Нахождение области значений функции. Найти область значение функции
Область значений функции, теория и примеры
Область значений основных элементарных функций
- Для линейной функции область значений .
- Для обратной пропорциональности, то есть функции заданной формулой , область значений: .
- Значение , где дискриминант, называется ординатой вершины параболы, задаваемой уравнением .
Действительно, абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле , тогда
Итак, для квадратичной функции : если , то ветки параболы направлены вниз и значение является наибольшим значением функции, то есть ; если , то ветки направлены вверх и значение является наименьшим значением функции, то есть .
- Для логарифмической функции область значений .
- Для показательной функции область значений .
- Для тригонометрических функции область значений , для область значений — множество всех действительных чисел.
Примеры решения задач
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
ru.solverbook.com
Область значений функции
Всем здравствуйте! Тренируемся находить область значений функции! Кто еще не понял, что такое область определения (а она нам тоже понадобится непременно), тому сюда.
Что же такое область значений функции? Это та “часть” оси ординат, та область, где можно наткнуться на какие-либо точки, принадлежащие функции. То есть можно сказать, что если область значений найдена, то все точки функции находятся в ней, не выше и не ниже. Это почти тоже самое, что и область определения, только теперь это “область определения по оси ординат”. Здесь никаких особых ограничений нет, поэтому, чтобы найти область значений, нужно иметь представление об элементарных функциях – например, как выглядят парабола или гипербола, как определить, направлены ли ветви параболы вверх или вниз и т.п. Все это рассказано и показано здесь.
Ну, поехали!
Примеры.
1. Найдите область значений функции
Решение: функция – квадратичная, представляет собой параболу с положительным старшим коэффициентом, ветви направлены вверх. Понятно тогда, что весь график располагается выше координаты своей вершины (вершина – самая низшая точка). Ордината вершины: , тогда .
2. Найдите область значений функции
Решение: область определения функции ( ] [).
В точках (-7) и (3) двучлен обращается в ноль. Поскольку результат извлечения корня – величина положительная, то вся функция располагается выше оси абсцисс, и ее область значений [)
3. Найти область значений функции
Область определения – вся числовая ось, кроме ноля. Можем подставить любое число из области определения, при этом функция всегда отрицательна.
Из графика также видно, что
4. Найти область значений функции:
Решение. Область определения:
На концах отрезка функция принимает значение 1, под корнем имеем квадратный двучлен, наибольшее значение он принимает в вершине, при , значит, функция будет принимать в этой точке наименьшее значение.
Подставив 1, получаем
Ответ:
5. Найдите область значений функции:
Очевидно, что график данной функции может быть получен из графика обычной параболы , область значений которой легко найти: ветви направлены вверх, поэтому низшая точка – вершина параболы. Однако заметим также, что если аргумент функции под знаком модуля, то график такой функции может быть построен с помощью отражения части графика, лежащей в правой вертикальной полуплоскости, в левую полуплоскость(см. рисунок). Тогда от нашей параболы останется только часть, лежащая правее оси ординат, и именно она будет отражена относительно оси y, и тогда низшей точкой окажется та, в которой график пересечет ось ординат, а это – значение свободного члена (коэффициента с), который у нас равен (-6).
Область значений нашей функции [)
6. Найдите область значений функции:
Очевидно, что график данной функции может быть получен из графика обычной параболы . Так как все выражение находится под знаком модуля, то для того, чтобы построить такой график, нужно отразить всю часть графика, расположенную ниже оси х, вверх, поэтому [).
7. Найдите область значений функции:
Данная функция получена преобразованием обычной гиперболы. Данная функция не существует при , или . При второе слагаемое обращается в ноль, и функция стремится к значению , причем можно заметить, что при положительных больших значениях х данная функция приближается к 2 снизу, а при отрицательных – сверху.
Ответ:
8. Найти область значений функции:
Решение. Область определения:
При функция принимает наибольшее значение ,
При x, стремящемся к бесконечности, функция стремится к нулю. Но мы запишем область значений от меньшего к большему:
Ответ: (]
easy-physic.ru
Как найти область значения функции?
Функцию можно построить по точкам: подставлять в формулу значение переменной и ставить на графике соответствующие точки. Но при этом нет никакой гарантии, что вы не пропустите точку экстремума или разрыва. Да и процесс это долгий и нудный. Поэтому гораздо рациональнее найти область определения, область значений и все критические точки функции. Поговорим об этом подробнее.
Что такое область значения функции
Область значения функции y=f(x) – это множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех значений х из области определения х € Х. Обозначается область значения как Е y=f(x).
Про область определения написано в статье Как найти область определения функции. Эти две области иногда путают, что недопустимо. Чтобы лучше понять, что это такое, рассмотрим конкретные примеры.
Например, функция y=f(x)=sinx. Для наглядности можно нарисовать синусоиду. Тогда мы увидим, что х может изменяться от -∞ до +∞, y=f(x) определена при х € -∞; +∞. При этом f(x) изменяется от -1 до +1, других значений она не принимает. Значит, область определения функции х € -∞; +∞, область значения Е у = -1; +1. Т.е. область определения – это значения х, при которых функция существует. А область значения – это те значения функции, которые она принимает во всей области определения.
Рассмотрим другой простой пример: у=1/х. Рисовать гиперболы мы тоже умеем и знаем, что при х=0 значение функции не определено, т.е. в этой точке она не существует. При х=0 мы имеем разрыв функции. Значит, область определения х € (-∞ < 0; 0 < ∞), область значения Е у = (-∞ < 0; 0 < ∞).
Если мы знаем область определения функции, нам нужно найти максимальное и минимальное значение функции – это и будет область значений.
Как найти область значений функции: пример
- Имеем функцию у = 1 / (х² - 4).
Сначала ищем производную функции, чтобы найти точки экстремумов.
- у' = (1 / (х² - 4)) ' = -2х / (х² - 4)².
Из этого выражения следует, первая точка экстремума при х = 0, т.к. в этой точке производная меняет знак. Т.к. знак меняется с + на -, это максимум.
Максимальное значение функции при х = 0:
- у = 1 / (х² - 4) = у = 1 / (0² - 4) = -1 / 4.
- y max = -1/4.
Теперь найдём точки разрыва функции, которые бывают, когда знаменатель производной равен 0.
Раскладываем выражение на множители:
Корни уравнения: х = 2; -2. Значит, это точки разрыва функции. Определяем, к чему стремится функция в этих точках.
- Lim (1 / (х² - 4)) = lim1(1 / (х – 2)(х + 2)) = lim (1 / (2 – 2)(2 + 2)) = lim ((1/0)(-1/4)) = -∞ .
- x → -+2
В точках разрыва функция
elhow.ru
Как найти область значения функции
Лекция 19. Функция. Область определения и множество значений функции.
Функция — одно из важнейших математических понятий.
Определение: Если каждому числу из некоторого множества x поставлено в соответствие единственное число y, то говорят, что на этом множестве задана функция y(x). При этом x называют независимой переменной или аргументом, а y — зависимой переменной или значением функции или простофункцией.
Говорят также, что переменная y является функцией от переменной x.
Обозначив соответствие некоторой буквой, например f, удобно писать: y=f (x), то есть, значение y получается из аргумента x с помощью соответствия f. (Читают: y равно f от x.) Символом f (x) обозначают значение функции, соответствующее значению аргумента, равному x.
Пример 1 Пусть функция задается формулой y=2x2–6. Тогда можно записать, что f(x)=2x2–6. Найдем значения функции для значений х, равных, например, 1; 2,5;–3; т. е. найдем f(1), f(2,5), f(–3):
f(1)=2•12–6=–4; f(2,5)=2•2,52–6=6,5; f(–3)=2•(–3)2–6= 12.
Заметим, что в записи вида y=f (x) вместо f употребляют и другие буквы: g, и т. п.
Определение: Область определения функции — это все значения x, при которых существует функция.
Если функция задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл.
Другими словами, область определения функции, заданной формулой, является все значения аргумента, за исключением тех, которые приводят к действиям, которые мы не можем выполнить. На данный момент мы знаем только два таких действия. Мы не можем делить на нуль и не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа.
Определение: Все значения, которые принимает зависимая переменная образуют область значения функции.
Область определения функции, описывающей реальный процесс, зависит от конкретных условий его протекания. Например, зависимость длины l железного стержня от температуры нагревания t выражается формулой , где l0 начальная длина стержня, а —коэффициент линейного расширения. Указанная формула имеет смысл при любых значениях t. Однако, областью определения функцииl=g(t) является промежуток в несколько десятков градусов, для которого справедлив закон линейного расширения.
Пример.
Укажите область значений функции y = arcsinx.
Решение.
Областью определения арксинуса является отрезок [-1; 1]. Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на этом отрезке.
Производная положительна для всех x из интервала (-1; 1), то есть, функция арксинуса возрастает на всей области определения. Следовательно, наименьшее значение она принимает при x = -1, а наибольшее при x = 1.
Мы получили область значений функции арксинуса
.Найдите множество значений функции
на отрезке [1; 4].Решение.
Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке.
Определим точки экстремума, принадлежащие отрезку [1; 4]:
Вычисляем значения исходной функции на концах отрезка и в точках
:
Следовательно, множеством значений функции на отрезке является интервал
Сейчас покажем, как находить множество значений непрерывной функции y = f(x) на открытых интервалах (a; b),
.Сначала определяем точки экстремума, экстремумы функции, промежутки возрастания и убывания функции на данном интервале. Далее вычисляем односторонние пределы на концах интервала и (или) пределы на бесконечности (то есть, исследуем поведение функции на границах открытого интервала или на бесконечности). Этой информации достаточно, чтобы найти множество значений функции на таких промежутках.
studopedia.ru>
Область значений функции
Область значений (или множество значений) функции — множество, состоящее из всех значений, которые принимает функция[1][2][3].
Определение
Пусть на множестве X {\displaystyle X} задана функция f {\displaystyle f} , которая отображает множество X {\displaystyle X} в Y {\displaystyle Y} , то есть: f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} . Тогда областью (или множеством) значений функции f {\displaystyle f} называется совокупность всех её значений, которая является подмножеством множества Y {\displaystyle Y} и обозначается f ( X ) {\displaystyle f(X)} :
Множество значений функции f {\displaystyle f} обозначается также символами E ( f ) {\displaystyle E(f)} , R ( f ) {\displaystyle R(f)} или r a n f {\displaystyle \mathrm {ran} \,f} (от англ. range).
Терминология
В некоторых источниках различаются понятия области значений и множества значений функции. При этом областью значений функции называют её кодомен, то есть множество Y {\displaystyle Y} в обозначении функции f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} [4], сохраняя термин множество значений для обозначения совокупности всех значений функции f {\displaystyle f} .
Множество значений f ( X ) {\displaystyle f(X)} называется также образом множества X {\displaystyle X} при отображении f {\displaystyle f} .
Иногда множество значений функции называют множеством всех значений или областью изменения функции[3].
ru.wikipedia.org>
Как найти область определения функции и область значения??? приведите пример и опишите подробнее пожалуйста
Маря
Каждая функция содержит два типа переменных: независимую переменную и зависимую переменную. Например, в функции y = f(x) = 2x + y «х» является независимой переменной, а «у» - зависимой переменной. Область определения функции - это множество чисел, на котором задается функция (другими словами, это те значения «х», которые можно подставить в данное уравнение). Область значений функции – все значения, которые принимает функция в ее области определения (другими словами, это те значения «у», которые вы получаете при подста Если функция задана дробным выражением, найдите корни выражения, стоящего в знаменателе. Для этого приравняйте выражение, стоящее в знаменателе, к нулю и найдите «х». 1,Пример: дана функция е (х) = х + 5 / х - 2. Эта функция задана дробным выражением. Найдите корни выражения в знаменателе: х – 2 = 0; х = 2.новке всех возможных значений «х»). 2. Запишите область определения функции. После нахождения корней выражения в знаменателе запишите область определения функции в математической форме. В нашем примере знаменатель равен 0 при х = 2, следовательно х не может принимать значение 2 (так как на 0 делить нельзя). Область определения запишется в следующем виде: (-∞; 2)U(2; +∞). Читается так: от минус бесконечности до двух и от двух до плюс бесконечности. 3.Нарисуйте координатную плоскость: проведите ось Х (горизонтально) и ось Y (вертикально). 4. На осях координат нанесите числовые отметки (через равные промежутки). 5.Найдите точки графика. Для этого подставьте в данную функцию значения «х» (из области определения функции) и найдите значения «у». В нашем примере подставьте любые значения «х», кроме 2, так как 2 исключена из области определения. 6.Отложите точки на координатной плоскости. Затем соедините их плавной линией. 7. Найдите область значений функции. Для этого на координатной плоскости найдите такую горизонтальную прямую, которая не пересекается с графиком функции. Точка пересечения этой прямой и оси Y будет исключена из области значений функции. В нашем примере прямая, заданная функцией у = 1, не пересекает график исходной функции. Следовательно «у» не принимает значение 1 и оно исключается из области значений функции. Математически область значений записывается так: (-∞,1)U(1,+∞) Читается так: от минус бесконечности до единицы и от единицы до плюс бесконечности.
Лира
Область определения функции это то множество значений, которые может принимать аргумент функции. Например, для y(x)=x/x-1 ООФ будет интервал от минус бесконечности до 1 и от 1 до плюс бесконечности (х не равно 1). Область значения функции это то множество значений, которое может принимать функция. Например, для y(x)=sin(x) ОЗФ это отрезок от -1 до 1.
Что такое область значения функции? мне нужно определение.
Катя
Множеством значений функции y = f(x) на интервале X называют множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех . Областью значений функции y = f(x) называется множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех x из области определения . Область значений функции обозначают как E(f). Область значений функции и множество значений функции - это не одно и то же. Эти понятия будем считать эквивалентными, если интервал X при нахождении множества значений функции y = f(x) совпадает с областью определения функции.
Не путайте также область значений функции с областью допустимых значений функции (ОДЗ) . Область допустимых значений функции – это есть область определения функции.
Как найти область значений/изменений функции?
у=x^2-4x+7 у=8x-x^2-10
мб это и простейшее уравнение...но чтоөто для меня не доходит как решить...=Ь
Naumenko
области определения и значений функций отдельно решение квадратных уравнений отдельно: http://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg21.html ссылка на справочный сайт по элементарной математике. выпишите формулы и решайте, аккуратно считая. решите пару сотен уравнений и будете знатоком этого дела. Успеха!
Rideamus com
Область значений, множество значений, область изменения это суть одно и то же. Другими словами, каким может быть у, зависимая переменная. У тебя две параболы, первая ветви вверх, вторая - вниз. Т. е. область значений первой будут все у от вершины и до бесконечности, второй - от минус бесконечности и до вершины. Осталось найти вершину 1) x=-b/(2a)=4/2=2 y=2^2-4*2+7=3 E(y)=[3;+oo) 2) x=-b/(2a)=-8/(2*(-1))=4 y=8*4-4^2-10=32-16-10=6 E(y)=(-oo;6]
Читайте также
zna4enie.ru
область определения и область значений функций + ПРИМЕРЫ
Функция-это модель. Определим X, как множество значений независимой переменной // независимая -значит любая.
Функция это правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной из множества X можно найти единственное значение зависимой переменной. // т.е. для каждого х есть один у.
Из определения следует, что существует два понятия- независимая переменная (которую обозначаем х и она может принимать любые значения) и зависимая переменная (которую обозначаем y или f(х) и она высчитывается из функции, когда мы подставляем х).
НАПРИМЕР у=5+х
1. Независимая -это х, значит берем любое значение, пусть х=3
2. а теперь вычисляем у, значит у=5+х=5+3=8. (у зависима от х, потому что какой х подставим, такой у и получим)
Говорят, что переменная y функционально зависит от переменной x и обозначается это следующим образом: y = f (x).
НАПРИМЕР.
1.у=1/х. (наз.гипербола)
2. у=х^2. (наз. парабола)
3.у=3х+7. (наз. прямая)
4. у= √ х. (наз. ветвь параболы)
Независимая переменная (кот. мы обозначаем х) имеет название аргумент функции.
Область определения функции
Множество всех значений, которые принимает аргумент функции, называется областью определения функции и обозначается D (f) или D (y).
Рассмотрим D (у) для 1.,2.,3.,4.
1. D (у)= ( ∞; 0) и (0;+∞) //всё множество действительных чисел, кроме нуля.
2. D (у)= ( ∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел
3. D (у)= ( ∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел
4. D (у)= [0; +∞)// мн-во неотрицат.чисел
Зависимая переменная (кот. мы обозначаем у ) имеет название значение функции.
Область значения функции
Множество всех значений, которые может принять зависимая переменная, называется областью значения функции и обозначается E (f) или E (y).
Рассмотрим Е (у) для 1.,2.,3.,4.
1. Е (у)= ( ∞; 0) и (0;+∞) //всё множество действительных чисел, кроме нуля.
2. Е (у)= [0; +∞)// мн-во неотрицат.чисел
3. Е (у)=( ∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел
4. Е (у)= [0; +∞)// мн-во неотрицат.чисел
Рассмотрим примеры подробнее
1) Постановка задачи. Найти функции у= 4х/(3+х)
Решение.
1. Найдем D (у)//т.е. какие значения может принимать х. для этого найдем ОДЗ(область допустимых значений дроби)
3+х≠0
х≠-3
значит D (у) данной функции ( ∞; 3) и (3;+∞)// всё множество действительных чисел, кроме 3.
2. Найдем Е (у)//т.е. какие значения может принимать у, при всех возможных х
решаем уравнение вида 4х/(3+х)=А, где А є Е (у)
(3+х)А=4х
3А=4х-хА
3А=х(4-А)
х=3А/(4-А)
значит Е (у) данной функции ( ∞; 4) и (4;+∞)// всё множество действительных чисел, кроме 4.
2) Постановка задачи. Найти D (у)и Е (у) функции, изображенной на графике
Область определения(значения х) смотрим по оси х- это промежуток [ 4; 7],
Областью значения(значения у) смотрим по оси у- это промежуток [ 4; 4].
Нужна помощь в учебе?
Предыдущая тема: Графический способ решения уравнений: алгоритм и примеры графиков Следующая тема:   Свойства функции: разбираем на примереВсе неприличные комментарии будут удаляться.
www.nado5.ru
| Слайд №2 | |
| Найдите область значений для каждой функции .Занесите в таблицу номера соответствующих областей значений. | |
| Слайд №3 | |
| Е(f)= [0;?) | |
| Слайд №4 | |
| E(f)=(-?;2] | |
| Слайд №5 | |
| Е(f)=(-?;3)U(3;?) | |
| Слайд №6 | |
| E(f)=(-?;?) | |
| Слайд №7 | |
| E(f)=[-1;3] | |
| Слайд №8 | |
| E(f)=[-1;?) | |
| Слайд №9 | |
| E(y)=[-4;4] | |
| Слайд №10 | |
| Е(f)=[-2;?) | |
| Слайд №11 | |
| E(f)=(-?;+?) E(f)=(-?;0)U U(0;+?) E(f)=[0;+?) | |
| Слайд №12 | |
| Найдите область значений функции | |
| Слайд №13 | |
| Найдите область значений функции f(x)=|x-2||x-2|?0Значит E(f)=[0;+?) | |
| Слайд №14 | |
| Найдите область значений функцииX2 +4?0X2 +4?4,Значит E(f)=[2;+?) | |
| Слайд №15 | |
| Найдите область значений функции 9-х2 ?0х2 ? 0, 9-x2 ? 9,Значит E(f)=[0;3] | |
| Слайд №16 | |
| Найдите область значений функции | |
| Слайд №17 | |
| Найдите область значений функцииE(f)=[5;+?) | |
| Слайд №18 | |
| Найдите область значений функции | |
| Слайд №19 | |
| Найдите наименьшее и наибольшее значения функции | |
| Слайд №20 | |
| Решите уравнение | |
| Слайд №21 | |
| f(x)=g(x)E(f)=[a;b]E(g)=[b;c] | |
| Слайд №22 | |
| Найдите область значений функции | |
volna.org
Область значений функции - это... Что такое Область значений функции?
Область значений функции — множество значений, которые принимает функция в результате ее применения.
Определение
Пусть задана функция , которая отображает множество в , то есть: ; тогда
- областью значений функции называется подмножество множества вида
- и обозначается , , (от англ. codomain «со-область») или (от фр. range «со-область»).
Примеры
Числовые функции
Характеристическая функция множества
Пусть . Определим функцию , которая
- принимает значение , если ,
- и принимает значение 0, в противном случае.
Такая функция называется характеристической функцией множества .
Поскольку каждому множеству сопоставляется своя характеристическая функция, а любая функция типа определяет некоторое подмножество множества , то существует взаимнооднозначное соответствие между множеством всех подмножеств множества вида
и множеством всех отображений множества в двухэлементное множество , которое обозначается как и нередко называется булеаном множеств.
Важный случай характеристических функций возникает тогда, когда — конечное множество . Такие функции называются булевскими функциями.
См. также
Литература
- Функция. Математический энциклопедический словарь. — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
- Клейн Ф. Общее понятие функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933
- ISBN 5-02-014844-X
- А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Глава 1.. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. — 3-е изд.. — М.: Наука, 1972. — С. 14 — 18. — 256 с.
- А. Н. Колмогоров «Что такое функция» // «Квант». — М.: «Наука», 1970. — В. 1. — С. 27-36. — ISSN 0130-2221.
dvc.academic.ru
