Как найти площадь и периметр прямоугольного треугольника. Площадь треугольника периметр


ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК формулы площади, периметра, радиуса

Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один из углов прямой (90°).

Другие виды треугольников:

Любой прямоугольный треугольник характеризуется катетами a и b и гипотенузой c (см. рисунок).

Катет – это сторона прямоугольного треугольника, образующая прямой угол с другой стороной (также катетом).

Гипотенуза – это сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла.

Именно эти характеристики используются в формулах прямоугольного треугольника при вычислении площади, периметра, а также радиусов вписанной и описанной окружностей.

Формула радиуса вписанной окружности для прямоугольного треугольника

Радиус вписанной окружности r можно вычислить, зная стороны прямоугольного треугольника:

Формула радиуса описанной окружности для прямоугольного треугольника

Радиус описанной окружности R можно вычислить, зная гипотенузу прямоугольного треугольника:

Формула периметра прямоугольного треугольника

Периметр P прямоугольного треугольника можно получить, зная его стороны:

При вычислении площади прямоугольного треугольника часто требуется знать его полупериметр:

Формулы площади прямоугольного треугольника

При вычислении площади прямоугольного треугольника можно пользоваться формулами, которые применяются для вычисления площади произвольного треугольника, так как прямоугольный треугольник является частным случаем для треугольников.

Площадь прямоугольного треугольника S можно вычислить, зная его катеты a и b:

Еще одна формула позволяет вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам a и b и полупериметру p (формула Герона):

S = (p – a) ⋅ (p – b)

worksbase.ru

Как вычислить площадь и периметр треугольника

Треугольник составляют три стороны, суммарная длина которых называется периметром. Замкнутую ломаную линию, образованную сторонами этой фигуры, тоже называют периметром. Она ограничивает участок поверхности определенной площади. Длины сторон, периметр, площадь, а также углы в вершинах - все это связано между собой определенными соотношениями. Использование этих соотношений позволит вычислить недостающие параметры фигуры, например, ее периметр и площадь.

Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как вычислить площадь и периметр треугольника" Как найти площадь треугольника Как найти площади треугольника и прямоугольника Как найти площадь поверхности пирамиды

Инструкция

1

Если длины каждой из сторон приведены в условиях задачи или у вас есть возможность самостоятельно измерить их, вычислить длину периметра будет очень просто - сложите размеры трех сторон.

2

При наличии в исходных условиях информации лишь о двух сторонах (А и В), а также о величине угла между ними (?), начните вычисление периметра (Р) с нахождения длины недостающей стороны. Сделайте это с применением теоремы косинусов. Сначала возведите в квадрат длины известных сторон и сложите результаты. Затем отнимите от полученной величины произведение длин этих же сторон друг на друга и косинус известного угла. В общем виде формулу расчета неизвестной стороны можно записать так: v(A?+B?-A*B*cos(?)). К полученной этим способом длине третьей стороны прибавьте известные из условий длины двух других и рассчитайте периметр: Р = v(A?+B?-A*B*cos(?)) + А + В.

3

Узнав в процессе вычисления периметра или из условий задачи длины всех сторон фигуры (А, В и С), можно приступать к вычислению ее площади (S). Эти параметры - площадь и длины сторон - связывает между собой формула Герона. Поскольку на предыдущем шаге вы уже получили формулу расчета периметра, найдите его численное значение и используйте полученную величину для упрощения формулы. Поделите периметр пополам и присвойте это значение дополнительной переменной, обозначив ее буквой p. Затем найдите разности между полупериметром и длиной каждой из сторон - всего должно получиться три значения. Эти величины перемножьте между собой и умножьте на полупериметр, а затем извлеките из рассчитанного значения квадратный корень: S=v(p?(p-A)?(p-B)?(p-C)).

4

Можно использовать более простую формулу вычисления площади (S), если к полученным на предыдущих шагах длинам сторон (А, В, С) добавить радиус (R) описанной около треугольника окружности. Составьте эту формулу из произведения длин всех трех сторон, добавив к нему операцию деления на учетверенный радиус. Получиться у вас должно такое тождество: S=A?B?C/(4?R). Как просто

masterotvetov.com

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности

Как найти площадь треугольника через радиус вписанной окружности?

Площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной в этот треугольник окружности на на его полупериметр.

Формула для нахождения площади треугольника через радиус вписанной окружности:

   

   

 

 

Дано:

∆ ABC,

окружность (O; r) — вписанная,

AB=c, BC=a, AC=b,

   

Доказать:

   

Доказательство:

 

 

Рассмотрим треугольник AOC.

   

(как радиус, проведенный в точку касания).

Следовательно, OF — высота треугольника AOC.

По формуле

   

   

 

 

Аналогично найдем

площади

треугольников

AOB и BOC:

 

   

   

Так как площадь треугольника ABC равна сумме площадей этих треугольников, то

   

   

Что и требовалось доказать.

Если требуется найти площадь треугольника через его периметр, формулу записывают так:

   

где P — периметр треугольника, r — радиус вписанной в этот треугольник окружности.

www.treugolniki.ru

Треугольник равносторонний: свойства, признаки, площадь, периметр

В школьном курсе геометрии огромное количество времени уделяется изучению треугольников. Ученики вычисляют углы, строят биссектрисы и высоты, выясняют, чем фигуры отличаются друг от друга, и как проще всего найти их площадь и периметр. Кажется, что это никак не пригодится в жизни, но иногда все-таки полезно узнать, например, как определить, что треугольник равносторонний или тупоугольный. Как же это сделать?

Типы треугольников

Три точки, которые не лежат на одной прямой, и отрезки, которые их соединяют. Кажется, что эта фигура - самая простая. Какими могут быть треугольники, если у них всего три стороны? На самом деле вариантов довольно большое количество, и некоторым из них уделяется особое внимание в рамках школьного курса геометрии. Правильный треугольник - равносторонний, то есть все его углы и стороны равны. Он обладает рядом примечательных свойств, о которых речь пойдет дальше.

У равнобедренного равны только две стороны, и он также довольно интересен. У прямоугольного и тупоугольного треугольников, как несложно догадаться, соответственно, один из углов прямой или тупой. При этом они также могут равнобедренными.

Существует и особый вид треугольника, называемый египетским. Его стороны равны 3, 4 и 5 единицам. При этом он является прямоугольным. Считается, что такой треугольник активно использовался египетскими землемерами и архитекторами для построения прямых углов. Есть мнение, что с его помощью были возведены знаменитые пирамиды.

И все-таки все вершины треугольника могут лежать на одной прямой. В этом случае он будет называться вырожденным, в то время как все остальные - невырожденными. Именно они и являются одним из предметов изучения геометрии.

Треугольник равносторонний

Разумеется, правильные фигуры вызывают всегда наибольший интерес. Они кажутся более совершенными, более изящными. Формулы вычисления их характеристик зачастую проще и короче, чем для обычных фигур. Это относится и к треугольникам. Неудивительно, что при изучении геометрии им уделяется достаточно много внимания: школьников учат отличать правильные фигуры от остальных, а также рассказывают о некоторых их интересных характеристиках.

Признаки и свойства

Как нетрудно догадаться из названия, каждая сторона равностороннего треугольника равна двум другим. Кроме того, он обладает рядом признаков, благодаря которым можно определить, правильная ли фигура или нет.

Если наблюдается хотя бы один из вышеперечисленных признаков, то треугольник - равносторонний. Для правильной фигуры справедливы все упомянутые утверждения.

Все треугольники обладают рядом примечательных свойств. Во-первых, средняя линия, то есть отрезок, делящий две стороны пополам и параллельный третьей, равна половине основания. Во-вторых, сумма всех углов этой фигуры всегда равна 180 градусам. Кроме того, в треугольниках наблюдается еще одна любопытная взаимосвязь. Так, против большей стороны лежит больший угол и наоборот. Но это, конечно, к равностороннему треугольнику отношения не имеет, ведь у него все углы равны.

Вписанные и описанные окружности

Нередко в курсе геометрии учащиеся также изучают то, как фигуры могут взаимодействовать друг с другом. В частности, изучаются окружности, вписанные в многоугольники или описанные около них. О чем идет речь?

Вписанной называют такую окружность, для которой все стороны многоугольника являются касательными. Описанной - ту, которая имеет точки соприкосновения со всеми углами. Для каждого треугольника всегда можно построить как первую, так и вторую окружность, но только одну каждого вида. Доказательства двух этих теорем приводятся в школьном курсе геометрии.

Помимо вычисления параметров самих треугольников, некоторые задачи также подразумевают расчет радиусов этих окружностей. И формулы применительно к равностороннему треугольнику выглядят следующим образом:

r = a/√ ̅3;

R = a/2√ ̅3;

где r - радиус вписанной окружности, R - радиус описанной окружности, a - длина стороны треугольника.

Вычисление высоты, периметра и площади

Основные параметры, вычислением которых занимаются школьники во время изучения геометрии, остаются неизменными практически для любых фигур. Это периметр, площадь и высота. Для простоты расчетов существуют различные формулы.

Так, периметр, то есть длина всех сторон, вычисляется следующими способами:

P = 3a = 3√ ̅3R = 6√ ̅3r, где a - сторона правильного треугольника, R - радиус описанной окружности, r - вписанной.

Высота:

h = (√ ̅3/2)*a, где a - длина стороны.

Наконец, формула площади равностороннего треугольника выводится из стандартной, то есть произведения половины основания на его высоту.

S = (√ ̅3/4)*a2, где a - длина стороны.

Также эта величина может быть вычислена через параметры описанной или вписанной окружности. Для этого также существуют специальные формулы:

S = 3√ ̅3r2 = (3√ ̅3/4)*R2, где r и R - соответственно радиусы вписанной и описанной окружностей.

Построение

Еще один интересный тип задач, касающийся в том числе и треугольников, связан с необходимостью начертить ту или иную фигуру, используя минимальный набор инструментов: циркуль и линейку без делений.

Для того чтобы построить правильный треугольник с помощью только этих приспособлений, необходимо выполнить несколько шагов.

  1. Нужно начертить окружность с любым радиусом и с центром в произвольно взятой точке А. Ее необходимо отметить.
  2. Далее нужно провести прямую через эту точку.
  3. Пересечения окружности и прямой необходимо обозначить как В и С. Все построения должны проводиться с максимально возможной точностью.
  4. Далее надо построить еще одну окружность с тем же радиусом и центром в точке С или дугу с соответствующими параметрами. Места пересечения будут обозначены как D и F.
  5. Точки B, F, D необходимо соединить отрезками. Равносторонний треугольник построен.

Решение подобных задач обычно представляет для школьников проблему, но это умение может пригодиться и в обычной жизни.

fb.ru

Как найти площадь и периметр прямоугольного треугольника

Формулу площади квадрата, зная определение степени, можно записать следующим образом: S = a2. Нельзя вычислять периметр или площадь, если длина и ширина выражены в разных единицах длины. Обязательно. Чтобы найти площадь всей фигуры, сложим площади найденных прямоугольников.

Как найти площадь и периметр треугольника, прямоугольника и квадрата.

Ответы и объяснения

S треугольника = 1:2*(a*h)

Периметр прямоугольника— это сумма длины и ширины, умноженная на 2.

Периметр прямоугольника ABCD равен удвоенной сумме сторон, прилежащих к одному углу.

Где P — периметр прямоугольника,

A, b — длины сторон прямоугольника.

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

S = 1/2 · b · sin γ

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон

Как найти площадь и периметр прямоугольного треугольника

Формула треугольника: площадь и периметр

Треугольник – геометрическая фигура, которая состоит из 3 точек, не лежащих на одной прямой, и попарно соединенных 3 отрезками.

Площадь треугольника – это положительная величина, которая характеризует геометрическую фигуру (треугольник) и числовое значение которой выражается квадратными единицами.

Формула площади треугольника

R — радиус вписанной в треугольник окружности.

Формула площади равнобедренного треугольника

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.

A, b — стороны равнобедренного треугольника.

Формула площади равностороннего треугольника

Равносторонним называется треугольник, у которого все стороны равны. Медиана, высота, биссектриса равностороннего треугольника, проведенные с одной вершины — совпадают.

A — сторона равностороннего треугольника.

Формула площади прямоугольного треугольника

Формула периметра треугольника

Как найти площадь и периметр прямоугольного треугольника

Как найти площадь и периметр треугольника, прямоугольника и квадрата.

Ответы и объяснения

S треугольника = 1:2*(a*h)

Периметр прямоугольника— это сумма длины и ширины, умноженная на 2.

Периметр прямоугольника ABCD равен удвоенной сумме сторон, прилежащих к одному углу.

Где P — периметр прямоугольника,

A, b — длины сторон прямоугольника.

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

S = 1/2 · b · sin γ

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон

poiskvstavropole.ru

Как найти площадь если известен периметр треугольника

Тригонометрические уравнения квадрат синуса, косинуса, тангенса, котангенса, половинный, двойной, тройной угол, сумма синусов, произведение синусов, разница синусов.

Как найти площадь треугольника через периметр?

В таком виде вопроса, ответа на задание не существует. Представьте треугольник который нарисован на листе бумаги или, треугольник образованный тремя городами на карте. Площадь таких фигур будет отличатся в десятки тысяч раз. Необходимо знать размеры сторон фигуры. В этом случае площадь высчитывается по математической формуле Герона.

Нельзя найти площадь треугольника только через периметр.

Формула Герона требует знания ещё и каждой из 3-хсторон.

Саму формулу см. в ответе Rafail [20.9K] на Ваш вопрос.

Чтобы найти площадь треугольника, если известен только периметр, то такую площадь найти будет очень сложно, если невозможно. Если треугольник равносторонний, то стороны треугольника по известному периметру можно будет найти, если периметр разделить на 3, а если треугольник — не равносторонний, то тогда тупик, так как в нахождении площади треугольника применяется формула Герона, в которой нужно знать длины всех трех сторон.

Это вполне возможно. Только для этого нужно знать три стороны треугольника. Если известны все три стороны (a, b,c), то тогда используем формулу Герона. Сначала только найдем периметр (p). Извлекаем корень квадратный из числа, которое мы получим следующим выражением: p (p-a)(p-b)(p-c). Вот и все

Как найти площадь если известен периметр треугольника

Как найти площадь треугольника через периметр?

В таком виде вопроса, ответа на задание не существует. Представьте треугольник который нарисован на листе бумаги или, треугольник образованный тремя городами на карте. Площадь таких фигур будет отличатся в десятки тысяч раз. Необходимо знать размеры сторон фигуры. В этом случае площадь высчитывается по математической формуле Герона.

Нельзя найти площадь треугольника только через периметр.

Формула Герона требует знания ещё и каждой из 3-хсторон.

Саму формулу см. в ответе Rafail [20.9K] на Ваш вопрос.

Чтобы найти площадь треугольника, если известен только периметр, то такую площадь найти будет очень сложно, если невозможно. Если треугольник равносторонний, то стороны треугольника по известному периметру можно будет найти, если периметр разделить на 3, а если треугольник — не равносторонний, то тогда тупик, так как в нахождении площади треугольника применяется формула Герона, в которой нужно знать длины всех трех сторон.

Это вполне возможно. Только для этого нужно знать три стороны треугольника. Если известны все три стороны (a, b,c), то тогда используем формулу Герона. Сначала только найдем периметр (p). Извлекаем корень квадратный из числа, которое мы получим следующим выражением: p (p-a)(p-b)(p-c). Вот и все

Как найти площадь если известен периметр треугольника

Периметр треугольника

Площадь треугольника можно найти по разным формулам. Запишите формулу нахождения площади равностороннего треугольника. Если вам известна (найти не сложно) длина одной стороны равностороннего треугольника, используйте этот способ.

В любом треугольнике сумма углов равна 180° или π радиан. Основание треугольника – длина одной его стороны, всегда имеется в виду нижняя. Высота – расстояние от основания до угла треугольника, перпендикулярное основанию.

В свою очередь, в неправильном треугольнике (таком, как изображен ниже) высота проходит через середину фигуры. Вставьте значения высоты и основания. Используемая в этом способе формула зависит от полупериметра треугольника. Полупериметр треугольника – сумма длин всех его сторон (периметр).

Равносторонний треугольник – треугольник, все стороны которого равны, а все углы — 60 градусам. Подставьте в уравнение известные данные. Сперва возведите в квадрат длину стороны, 6, в итоге получится 36. Затем найдите десятичное значение √3, если, конечно, ответ должен быть записан именно в десятичном формате.

Затем найдите, чему равняется угол, расположенный между ними – именно между ними и только между ними. Без этих значений мы, руководствуясь данным способом, не сможем найти площадь треугольника. Для этого первым делом стоит перемножить значения сторон и поделить результат пополам. Если вы не совсем понимаете, почему формула основания и высоты так работает, то вот краткое объяснение.

Периметр треугольника

Для нахождения площади прямоугольника и параллелограмма мы просто умножаем длину на ширину. Так как треугольник – половина прямоугольника или параллелограмма, то нужно использовать половину произведения основания на высоту. Довольно часто это значение помогает найти площадь или используется для расчета других параметров фигуры.

Площадь равнобедренного треугольника

Пример расчета периметра равностороннего треугольника. В общем, когда все стороны даны, найти периметр довольно просто. В остальных же ситуациях требуется найти размер недостающей стороны. В прямоугольном треугольнике можно найти третью сторону по теореме Пифагора. Рассмотрим пример расчета периметра равнобедренного треугольника при условии, что мы знаем длину катетов в прямоугольном равнобедренном треугольнике.

Метод 2 из 4: Нахождение площади с использованием всех сторон (формула Герона)

Зная одну сторону и противолежащий ей катет можно вычислить две недостающие. Формулы снабжены пояснениями и комментариями. На отдельном рисунке приведено соответствие условных обозначений формул и элементов равнобедренного треугольника.

Площадь треугольника через одну сторону и прилежащие к ней углы, формула

Таким образом, это поможет Вам сопоставить их с элементами равнобедренного треугольника. Из условия задачи определите, какие элементы известны, найдите на чертеже их обозначения и подберите подходящую формулу.

Просто найдите наиболее подходящую на рисунке слева. Для самых любопытных в тексте справа поясняется, почему формула явяляется правильной и как именно с ее помощью находится площадь. Если за основу взять формулу Герона, а затем принять во внимание, что две стороны треугольника равны меду собой, то выражение упрощается до формулы, представленной на картинке. Высота делит этот прямоугольник на два малых прямоугольника, при этом стороны треугольника являются их диагоналями, которые делят их ровно пополам.

Третья формула показывает нахождение площади через боковую сторону, основание и угол при вершине. Если присмотреться внимательнее, то станет очевидно, что половина основания (b/2) умноженная на tg(β/2) даст нам высоту треугольника. Поскольку высота в равнобедренном треугольнике является, одновременно, биссектрисой и медианой, то tg(β/2) — это отношение половины основания (b/2) к высоте — tg(β/2) = (b/2)/h.

Используемая в этом способе формула зависит от основания и высоты треугольника. И так узнали, какой длины ограда потребуется. В данном уроке размещены формулы и задачи на нахождение площади равнобедренного треугольника. Периметром треугольника, как в прочем и любой фигуры, называется сумма длин всех сторон. Дан треугольник с катетами a=b=5 см. Найти периметр.

Также интересно:

Навигация по записям

Свежие записи
Рубрики

Сайт работает наWordPress. Тема Vito разработанаQuema Labs.

poiskvstavropole.ru

КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА ЕСЛИ ИЗВЕСТЕН ПЕРИМЕТР — Формулы и расчеты онлайн

Площадь треугольника можно найти по разным формулам. Запишите формулу нахождения площади равностороннего треугольника. Если вам известна (найти не сложно) длина одной стороны равностороннего треугольника, используйте этот способ.

В любом треугольнике сумма углов равна 180° или π радиан. Основание треугольника – длина одной его стороны, всегда имеется в виду нижняя. Высота – расстояние от основания до угла треугольника, перпендикулярное основанию.

В свою очередь, в неправильном треугольнике (таком, как изображен ниже) высота проходит через середину фигуры. Вставьте значения высоты и основания. Используемая в этом способе формула зависит от полупериметра треугольника.Полупериметр треугольника – сумма длин всех его сторон (периметр).

Равносторонний треугольник – треугольник, все стороны которого равны, а все углы — 60 градусам. Подставьте в уравнение известные данные. Сперва возведите в квадрат длину стороны, 6, в итоге получится 36. Затем найдите десятичное значение √3, если, конечно, ответ должен быть записан именно в десятичном формате.

Затем найдите, чему равняется угол, расположенный между ними – именно между ними и только между ними. Без этих значений мы, руководствуясь данным способом, не сможем найти площадь треугольника. Для этого первым делом стоит перемножить значения сторон и поделить результат пополам. Если вы не совсем понимаете, почему формула основания и высоты так работает, то вот краткое объяснение.

Периметр треугольника

Для нахождения площади прямоугольника и параллелограмма мы просто умножаем длину на ширину. Так как треугольник – половина прямоугольника или параллелограмма, то нужно использовать половину произведения основания на высоту. Довольно часто это значение помогает найти площадь или используется для расчета других параметров фигуры.

Площадь равнобедренного треугольника

Пример расчета периметра равностороннего треугольника. В общем, когда все стороны даны, найти периметр довольно просто. В остальных же ситуациях требуется найти размер недостающей стороны. В прямоугольном треугольнике можно найти третью сторону по теореме Пифагора. Рассмотрим пример расчета периметра равнобедренного треугольника при условии, что мы знаем длину катетов в прямоугольном равнобедренном треугольнике.

Метод 2 из 4: Нахождение площади с использованием всех сторон (формула Герона)

Зная одну сторону и противолежащий ей катет можно вычислить две недостающие. Формулы снабжены пояснениями и комментариями. На отдельном рисунке приведено соответствие условных обозначений формул и элементов равнобедренного треугольника.

Площадь треугольника через одну сторону и прилежащие к ней углы, формула

Таким образом, это поможет Вам сопоставить их с элементами равнобедренного треугольника. Из условия задачи определите, какие элементы известны, найдите на чертеже их обозначения и подберите подходящую формулу.

Просто найдите наиболее подходящую на рисунке слева. Для самых любопытных в тексте справа поясняется, почему формула явяляется правильной и как именно с ее помощью находится площадь. Если за основу взять формулу Герона, а затем принять во внимание, что две стороны треугольника равны меду собой, то выражение упрощается до формулы, представленной на картинке. Высота делит этот прямоугольник на два малых прямоугольника, при этом стороны треугольника являются их диагоналями, которые делят их ровно пополам.

Третья формула показывает нахождение площади через боковую сторону, основание и угол при вершине. Если присмотреться внимательнее, то станет очевидно, что половина основания (b/2) умноженная на tg(β/2) даст нам высоту треугольника. Поскольку высота в равнобедренном треугольнике является, одновременно, биссектрисой и медианой, то tg(β/2) — это отношение половины основания (b/2) к высоте — tg(β/2) = (b/2)/h.

Используемая в этом способе формула зависит от основания и высоты треугольника. И так узнали, какой длины ограда потребуется. В данном уроке размещены формулы и задачи на нахождение площади равнобедренного треугольника. Периметром треугольника, как в прочем и любой фигуры, называется сумма длин всех сторон. Дан треугольник с катетами a=b=5 см. Найти периметр.

Также интересно:

Заболевание

proslogogu.ru