10 класс. Геометрия. Тетраэдр. Задачи на построение сечений в тетраэдре. Построение тетраэдра
10 класс. Геометрия. Тетраэдр. Задачи на построение сечений в тетраэдре. - Тетраэдр. Задачи на построение сечений в тетраэдре.
Комментарии преподавателя
Как построить тетраэдр? Возьмем произвольный треугольник АВС. Произвольную точку D, не лежащую в плоскости этого треугольника. Получим 4 треугольника. Поверхность, образованная этими 4 треугольниками, и называется тетраэдром (Рис. 1.). Внутренние точки, ограниченные этой поверхностью, также входят в состав тетраэдра.
Рис. 1. Тетраэдр АВСD
Элементы тетраэдраА, B, C, D – вершины тетраэдра.AB, AC, AD, BC, BD, CD - ребра тетраэдра.ABC, ABD, BDC, ADC - грани тетраэдра.
Замечание: можно принять плоскость АВС за основание тетраэдра, и тогда точка D является вершиной тетраэдра. Каждое ребро тетраэдра является пересечением двух плоскостей. Например, ребро АВ – это пересечение плоскостей АВD и АВС. Каждая вершина тетраэдра – это пересечение трех плоскостей. Вершина А лежит в плоскостях АВС, АВD, АDС. Точка А – это пересечение трех означенных плоскостей. Этот факт записывается следующим образом: А = АВС ∩ АВD ∩ АСD.
Тетраэдр определение
Итак, тетраэдр - это поверхность, образованная четырмя треугольниками.
Ребро тетраэдра - линия перечесения двух плоскостей тетраэдра.
Составьте из 6 спичек 4 равных треугольника. На плоскости решить задачу не получается. А в пространстве это сделать легко. Возьмем тетраэдр. 6 спичек – это его ребра, четыре грани тетраэдра и будут четырьмя равными треугольниками. Задача решена.
Дан тетраэдр АВСD. Точка M принадлежит ребру тетраэдра АВ, точка N принадлежит ребру тетраэдра ВD и точка Р принадлежит ребру DС (Рис. 2.). Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNP.
Рис. 2. Рисунок к задаче 2 - Построить сечение тетраэдра плоскостью
Решение: Рассмотрим грань тетраэдра DВС. В этой грани точки N и P принадлежат грани DВС, а значит, и тетраэдру. Но по условию точки N, P принадлежат секущей плоскости. Значит, NP – это линия пересечения двух плоскостей: плоскости грани DВС и секущей плоскости. Предположим, что прямые NP и ВС не параллельны. Они лежат в одной плоскости DВС. Найдем точку пересечения прямых NP и ВС. Обозначим ее Е (Рис. 3.).
Рис. 3. Рисунок к задаче 2. Нахождение точки Е
Точка Е принадлежит плоскости сечения MNP, так как она лежит на прямой NР, а прямая NР целиком лежит в плоскости сечения MNP.
Также точка Е лежит в плоскости АВС, потому что она лежит на прямой ВС из плоскости АВС.
Получаем, что ЕМ – линия пересечения плоскостей АВС и MNP, так как точки Е и М лежат одновременно в двух плоскостях - АВС и MNP. Соединим точки М и Е, и продолжим прямую ЕМ до пересечения с прямой АС. Точку пересечения прямых ЕМ и АС обозначим Q.
Итак, в этом случае NPQМ - искомое сечение.
Рис. 4. Рисунок к задаче 2.Решение задачи 2
Рассмотрим теперь случай, когда NP параллельна BC. Если прямая NP параллельна какой-нибудь прямой, например, прямой ВС из плоскости АВС, то прямая NP параллельна всей плоскости АВС.
Искомая плоскость сечения проходит через прямую NP, параллельную плоскости АВС, и пересекает плоскость по прямой МQ. Значит, линия пересечения МQ параллельна прямой NP. Получаем, NPQМ - искомое сечение.
Точка М лежит на боковой грани АDВ тетраэдра АВСD. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, которое проходит через точку М параллельно основанию АВС.
Рис. 5. Рисунок к задаче 3 Построить сечение тетраэдра плоскостью
Решение: Секущая плоскость φ параллельна плоскости АВС по условию, значит, эта плоскость φ параллельна прямым АВ, АС, ВС. В плоскости АВD через точку М проведем прямую PQ параллельно АВ (рис. 5). Прямая PQ лежит в плоскости АВD. Аналогично в плоскости АСD через точку Р проведем прямую РR параллельно АС. Получили точку R. Две пересекающиеся прямые PQ и РR плоскости РQR соответственно параллельны двум пересекающимся прямым АВ и АС плоскости АВС, значит, плоскости АВС и РQR параллельны. РQR – искомое сечение. Задача решена.
Дан тетраэдр АВСD. Точка М – точка внутренняя, точка грани тетраэдра АВD. N – внутренняя точка отрезка DС (Рис. 6.). Построить точку пересечения прямой NM и плоскости АВС.
Рис. 6. Рисунок к задаче 4
Решение: Для решения построим вспомогательную плоскость DМN. Пусть прямая DМ пересекает прямую АВ в точке К (Рис. 7.). Тогда, СКD – это сечение плоскости DМN и тетраэдра. В плоскости DМN лежит и прямая NM, и полученная прямая СК. Значит, если NM не параллельна СК, то они пересекутся в некоторой точке Р. Точка Р и будет искомая точка пересечения прямой NM и плоскости АВС.
Рис. 7. Рисунок к задаче 4. Решение задачи 4
Дан тетраэдр АВСD. М – внутренняя точка грани АВD. Р – внутренняя точка грани АВС. N – внутренняя точка ребра DС (Рис. 8.). Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N и Р.
Рис. 8. Рисунок к задаче 5 Построить сечение тетраэдра плоскостью
Решение: Рассмотрим первый случай, когда прямая MN не параллельна плоскости АВС. В прошлой задаче мы нашли точку пересечения прямой MN и плоскости АВС. Это точка К, она получена с помощью вспомогательной плоскости DМN, т.е. мы проводим DМ и получаем точку F. Проводим СF и на пересечении MN получаем точку К.
Рис. 9. Рисунок к задаче 5. Нахождение точки К
Проведем прямую КР. Прямая КР лежит и в плоскости сечения, и в плоскости АВС. Получаем точки Р1 и Р2. Соединяем Р1 и М и на продолжении получаем точку М1. Соединяем точку Р2 и N. В результате получаем искомое сечение Р1Р2NМ1. Задача в первом случае решена. Рассмотрим второй случай, когда прямая MN параллельна плоскости АВС. Плоскость МNР проходит через прямую МN параллельную плоскости АВС и пересекает плоскость АВС по некоторой прямой Р1Р2, тогда прямаяР1Р2 параллельна данной прямой MN (Рис. 10.).
Рис. 10. Рисунок к задаче 5. Искомое сечение
Теперь проведем прямую Р1М и получим точку М1. Р1Р2NМ1 – искомое сечение.
Итак, мы рассмотрели тетраэдр, решили некоторые типовые задачи на тетраэдр. На следующем уроке мы рассмотрим параллелепипед.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/parallelnost-pryamyh-i-ploskostej/tetraedr-zadachi-na-postroenie-secheniy-v-tetraedre
http://www.youtube.com/watch?v=uf6YVicAWsM
http://www.youtube.com/watch?v=KBhvN5F2ARI
http://www.youtube.com/watch?v=f0Fm1_xfMeQ
http://www.youtube.com/watch?v=Fu_5K9Xr4yU
http://klassnoedelo.ru/upload/iblock/f85/f85080d0c235f5b9324593b6b675a79f.jpg
http://pandia.ru/text/78/168/23925.php
http://www.metod-kopilka.ru/postroenie_secheniy_tetraedra_i_parallelepipeda.-42512.htm
http://mypresentation.ru/documents/9deb64a47751b0709aa304eacd23cb5f/img18.jpg
http://www.yaklass.ru/p/geometria/10-klass/parallelnost-priamykh-i-ploskostei-10435/tetraedr-i-parallelepiped-11923/re-5d9bd891-c43e-403e-945e-d6be245e2661
www.kursoteka.ru
10 класс. Геометрия. Тетраэдр. Задачи на построение сечений в тетраэдре. - Тетраэдр. Задачи на построение сечений в тетраэдре.
Комментарии преподавателя
Как построить тетраэдр? Возьмем произвольный треугольник АВС. Произвольную точку D, не лежащую в плоскости этого треугольника. Получим 4 треугольника. Поверхность, образованная этими 4 треугольниками, и называется тетраэдром (Рис. 1.). Внутренние точки, ограниченные этой поверхностью, также входят в состав тетраэдра.
Рис. 1. Тетраэдр АВСD
Элементы тетраэдраА, B, C, D – вершины тетраэдра.AB, AC, AD, BC, BD, CD - ребра тетраэдра.ABC, ABD, BDC, ADC - грани тетраэдра.
Замечание: можно принять плоскость АВС за основание тетраэдра, и тогда точка D является вершиной тетраэдра. Каждое ребро тетраэдра является пересечением двух плоскостей. Например, ребро АВ – это пересечение плоскостей АВD и АВС. Каждая вершина тетраэдра – это пересечение трех плоскостей. Вершина А лежит в плоскостях АВС, АВD, АDС. Точка А – это пересечение трех означенных плоскостей. Этот факт записывается следующим образом: А = АВС ∩ АВD ∩ АСD.
Тетраэдр определение
Итак, тетраэдр - это поверхность, образованная четырмя треугольниками.
Ребро тетраэдра - линия перечесения двух плоскостей тетраэдра.
Составьте из 6 спичек 4 равных треугольника. На плоскости решить задачу не получается. А в пространстве это сделать легко. Возьмем тетраэдр. 6 спичек – это его ребра, четыре грани тетраэдра и будут четырьмя равными треугольниками. Задача решена.
Дан тетраэдр АВСD. Точка M принадлежит ребру тетраэдра АВ, точка N принадлежит ребру тетраэдра ВD и точка Р принадлежит ребру DС (Рис. 2.). Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNP.
Рис. 2. Рисунок к задаче 2 - Построить сечение тетраэдра плоскостью
Решение: Рассмотрим грань тетраэдра DВС. В этой грани точки N и P принадлежат грани DВС, а значит, и тетраэдру. Но по условию точки N, P принадлежат секущей плоскости. Значит, NP – это линия пересечения двух плоскостей: плоскости грани DВС и секущей плоскости. Предположим, что прямые NP и ВС не параллельны. Они лежат в одной плоскости DВС. Найдем точку пересечения прямых NP и ВС. Обозначим ее Е (Рис. 3.).
Рис. 3. Рисунок к задаче 2. Нахождение точки Е
Точка Е принадлежит плоскости сечения MNP, так как она лежит на прямой NР, а прямая NР целиком лежит в плоскости сечения MNP.
Также точка Е лежит в плоскости АВС, потому что она лежит на прямой ВС из плоскости АВС.
Получаем, что ЕМ – линия пересечения плоскостей АВС и MNP, так как точки Е и М лежат одновременно в двух плоскостях - АВС и MNP. Соединим точки М и Е, и продолжим прямую ЕМ до пересечения с прямой АС. Точку пересечения прямых ЕМ и АС обозначим Q.
Итак, в этом случае NPQМ - искомое сечение.
Рис. 4. Рисунок к задаче 2.Решение задачи 2
Рассмотрим теперь случай, когда NP параллельна BC. Если прямая NP параллельна какой-нибудь прямой, например, прямой ВС из плоскости АВС, то прямая NP параллельна всей плоскости АВС.
Искомая плоскость сечения проходит через прямую NP, параллельную плоскости АВС, и пересекает плоскость по прямой МQ. Значит, линия пересечения МQ параллельна прямой NP. Получаем, NPQМ - искомое сечение.
Точка М лежит на боковой грани АDВ тетраэдра АВСD. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, которое проходит через точку М параллельно основанию АВС.
Рис. 5. Рисунок к задаче 3 Построить сечение тетраэдра плоскостью
Решение: Секущая плоскость φ параллельна плоскости АВС по условию, значит, эта плоскость φ параллельна прямым АВ, АС, ВС. В плоскости АВD через точку М проведем прямую PQ параллельно АВ (рис. 5). Прямая PQ лежит в плоскости АВD. Аналогично в плоскости АСD через точку Р проведем прямую РR параллельно АС. Получили точку R. Две пересекающиеся прямые PQ и РR плоскости РQR соответственно параллельны двум пересекающимся прямым АВ и АС плоскости АВС, значит, плоскости АВС и РQR параллельны. РQR – искомое сечение. Задача решена.
Дан тетраэдр АВСD. Точка М – точка внутренняя, точка грани тетраэдра АВD. N – внутренняя точка отрезка DС (Рис. 6.). Построить точку пересечения прямой NM и плоскости АВС.
Рис. 6. Рисунок к задаче 4
Решение: Для решения построим вспомогательную плоскость DМN. Пусть прямая DМ пересекает прямую АВ в точке К (Рис. 7.). Тогда, СКD – это сечение плоскости DМN и тетраэдра. В плоскости DМN лежит и прямая NM, и полученная прямая СК. Значит, если NM не параллельна СК, то они пересекутся в некоторой точке Р. Точка Р и будет искомая точка пересечения прямой NM и плоскости АВС.
Рис. 7. Рисунок к задаче 4. Решение задачи 4
Дан тетраэдр АВСD. М – внутренняя точка грани АВD. Р – внутренняя точка грани АВС. N – внутренняя точка ребра DС (Рис. 8.). Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N и Р.
Рис. 8. Рисунок к задаче 5 Построить сечение тетраэдра плоскостью
Решение: Рассмотрим первый случай, когда прямая MN не параллельна плоскости АВС. В прошлой задаче мы нашли точку пересечения прямой MN и плоскости АВС. Это точка К, она получена с помощью вспомогательной плоскости DМN, т.е. мы проводим DМ и получаем точку F. Проводим СF и на пересечении MN получаем точку К.
Рис. 9. Рисунок к задаче 5. Нахождение точки К
Проведем прямую КР. Прямая КР лежит и в плоскости сечения, и в плоскости АВС. Получаем точки Р1 и Р2. Соединяем Р1 и М и на продолжении получаем точку М1. Соединяем точку Р2 и N. В результате получаем искомое сечение Р1Р2NМ1. Задача в первом случае решена. Рассмотрим второй случай, когда прямая MN параллельна плоскости АВС. Плоскость МNР проходит через прямую МN параллельную плоскости АВС и пересекает плоскость АВС по некоторой прямой Р1Р2, тогда прямаяР1Р2 параллельна данной прямой MN (Рис. 10.).
Рис. 10. Рисунок к задаче 5. Искомое сечение
Теперь проведем прямую Р1М и получим точку М1. Р1Р2NМ1 – искомое сечение.
Итак, мы рассмотрели тетраэдр, решили некоторые типовые задачи на тетраэдр. На следующем уроке мы рассмотрим параллелепипед.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/parallelnost-pryamyh-i-ploskostej/tetraedr-zadachi-na-postroenie-secheniy-v-tetraedre
http://www.youtube.com/watch?v=uf6YVicAWsM
http://www.youtube.com/watch?v=KBhvN5F2ARI
http://www.youtube.com/watch?v=f0Fm1_xfMeQ
http://www.youtube.com/watch?v=Fu_5K9Xr4yU
http://klassnoedelo.ru/upload/iblock/f85/f85080d0c235f5b9324593b6b675a79f.jpg
http://pandia.ru/text/78/168/23925.php
http://www.metod-kopilka.ru/postroenie_secheniy_tetraedra_i_parallelepipeda.-42512.htm
http://mypresentation.ru/documents/9deb64a47751b0709aa304eacd23cb5f/img18.jpg
http://www.yaklass.ru/p/geometria/10-klass/parallelnost-priamykh-i-ploskostei-10435/tetraedr-i-parallelepiped-11923/re-5d9bd891-c43e-403e-945e-d6be245e2661
www.kursoteka.ru
10 класс. Геометрия. Тетраэдр. Задачи на построение сечений в тетраэдре. - Тетраэдр. Задачи на построение сечений в тетраэдре.
Комментарии преподавателя
Как построить тетраэдр? Возьмем произвольный треугольник АВС. Произвольную точку D, не лежащую в плоскости этого треугольника. Получим 4 треугольника. Поверхность, образованная этими 4 треугольниками, и называется тетраэдром (Рис. 1.). Внутренние точки, ограниченные этой поверхностью, также входят в состав тетраэдра.
Рис. 1. Тетраэдр АВСD
Элементы тетраэдраА, B, C, D – вершины тетраэдра.AB, AC, AD, BC, BD, CD - ребра тетраэдра.ABC, ABD, BDC, ADC - грани тетраэдра.
Замечание: можно принять плоскость АВС за основание тетраэдра, и тогда точка D является вершиной тетраэдра. Каждое ребро тетраэдра является пересечением двух плоскостей. Например, ребро АВ – это пересечение плоскостей АВD и АВС. Каждая вершина тетраэдра – это пересечение трех плоскостей. Вершина А лежит в плоскостях АВС, АВD, АDС. Точка А – это пересечение трех означенных плоскостей. Этот факт записывается следующим образом: А = АВС ∩ АВD ∩ АСD.
Тетраэдр определение
Итак, тетраэдр - это поверхность, образованная четырмя треугольниками.
Ребро тетраэдра - линия перечесения двух плоскостей тетраэдра.
Составьте из 6 спичек 4 равных треугольника. На плоскости решить задачу не получается. А в пространстве это сделать легко. Возьмем тетраэдр. 6 спичек – это его ребра, четыре грани тетраэдра и будут четырьмя равными треугольниками. Задача решена.
Дан тетраэдр АВСD. Точка M принадлежит ребру тетраэдра АВ, точка N принадлежит ребру тетраэдра ВD и точка Р принадлежит ребру DС (Рис. 2.). Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNP.
Рис. 2. Рисунок к задаче 2 - Построить сечение тетраэдра плоскостью
Решение: Рассмотрим грань тетраэдра DВС. В этой грани точки N и P принадлежат грани DВС, а значит, и тетраэдру. Но по условию точки N, P принадлежат секущей плоскости. Значит, NP – это линия пересечения двух плоскостей: плоскости грани DВС и секущей плоскости. Предположим, что прямые NP и ВС не параллельны. Они лежат в одной плоскости DВС. Найдем точку пересечения прямых NP и ВС. Обозначим ее Е (Рис. 3.).
Рис. 3. Рисунок к задаче 2. Нахождение точки Е
Точка Е принадлежит плоскости сечения MNP, так как она лежит на прямой NР, а прямая NР целиком лежит в плоскости сечения MNP.
Также точка Е лежит в плоскости АВС, потому что она лежит на прямой ВС из плоскости АВС.
Получаем, что ЕМ – линия пересечения плоскостей АВС и MNP, так как точки Е и М лежат одновременно в двух плоскостях - АВС и MNP. Соединим точки М и Е, и продолжим прямую ЕМ до пересечения с прямой АС. Точку пересечения прямых ЕМ и АС обозначим Q.
Итак, в этом случае NPQМ - искомое сечение.
Рис. 4. Рисунок к задаче 2.Решение задачи 2
Рассмотрим теперь случай, когда NP параллельна BC. Если прямая NP параллельна какой-нибудь прямой, например, прямой ВС из плоскости АВС, то прямая NP параллельна всей плоскости АВС.
Искомая плоскость сечения проходит через прямую NP, параллельную плоскости АВС, и пересекает плоскость по прямой МQ. Значит, линия пересечения МQ параллельна прямой NP. Получаем, NPQМ - искомое сечение.
Точка М лежит на боковой грани АDВ тетраэдра АВСD. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, которое проходит через точку М параллельно основанию АВС.
Рис. 5. Рисунок к задаче 3 Построить сечение тетраэдра плоскостью
Решение: Секущая плоскость φ параллельна плоскости АВС по условию, значит, эта плоскость φ параллельна прямым АВ, АС, ВС. В плоскости АВD через точку М проведем прямую PQ параллельно АВ (рис. 5). Прямая PQ лежит в плоскости АВD. Аналогично в плоскости АСD через точку Р проведем прямую РR параллельно АС. Получили точку R. Две пересекающиеся прямые PQ и РR плоскости РQR соответственно параллельны двум пересекающимся прямым АВ и АС плоскости АВС, значит, плоскости АВС и РQR параллельны. РQR – искомое сечение. Задача решена.
Дан тетраэдр АВСD. Точка М – точка внутренняя, точка грани тетраэдра АВD. N – внутренняя точка отрезка DС (Рис. 6.). Построить точку пересечения прямой NM и плоскости АВС.
Рис. 6. Рисунок к задаче 4
Решение: Для решения построим вспомогательную плоскость DМN. Пусть прямая DМ пересекает прямую АВ в точке К (Рис. 7.). Тогда, СКD – это сечение плоскости DМN и тетраэдра. В плоскости DМN лежит и прямая NM, и полученная прямая СК. Значит, если NM не параллельна СК, то они пересекутся в некоторой точке Р. Точка Р и будет искомая точка пересечения прямой NM и плоскости АВС.
Рис. 7. Рисунок к задаче 4. Решение задачи 4
Дан тетраэдр АВСD. М – внутренняя точка грани АВD. Р – внутренняя точка грани АВС. N – внутренняя точка ребра DС (Рис. 8.). Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N и Р.
Рис. 8. Рисунок к задаче 5 Построить сечение тетраэдра плоскостью
Решение: Рассмотрим первый случай, когда прямая MN не параллельна плоскости АВС. В прошлой задаче мы нашли точку пересечения прямой MN и плоскости АВС. Это точка К, она получена с помощью вспомогательной плоскости DМN, т.е. мы проводим DМ и получаем точку F. Проводим СF и на пересечении MN получаем точку К.
Рис. 9. Рисунок к задаче 5. Нахождение точки К
Проведем прямую КР. Прямая КР лежит и в плоскости сечения, и в плоскости АВС. Получаем точки Р1 и Р2. Соединяем Р1 и М и на продолжении получаем точку М1. Соединяем точку Р2 и N. В результате получаем искомое сечение Р1Р2NМ1. Задача в первом случае решена. Рассмотрим второй случай, когда прямая MN параллельна плоскости АВС. Плоскость МNР проходит через прямую МN параллельную плоскости АВС и пересекает плоскость АВС по некоторой прямой Р1Р2, тогда прямаяР1Р2 параллельна данной прямой MN (Рис. 10.).
Рис. 10. Рисунок к задаче 5. Искомое сечение
Теперь проведем прямую Р1М и получим точку М1. Р1Р2NМ1 – искомое сечение.
Итак, мы рассмотрели тетраэдр, решили некоторые типовые задачи на тетраэдр. На следующем уроке мы рассмотрим параллелепипед.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/parallelnost-pryamyh-i-ploskostej/tetraedr-zadachi-na-postroenie-secheniy-v-tetraedre
http://www.youtube.com/watch?v=uf6YVicAWsM
http://www.youtube.com/watch?v=KBhvN5F2ARI
http://www.youtube.com/watch?v=f0Fm1_xfMeQ
http://www.youtube.com/watch?v=Fu_5K9Xr4yU
http://klassnoedelo.ru/upload/iblock/f85/f85080d0c235f5b9324593b6b675a79f.jpg
http://pandia.ru/text/78/168/23925.php
http://www.metod-kopilka.ru/postroenie_secheniy_tetraedra_i_parallelepipeda.-42512.htm
http://mypresentation.ru/documents/9deb64a47751b0709aa304eacd23cb5f/img18.jpg
http://www.yaklass.ru/p/geometria/10-klass/parallelnost-priamykh-i-ploskostei-10435/tetraedr-i-parallelepiped-11923/re-5d9bd891-c43e-403e-945e-d6be245e2661
www.kursoteka.ru
Тетраэдр. Задачи на построение сечений в тетраэдре
На этом уроке мы рассмотрим тетраэдр и его элементы. И решим несколько задач на построение сечений в тетраэдре, используя общий метод для построения сечений.
Тема: Параллельность прямых и плоскостей
Урок: Тетраэдр. Задачи на построение сечений в тетраэдре
Как построить тетраэдр? Возьмем произвольный треугольник АВС. Произвольную точку D, не лежащую в плоскости этого треугольника. Получим 4 треугольника. Поверхность, образованная этими 4 треугольниками, и называется тетраэдром (Рис. 1.). Внутренние точки, ограниченные этой поверхностью, также входят в состав тетраэдра.
Рис. 1. Тетраэдр АВСD
Элементы тетраэдра.А, B, C, D – вершины тетраэдра.AB, AC, AD, BC, BD, CD - ребра тетраэдра.ABC, ABD, BDC, ADC - грани тетраэдра.
Замечание: можно принять плоскость АВС за основание тетраэдра, и тогда точка D является вершиной тетраэдра. Каждое ребро тетраэдра является пересечением двух плоскостей. Например, ребро АВ – это пересечение плоскостей АВD и АВС. Каждая вершина тетраэдра – это пересечение трех плоскостей. Вершина А лежит в плоскостях АВС, АВD, АDС. Точка А – это пересечение трех означенных плоскостей. Этот факт записывается следующим образом: А = АВС ∩ АВD ∩ АСD.
Составьте из 6 спичек 4 равных треугольника. На плоскости решить задачу не получается. А в пространстве это сделать легко. Возьмем тетраэдр. 6 спичек – это его ребра, четыре его грани и будут четырьмя равными треугольниками. Задача решена.
Дан тетраэдр АВСD. Точка M принадлежит ребру АВ, точка N принадлежит ребру ВD и точка Р принадлежит ребру DС (Рис. 2.). Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNP.
Рис. 2. Рисунок к задаче 2
Решение: Рассмотрим грань DВС. В этой грани точки N и P принадлежат грани DВС, а значит, и тетраэдру. Но по условию точки N, P принадлежат секущей плоскости. Значит, NP – это линия пересечения двух плоскостей: плоскости грани DВС и секущей плоскости. Предположим, что прямые NP и ВС не параллельны. Они лежат в одной плоскости DВС. Найдем точку пересечения прямых NP и ВС. Обозначим ее Е (Рис. 3.).
Рис. 3. Рисунок к задаче 2. Нахождение точки Е
Точка Е принадлежит плоскости сечения MNP, так как она лежит на прямой NР, а прямая NР целиком лежит в плоскости сечения MNP.
Также точка Е лежит в плоскости АВС, потому что она лежит на прямой ВС из плоскости АВС.
Получаем, что ЕМ – линия пересечения плоскостей АВС и MNP, так как точки Е и М лежат одновременно в двух плоскостях - АВС и MNP. Соединим точки М и Е, и продолжим прямую ЕМ до пересечения с прямой АС. Точку пересечения прямых ЕМ и АС обозначим Q.
Итак, в этом случае NPQМ - искомое сечение.
Рис. 4. Рисунок к задаче 2.Решение задачи 2
Рассмотрим теперь случай, когда NP параллельна BC. Если прямая NP параллельна какой-нибудь прямой, например, прямой ВС из плоскости АВС, то прямая NP параллельна всей плоскости АВС.
Искомая плоскость сечения проходит через прямую NP, параллельную плоскости АВС, и пересекает плоскость по прямой МQ. Значит, линия пересечения МQ параллельна прямой NP. Получаем, NPQМ - искомое сечение.
Точка М лежит на боковой грани АDВ тетраэдра АВСD. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, которое проходит через точку М параллельно основанию АВС.
Рис. 5. Рисунок к задаче 3
Решение:Секущая плоскость φ параллельна плоскости АВС по условию, значит, эта плоскость φ параллельна прямым АВ, АС, ВС. В плоскости АВD через точку М проведем прямую PQ параллельно АВ (рис. 5). Прямая PQ лежит в плоскости АВD. Аналогично в плоскости АСD через точку Р проведем прямую РR параллельно АС. Получили точку R. Две пересекающиеся прямые PQ и РR плоскости РQR соответственно параллельны двум пересекающимся прямым АВ и АС плоскости АВС, значит, плоскости АВС и РQR параллельны. РQR – искомое сечение. Задача решена.
Дан тетраэдр АВСD. Точка М – точка внутренняя, точка грани АВD. N – внутренняя точка отрезка DС (Рис. 6.). Построить точку пересечения прямой NM и плоскости АВС.
Рис. 6. Рисунок к задаче 4
Решение:Для решения построим вспомогательную плоскость DМN. Пусть прямая DМ пересекает прямую АВ в точке К (Рис. 7.). Тогда, СКD – это сечение плоскости DМN и тетраэдра. В плоскости DМN лежит и прямая NM, и полученная прямая СК. Значит, если NM не параллельна СК, то они пересекутся в некоторой точке Р. Точка Р и будет искомая точка пересечения прямой NM и плоскости АВС.
Рис. 7. Рисунок к задаче 4. Решение задачи 4
Дан тетраэдр АВСD. М – внутренняя точка грани АВD. Р – внутренняя точка грани АВС. N – внутренняя точка ребра DС (Рис. 8.). Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N и Р.
Рис. 8. Рисунок к задаче 5
Решение:Рассмотрим первый случай, когда прямая MN не параллельна плоскости АВС. В прошлой задаче мы нашли точку пересечения прямой MN и плоскости АВС. Это точка К, она получена с помощью вспомогательной плоскости DМN, т.е. мы проводим DМ и получаем точку F. Проводим СF и на пересечении MN получаем точку К.
Рис. 9. Рисунок к задаче 5. Нахождение точки К
Проведем прямую КР. Прямая КР лежит и в плоскости сечения, и в плоскости АВС. Получаем точки Р1 и Р2. Соединяем Р1 и М и на продолжении получаем точку М1. Соединяем точку Р2 и N. В результате получаем искомое сечение Р1Р2NМ1. Задача в первом случае решена.Рассмотрим второй случай, когда прямая MN параллельна плоскости АВС. Плоскость МNР проходит через прямую МN параллельную плоскости АВС и пересекает плоскость АВС по некоторой прямой Р1Р2, тогда прямая Р1Р2 параллельна данной прямой MN (Рис. 10.).
Рис. 10. Рисунок к задаче 5. Искомое сечение
Теперь проведем прямую Р1М и получим точку М1. Р1Р2NМ1 – искомое сечение.
Итак, мы рассмотрели тетраэдр, решили некоторые типовые задачи на тетраэдр. На следующем уроке мы рассмотрим параллелепипед.
Список рекомендованной литературы
1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни)
2. Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений
3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики
Дополнительные веб-ресурсы
1. Сечения тетраэдра (Источник).
2. Как построить сечение тетраэдра. Математика (Источник).
3. Фестиваль педагогических идей (Источник).
Сделай дома
1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил. Задания 18, 19, 20 стр. 50
2. Точка Е середина ребра МА тетраэдра МАВС. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки В, С и Е.
3. В тетраэдре МАВС точка М принадлежит грани АМВ, точка Р – грани ВМС, точка К – ребру АС. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, Р, К.
4. Какие фигуры могут получиться в результате пересечения плоскостью тетраэдра?
mirror.vsibiri.info
10 класс. Геометрия. Тетраэдр. Задачи на построение сечений в тетраэдре. - Тетраэдр. Задачи на построение сечений в тетраэдре.
Комментарии преподавателя
Как построить тетраэдр? Возьмем произвольный треугольник АВС. Произвольную точку D, не лежащую в плоскости этого треугольника. Получим 4 треугольника. Поверхность, образованная этими 4 треугольниками, и называется тетраэдром (Рис. 1.). Внутренние точки, ограниченные этой поверхностью, также входят в состав тетраэдра.
Рис. 1. Тетраэдр АВСD
Элементы тетраэдраА, B, C, D – вершины тетраэдра.AB, AC, AD, BC, BD, CD - ребра тетраэдра.ABC, ABD, BDC, ADC - грани тетраэдра.
Замечание: можно принять плоскость АВС за основание тетраэдра, и тогда точка D является вершиной тетраэдра. Каждое ребро тетраэдра является пересечением двух плоскостей. Например, ребро АВ – это пересечение плоскостей АВD и АВС. Каждая вершина тетраэдра – это пересечение трех плоскостей. Вершина А лежит в плоскостях АВС, АВD, АDС. Точка А – это пересечение трех означенных плоскостей. Этот факт записывается следующим образом: А = АВС ∩ АВD ∩ АСD.
Тетраэдр определение
Итак, тетраэдр - это поверхность, образованная четырмя треугольниками.
Ребро тетраэдра - линия перечесения двух плоскостей тетраэдра.
Составьте из 6 спичек 4 равных треугольника. На плоскости решить задачу не получается. А в пространстве это сделать легко. Возьмем тетраэдр. 6 спичек – это его ребра, четыре грани тетраэдра и будут четырьмя равными треугольниками. Задача решена.
Дан тетраэдр АВСD. Точка M принадлежит ребру тетраэдра АВ, точка N принадлежит ребру тетраэдра ВD и точка Р принадлежит ребру DС (Рис. 2.). Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNP.
Рис. 2. Рисунок к задаче 2 - Построить сечение тетраэдра плоскостью
Решение: Рассмотрим грань тетраэдра DВС. В этой грани точки N и P принадлежат грани DВС, а значит, и тетраэдру. Но по условию точки N, P принадлежат секущей плоскости. Значит, NP – это линия пересечения двух плоскостей: плоскости грани DВС и секущей плоскости. Предположим, что прямые NP и ВС не параллельны. Они лежат в одной плоскости DВС. Найдем точку пересечения прямых NP и ВС. Обозначим ее Е (Рис. 3.).
Рис. 3. Рисунок к задаче 2. Нахождение точки Е
Точка Е принадлежит плоскости сечения MNP, так как она лежит на прямой NР, а прямая NР целиком лежит в плоскости сечения MNP.
Также точка Е лежит в плоскости АВС, потому что она лежит на прямой ВС из плоскости АВС.
Получаем, что ЕМ – линия пересечения плоскостей АВС и MNP, так как точки Е и М лежат одновременно в двух плоскостях - АВС и MNP. Соединим точки М и Е, и продолжим прямую ЕМ до пересечения с прямой АС. Точку пересечения прямых ЕМ и АС обозначим Q.
Итак, в этом случае NPQМ - искомое сечение.
Рис. 4. Рисунок к задаче 2.Решение задачи 2
Рассмотрим теперь случай, когда NP параллельна BC. Если прямая NP параллельна какой-нибудь прямой, например, прямой ВС из плоскости АВС, то прямая NP параллельна всей плоскости АВС.
Искомая плоскость сечения проходит через прямую NP, параллельную плоскости АВС, и пересекает плоскость по прямой МQ. Значит, линия пересечения МQ параллельна прямой NP. Получаем, NPQМ - искомое сечение.
Точка М лежит на боковой грани АDВ тетраэдра АВСD. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, которое проходит через точку М параллельно основанию АВС.
Рис. 5. Рисунок к задаче 3 Построить сечение тетраэдра плоскостью
Решение: Секущая плоскость φ параллельна плоскости АВС по условию, значит, эта плоскость φ параллельна прямым АВ, АС, ВС. В плоскости АВD через точку М проведем прямую PQ параллельно АВ (рис. 5). Прямая PQ лежит в плоскости АВD. Аналогично в плоскости АСD через точку Р проведем прямую РR параллельно АС. Получили точку R. Две пересекающиеся прямые PQ и РR плоскости РQR соответственно параллельны двум пересекающимся прямым АВ и АС плоскости АВС, значит, плоскости АВС и РQR параллельны. РQR – искомое сечение. Задача решена.
Дан тетраэдр АВСD. Точка М – точка внутренняя, точка грани тетраэдра АВD. N – внутренняя точка отрезка DС (Рис. 6.). Построить точку пересечения прямой NM и плоскости АВС.
Рис. 6. Рисунок к задаче 4
Решение: Для решения построим вспомогательную плоскость DМN. Пусть прямая DМ пересекает прямую АВ в точке К (Рис. 7.). Тогда, СКD – это сечение плоскости DМN и тетраэдра. В плоскости DМN лежит и прямая NM, и полученная прямая СК. Значит, если NM не параллельна СК, то они пересекутся в некоторой точке Р. Точка Р и будет искомая точка пересечения прямой NM и плоскости АВС.
Рис. 7. Рисунок к задаче 4. Решение задачи 4
Дан тетраэдр АВСD. М – внутренняя точка грани АВD. Р – внутренняя точка грани АВС. N – внутренняя точка ребра DС (Рис. 8.). Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N и Р.
Рис. 8. Рисунок к задаче 5 Построить сечение тетраэдра плоскостью
Решение: Рассмотрим первый случай, когда прямая MN не параллельна плоскости АВС. В прошлой задаче мы нашли точку пересечения прямой MN и плоскости АВС. Это точка К, она получена с помощью вспомогательной плоскости DМN, т.е. мы проводим DМ и получаем точку F. Проводим СF и на пересечении MN получаем точку К.
Рис. 9. Рисунок к задаче 5. Нахождение точки К
Проведем прямую КР. Прямая КР лежит и в плоскости сечения, и в плоскости АВС. Получаем точки Р1 и Р2. Соединяем Р1 и М и на продолжении получаем точку М1. Соединяем точку Р2 и N. В результате получаем искомое сечение Р1Р2NМ1. Задача в первом случае решена. Рассмотрим второй случай, когда прямая MN параллельна плоскости АВС. Плоскость МNР проходит через прямую МN параллельную плоскости АВС и пересекает плоскость АВС по некоторой прямой Р1Р2, тогда прямаяР1Р2 параллельна данной прямой MN (Рис. 10.).
Рис. 10. Рисунок к задаче 5. Искомое сечение
Теперь проведем прямую Р1М и получим точку М1. Р1Р2NМ1 – искомое сечение.
Итак, мы рассмотрели тетраэдр, решили некоторые типовые задачи на тетраэдр. На следующем уроке мы рассмотрим параллелепипед.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/parallelnost-pryamyh-i-ploskostej/tetraedr-zadachi-na-postroenie-secheniy-v-tetraedre
http://www.youtube.com/watch?v=uf6YVicAWsM
http://www.youtube.com/watch?v=KBhvN5F2ARI
http://www.youtube.com/watch?v=f0Fm1_xfMeQ
http://www.youtube.com/watch?v=Fu_5K9Xr4yU
http://klassnoedelo.ru/upload/iblock/f85/f85080d0c235f5b9324593b6b675a79f.jpg
http://pandia.ru/text/78/168/23925.php
http://www.metod-kopilka.ru/postroenie_secheniy_tetraedra_i_parallelepipeda.-42512.htm
http://mypresentation.ru/documents/9deb64a47751b0709aa304eacd23cb5f/img18.jpg
http://www.yaklass.ru/p/geometria/10-klass/parallelnost-priamykh-i-ploskostei-10435/tetraedr-i-parallelepiped-11923/re-5d9bd891-c43e-403e-945e-d6be245e2661
www.kursoteka.ru
Построение сечений тетраэдра - презентация, доклад, проект
Обратная связь
Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать её на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:
Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:
Email: [email protected]
Мы в социальных сетях
Социальные сети давно стали неотъемлемой частью нашей жизни. Мы узнаем из них новости, общаемся с друзьями, участвуем в интерактивных клубах по интересам
ВКонтакте >
Что такое Myslide.ru?
Myslide.ru - это сайт презентаций, докладов, проектов в формате PowerPoint. Мы помогаем учителям, школьникам, студентам, преподавателям хранить и обмениваться своими учебными материалами с другими пользователями.
Для правообладателей >
myslide.ru
Построение сечений в тетраэдре.
Построение сечений тетраэдра. 10-й класс
Цели урока: (Приложение 1, слайды 1-2)
научиться применять аксиомы стереометрии при решении задач;
научиться находить положение точек пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра;
освоить методы построения этих сечений
формировать познавательную активность, умения логически мыслить;
создать условия самоконтроля усвоения знаний и умений.
Тип урока: Формирование новых знаний.
Ход урока
I. Организационный момент
II. Актуализация знаний учащихся
Фронтальный опрос. (Аксиомы стереометрии, свойства параллельных плоскостей)
Слово учителя
Для решения многих геометрических задач, связанных с тетраэдром, полезно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями. (слайд 3) .Назовём секущей плоскостью тетраэдра любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра. Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением тетраэдра. Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть только треугольники и четырёхугольники. Отметим также, что для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра, после чего остаётся провести отрезки, соединяющие каждые две построенные точки, лежащие в одной и той же грани.
На этом уроке вы сможете подробно изучить сечения тетраэдра, освоить методы построения этих сечений. Вы узнаете пять правил построения сечений многогранников, научитесь находить положение точек пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра.
Актуализация опорных понятий
Первое правило. Если две точки принадлежат как секущей плоскости, так и плоскости некоторой грани многогранника, то прямая, проходящая через эти две точки, является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью этой грани (следствие аксиомы о пересечении плоскостей).
Второе правило. Если секущая плоскость параллельна некоторой плоскости, то эти две плоскости пересекаются с любой гранью по параллельным прямым (свойство двух параллельных плоскостей, пересечённых третьей).
Третье правило. Если секущая плоскость параллельна прямой, лежащей в некоторой плоскости (например, плоскости какой-то грани), то линия пересечения секущей плоскости с этой плоскостью (гранью) параллельна этой прямой (свойство прямой, параллельной плоскости).
Четвёртое правило. Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным прямым (свойство параллельных плоскостей, пересечённых третьей).
Пятое правило. Пусть две точки А и В принадлежат секущей плоскости, а точки A1 и B1 являются параллельными проекциями этих точек на некоторую грань. Если прямые АВ и A1B1 параллельны, то секущая плоскость пересекает эту грань по прямой, параллельной A1B1. Если же прямые АВ и A1B1 пересекаются в некоторой точке, то эта точка принадлежит как секущей плоскости, так и плоскости этой грани (первая часть этой теоремы следует из свойства прямой, параллельной плоскости, а вторая вытекает из дополнительных свойств параллельной проекции).
III. Изучение нового материала (формирование знаний, умений)
Коллективное решение задач с объяснением (слайд 4)
Задача 1. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки К є АД, М є ДС, Е є ВС.
Внимательно посмотрим на чертёж. Так как точки К и М принадлежат одной плоскости, то мы находим пересечение секущей плоскости с гранью АДС – это отрезок КМ. Точки М и Е также лежат в одной плоскости, значит пересечением секущей плоскости, и грани ВДС является отрезок МЕ. Находим точку пересечения прямых КМ и АС, которые лежат в одной плоскости АДС. Теперь точка Х лежит в грани АВС, то её можно соединить с точкой Е. Проводим прямую ХЕ, которая пересекается с АВ в точке Р. Отрезок РЕ есть пересечение секущей плоскости с гранью АВС, а отрезок КР есть пересечение секущей плоскости с гранью АВС. Следовательно, четырёхугольник КМЕР наше искомое сечение. Запись решения в тетради:
Решение.
КМ = α ∩ АДС
МЕ = α ∩ ВДС
Х = КМ ∩ АС
Р = ХЕ ∩ АВ
РЕ = α ∩ АВС
КР = α ∩ АДВ
КМЕР – искомое сечение
Задача 2. (слайд 5)
Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки К є АВС, М є ВДС, N є АД
. Рассмотрим проекции каких-нибудь двух точек. В тетраэдре проекции точек находят из вершины на плоскость основания, т.е. М→М1, N→А. Находим пересечение прямых NM и AM1 точку Х.Данная точка принадлежит секущей плоскости, так как лежит на прямой NM, принадлежит плоскости АВС, так как лежит на прямой АМ1. Значит, теперь в плоскости АВС у нас есть две точки, которые можно соединить, получаем прямую КХ. Прямая пересекает сторону ВС в точке L, а сторону АВ в точке Н. В грани АВC находим линию пересечения, она проходит через точки Н и К – это НL. В грани АВД линия пересечения – НN, в грани ВДС проводим линию пересечения через точки L и М – это LQ и в грани АДС получаем отрезок NQ. Четырёхугольник HNQL – искомое сечение.
Решение
М → М1 N → А
Х = NМ ∩ АМ1
L = КХ ∩ ВС
H = КХ ∩ АВ
НL = α ∩ АВC, К є НL
НN = α ∩ АВД,
LQ = α ∩ ВДС, М є LQ
NQ = α ∩ АДС
HNQL – искомое сечение
IV. Закрепление знаний
Решение задачи с последующей проверкой
Задача 3. (слайд 6)
Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки К є ВС , М є АДВ, N є ВДС.
Решение
1. М → М1 , N → N1
Х = NМ ∩ N1М1
R = КХ ∩ АВ
RL = α ∩ АВД, М є RL
КР = α ∩ ВДС, N є КР
LP = α ∩ АДС
RLPK – искомое сечение
V. Самостоятельная работа (по вариантам)
(слайд 7)
Задача 4. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки М є АВ, N є АС, К є АД.
Решение
КМ = α ∩ АВД,
МN = α ∩ АВС,
КN = α ∩ АДС
KMN – искомое сечение
(Проверка по гиперссылке на Приложение 2)
Задача 5. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки М є АВ, К є ДС, N є ДВ.
Решение
MN = α ∩ АВД
NK = α ∩ ВДС
Х = NК ∩ ВС
Р = АС ∩ МХ
РК = α ∩ АДС
MNKP – искомое сечение
(Проверка по гиперссылке на Приложение 3)
Задача 6. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки М є АВС, К є ВД, N є ДС
Решение
KN = α ∩ ДВС
Х = КN ∩ ВС
Т = МХ ∩ АВР = ТХ ∩ АС
РТ = α ∩ АВС, М є РТ
PN = α ∩ АДС
ТР N K – искомое сечение
(Проверка по гиперссылке на Приложение 4)
VI. Итог урока.
(слайд 8)
Итак, мы сегодня научились строить простейшие задачи на сечения тетраэдра. Напоминаю, что сечением многогранника называется многоугольник, полученный в результате пересечения многогранника с некоторой плоскостью. Сама плоскость при этом называется секущей плоскостью. Построить сечение значит определить, какие рёбра пересекает секущая плоскость, вид полученного сечения и точное положение точек пересечения секущей плоскости с этими рёбрами. То есть, те цели, которые были поставлены на уроке, решены.
VII. Домашнее задание.
(слайд 9)
Практическая работа «Построить сечения тетраэдра» в электронном виде или бумажном варианте. (Каждому было дано индивидуальное задание
infourok.ru
