Доказательства непериодичности функций. Определение периодичности функции


Периодические функции | Математика, которая мне нравится

Определение. Число T называется периодом функции f, если \forall x\in D_fx+T\in D_f и f(x+T)=f(x).

Если \forall x\in D_f

числа x+T и x-T принадлежат D_f и f(x+T)=f(x), то f(x-T)=f(x-T+T)=f(x).

Определение. Функция называется периодической, если у нее есть период, не равный нулю.

Примеры.

1) f(n)=(-1)^n, n\in\mathbb{Z}, f(x)=\{x\}.

Любое целое число является периодом этой функции.

2) f(x)=\sin x,

f(x)=\cos x,

f(x)={\rm tg}\, x,

f(x)={\rm ctg}\, x.

Число 2\pi является периодом любой из этих функций.

Теорема. Если T_1,T_2 — периоды функции f, то T_1+T_2,T_1-T_2 — тоже периоды f.

Доказательство. Пусть x\in D_f. Тогда

    \[\left.\begin{array}{l} x+T_1\in D_f,\\ x-T_1\in D_f, \end{array}\right|\Rightarrow \begin{array}{l} (x+T_1)+T_2\in D_f,\\ (x-T_1)-T_2\in D_f. \end{array}\]

    \[\begin{array}{c} x+(T_1+T_2)\in D_f,\\ x-(T_1+T_2)\in D_f,\\ f(x+(T_1+T_2))=f((x+T_1)+T_2)=f(x+T_1)=f(x). \end{array}\]

Аналогично доказывается, что T_1-T_2 — период.

Следствие. Если T — период f, n\in\mathbb{Z}, то nT — период f.

Определение. Наименьший из всех положительных периодов функции f называется главным периодом этой функции.

Постоянная функция периодична, но не имеет главного периода.

Функция Дирихле

    \[f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1,& x\in\mathbb{Q},\\ 0,& x\not\in\mathbb{Q}. \end{array}\right.\]

Любое рациональное число является периодом функции Дирихле.

Теорема. Если T — главный период функции f, то любой ее период имеет вид nT, где n\in\mathbb{Z}.

Доказательство. Пусть T_1 — произвольный период функции f и пусть n=\left[{T_1\over T}\right]. Тогда

    \[\begin{array}{c} n\le{T_1\over T}<n+1,\\[1mm] nT\le T_1<(n+1)T,\\ 0\le T_1-nT<T. \end{array}\]

T_1-nT является периодом функции f. Если бы было T_1-nT>0, то T_1-nT было бы положительным периодом, меньшим T. Это противоречит тому, что T — главный период. Значит, T_1-nT=0\Leftrightarrow T_1=nT.

Теорема. 2\pi — главный период функций синус и косинус.

Доказательство. 1.

    \[\forall x\in\mathbb{R} \begin{array}{l} \sin(x+2\pi)=\sin x,\\ \cos(x+2\pi)=\cos x. \end{array}\]

Значит, 2\pi — период функций синус и косинус.

2. Так как решениями уравнения \sin x=1 являются числа \pi/2+2\pi k, k\in\mathbb{Z} и только эти числа и так как разность между любыми двумя из этих чисел по модулю не меньше 2\pi, то синус не может иметь положительного периода, меньшего 2\pi.

Аналогично доказательство проводится для косинуса.

Теорема. Главный период функций тангенс и котангенс — \pi.

Доказательство. Аналогично доказательству предыдущей теоремы.

hijos.ru

Периодическая функция - это... Что такое Периодическая функция?

Графики синуса и косинуса — периодических функций с периодом .

Периоди́ческая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через какой-то регулярный интервал, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (пери́ода функции).

Говоря более формально, функция периодична, если существует такое число T≠0 (период), что на всей области определения функции выполняется равенство .

Все тригонометрические функции являются периодическими.

Формальное определение

Пусть есть абелева группа (обычно предполагается  — вещественные числа с операцией сложения или  — комплексные числа). Функция (где  — произвольное множество её значений) называется периодической с периодом , если справедливо

.

Если это равенство не выполнено ни для какого , то функция называется апериоди́ческой.

Если для функции существуют два периода , отношение которых не равно вещественному числу, то есть , то называется двоякопериоди́ческой фу́нкцией. В этом случае значения на всей плоскости определяются значениями в параллелограмме, натянутом на .

Замечание

Период функции определён неоднозначно. В частности, если  — период, то и любой элемент вида (или , если в области определения функции определена операция умножения), где  — произвольное натуральное число, также является периодом.

Множество всех периодов функции образует аддитивную группу.

Однако если у множества периодов имеется наименьшее значение, то оно называется основным (или главным) периодом функции.

Примеры

Некоторые особенности периодических функций

См. также

Ссылки

dic.academic.ru

Функция, область определения, множество значений, четность, периодичность, график, монотонность: возрастание, убывание, нули. Тесты

Тестирование онлайн

Понятие функции

Зависимость одной переменной от другой называется функциональной зависимостью. Зависимость переменной y от переменной x называется функцией, если каждому значению x соответствует единственное значение y.

Обозначение:

Переменную x называют независимой переменной или аргументом, а переменную y - зависимой. Говорят, что y является функцией от x. Значение y, соответствующее заданному значению x, называют значением функции.

Все значения, которые принимает x, образуют область определения функции; все значения, которые принимает y, образуют множество значений функции.

Обозначения:

D(f) - значения аргумента. E(f) - значения функции. Если функция задана формулой, то считают, что область определения состоит из всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл.

Графиком функции называется множество всех точек на координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции. Если некоторому значению x=x0 соответствуют несколько значений (а не одно) y, то такое соответствие не является функцией. Для того чтобы множество точек координатной плоскости являлось графиком некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы любая прямая параллельная оси Оу, пересекалась с графиком не более чем в одной точке.

Способы задания функции

1) Функция может быть задана аналитически в виде формулы. Например,

2) Функция может быть задана таблицей из множества пар (x; y).

3) Функция может быть задана графически. Пары значений (x; y) изображаются на координатной плоскости.

Монотонность функции

Функция f(x) называется возрастающей на данном числовом промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Представьте, что некоторая точка движется по графику слева направо. Тогда точка будет как бы "взбираться" вверх по графику.

Функция f(x) называется убывающей на данном числовом промежутке, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Представьте, что некоторая точка движется по графику слева направо. Тогда точка будет как бы "скатываться" вниз по графику.

Функция, только возрастающая или только убывающая на данном числовом промежутке, называется монотонной на этом промежутке.

Нули функции и промежутки знакопостоянства

Значения х, при которых y=0, называется нулями функции. Это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох.

Такие промежутки значений x, на которых значения функции y либо только положительные, либо только отрицательные, называются промежутками знакопостоянства функции.

Четные и нечетные функции

Четная функция обладает следующими свойствами:1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0), то есть если точка a принадлежит области определения, то точка -a также принадлежит области определения. 2) Для любого значения x, принадлежащего области определения , выполняется равенство f(-x)=f(x)3) График четной функции симметричен относительно оси Оу.

Нечетная функция обладает следующими свойствами:1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0). 2) для любого значения x, принадлежащего области определения , выполняется равенство f(-x)=-f(x)3) График нечетной функции симметричен относительно начала координат (0; 0).

Не всякая функция является четной или нечетной. Функции общего вида не являются ни четными, ни нечетными.

Периодические функции

Функция f называется периодической, если существует такое число , что при любом x из области определения выполняется равенство f(x)=f(x-T)=f(x+T). T - это период функции.

Всякая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов. На практике обычно рассматривают наименьший положительный период.

Значения периодической функции через промежуток, равный периоду, повторяются. Это используют при построении графиков.

fizmat.by

Доказательства непериодичности функций

В обычных школьных задачах доказать периодичность той или иной функции обычно нетрудно: так, чтобы убедиться, что функция $y=sin\frac34 x+sin\frac27 x$ является периодической, достаточно просто отметить, что произведение $T=4\times7\times 2\pi$ является ее периодом: если мы прибавим к х число Т, то это произведение «съест» оба знаменателя и под знаком синуса окажутся лишними только целые кратные числа $2\pi$, которые «съест» сам синус.

Но доказательство непериодичности той или иной функции непосредственно по определению периодической функции может оказаться совсем не простым. Так, для доказательства непериодичности рассмотренной выше функции $y=\sin x^2$ можно выписать равенство $sin(x+T)^2=\sin x^2$, но не решать по привычке это тригонометрическое уравнение, а догадаться подставить в него х=0, после чего дальнейшее получится почти автоматически: $\sin T^2=0$, $T^2=k\pi$, где k — некоторое целое число, большее 0, т.е. $T=\sqrt {k\pi}$, а если теперь догадаться подставить в него $x=\sqrt {\pi}$, то получится, что $\sin(\sqrt{\pi}+\sqrt{k\pi})=0$, откуда $\sqrt{\pi}+\sqrt{k\pi}=n\pi$, $1+\sqrt{k}=n\sqrt{\pi}$, $1+k+2\sqrt{k}=n^2\pi$, $2\sqrt{k}=n^2\pi-1-k=n^2\pi=m$, $4k=n^4{\pi}^2+2mn^2x+m^2$, и таким образом, число р является корнем уравнения $n^4x^2+2mn^2\pi+m^2-4k=0$, т.е. является алгебраическим, что неверно: $\pi$ является, как мы знаем, трансцендентным, т.е. не является корнем никакого алгебраич­ской уравнения с целыми коэффициентами. Впрочем, в будущем мы получим гораздо более простое доказательство этого утверждения — но уже с помощью средств математического анализа.

При доказательстве непериодичности функций часто помогает элементарный логический трюк: если все периодические функции обладают некоторым свойством, а данная функция им не обладает, то она, естественно, не является периодической. Так, периодическая функция всякое свое значение принимает бесконечно много раз, и поэтому, например, функция $y=\frac{3x^2-5x+7}{4x^3-x+2}$ не является периодической, так как значение 7 она принимает только в двух точках. Часто для доказательства непериодичности удобно использовать особенности ее области определения, а для нахождения нужного свойства периодических функций иногда приходится проявлять определенную фантазию.

Заметим еще, что очень часто на вопрос, что же такое непериодическая функция, приходится слышать ответ в стиле, о котором мы говорили в связи с четными и нечетными функциями, — это когда $f(x+T)\neq f(x)$, что, конечно же, недопустимо.

А правильный ответ зависит от конкретного определения периодической функции, и, исходя из данного выше определения, можно, конечно, сказать, что функция является непериодической, если она не имеет ни одного периода, но это будет «плохое» определение, которое не дает направления доказательства непериодичности. А если его расшифровать далее, описав, что значит предложение «функция f не имеет ни одного периода», или, что то же самое, «никакое число $T \neq 0$ не является периодом функции f», то получим, что функция f не является периодической в том и только в том случае, когда для всякого $T \neq 0$ существует число $x\in D(f)$ такое, что либо хотя бы одно из чисел $x+T$ и $x-T$ не принадлежит D(f), либо $f(x+T)\neq f(x)$.

Можно сказать и иначе: «Существует число $x\in D(f)$ такое, что равенство $f(x+T) = f(x)$ не выполняется» — это равенство может не выполняться по двум причинам: или оно не имеет смысла, т.е. одна из его частей не оп­ределена, или — в противном случае, быть неверным. Для интереса добавим, что языковой эффект, о котором мы говорили выше, здесь проявляется тоже: для равенства «не быть верным» и «быть неверным» — не одно и то же — равенство еще может не иметь смысла.

Детальное выяснение причин и последствий этого языкового эффекта в действительности является предметом не математики, а теории языка, лингвистики, точнее, ее особого раздела: семантики — науки о смысле, где, впрочем, эти вопросы являются весьма сложными и не имеют однозначного решения. А математика, в том числе и школьная, вынуждена мириться с этими трудностями и преодолевать языковые «неурядицы» — пока и поскольку она использует, наряду с символическим, и естественный язык.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка...

matemonline.com

Реферат Периодическая функция

скачать

Реферат на тему:

План:

Введение

Графики синуса и косинуса — периодических функций с периодом T = 2π.

Периоди́ческая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через какой-то ненулевой период, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (периода).

Все тригонометрические функции являются периодическими.

1. Определение

Пусть M есть абелева группа (обычно предполагается  — вещественные числа с операцией сложения или  — комплексные числа). Функция называется периодической с пери́одом , если справедливо

.

Если это равенство не выполнено ни для какого , то функция f называется апериоди́ческой.

Если для функции существуют два периода , отношение которых не равно вещественному числу, то есть , то f называется двоякопериоди́ческой фу́нкцией. В этом случае значения f на всей плоскости определяются значениями в параллелограмме, натянутом на T1,T2.

2. Замечание

Период функции определён неоднозначно. В частности, если T — период, то и любой элемент T' вида , где  — произвольное натуральное число, также является периодом.

Однако если у множества периодов имеется наименьшее значение, то оно называется основным (или главным) периодом функции.

3. Действия с периодическими функциями

Являются неверными (существуют контрпримеры) утверждения относительно суммы периодических функций:

4. Примеры

wreferat.baza-referat.ru

ЧТО ТАКОЕ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ И ПЕРИОД ФУНКЦИИ - периодичность функций

Если отношение периодов двух функций и является рациональным числом, то сумма и произведение этих функций также будут периодическими функциями. Аналогично можно доказать, что периодом функции cos φ также является угол в 360° Предлагаем учащимся убедиться в этом самостоятельно.

Сумма двух функций с несоизмеримыми периодами не всегда является непериодической функцией. Число называется периодом функции . Иными словами, периодической функцией является такая функция, значения которой повторяются через некоторый промежуток. Если для функции существуют два периода , отношение которых не равно вещественному числу, то есть , то называется двоякопериоди́ческой фу́нкцией. Не следует думать, что периодическими бывают только тригонометрические функции.

Это требование однозначности функции является обязательным. Монотонная функция. Функция, которая только возрастает или толькоубывает, называется монотонной. Если функция непрерывна во всехточках своей области определения, тоона называется непрерывной функцией. Если для любогоx из области определенияфункции имеет место:f ( -x ) = f ( x ), то функция называется чётной;если же имеет место: f (-x) = -f (x), то функция называется нечётной.

Асимптота. Если график функции неограниченно приближается к некоторой прямой при своём удалении от начала координат, то эта прямая называется асимптотой. В §1 по заданному числу мы определяли точку на тригонометрической окружности, и далее тригонометрические функции рассматриваемого числа определялись только этой точкой. Таким образом, если два числа дают одну и ту же точку на окружности, то значения их одноименных тригонометрических функций совпадают.

Определение 3.1. Число называется периодом функции f, если для всех x из области ее определения справедливо равенство. Итак, периодическая функция, не являющаяся постоянной, обладает следующим свойством: существует такое число , что периоды функции f имеют вид , где . Такое число Т называется наименьшим периодом.

Периодичности функции можно придать и геометрический смысл. Функция f имеет период Т, если ее график переходит в себя при сдвиге на вектор, имеющий длину Т и параллельной оси абсцисс.

График периодической функции обычно строят на промежутке x0;x0+T, а затем повторяют на всю область определения. 2. Функция называется периодической, если она имеет хотя бы один период. Периодические функции естественно возникают при описании колебательных процессов.

Пусть мы слышим музыкальный звук. Тогда давление воздуха в данной точке — периодическая функция от времени. Наименьший положительный период функции, описывающей колебания (как в наших примерах 1-3), называется просто периодом этих колебаний.

Легко проверить (мы предложим это сделать в задачах), что — действительно наименьший положительный период тангенса и котангенса. Часто слова «период функции» употребляют в значении «наименьший положительный период». Замечание 6. График периодической функциине изменяется при сдвиге вдоль оси абсцисс Ox на период вправо или влево (см., например, раздел «Графики тригонометрических функций» нашего справочника).

Тогда, чтобы получить весь график, достаточно будет сдвинуть построенную часть вправо и влево на целое число периодов. Проголосуйте за ту тему, которая по Вашему мнению недостаточно освещена в этом блоге. Мнение большинства будет учтено при подготовке последующих публикаций.

Теорема о выборке определяет условия, при которых возможно по выборке восстановить непрерывную функцию . В общем случае восстановить по выборке непрерывную функцию невозможно. Однако если исходная функция имеет финитный спектр Фурье (конечный по протяженности), то при соблюдении определенных условий для шага выборки функцию можно восстановить однозначно.

Между тем, при работе с дискретными функциями и их фурье-образами удобнее получать выборку с обычным расположением элементов. Периодическая функция, функция, значение которой не изменяется при добавлении к аргументу определённого, неравного нулю числа, называемого периодом функции.

Чётная и нечётная функции. Если это равенство не выполнено ни для какого , то функция называется апериоди́ческой. В частности, если — период, то и любой элемент вида (или , если в области определения функции определена операция умножения), где — произвольное натуральное число, также является периодом.

Читайте также:

koldernc.ru

Периодичность тригонометрических функций: четные и нечетные

 

Зависимость переменной y от переменно x, при которой каждому значению х соответствует единственное значение y называется функцией. Для обозначения используют запись y=f(x). У каждой функции существует ряд основных свойств, таких как монотонность, четность, периодичность и другие.

Свойства четности и периодичности

Рассмотрим подробнее свойства четности и периодичности, на примере основных тригонометрических функций: y=sin(x),y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x).

Функция y=f(x) называется четной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О. То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области определения заданной функции.

2. Значение функции в точке х, принадлежащей области определения функции должно равняться значению функции в точке -х. То есть для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = f(-x).

Если построить график четной функции, он будет симметричен относительно оси Оу.

Например, тригонометрическая функция y=cos(x) является четной.

Свойства нечетности и периодичности

Функция y=f(x) называется нечетной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О. То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области определения заданной функции.

2. Для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = -f(x).

График нечетной функции симметричен относительно точки О – начала координат.

Например, тригонометрические функции y=sin(x), y=tg(x), y=ctg(x) являются нечетными.

Периодичность тригонометрических функций

Функция у=f (х)называется периодической, если существует некоторое число Т !=0 (называемое периодом функции у=f (х) ), такое что при любом значении х, принадлежащем области определения функции, числа х+Т и х-Т также принадлежат области определения функции и выполняется равенство f(x)=f(x+T)=f(x-T).

Следует понимать, что если Т - период функции, то число k*T, где k любое целое число отличное от нуля, также будет являться периодом функции. Исходя из вышесказанного, получаем, что любая периодическая функции имеет бесконечно много периодов. Чаще всего разговор ведется о наименьшем периоде функции.

Тригонометрические функции sin(x) и cos(x) являются периодическими, с наименьшим периодом равным 2*π.

Тригонометрические функции tg(x) и ctg(x) являются периодическими, с наименьшим периодом равным π.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Тригонометрические функции: свойства и их графики Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspСвойства тригонометрических функций: гармонические колебания

Все неприличные комментарии будут удаляться.

www.nado5.ru