½.
4 = (½) в степени -2
Приравниваем показатели степеней 6 - 2х = -2
Ответ: 4
Задача 12.
Решите уравнение .
Решение
Заметим, что 0,4 = 2/5
Разделим обе части уравнения на 2 и воспользуемся свойством степени при их умножении.
2 в степени 2+х равно 5 в cтепени 2 + х
Показатели степеней с разными основаниями равны, значит, показатели обязаны быть нулями
2+х = 0
х = -2
Ответ: -2.
5. Логарифмические уравнения
Если вы подзабыли, что такое логарифм, рассмотрите табличку и схему:
Простейшие логарифмические уравнения решаются по определению логарифма.
Задача 15.
Найдите корень уравнения .
Решение
Это то же самое, что и 3 в 4 степени равно 4 - х.
4 - х = 81
х = - 77
Ответ: - 77
Задача 16.
Найдите корень уравнения
Решение
Как видим, могут понадобиться свойства логарифмов.
В этом примере сначала уберем коэффициент "2" перед логарифмом в правой части уравнения, воспользовавшись свойством 6 из таблицы.
Далее освобождаемся от логарифмов, приравниваем 5 - х и 9.
х = -4.
Проверку можно не делать, т.к. мы заведомо 5 - х приравняли к положительному числу.
Однако не мешает это все-таки делать для самопроверки верного ответа.
Ответ: -4.
Задача 17.
Найдите корень уравнения
Решение
В силу монотонности логарифмической функции, просто приравниваем аргументы
х + 3 = 4х - 15
х = 6
Обязательно делаем проверку.
ответ: 6
Задача 18.
Решите уравнение .
Решение
Представив 1 в виде логарифма по основанию 5, применим свойство 4 вышеприведенной таблицы.
Затем приравняем аргументы, как в предыдущей задаче.
7 - х = (3 - х)·5
х = 2
Обязательно проверяем, ведь корень мог оказаться посторонним, а под логарифмом - отрицательное число.
Ответ:2
Задача 19.
Решите уравнение .
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
Решение
В этом примере переменная стоит в основании логарифма.
Действуем по определению логарифма.
(х - 5)² = 49 и решаем квадратное уравнение.
Или так: х - 5 = 7 или х - 5 = -7. Последнее не возможно.
х = 12
Ответ: 12.
6. Тригонометрические уравнения
Рассмотрите таблицы. Вспомните, как решаются простейшие тригонометрические уравнения.
Еще надо помнить значения тригонометрических функций основных аргументов:
А если никак не можете запомнить, то загляните на страницу "Тригонометрия на пальцах" по вкладке "Это интересно"
Рассмотрим примеры
Задача 20.
Найдите корень уравнения:
В ответе запишите наибольший отрицательный корень.
Решение
Косинус равен 1/2 в двух точках числовой окружности (имеет смысл ее начертить на черновике).
Берем нижнюю точку, т.к. нам нужен наибольший отрицательный корень.
Это точка соответствует числу -π/3.
Далее решаем алгебраическое уравнение. Делим обе части на π/3.
х = 6.
Ответ: 6.
Задача 21.
Решите уравнение .
В ответе напишите наибольший отрицательный корень.
Решение
По числовой окружности тангенс равен -1 в двух точках. выбираем ту, где он отрицателен. это точка -π/4.
Приравниваем аргументы. Дальше все просто.
Ответ: -1
Задача 22.
Решите уравнение .
В ответе напишите наименьший положительный корень.
Решение
По числовой окружности видим, что синус равен 0,5 в двух точках. Выбираем ту, которая соответствует наименьшему значению аргумента, т. е. левую. Это точка π/6. Приравниваем аргументы, получаем х = 0,5.
Ответ: 0,5.
Видеорешение
Закрепление (самостоятельная работа над темой)
Открываем задачник на странице 191.
Ответы на странице 524-526.
К Прототипам задания В5
Если вам необходимо узнать ответ или решение какой-либо задачи, обращайтесь в комментариях, я добавлю.
Тестирование
Справились? Отлично, идите дальше, к следующему заданию В6.
Не удалось?
Проверьте, с какими уравнениями не справились, еще раз разберите решение, порешайте примеры из книги, сверяя ответ.
Если есть проблемы, и вам нужна помощь, - обращайтесь к учителю.
Связаться со мной
Если у вас есть вопросы и пожелания, которые будут полезны другим читателям, прошу писать в комментариях. Они не будут оставлены без моего внимания.
www.xn--80aknic8a0b.xn--p1ai
Как находить корень уравнения
Если в выражении с неизвестным (или неизвестными) стоит знак равенства, то его называют уравнением. Если найти значение неизвестного (или неизвестных), то говорят, что нашли корень (или корнями) данного уравнения.У линейного уравнения может быть только один корень, если оно содержит одну переменную.Возможности нахождения корней уравнения будем рассматривать на конкретном примере. Пример.Найдем решение (корень) уравнения . Решение.Уравнение — линейное.Для его решения (или нахождения его корня) нужно все составляющие с неизвестным перенести в одну его часть, а все известные компоненты — в другую и привести подобные:
Таким образом, корнем заданного уравнения будет . Ответ: корень уравнения . Для того, чтобы убедится, что корень найден правильно, можно выполнить проверку. Для этого вместо неизвестного х в уравнение подставляется найденное значение и проводятся вычисления. Если получают правильное равенство, значит корень найден верно, в противном случае где-то в вычислении есть ошибка и нужно проверить само решение.Выполним проверку найденного корня:
— корень найден верно.
ru.solverbook.com
Как найти корень уравнения | Подскажем
Уравнение – математическое выражение, содержащее одну или несколько неизвестных. Решить уравнение – значит найти такие значения аргументов, при которых достигается равенство левой и правой частей выражения (заданных функций). Найденные значения называются корнями уравнения.
В математике выделяют линейные, квадратные и кубические уравнения. Для того чтобы найти корень уравнения определенного типа используются различные методы.
Быстрая навигация по статье
Линейное уравнение
Выражение вида а*х=b называется линейным уравнением. В нем а – коэффициент при переменной, b – свободный член. При его решении может быть три случая, в которых:
- а 0. Корень в этом случае вычисляется по формуле: x=b/a. Например, дано уравнение x+3=9-2*x. Выражения с «Х» переносятся в одну сторону, а свободные члены — в другую: х+2*х=9-3, или 3*х=6. Тогда х=6/3, х=2.
- а=0, b=0. Уравнение примет вид 0*х=0. Это равенство будет верным при любом значении «Х». Значит, корнем уравнения будет любое действительное число.
- а=0, b 0. Получится выражение 0*х=b, для которого не существует корней.
Квадратное уравнение
Уравнение вида называется квадратным (а 0). «А» и «B» называются коэффициентами, а «С» – свободным членом. Количество корней зависит от значения дискриминанта, который вычисляется по формуле . В том случае, если:
- D<0 – для уравнения не существует корней.
- D=0 – есть один корень, который находится по формуле: x=-b/(2*a).
- D>0 – существует два корня, определяемые следующим образом: Например, дано уравнение 3*х2-2*х-5=0. Дискриминант D=4-4*3*(-5)=64. Будет два корня: .
Кубическое уравнение
Выражение вида называется кубическим уравнением. Оно может обладать несколькими корнями, для вычисления которых нужно:
- Найти один из корней, который представляет собой делитель свободного члена «d» путем подстановки всех возможных делителей, пока левая часть выражения не станет равной нулю.
- Разделить исходное уравнение на найденный корень, в результате чего выражение будет приведено к виду квадратного.
- Найти корни полученного уравнения. Например, дано уравнение . Делители свободного члена 12 — ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Левая часть принимает значение, равное 0 при х=2. Значит 2 – первый корень. Затем нужно разделить исходное выражение на (х-2). Получится квадратное уравнение . Его корнями будут числа .
Другие способы
Помимо алгебраического вычисления необходимых значений можно воспользоваться:
- Бесплатным онлайн-калькулятором (allcalc.ru).
- Графическим способом, когда строится график функции, точки пересечения которого с осью «Х» будут корнями уравнения.
podskajem.com
Как найти корень уравнения? | Ответ здесь
Найти корень уравнения можно не только в линейных уравнениях, но и в квадратных.
Рассмотрю первый случай — нахождение корня в линейном уравнении.
Пусть у вас есть уравнение x+5=7-2х. х и 2х — неизвестная переменная, 5 и 7 — свободные члены.
Перенесите все иксы налево, а все свободные члены — направо. Тогда вы получите: х+2х=7-5.»
Сложите одноимённые члены: 3х=2. Избавьтесь от коэффициента перед переменной, разделив обе части уравнения на тройку. Тогда вы получите: х=⅔. Найденный икс и будет корнем уравнения.
Второй случай — когда вам дано квадратное уравнение. Найти корень уравнения тогда можно по определённой формуле.
Например, вам дано уравнение 3x2+2х=5. Вначале перенесите свободный член (5) в левую сторону. Первое правило квадратного уравнения — в правой части всегда должен быть ноль. Тогда вы получите 3х2+2х-5=0.
Теперь воспользуйтесь специальной формулой: корень уравнения равен дроби, в числителе которой коэффициент перед х, взятому с противоположным знаком и делённому на коэффициент перед х2, плюс-минус корень из выражения: коэффициент перед х в квадрате минус учетверённое произведение свободного члена на коэффициент перед х2, а в знаменателе удвоенный коэффициент перед х2. В сокращённом виде формула для уравнения ax2+bx+c=0 выглядит так: х1,2=(-bplusmn;radic;b2-4ac)/2a. Помните, что если дискриминант (выражение под корнем) отрицательный, то всё уравнение корней не имеет.
Тогда корни данного уравнения будут 1 и -1.(6).»
Также обращайте внимание на само уравнение. Иногда уравнение можно «свернуть» в формулу сокращённого умножения. Например, если у вас есть уравнение 2х2-12х+18=0, вынесите за скобки двойку и сверните уравнение, получив 2(х-3)2=0. Тогда корень в этом случае равен только двум.
Третий случай — кубическое уравнение.
Предположим, у вас есть уравнение х3-3х2-4х+12=0 (1). Найдите один из корней кубического уравнения — он всегда является делителем свободного члена. В данном случае у 12 делители:»plusmn;1,»plusmn;2,»plusmn;3,»plusmn;4,»plusmn;6,»plusmn;12. Подставляйте в уравнение и число, при подстановке которого левая часть уравнения превращается в ноль, является первым корнем. В данном случае это 2. Разделите (1) на х-2. Вы получите квадратное уравнение, корни которого можно рассчитать с помощью формулы из второго случая.
Не забывайте и об области допустимых значений, если вам дана дробь и переменная стоит в знаменателе.
questione.ru
Репетитор по математике.Найдите корень уравнения
Сегодня мы будем тренировать навык решения задания 5 ЕГЭ — найдите корень уравнения. Будем искать корень уравнения. Рассмотрим примеры решения такого рода заданий. Но для начала, давайте вспомним — что значит — найти корень уравнения?
Это значит найти такое, зашифрованное под х число, которое мы подставим вместо x и наше уравнение будет верным равенством.
Например, 3x=9 — это уравнение, а 3.3=9 — это уже верное равенство. То есть в данном случае, мы вместо x подставили число 3 — получили верное выражение или равенство, это означает, что мы решили уравнение, то есть нашли данное число x=3, которое превращает уравнение в верное равенство.
Вот этим мы и займемся — будем находить корень уравнения.
Задание 1 — найдите корень уравнения 21-4x=32
Это показательное уравнение. Оно решается следующим образом — нужно чтобы и слева, и справа от знака «равно» была степень с одинаковым основанием.
Слева у нас основание степени 2, а справа — степени нет вовсе. Но мы знаем, что 32 — это 2 в пятой степени. То есть, 32=25
Таким образом, наше уравнение будет выглядеть так: 21-4х=25
Слева и справа у нас основания степени одинаковы, значит, чтобы у нас было равенство, должны быть равны и показатели степени:
1-4х=5
Получаем обыкновенное уравнение. Решаем обычным способом — все неизвестные оставляем слева, а известные переносим вправо, получим:
-4х=5-1
-4х=4
х=-1.
Делаем проверку: 21-4(-1)=32
25=32
32=32
Мы нашли корень уравнение. Ответ: х=-1.
Самостоятельно найдите корень уравнения в следующих заданиях:
а) 25-х=64
б) 21-3х=128
Задание 2 — найдите корень уравнения
Уравнение решаем аналогично — путем приведения левой и правой частей уравнения к одному основанию степени. В нашем случае — к основанию степени 2.
Используем следующее свойство степени:
По этому свойству мы получим для правой части нашего уравнения:
Тогда наше уравнение запишется в виде:
Если равны основания степени, значит, равны и показатели степени:
5-х=-4
-х=-4-5
х=9
Ответ: х=9.
Сделаем проверку — подставим найденное значение х в исходное уравнение — если мы получим верное равенство, значит, мы решили уравнение правильно.
25-9=1/16
2-4=1/16
1/16=1/16
Мы нашли корень уравнения правильно.
Задание 3 — найдите корень уравнения
Заметим, что справа у нас стоит 1/8, а 1/8 — это
Тогда наше уравнение запишется в виде:
Если основания степени равны, значит, равны и показатели степени, получим простое уравнение:
3х-12=3
3х=15
х=5
Ответ: х=5. Проверку сделайте самостоятельно.
Задание 4 — найдите корень уравнения log3(15-х)=log32
Это уравнение решается также как и показательное. Нам нужно, чтобы основания логарифмов слева и справа от знака «равно» были одинаковыми. Сейчас они одинаковы, значит, приравниваем те выражения, которые стоят под знаком логарифмов:
15-х=2
-х=2-15
-х=-13
х=13
Ответ: х=13
Задание 5 — найдите корень уравнения log3(3-x)=3
Число 3 — это log327. Чтобы было понятно внизу нижним индексом под знаком логарифма стоит число которое возводится в степень, в нашем случае 3, под знаком логарифма стоит число, которое получилось при возведении в степень — это 27, а сам логарифм — это показатель степени, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 27.
Смотрите на картинке:
Таким образом, любое число можно записать в виде логарифма. В данном случае очень удобно записать число 3 в виде логарифма с основанием 3. Получим:
log3(3-x)=log327
Основания логарифмов равны, значит, равны и числа, стоящие под знаком логарифма:
3-х=27
Получим,
-х=27-3
-х=24
х=-24
Сделаем проверку:
log3(3-(-24))=log327
log3(3+24)= log327
log327=log327
3=3
Ответ: x=-24.
Найдите корень уравнения. Задание 6.
log2(x+3)=log2(3x-15)
Решение:
x+3=3x-15
x-3x=-3-15
-2x=-18
x=9
Проверка: log2(9+3)=log2(27-15)
log212=log212
Ответ: x=9.
Найдите корень уравнения. Задание 7.
log2(14-2x)=2log23
log2(14-2x)=log232
14-2x=32
14-2x=9
-2x=9-14
-2x=-5
x=2,5
Проверка: log2(14-5)=2log23
log29=2log23
log232=2log23
2log23=2log23
Ответ: x=2,5
Подготовьтесь к ЕГЭ и к ОГЭ -посмотрите предыдущие темы Найдите значение выражения и Как решать неравенства .
repetitor-mathematics.ru
линейного, квадратного, кубического? :: SYL.ru
Уравнения в математике так же важны, как глаголы в русском языке. Без умения находить корень уравнения сложно утверждать, что ученик усвоил курс алгебры. К тому же для каждого их вида существуют свои особенные пути решения.
Что это такое?
Уравнение – это два произвольных выражения, содержащих переменные величины, между которыми поставлен знак равенства. Причем количество неизвестных величин может быть произвольным. Минимальное количество – одна.
Решить его – это значит узнать, есть ли корень уравнения. То есть число, которое превращает его в верное равенство. Если его нет, то ответом является утверждение, что «корней нет». Но может быть и противоположное, когда ответом является множество чисел.
Какие виды уравнений существуют?
Линейное. Оно содержит переменную, степень которой равна единице.
- Квадратное. Переменная стоит со степенью 2, или преобразования приводят к появлению такой степени.
- Уравнение высшей степени.
- Дробно-рациональное. Когда переменная величина оказывается в знаменателе дроби.
- С модулем.
- Иррациональное. То есть такое, которое содержит алгебраический корень.
Как решается линейное уравнение?
Оно является основным. К такому виду стремятся привести все остальные. Так как у него найти корень уравнения достаточно просто.
- Сначала нужно выполнить возможные преобразования, то есть раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.
- Перенести все одночлены с переменной величиной в левую часть равенства, оставив свободные члены в правой.
- Привести подобные члены в каждой части решаемого уравнения.
- В получившемся равенстве в левой его половине будет стоять произведение коэффициента и переменной, а в правой – число.
- Осталось найти корень уравнения, разделив число справа, на коэффициент перед неизвестной.
Как найти корни квадратного уравнения?
Сначала его нужно привести к стандартному виду, то есть раскрыть все скобки, привести подобные слагаемые и перенести все одночлены в левую часть. В правой части равенства должен остаться только ноль.
- Воспользуйтесь формулой для дискриминанта. Возведите в квадрат коэффициент перед неизвестной со степенью «1». Перемножьте свободный одночлен и число перед переменной в квадрате с числом 4. Из полученного квадрата вычтите произведение.
- Оцените значение дискриминанта. Он отрицательный – решение закончено, так как у него корней нет. Равен нулю – ответом будет одно число. Положительный – два значения у переменной.
Найдите два корня уравнения по формуле, в которой квадратный корень из дискриминанта нужно вычесть или сложить с отрицательным коэффициентом при переменной в первой степени. Потом разделить на удвоенный коэффициент, стоящий перед квадратом неизвестной. (В случае равенства дискриминанта нулю прибавлять или вычитать нужно будет ноль, поэтому два корня совпадут.)
Как решить кубическое уравнение?
Сначала найдите корень уравнения x. Он определяется методом подбора из чисел, которые являются делителями свободного члена. Этот способ удобно рассмотреть на конкретном примере. Пусть уравнение имеет вид: х3 - 3х2 - 4х + 12 = 0.
Его свободный член равен 12. Тогда делителями, которые требуется проверить, будут положительные и отрицательные числа: 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Перебор можно закончить уже на числе 2. Оно дает верное равенство в уравнении. То есть его левая часть оказывается равной нулю. Значит число 2 – это первый корень кубического уравнения.
Теперь необходимо разделить исходное уравнение на разность переменной и первого корня. В конкретном примере это (х - 2). Несложное преобразование приводит числитель к такому разложению на множители: (х - 2)(х + 2)(х - 3). Одинаковые множители числителя и знаменателя сокращаются, а оставшиеся две скобки при раскрытии дают простое квадратное уравнение: х2 - х - 6 = 0.
Здесь найдите два корня уравнения по принципу, описанному в предыдущем разделе. Ими оказываются числа: 3 и -2.
Итого, у конкретного кубического уравнения получилось три корня: 2, -2 и 3.
Здесь предложен метод исключения неизвестных. Он заключается в том, чтобы выразить одну неизвестную через другую в одном уравнении и подставить это выражение в другое. Причем решением системы из двух уравнений с двумя неизвестными всегда является пара переменных величин.
Если в них переменные обозначены буквами х1 и х2, то можно из первого равенства вывести, к примеру, х2. Потом оно подставляется во второе. Проводится необходимое преобразование: раскрытие скобок и приведение подобных членов. Получается простое линейное уравнение, корень которого вычислить легко.
Теперь возвратитесь к первому уравнению и найдите корень уравнения x2, используя получившееся равенство. Эти два числа являются ответом.
Простой совет
Для того чтобы быть уверенным в полученном ответе, рекомендуется всегда делать проверку. Ее не обязательно записывать.
Если решается одно уравнение, то каждый из его корней нужно подставить в исходное равенство и получить одинаковые числа в обеих его частях. Все сошлось – решение верное.
При работе с системой корни необходимо подставлять в каждое решение и выполнять все возможные действия. Получается верное равенство? Значит решение правильное.
www.syl.ru
