Как считается пропорция. Пропорция решить
Как составить и рассчитать пропорцию: онлайн калькулятор
Онлайн калькулятор пропорций
Формула пропорций
Пропо́рция — это равенство двух отношений, когда a:b=c:d
средние | ||||||
╭ | члены | ╮ | ||||
1 | : | 10 | = | 7 | : | 70 |
╰ | крайние члены | ╯ | ||||
0,1 | = | 0,1 |
Основные свойства пропорции
Произведение крайних членов равно произведению средних членов (крест-накрест): если a:b=c:d, то a⋅d=b⋅c
1 10 ✕ 7 70 1 ⋅ 70 = 10 ⋅ 7Обращение пропорции: если a:b=c:d, то b:a=d:c
1 10 7 70 10 1 = 70 7Перестановка крайних членов: если a:b=c:d, то d:b=c:a
1 10 7 70 70 10 = 7 1Решение пропорции с одним неизвестным | Уравнение
1 : 10 = x : 70 1 10 = x 70Чтобы найти икс, нужно перемножить два известных числа крест-накрест и поделить на противоположное значение
x = 1 ⋅ 70 10 = 7Как посчитать пропорцию
Задача: нужно пить 1 таблетку активированного угля на 10 килограмм веса. Сколько таблеток нужно выпить, если человек весит 70 кг?
Составим пропорцию: 1 таблетка — 10 кг x таблеток — 70 кг Чтобы найти икс, нужно перемножить два известных числа крест-накрест и поделить на противоположное значение: 1 таблетка x таблеток ✕ 10 кг 70 кг x = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 Ответ: 7 таблетокЗадача: за пять часов Вася пишет две статьи. Сколько статей он напишет за 20 часов?
Составим пропорцию: 2 статьи — 5 часов x статей — 20 часов x = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 Ответ: 8 статейshpargalkablog.ru
Решение пропорций | Математика
Рассмотрим решение пропорций на конкретных примерах.
Решить уравнения с пропорцией:
1) 25 : x = 10 : 18
Здесь x — неизвестный средний член пропорции. Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, произведение крайних членов разделим на известный средний член:
25 и 10 сокращаем на 5. Затем 18 и 2 сокращаем на 2.
Ответ: 45.
Здесь y — неизвестный крайний член пропорции. Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, произведение средних членов делим на известный крайний член:
Ответ: 13,5.
При решении пропорций с десятичными дробями удобно для упрощения вычислений использовать основное свойство дроби.
Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, произведение крайних членов делим на известный средний член пропорции:
В числителе после запятой в общей сложности два знака, в знаменателе — один. Поэтому, умножив и числитель, и знаменатель на 100, мы получим дробь, равную данной. В числителе умножение на 100 распределим так: каждый из множителей умножим на 10. В знаменателе 0,6 умножим на 10 и результат умножим на 10:
Сокращаем 24 и 6 на 6, 10 и 45 — на 5:
Еще раз сокращаем 4 и 2 на 2:
Ответ: 18.
Решение пропорций с обыкновенными дробями и смешанными числами удобнее записывать в строчку.
Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, произведение средних членов разделим на известный крайний член:
Смешанные числа переводим в неправильные дроби:
Ответ: 28.
При решении более сложных пропорций удобно использовать непосредственно основное свойство пропорции.
Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов:
Здесь удобно упростить уравнение, разделив обе части на 5:
Ответ: 10,5.
Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов:
Для упрощения вычислений удобно умножить каждую часть уравнения на 10:
Это — линейное уравнение. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:
Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:
Ответ: 1,12.
www.for6cl.uznateshe.ru
Задачи и задания на пропорции: примеры и решение
Решение заданий на пропорции
Если один из членов пропорции неизвестен и надо его найти, то говорят, что надо решить пропорцию. Решение пропорций всегда выполняется с помощью свойства пропорции.
Задание 1. Найдите неизвестный член пропорции:
a) | x | = | 3 | ; б) | 1 | = | 5 |
2 | 1 | 3 | x |
Решение: Так как неизвестны крайние члены пропорции, то для их нахождения надо умножить средние члены и разделить полученный результат на известный крайний член:
a) x = | 2 · 3 | , x = 6. | б) x = | 3 · 5 | , x = 15. |
1 | 1 |
Ответ: а) x = 6, б) x = 15.
Задание 2. Решите пропорции:
a) | 30 | = | 5 | ; б) | 7 | = | x |
x | 8 | 5 | 10 |
Решение: Так как неизвестны средние члены пропорции, то для их нахождения надо умножить крайние члены и разделить полученный результат на известный средний член:
a) x = | 30 · 8 | , x = 48. | б) x = | 7 · 10 | , x = 14. |
5 | 5 |
Ответ: а) x = 48, б) x = 14.
Задание 3. Известно, что 21x = 14y. Найдите отношение x к y.
Решение: сначала сократим обе части равенства на общий множитель 7:
получим:
3x = 2y
Теперь разделим обе части на 3y, чтобы в левой части у x убрать множитель 3, а в правой части избавиться от y:
После сокращения отношений у нас остаётся:
Ответ: 2 к 3.
Задачи на пропорции с решением
Задача 1. Из 300 читателей библиотеки 108 человек – студенты. Какой процент всех читателей составляют студенты?
Решение: Примем всех читателей библиотеки за 100% и запишем условие задачи кратко:
300 – 100% 108 – ?%
Составим пропорцию:
Найдём x:
x = | 108 · 100 | = 36 |
300 |
Ответ: 36% всех читателей составляют студенты.
Задача 2. При варке варенья используют ягоды и сахар в отношении 5:2. Сколько надо ягод, если взяли 450 грамм сахара?
Решение: составим пропорцию:
Найдём x:
x = | 5 · 450 | |
2 |
Ответ: На 450 гр сахара надо взять 1125 гр ягод.
naobumium.info
Составить пропорцию
Составить пропорцию. В этой статье хочу поговорить с вами о пропорции. Понимать, что такое пропорция, уметь составлять её – это очень важно, она действительно спасает. Это вроде бы маленькая и незначительная «буковка» в большом алфавите математики, но без неё математика обречена быть хромой и неполноценной. Для начала напомню, что такое пропорция. Это равенство вида:
что тоже самое (это разная форма записи).
Пример:
Говорят – один относится к двум также, как четыре относится к восьми. То есть это равенство двух отношений (в данном примере отношения числовые).
Основное правило пропорции:
a:b=c:d
произведение крайних членов равно произведению средних
то есть
a∙d=b∙c
*Если какая-либо величина в пропорции неизвестна, ее всегда можно найти.
Если рассматривать форму записи вида:
то можно использовать следующее правило, его называют «правило креста»: записывается равенство произведений элементов (чисел или выражений) стоящих по диагонали
a∙d=b∙c
Как видите результат тот же.
Если три элемента пропорции известны, то мы всегда можем найти четвёртый.
Именно в этом суть пользы и необходимость пропорции при решении задач.
Давайте рассмотрим все варианты, где неизвестная величина х находится в «любом месте» пропорции, где a, b, c – числа:
Величина стоящая по диагонали от х записывается в знаменатель дроби, а известные величины стоящие по диагонали записываются в числитель, как произведение. Его запоминать не обязательно, вы и так всё верно вычислите, если усвоили основное правило пропорции.
Теперь главный вопрос, связанный с названием статьи. Когда пропорция спасает и где используется? Например:
1. Прежде всего это задачи на проценты. Мы рассматривали их в статьях "Задачи на проценты. Часть 1!" и "Задачи на проценты. Часть 2!".
2. Многие формулы заданы в виде пропорций:
> теорема синусов
> отношение элементов в треугольнике
> теорема тангенсов
> теорема Фалеса и другие.
3. В задачах по геометрии в условии часто задаётся отношение сторон (других элементов) или площадей, например 1:2, 2:3 и прочие.
4. Перевод единиц измерения, причём пропорция используется для перевода единиц как в одной мере, так и для перевода из одной меры в другую:
— часы в минуты (и наоборот).
— единицы объёма, площади.
— длины, например мили в километры (и наоборот).
— градусы в радианы (и наоборот).
здесь без составления пропорции не обойтись.
Ключевой момент в том, что нужно правильно установить соответствие, рассмотрим простые примеры:
Необходимо определить число, которое составляет 35% от 700.
В задачах на проценты за 100% принимается та величина, с которой сравниваем. Неизвестное число обозначим как х. Установим соответствие:
Можно сказать, что семисот тридцати пяти соответствует 100 процентов.
Иксу соответствует 35 процентов. Значит,
700 – 100%
х – 35 %
Решаем
Ответ: 245
Переведём 50 минут в часы.
Мы знаем, что одному часу соответствует 60 минут. Обозначим соответсвие - x часов это 50 минут. Значит
1 – 60
х – 50
Решаем:
То есть 50 минут это пять шестых часа.
Ответ: 5/6
Николай Петрович проехал 3 километра. Сколько это будет в милях (учесть, что 1 миля это 1,6 км)?
Известно, что 1 миля это 1,6 километра. Число миль, которые проехал Николай Петрович примем за х. Можем установить соответствие:
Одной миле соответствует 1,6 километра.
Икс миль это три километра.
1 – 1,6
х – 3
Ответ: 1,875 миль
Вы знаете, что для перевода градусов в радианы (и обратно) существуют формулы. Я их не записываю, так как запоминать их считаю излишним, и так вам в памяти приходится держать много информации. Вы всегда сможете перевести градусы в радианы (и обратно), если воспользуетесь пропорцией.
Переведём 65 градусов в радианную меру.
Главное это запомнить, что 180 градусов это Пи радиан.
Обозначим искомую величину как х. Устанавливаем соответствие.
Ста восьмидесяти градусам соответствует Пи радиан.
Шестидесяти пяти градусам соответствует х радиан.
Если записать отношение в общем виде, то получится
То есть, если необходимо перевести градусы в радианы, то подставляете в эту пропорцию градусы и вычисляете радианы; если необходимо перевести радианы в градусы, то подставляете радианы и вычисляете градусы.
Можете изучить статью по этой теме на блоге. Материал в ней изложен несколько по иному, но принцип тот же. На этом закончу. Обязательно будет ещё что-нибудь интересненькое, не пропустите!
Если вспомнить само определение математики, то в нём есть такие слова: математика изучает количественные ОТНОШЕНИЯ (ОТНОШЕНИЯ — здесь ключевое слово). Как видите в самом определении математики заложена пропорция. Вообщем, математика без пропорции это не математика!!!
Всего доброго!
С уважением, Александр
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
matematikalegko.ru
Задачи на пропорцию.
Задача 1. Толщина 300 листов бумаги для принтера составляет 3, 3 см. Какую толщину будет иметь пачка из 500 листов такой же бумаги?
Решение. Пусть х см — толщина пачки бумаги из 500 листов. Двумя способами найдем толщину одного листа бумаги:
3,3:300 или х:500.
Так как листы бумаги одинаковые, то эти два отношения равны между собой. Получаем пропорцию (напоминание: пропорция — это равенство двух отношений):
3,3:300=х:500. Неизвестный средний член пропорции равен произведению крайних членов пропорции, деленному на известный средний член. (Подробно о пропорции и нахождению ее крайнего, среднего членов читайте в статье: «6.1.1. Пропорция. Основное свойство пропорции.»)
х=(3,3·500):300;
х=5,5. Ответ: пачка 500 листов бумаги имеет толщину 5,5 см.
Это классическое рассуждение и оформление решения задачи. Такие задачи часто включают в тестовые задания для выпускников, которые обычно записывают решение в таком виде:
или решают устно, рассуждая так: если 300 листов имеют толщину 3,3 см, то 100 листов имеют толщину в 3 раза меньшую. Делим 3,3 на 3, получаем 1,1 см. Это толщина 100 листовой пачки бумаги. Следовательно, 500 листов будут иметь толщину в 5 раз большую, поэтому, 1,1 см умножаем на 5 и получаем ответ: 5,5 см.
Разумеется, это оправдано, так как время тестирования выпускников и абитуриентов ограничено. Однако, на этом занятии мы будем рассуждать и записывать решение так, как положено это делать в 6 классе.
Задача 2. Сколько воды содержится в 5 кг арбуза, если известно, что арбуз состоит на 98% из воды?
Решение.
Вся масса арбуза (5 кг) составляет 100%. Вода составит х кг или 98%. Двумя способами можно найти, сколько кг приходится на 1% массы.
5:100 или х:98. Получаем пропорцию:
5:100 = х:98.
х=(5·98):100;
х=4,9 Ответ: в 5кг арбуза содержится 4,9 кг воды.
Задача 3. Масса 21 литра нефти составляет 16,8 кг. Какова масса 35 литров нефти?
Решение.
Пусть масса 35 литров нефти составляет х кг. Тогда двумя способами можно найти массу 1 литра нефти:
16,8:21 или х:35. Получаем пропорцию:
16,8:21=х:35.
Находим средний член пропорции. Для этого перемножаем крайние члены пропорции (16,8 и 35) и делим на известный средний член (21). Сократим дробь на 7.
Умножаем числитель и знаменатель дроби на 10, чтобы в числителе и знаменателе были только натуральные числа. Сокращаем дробь на 5 (5 и 10) и на 3 (168 и 3).
Ответ: 35 литров нефти имеют массу 28 кг.
Задача 4. После того, как было вспахано 82% всего поля, осталось вспахать еще 9 га. Какова площадь всего поля?
Решение.
Пусть площадь всего поля х га, что составляет 100%. Осталось вспахать 9 га, что составляет 100% — 82% = 18% всего поля. Двумя способами выразим 1% площади поля. Это:
х:100 или 9:18. Составляем пропорцию:
х:100 = 9:18.
Находим неизвестный крайний член пропорции. Для этого перемножаем средние члены пропорции (100 и 9) и делим на известный крайний член (18). Сокращаем дробь.
Ответ: площадь всего поля 50 га.
www.mathematics-repetition.com
Пропорции | Формулы с примерами
Что такое пропорция?
Определение Пропорция - это верное равенство двух отношений.
Где a ? 0, b ? 0, c ? 0, d ? 0.
a и d - называют крайними членами пропорции; b и c - называют средними членами пропорции.
Пример3 | = | 18 | или 3 : 5 = 18 : 30; |
5 | 30 |
7 | = | 21 | или 7 : 3 = 21 : 9; |
3 | 9 |
12 | = | 48 | или 12 : 15 = 48 : 60. |
15 | 60 |
Основное свойство пропорции
СвойствоПроизведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.
Пример12 | = | 24 | , значит 12 • 8 = 4 • 24; |
4 | 8 |
11 | = | 33 | , значит 11 • 21 = 7 • 33; |
7 | 21 |
23 | = | 69 | , значит 23 • 42 = 14 • 69. |
14 | 42 |
Обратное свойство
Свойство Пример11 • 4 = 2 • 22 значит, | 11 | = | 22 | ; |
2 | 4 |
21 • 6 = 42 • 3 значит, | 21 | = | 42 | ; |
3 | 6 |
33 • 21 = 7 • 99 значит, | 33 | = | 99 | . |
7 | 21 |
Производные пропорции
Правило Пример4 | = | 8 | или | 7 | = | 14 | или | 8 | = | 17 | или | 4 | = | 7 | ; |
7 | 14 | 4 | 8 | 4 | 7 | 8 | 14 |
5 | = | 10 | или | 6 | = | 12 | или | 10 | = | 12 | или | 5 | = | 6 | ; |
6 | 12 | 5 | 10 | 5 | 6 | 10 | 12 |
9 | = | 18 | или | 3 | = | 6 | или | 6 | = | 18 | или | 9 | = | 3 | . |
3 | 6 | 9 | 18 | 3 | 9 | 18 | 6 |
Правило ! По трем известным членам пропорции всегда можно найтиее неизвестный член.
Пример15 | = | x | , значит x = | 15 • 14 | = 15 • 2 = 30; |
7 | 14 | 7 |
21 | = | x | , значит x = | 21 • 9 | = 21 • 3 = 63; |
3 | 9 | 3 |
33 | = | 99 | , значит x = | 4 • 99 | = 4 • 3 = 12. |
4 | x | 33 |
Отношения
Определение Отношением двух чисел a и b называется их частное a : b.
Показывает во сколько раз a больше b или какую часть число a составляет от b.1
Примеры отношений
Пример 1 Отношение числа 16 к числу 4 равно 16 : 4 = 4, т.е. 16 в 4 раза больше чем,чем 4.
Пример 2 Отношение числа 4 к числу 12 равно 4 : 12 = 13, т.е. 4 составляет третьот числа 12.
Пример 3 Масса стакана с жидкостью равна 440г. Стакан весит 40г. Какую часть всей массы составляет масса стакана? Во сколько раз масса стакана с жидкостью больше массы жидкости?Решение:
Масса стакана составляет 40 : 440 = 1 11 часть полной массы. Масса жидкости равна 440 - 40 = 400г; масса стакана с жидкостью больше массы самой жидкости в 440 : 400 = 1,1 раза.
formula-xyz.ru
Как решить пропорцию? - Полезная информация для всех
Как решать пропорции? Для начала неплохо было знать кое-что из теории:
А теперь разберем какой-нибудь простенький пример, опираясь на первый пункт нашей подсказки:
35/7 = 10/х;
35х = 7*10;
х = 70/35;
х = 2.
Таким образом, мы выяснили, что х равен двум.
Пропорция - это:
На самом деле это понять довольно таки просто и вот это понимание позволит решить большинство задач, вычислять проценты и тд. Я не педагог и как объяснить не знаю, покажу на примере задачи и походу попытаюсь объяснить.
Наипростейшая задача, где одно из чисел в пропорции неизвестно (это то нам и нужно):
100 процентов - это 200 книг. Сколько будет книг в 50 процентах?
И смотрите что делаем далее:
чертим дробь и под процентами пишем проценты - 100/50, а под книгами книги 200/x. Получается своеобразное уравнение 100:50=200:x. Решаются пропорции крест накрест, т.е. 50*200:100 = 100 книг.
Глупое объяснение, но своими словами.
Вот примеры решения пропорций: x/2=3, x=3*2=6; 110/x=11, x=110/11=10; x/7=490/10, x=490*7/10=343; 100/5=500/x, x=500*5/100=25. Если есть пропорция с неизвестным в числителе и число, то нужно числитель умножить на знаменатель. Если есть пропорция с неизвестным в знаменателе и число, то нужно числитель разделить на второе число. Если есть две дроби, и неизвестное в числителе одной из них, то нужно умножить числитель первой дроби и знаменатель второй дроби, и вс это разделить на знаменатель первой дроби. Если есть две дроби, и неизвестное в знаменателе одной из них, то нужно умножить числитель второй дроби и знаменатель первой дроби, и вс это разделить на знаменатель первой дроби. Если есть две дроби, нужно умножить на два известных числа, расположенных по диагонали, и разделить это на оставшееся число.
Пропорции это можно сказать один из главных способов решения задач по химии. Именно там по условию составляют пропорции, в потом их решают. Честно говоря основательно освоение этого способа ко мне пришло после того, когда я реально понял за чем это надо. К сожалению все проблемы обучения в нашей стране связаны именно с тем, что нас часто учат не объясняя , а зачем это надо. Ну так уж было заведено еще в СССР. Ведь объяснить зачем нужна всем история партии или научный коммунизм было просто невозможно, вот и перешло это и ы другие науки. И так их и преподавали. Гу а теперь вернемся к пропорциям. Чтобы раз и навсегда запомнить как надо решать пропорции и не путаться нужно запомнить правило , которое химики называли правилом креста. Так члены пропорции перемножаются крест на крест. Вот пример.
10/2 = 5/Х
перемножаем по правилу креста и получаем.
10Х=10 А отсюда и находим Х
Х=1
info-4all.ru