Объем тетраэдра. Найти объем тетраэдра


Объем тетраэдра - формулы, примеры расчета, калькулятор

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и точку D, не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединим отрезками эту точку с вершинами треугольника ABC. В результате получим треугольники ADC, CDB, ABD. Поверхность ограниченная четырьмя треугольниками  ABC, ADC, CDB и ABD называется тетраэдром и обозначается DABC.Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются его гранями.Стороны данных треугольников называют ребрами тетраэдра. А их вершины – вершинами тетраэдра

Тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины.Два ребра, которые не имеют общей вершины, называются противоположными.Зачастую для удобства, одну из граней тетраэдра называют основанием, а оставшиеся три грани боковыми гранями.

Таким образом, тетраэдр – это простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника.

Но также верно и утверждение, что любая произвольная треугольная пирамида является тетраэдром. Тогда также верно, что тетраэдром называют пирамиду, в основании которой лежит треугольник.

Высотой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой, расположенной на противоположной грани и перпендикулярный к ней.Медианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани.Бимедианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет середины скрещивающихся ребер тетраэдра.

Так как тетраэдр – это пирамида с треугольным основанием, то объем  любого тетраэдра можно рассчитать по формуле

,

где

Правильный тетраэдр — частный вид тетраэдра

Тетраэдр, у которого все грани равносторонние треугольник называется правильным.Свойства правильного тетраэдра:

Пусть нам дан правильный тетраэдр ABCD с ребрами равными a. DH – его высота.Произведем дополнительные построения BM – высоту треугольника ABC и DM – высоту треугольника ACD.Высота BM равна BM и равна Рассмотрим треугольник BDM, где DH, являющаяся  высотой тетраэдра также и высота данного треугольника.Высоту треугольника, опущенную на сторону MB можно найти, воспользовавшись формулой

, где BM=, DM=, BD=a,p=1/2 (BM+BD+DM)= Подставим эти значения в формулу высоты. Получим Вынесем 1/2a. Получим

Применим формулу разность квадратовПосле небольших преобразований получимОбъем  любого тетраэдра можно рассчитать по формуле,где ,Подставив эти значения, получим

Таким образом формула объема для правильного тетраэдра

где a –ребро тетраэдра

Вычисление объема тетраэдра, если известны координаты его вершин

Пусть нам даны координаты вершин тетраэдраИз вершины   проведем векторы , , . Для нахождения координат каждого  из этих векторов вычтем из координаты конца соответствующую координату начала. Получим

 Геометрических смысл смешенного произведения трех векторов заключается в следующем – смешенное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.Так как тетраэдр есть пирамида с треугольным основанием, а объем пирамиды в шесть раз меньше объема параллелепипеда, то тогда имеет смысл следующая формула

2mb.ru

Объем тетраэдра

В геометрии тетраэдром называется правильный многогранник, который имеет четыре грани, представляющих собой равносторонне треугольники. Из этого следует, что все ребра тетраэдра имеют одинаковую длину, а все его грани – одинаковую площадь. Это геометрическое тело и его основные свойства изучаются на школьных уроках геометрии, а вот в жизни оно «в чистом виде» встречается не так уж часто. Вернее, тетраэдр зачастую просто не столь заметен и очевиден, как, к примеру, шар или параллелепипед.

Тем не менее, в технике это геометрическое тело встречается достаточно часто. К примеру, форму тетраэдров имеют оптические элементы, являющиеся основой конструкции катафотов. Благодаря особенностям расположения граней тетраэдры отражают свет в ту же самую точку, откуда он исходит, и поэтому кажется, что они светятся сами. Катафоты нашли очень широкое применение в качестве устройств обеспечения безопасности дорожного движения.

Нахождение объема тетраэдра

 

 

 

a – ребро тетраэдра

V – объем тетраэдра

 

Поскольку тетраэдр по своей природе является исключительно жесткой статической формой, то это свойство достаточно широко используется в технике. К примеру, стержни многих несущих металлоконструкций располагаются именно в форме тетраэдров, и благодаря этому инженерам удается создать легкие и исключительно прочные фермы мостов и перекрытий различных сооружений.

Кристаллические решетки многих прочных природных минералов также имеют форму тетраэдра. Одним из них является алмаз, в котором атомы располагаются как раз в вершинах этого геометрического тела. Интересно, что графит также состоит из атомов углерода, то есть его химический состав аналогичен химическому составу алмаза, однако по прочностным характеристикам он очень существенно уступает последнему именно из-за того, что форма его кристаллической решетки другая. Поэтому производство искусственных алмазов из графита заключается как раз в упорядочивании атомов углерода таким образом, чтобы они образовывали тетраэдры.

Форму этого геометрического тела имеет и расположение плодов некоторых растений в гроздьях. К примеру, грецкие орехи часто находятся в таком положении, что их центры находятся в вершинах тетраэдра.

Сейчас в России и некоторых зарубежных странах выпускается молочная упаковка, также имеющая форму тетраэдра. Основой для ее изготовления является труба из специального материала, напоминающего тот, который применяется при изготовлении так называемых «тетрапаков». По мере того, как она заполняется молоком или сливками, специальные устройства запаивают ее таким образом, что соседние швы являются перпендикулярными друг другу, и в итоге готовые пакеты имеют форму тетраэдра.

Классическим тетраэдром является также и головоломка, известная, как «Пирамидка Рубика», «Японский тетраэдр» и «Молдавская пирамида». Известный венгерский архитектор изобретатель, впрочем, не имеет к ней никакого отношения, хотя принцип, на котором она основана, практически такой же, что и тот, который используется в его знаменитом кубике. На самом деле эта игрушка была в 1972 году разработана немцем Уве Меффертом, затем, независимо от него, изобретена молдавским инженером А.А. Ордынцем, а с 1981 года производится компанией Tomy Toys, штаб-квартира которой располагается в Японии.

simple-math.ru

Как найти объем тетраэдра

Поиск объема тетраэдра представляет собой задачу достаточно интересную. Нахождение объема пирамиды — это вопрос, который заинтересовал математиков много тысячелетий назад.

Вам понадобится

Бумага, шариковая ручка, калькулятор, условия задачи.

Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как найти объем тетраэдра" Как найти объем правильного тетраэдра Как найти объем пирамиды, если даны координаты вершин Как найти площадь грани в пирамиде

Инструкция

1

Рассмотрите условия задачи и выясните, какие данные известны.

2

На основании имеющихся данных выбираем оптимальную формулу для поиска объема тетраэдра.

3

Если данных недостаточно для применения какой-либо формулы, находим в условии задачи информацию, на основании которой можно найти недостающие для применения формулы данные.

4

Вычисляем значения всех величин, которые нам потребуются для использования формулы площади тетраэдра.

5

Подставляем значения величин в подходящую формулу.

6

Имея данные о площади одной их граней и высоте, опущенной на эту грань, используем формулу — Vтетр = 1/3•S•h.

7

Если нам известны длины двух ребер, которые скрещиваются между собой, а также расстояние, содержащееся между прямыми этих ребер и угол между этими прямыми, то используем формулу: Vтетр = 1/6•a•b•c•sin?, где a и b — это длины ребер, скрещивающихся между собой, с — расстояние между прямыми, которые их содержат, ? — угол между прямыми.

8

Когда нам известны значения площади сечения (S), равноудаленного от двух прямых, которые содержат скрещивающиеся ребра, а также параллельного им, а также расстояние между указанными прямыми (d), мы можем использовать такую формулу: Vтетр = 2/3•S• d.

9

Зная площади двух граней (P и Q), а также длину их общего ребра (а), величину угла между этими гранями (?), можно использовать формулу Vтетр = (2PQ sin?)/3а.

Как просто

masterotvetov.com

Объём тетраэдра

Из основной формулы для объёма тетраэдра

(1),

 

где S – площадь любой грани, а H – опущенная на нее высота, можно вывести еще целый ряд формул, выражающих объём через различные элементы тетраэдра. Приведем эти формулы для тетраэдра ABCD. 

(2) ,

где ∠(AD,ABC) – угол между ребром AD и плоскостью грани ABC;

(3) ,

где ∠(ABC,ABD) – угол между гранями ABC и ABD;

(4) ,

где |AB,CD| – расстояние между противоположными ребрами AB и CD, ∠(AB,CD) – угол между этими ребрами.

 

Формулы (2)–(4) можно использовать для нахождения величин углов между прямыми и плоскостями; особенно полезна формула (4), с помощью которой можно находить расстояние между скрещивающимися прямыми AB иCD.

Формулы (2) и (3) аналогичны формуле S = (1/2)absin C для площади треугольника. Формуле S = rp аналогична формула

(5) ,

где r – радиус вписанной сферы тетраэдра, Σ – его полная поверхность (сумма площадей всех граней). Имеется и красивая формула, связывающая объём тетраэдра с радиусом R его описанной сферы (формула Крелле):

(6) ,

где Δ – площадь треугольника, стороны которого численно равны произведениям противоположных ребер (AB×CD, AC×BD,AD×BC). Из формулы (2) и теоремы косинусов для трехгранных углов (см. Сферическая тригонометрия) можно вывести формулу, аналогичную формуле Герона для треугольников:

(7) ,

где α, β, γ – плоские углы BDC, CDA, ADB при вершине D, δ = (α+β+γ)/2 – их полусумма.

Наконец, приведем векторную формулу:

(8) ,

где внутри модуля стоит смешанное произведение векторов. С помощью этой формулы можно вычислять объём тетраэдра, зная координаты его вершин.

 

school-collection.edu.ru