Формулы логарифмов. Логарифмы примеры решения. Решение логарифмов с разными основаниями


Решение логарифмических уравнений

20 мая 2014

Заключительные видео из длинной серии уроков про решение логарифмических уравнений. В этот раз мы будем работать в первую очередь с ОДЗ логарифма — именно из-за неправильного учета (или вообще игнорирования) области определения возникает большинство ошибок при решении подобных задач.

В этом коротком видеоуроке мы разберем применение формул сложения и вычитания логарифмов, а также разберемся с дробно-рациональными уравнениями, с которыми у многих учеников также возникают проблемы.

О чем пойдет речь? Главная формула, с которой я хотел бы разобраться, выглядит так:

loga (fg) = logaf + logag

Это стандартный переход от произведения к сумме логарифмов и обратно. Вы наверняка знаете эту формулу с самого начала изучения логарифмов. Однако тут есть одна заминка.

До тех пор, пока в виде переменных a, f и g выступают обычные числа, никаких проблем не возникает. Данная формула работает прекрасно.

Однако, как только вместоf и g появляются функции, возникает проблема расширения или сужения области определения в зависимости от того, в какую сторону преобразовывать. Судите сами: в логарифме, записанном слева, область определения следующая:

fg > 0

А вот в сумме, записанной справа, область определения уже несколько иная:

f > 0

g > 0

Данный набор требований является более жестким, чем исходный. В первом случае нас устроит вариант f < 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg > 0 выполняется).

Итак, при переходе от левой конструкции к правой возникает сужение области определения. Если же сначала у нас была сумма, а мы переписываем ее в виде произведения, то происходит расширение области определения.

Другими словами, в первом случае мы могли потерять корни, а во втором — получить лишние. Это необходимо учитывать при решении реальных логарифмических уравнений.

Итак, первая задача:

[Подпись к рисунку]

Слева мы видим сумму логарифмов по одному и тому же основанию. Следовательно, эти логарифмы можно сложить:

[Подпись к рисунку]

Как видите, справа мы заменил ноль по формуле:

a = logbba

Давайте еще немного преобразуем наше уравнение:

log4 (x− 5)2 = log4 1

Перед нами каноническая форма логарифмического уравнения, мы можем зачеркнуть знак log и приравнять аргументы:

(x− 5)2 = 1

|x − 5| = 1

Обратите внимание: откуда взялся модуль? Напомню, что корень из точного квадрата равен именно модулю:

[Подпись к рисунку]

Затем решаем классическое уравнение с модулем:

|f| = g (g > 0) ⇒f = ±g

x − 5 = ±1 ⇒x1 = 5 − 1 = 4; x2 = 5 + 1 = 6

Вот два кандидат на ответ. Являются ли они решением исходного логарифмического уравнения? Нет, ни в коем случае!

Оставить все просто так и записать ответ мы не имеем права. Взгляните на тот шаг, когда мы заменяем сумму логарифмов одним логарифмом от произведения аргументов. Проблема в том, что в исходных выражениях у нас стоят функции. Следовательно, следует потребовать:

х(х − 5) > 0; (х − 5)/х > 0.

Когда же мы преобразовали произведение, получив точный квадрат, требования изменились:

(x− 5)2 > 0

Когда это требование выполняется? Да практически всегда! За исключением того случая, когда х − 5 = 0. Т.е. неравенство сведется к одной выколотой точке:

х − 5 ≠ 0 ⇒ х ≠ 5

Как видим, произошло расширение области определения, о чем мы и говорили в самом начале урока. Следовательно, могут возникнуть и лишние корни.

Как же не допустить возникновения этих лишних корней? Очень просто: смотрим на наши полученные корни и сравниваем их с областью определения исходного уравнения. Давайте посчитаем:

х (х − 5) > 0

Решать будем с помощью метода интервалов:

х (х − 5) = 0 ⇒ х = 0; х = 5

Отмечаем полученные числа на прямой. Все точки выколотые, потому что неравенство строгое. Берем любое число, больше 5 и подставляем:

[Подпись к рисунку]

На интересуют промежутки (−∞; 0) ∪ (5; ∞). Если мы отметим наши корни на отрезке, то увидим, что х = 4 нас не устраивает, потому что этот корень лежит за пределами области определения исходного логарифмического уравнения.

Возвращаемся к совокупности, вычеркиваем корень х = 4 и записываем ответ: х = 6. Это уже окончательный ответ к исходному логарифмическому уравнению. Все, задача решена.

Переходим ко второму логарифмическому уравнению:

[Подпись к рисунку]

Решаем его. Заметим, что первое слагаемое представляет собой дробь, а второе — ту же самую дробь, но перевернутую. Не пугайтесь выражения lgx— это просто десятичный логарифм, мы можем записать:

lgx = log10x

Поскольку перед нами две перевернутые дроби, предлагаю ввести новую переменную:

[Подпись к рисунку]

Следовательно, наше уравнение может быть переписано следующим образом:

t + 1/t = 2;

t + 1/t− 2 = 0;

(t2 − 2t + 1)/t = 0;

(t − 1)2/t = 0.

Как видим, в числителе дроби стоит точный квадрат. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля:

(t− 1)2 = 0; t ≠ 0

Решаем первое уравнение:

t− 1 = 0;

t = 1.

Это значение удовлетворяет второму требованию. Следовательно, можно утверждать, что мы полностью решили наше уравнение, но только относительно переменной t. А теперь вспоминаем, что такое t:

[Подпись к рисунку]

Получили пропорцию:

lgx = 2 lgx + 1

2 lgx− lgx = −1

lgx = −1

Приводим это уравнение к канонической форме:

lgx = lg 10−1

x = 10−1 = 0,1

В итоге мы получили единственный корень, который, по идее, является решением исходного уравнения. Однако давайте все-таки подстрахуемся и выпишем область определения исходного уравнения:

[Подпись к рисунку]

Следовательно, наш корень удовлетворяет всем требованиям. Мы нашли решение исходного логарифмического уравнения. Ответ: x = 0,1. Задача решена.

Ключевой момент в сегодняшнем уроке один: при использовании формулы перехода от произведения к сумме и обратно обязательно учитывайте, что область определения может сужаться либо расширяться в зависимости от того, в какую сторону выполняется переход.

Как понять, что происходит: сужение или расширение? Очень просто. Если раньше функции были вместе, а теперь стали по отдельности, то произошло сужение области определения (потому что требований стало больше). Если же сначала функции стояли отдельно, а теперь — вместе, то происходит расширение области определения (на произведение накладывается меньше требований, чем на отдельные множители).

С учетом данного замечания хотел бы отметить, что второе логарифмическое уравнение вообще не требует данных преобразований, т. е. мы нигде не складываем и не перемножаем аргументы. Однако здесь я хотел бы обратить ваше внимание на другой замечательный прием, который позволяет существенно упростить решение. Речь идет о замене переменной.

Однако помните, что никакие замены не освобождает нас от области определения. Именно поэтому после того были найдены все корни, мы не поленились и вернулись к исходному уравнению, чтобы найти его ОДЗ.

Часто при замене переменной возникает обидная ошибка, когда ученики находят значение t и думают, что на этом решение закончено. Нет, ни в коем случае!

Когда вы нашли значение t, необходимо вернуться к исходному уравнению и посмотреть, что именно мы обозначали этой буквой. В результате нам предстоит решить еще одно уравнение, которое, впрочем, будет значительно проще исходного.

Именно в этом состоит смысл введения новой переменной. Мы разбиваем исходное уравнение на два промежуточных, каждое из которых решается существенно проще.

Как решать «вложенные» логарифмические уравнения

Сегодня мы продолжаем изучать логарифмические уравнения и разберем конструкции, когда один логарифм стоит под знаком другого логарифма. Оба уравнения мы будем решать с помощью канонической формы.

Сегодня мы продолжаем изучать логарифмические уравнения и разберем конструкции, когда один логарифм стоит под знаком другого. Оба уравнения мы будем решать с помощью канонической формы. Напомню, если у нас есть простейшее логарифмическое уравнение вида logaf(x) = b, то для решения такого уравнения мы выполняем следующие шаги. В первую очередь, нам нужно заменить число b:

b = logaab

Заметьте: ab— это аргумент. Точно так же в исходном уравнении аргументом является функция f(x). Затем мы переписываем уравнение и получаем вот такую конструкцию:

logaf(x) = logaab

Уже затем мы можем выполнить третий шаг — избавится от знака логарифма и просто записать:

f(x) = ab

В результате мы получим новое уравнение. При этом никаких ограничений на функцию f(x) не накладывается. Например, на ее месте также может стоять логарифмическая функция. И тогда мы вновь получим логарифмическое уравнение, которое снова сведем к простейшему и решим через каноническую форму.

Впрочем, хватит лирики. Давайте решим настоящую задачу. Итак, задача № 1:

log2 (1 + 3 log2x) = 2

Как видим, перед нами простейшее логарифмическое уравнение. В роли f(x) выступает конструкция 1 + 3 log2x, а в роли числа b выступает число 2 (в роли aтакже выступает двойка). Давайте перепишем эту двойку следующим образом:

2 = log2 22

Важно понимать, что первые две двойки пришли к нам из основания логарифма, т. е. если бы в исходном уравнении стояла 5, то мы бы получили, что 2 = log5 52. В общем, основание зависит исключительно от логарифма, который изначально дан в задаче. И в нашем случае это число 2.

Итак, переписываем наше логарифмическое уравнение с учетом того, что двойка, которая стоит справа, на самом деле тоже является логарифмом. Получим:

log2 (1 + 3 log2x) = log2 4

Переходим к последнему шагу нашей схемы — избавляемся от канонической формы. Можно сказать, просто зачеркиваем знаки log. Однако с точки зрения математики «зачеркнуть log» невозможно — правильнее сказать, что мы просто просто приравниваем аргументы:

1 + 3 log2x = 4

Отсюда легко находится 3 log2x:

3 log2x = 3

log2x = 1

Мы вновь получили простейшее логарифмическое уравнение, давайте снова приведем его к канонической форме. Для этого нам необходимо провести следующие изменения:

1 = log2 21 = log2 2

Почему в основании именно двойка? Потому что в нашем каноническом уравнении слева стоит логарифм именно по основанию 2. Переписываем задачу с учетом этого факта:

log2x = log2 2

Снова избавляемся от знака логарифма, т. е. просто приравниваем аргументы. Мы вправе это сделать, потому что основания одинаковые, и больше никаких дополнительных действий ни справа, ни слева не выполнялось:

х = 2

Вот и все! Задача решена. Мы нашли решение логарифмического уравнения.

Обратите внимание! Хотя переменная х и стоит в аргументе (т. е. возникают требования к области определения), мы никаких дополнительных требований предъявлять не будем.

Как я уже говорил выше, данная проверка является избыточной, если переменная встречается лишь в одном аргументе лишь одного логарифма. В нашем случае х действительно стоит лишь в аргументе и лишь под одним знаком log. Следовательно, никаких дополнительных проверок выполнять не требуется.

Тем не менее, если вы не доверяете данному методу, то легко можете убедиться, что х = 2 действительно является корнем. Достаточно подставить это число в исходное уравнение.

Давайте перейдем ко второму уравнению, оно чуть интересней:

log2 (log1/2 (2x− 1) + log2 4) = 1

Если обозначить выражение внутри большого логарифма функцией f(x), получим простейшее логарифмическое уравнение, с которого мы начинали сегодняшний видеоурок. Следовательно, можно применить каноническую форму, для чего придется представить единицу в виде log2 21 = log2 2.

Переписываем наше большое уравнение:

log2 (log1/2 (2x − 1) + log2 4) = log2 2

Изваляемся от знака логарифма, приравнивая аргументы. Мы вправе это сделать, потому что и слева, и справа основания одинаковые. Кроме того, заметим, что log2 4 = 2:

log1/2 (2x− 1) + 2 = 2

log1/2 (2x− 1) = 0

Перед нами снова простейшее логарифмическое уравнение вида logaf(x) = b. Переходим к канонической форме, т. е. представляем ноль в виде log1/2 (1/2)0 = log1/2 1.

Переписываем наше уравнение и избавляемся от знака log, приравнивая аргументы:

log1/2 (2x− 1) = log1/2 1

2x − 1 = 1

2х = 2

х = 1

Опять же мы сразу получили ответ. Никаких дополнительных проверок не требуется, потому что в исходном уравнении лишь один логарифм содержит функцию в аргументе.

Следовательно, никаких дополнительных проверок выполнять не требуется. Мы можем смело утверждать, что х = 1 является единственным корнем данного уравнения.

А вот если бы во втором логарифме вместо четверки стояла бы какая-то функция от х (либо 2х стояло бы не в аргументе, а в основании) — вот тогда потребовалось бы проверять область определения. Иначе велик шанс нарваться на лишние корни.

Откуда возникают такие лишние корни? Этот момент нужно очень четко понимать. Взгляните на исходные уравнения: везде функция х стоит под знаком логарифма. Следовательно, поскольку мы записали log2x, то автоматически выставляем требование х > 0. Иначе данная запись просто не имеет смысла.

Однако по мере решения логарифмического уравнения мы избавляемся от всех знаков log и получаем простенькие конструкции. Здесь уже никаких ограничений не выставляется, потому что линейная функция определена при любом значении х.

Именно эта проблема, когда итоговая функция определена везде и всегда, а исходная — отнюдь не везде и не всегда, и является причиной, по которой в решении логарифмических уравнениях очень часто возникают лишние корни.

Но повторю еще раз: такое происходить лишь в ситуации, когда функция стоит либо в нескольких логарифмах, либо в основании одного из них. В тех задачах, которые мы рассматриваем сегодня, проблем с расширением области определения в принципе не существует.

Случаи разного основания

Этот урок посвящен уже более сложным конструкциям. Логарифмы в сегодняшних уравнениях уже не будут решаться «напролом» — сначала потребуется выполнить некоторые преобразования.

Начинаем решение логарифмических уравнений с совершенно разными основаниями, которые не являются точными степенями друг друга. Пусть вас не пугают подобные задачи — решаются они ничуть не сложнее, чем самые простые конструкции, которые мы разбирали выше.

Но прежде, чем переходить непосредственно к задачам, напомню о формуле решения простейших логарифмических уравнений с помощью канонической формы. Рассмотрим задачу вот такого вида:

logaf(x) = b

Важно, что функция f(x) является именно функцией, а в роли чисел а и b должны выступать именно числа (без всяких переменных x). Разумеется, буквально через минуту мы рассмотрим и такие случаи, когда вместо переменных а и b стоят функции, но сейчас не об этом.

Как мы помним, число bнужно заменить логарифмом по тому же самому основанию а, которое стоит слева. Это делается очень просто:

b = logaab

Разумеется, под словом «любое число b» и «любое число а» подразумеваются такие значения, которые удовлетворяют области определения. В частности, в данном уравнении речь идет лишь основание a > 0 и a≠ 1.

Однако данное требование выполняется автоматически, потому что в исходной задаче уже присутствует логарифм по основанию а — оно заведомо будет больше 0 и не равно 1. Поэтому продолжаем решение логарифмического уравнения:

logaf(x) = logaab

Подобная запись называется канонической формой. Ее удобство состоит в том, что мы сразу можем избавиться от знака log, приравняв аргументы:

f(x) = ab

Именно этот прием мы сейчас будем использовать для решения логарифмических уравнений с переменным основанием. Итак, поехали!

log2 (x2 + 4x + 11) = log0,5 0,125

Что дальше? Кто-то сейчас скажет, что нужно вычислить правый логарифм, либо свести их к одному основанию, либо что-то еще. И действительно, сейчас нужно привести оба основания к одному виду — либо 2, либо 0,5. Но давайте раз и навсегда усвоим следующее правило:

Если в логарифмическом уравнении присутствуют десятичные дроби, обязательно переведите эти дроби из десятичной записи в обычную. Такое преобразование может существенно упростить решение.

Подобный переход нужно выполнять сразу, еще до выполнения каких-либо действий и преобразований. Давайте посмотрим:

log2 (x2 + 4x + 11) = log1/2 1/8

Что нам дает такая запись? Мы можем 1/2 и 1/8 представить как степень с отрицательным показателем:

[Подпись к рисунку]

Перед нами каноническая форма. Приравниваем аргументы и получаем классическое квадратное уравнение:

x2 + 4x + 11 = 8

x2 + 4x + 3 = 0

Перед нами приведенное квадратное уравнение, которое легко решается с помощью формул Виета. Подобные выкладки в старших классах вы должны видеть буквально устно:

(х + 3)(х + 1) = 0

x1 = −3

x2 = −1

Вот и все! Исходное логарифмическое уравнение решено. Мы получили два корня.

Напомню, что определять область определения в данном случае не требуется, поскольку функция с переменной х присутствует лишь в одном аргументе. Поэтому область определения выполняется автоматически.

Итак, первое уравнение решено. Переходим ко второму:

log0,5 (5x2 + 9x + 2) = log3 1/9

Как и в прошлый раз, рекомендую избавиться от десятичных дробей:

log1/2 (5x2 + 9x + 2) = log3 9−1

А теперь заметим, что аргумент первого логарифма тоже можно записать в виде степени с отрицательным показателем: 1/2 = 2−1. Затем можно вынести степени с обеих сторон уравнения и разделить все на −1:

[Подпись к рисунку]

И вот сейчас мы выполнили очень важный шаг в решении логарифмического уравнения. Возможно, кто-то что-то не заметил, поэтому давайте я поясню.

Взгляните на наше уравнение: и слева, и справа стоит знак log, но слева стоит логарифм по основанию 2, а справа стоит логарифм по основанию 3. Тройка не является целой степенью двойки и, наоборот: нельзя записать, что 2 — это 3 в целой степени.

Следовательно, это логарифмы с разными основаниями, которые не сводятся друг к другу простым вынесением степеней. Единственный путь решения таких задач — избавиться от одного из этих логарифмов. В данном случае, поскольку мы пока рассматриваем довольно простые задачи, логарифм справа просто сосчитался, и мы получили простейшее уравнение — именно такое, о котором мы говорили в самом начале сегодняшнего урока.

Давайте представим число 2, которое стоит справа в виде log2 22 = log2 4. А затем избавимся от знака логарифма, после чего у нас остается просто квадратное уравнение:

log2 (5x2 + 9x + 2) = log2 4

5x2 + 9x + 2 = 4

5x2 + 9x− 2 = 0

Перед нами обычное квадратное уравнение, однако оно не является приведенным, потому что коэффициент при x2 отличен от единицы. Следовательно, решать мы его будем с помощью дискриминанта:

D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121

x1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x2 = (−9 − 11)/10 = −2

Вот и все! Мы нашли оба корня, а значит, получили решение исходного логарифмического уравнения. Ведь в исходной задачи функция с переменной х присутствует лишь в одном аргументе. Следовательно, никаких дополнительных проверок на область определения не требуется — оба корня, которые мы нашли, заведомо отвечают всем возможным ограничениям.

На этом можно было бы закончить сегодняшний видеоурок, но в заключении я хотел бы сказать еще раз: обязательно переводите все десятичные дроби в обычные при решении логарифмических уравнений. В большинстве случаев это существенно упрощает их решение.

Редко, очень редко попадаются задачи, в которых избавление от десятичных дробей лишь усложняет выкладки. Однако в таких уравнениях, как правило, изначально видно, что избавляться от десятичных дробей не надо.

В большинстве остальных случаев (особенно если вы только начинаете тренироваться в решении логарифмических уравнений) смело избавляйтесь от десятичных дробей и переводите их в обычные. Потому что практика показывает, что таким образом вы значительно упростите последующее решение и выкладки.

Тонкости и хитрости решения

Сегодня мы переходим к более сложным задачам и будем решать логарифмическое уравнение, в основании которого стоит не число, а функция.

И пусть даже эта функция линейна — в схему решения придется внести небольшие изменения, смысл которых сводится к дополнительным требованиям, накладываемым на область определения логарифма.

Сложные задачи

Этот урок будет довольно длинным. В нем мы разберем два довольно серьезных логарифмических уравнения, при решении которых многие ученики допускают ошибки. За свою практику работы репетитором по математике я постоянно сталкивался с двумя видами ошибок:

  1. Возникновение лишних корней из-за расширения области определения логарифмов. Чтобы не допускать такие обидные ошибки, просто внимательно следите за каждым преобразованием;
  2. Потери корней из-за того, что ученик забыл рассмотреть некоторые «тонкие» случаи — именно на таких ситуациях мы сегодня и сосредоточимся.

Это последний урок, посвященный логарифмическим уравнениям. Он будет длинным, мы разберем сложные логарифмические уравнения. Устраивайтесь поудобней, заварите себе чай, и мы начинаем.

Первое уравнение выглядит вполне стандартно:

logx + 1 (x − 0,5) = logx − 0,5 (x + 1)

Сразу заметим, что оба логарифма являются перевернутыми копиями друг друга. Вспоминаем замечательную формулу:

logab = 1/logba

Однако у этой формулы есть ряд ограничений, которые возникают в том случае, если вместо чисел а и b стоят функции от переменной х:

b > 0

1 ≠ a > 0

Эти требования накладываются на основание логарифма. С другой стороны, в дроби от нас требуется 1 ≠ a > 0, поскольку не только переменная a стоит в аргументе логарифма ( следовательно, a > 0), но и сам логарифм находится в знаменателе дроби. Но logb 1 = 0, а знаменатель должен быть отличным от нуля, поэтому a ≠ 1.

Итак, ограничения на переменную a сохраняется. Но что происходит с переменной b? С одной стороны, из основания следует b> 0, с другой — переменная b≠ 1, потому что основание логарифма должно быть отлично от 1. Итого из правой части формулы следует, что 1 ≠ b > 0.

Но вот беда: второе требование (b ≠ 1) отсутствует в первом неравенстве, посвященном левому логарифму. Другими словами, при выполнении данного преобразования мы должны отдельно проверить, что аргумент bотличен от единицы!

Вот давайте и проверим. Применим нашу формулу:

[Подпись к рисунку]

А теперь, прежде чем идти дальше, выпишем все требования области определения, накладываемые на исходную задачу:

1 ≠ х − 0,5 > 0; 1 ≠ х + 1 > 0

Вот мы и получили, что уже из исходного логарифмического уравнения следует, что и а, и b должны быть больше 0 и не равны 1. Значит, мы спокойно можем переворачивать логарифмическое уравнение:

Предлагаю ввести новую переменную:

logx + 1 (x − 0,5) = t

В этом случае наша конструкция перепишется следующим образом:

(t2− 1)/t = 0

Заметим, что в числителе у нас стоит разность квадратов. Раскрываем разность квадратов по формуле сокращенного умножения:

(t − 1)(t + 1)/t = 0

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Но в числителе стоит произведение, поэтому приравниваем к нулю каждый множитель:

t1 = 1;

t2 = −1;

t ≠ 0.

Как видим, оба значения переменной tнас устраивают. Однако на этом решение не заканчивается, ведь нам требуется найти не t, а значение x. Возвращаемся к логарифму и получаем:

logx + 1 (x − 0,5) = 1;

logx + 1 (x − 0,5) = −1.

Давайте приведем каждое из этих уравнений к канонической форме:

logx + 1 (x − 0,5) = logx + 1 (x + 1)1

logx + 1 (x − 0,5) = logx + 1 (x + 1)−1

Избавляемся от знака логарифма в первом случае и приравниваем аргументы:

х − 0,5 = х + 1;

х − х = 1 + 0,5;

0 = 1,5.

Такое уравнение не имеет корней, следовательно, первое логарифмическое уравнение также не имеет корней. А вот со вторым уравнением все намного интересней:

(х − 0,5)/1 = 1/(х + 1)

Решаем пропорцию — получим:

(х − 0,5)(х + 1) = 1

Напоминаю, что при решении логарифмических уравнений гораздо удобней приводить все десятичные дроби обычные, поэтому давайте перепишем наше уравнение следующим образом:

(х − 1/2)(х + 1) = 1;

x2 + x− 1/2x− 1/2 − 1 = 0;

x2 + 1/2x− 3/2 = 0.

Перед нами приведенное квадратное уравнение, оно легко решается по формулам Виета:

(х + 3/2) (х − 1) = 0;

x1 = −1,5;

x2 = 1.

Получили два корня — они являются кандидатами на решение исходного логарифмического уравнения. Для того чтобы понять, какие корни действительно пойдут в ответ, давайте вернемся к исходной задаче. Сейчас мы проверим каждый из наших корней на предмет соответствия области определения:

1,5 ≠ х > 0,5; 0 ≠ х > −1.

Эти требования равносильны двойному неравенству:

1 ≠ х > 0,5

Отсюда сразу видим, что корень х = −1,5 нас не устраивает, а вот х = 1 вполне устраивает. Поэтому х = 1 — окончательное решение логарифмического уравнения.

Переходим ко второй задаче:

logx 25 + log125x 5 = log25x 625

На первый взгляд может показаться, что у всех логарифмов разные основания и разные аргументы. Что делать с такими конструкциями? В первую очередь заметим, что числа 25, 5 и 625 — это степени 5:

25 = 52; 625 = 54

А теперь воспользуемся замечательным свойством логарифма. Дело в том, что можно выносить степени из аргумента в виде множителей:

logabn = n ∙ logab

На данное преобразование также накладываются ограничения в том случае, когда на месте bстоит функция. Но у нас b— это просто число, и никаких дополнительных ограничений не возникает. Перепишем наше уравнение:

2 ∙ logx 5 + log125x 5 = 4 ∙ log25x 5

Получили уравнение с тремя слагаемыми, содержащими знак log. Причем аргументы всех трех логарифмов равны.

Самое время перевернуть логарифмы, чтобы привести их к одному основанию — 5. Поскольку в роли переменной b выступает константа, никаких изменений области определения не возникает. Просто переписываем:

[Подпись к рисунку]

Как и предполагалось, в знаменателе «вылезли» одни и те же логарифмы. Предлагаю выполнить замену переменной:

log5x = t

В этом случае наше уравнение будет переписано следующим образом:

Выпишем числитель и раскроем скобки:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) − 4t (t + 3) = 2 (t2 + 5t + 6) + t2 + 2t − 4t2 − 12t = 2t2 + 10t + 12 + t2 + 2t − 4t2 − 12t = −t2 + 12

Возвращаемся к нашей дроби. Числитель должен быть равен нулю:

[Подпись к рисунку]

А знаменатель — отличен от нуля:

t ≠ 0; t ≠ −3; t ≠ −2

Последние требования выполняются автоматически, поскольку все они «завязаны» на целые числа, а все ответы — иррациональные.

Итак, дробно-рациональное уравнение решено, значения переменной t найдены. Возвращаемся к решению логарифмического уравнения и вспоминаем, что такое t:

[Подпись к рисунку]

Приводим это уравнение к канонической форме, получим число с иррациональной степенью. Пусть это вас не смущает — даже такие аргументы можно приравнять:

[Подпись к рисунку]

У нас получилось два корня. Точнее, два кандидата в ответы — проверим их на соответствие области определения. Поскольку в основании логарифма стоит переменная х, потребуем следующее:

1 ≠ х > 0;

С тем же успехом утверждаем, что х ≠ 1/125, иначе основание второго логарифма обратится в единицу. Наконец, х ≠ 1/25 для третьего логарифма.

Итого мы получили четыре ограничения:

1 ≠ х > 0; х ≠ 1/125; х ≠ 1/25

А теперь вопрос: удовлетворяют ли наши корни указанным требованиям? Конечно удовлетворяют! Потому что 5 в любой степени будет больше нуля, и требование х > 0 выполняется автоматически.

С другой стороны, 1 = 50, 1/25 = 5−2, 1/125 = 5−3, а это значит, что данные ограничения для наших корней (у которых, напомню, в показателе стоит иррациональное число) также выполнены, и оба ответа являются решениями задачи.

Итак, мы получили окончательный ответ. Ключевых моментов в данной задаче два:

  1. Будьте внимательны при перевороте логарифма, когда аргумент и основание меняются местами. Подобные преобразования накладывают лишние ограничения на область определения.
  2. Не бойтесь преобразовывать логарифмы: их можно не только переворачивать, но и раскрывать по формуле суммы и вообще менять по любым формулам, которые вы изучали при решении логарифмических выражений. Однако при этом всегда помните: некоторые преобразования расширяют область определения, а некоторые — сужают.

В общем, при решении сложных логарифмических уравнений обязательно выписывайте исходную область определения. А у меня на сегодня все.:)

Смотрите также:

  1. Квадратные уравнения относительно логарифма
  2. Преобразование логарифмических неравенств с одинаковым основанием
  3. Локальная теорема Муавра — Лапласа
  4. Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №3
  5. Специфика работы с логарифмами в задаче B15
  6. Симметрия корней и оптимизация ответов в тригонометрии

www.berdov.com

Логарифмические выражения

Логарифмические выражения, решение примеров. В этой статье мы рассмотрим задачи связанные с решением логарифмов. В заданиях ставится вопрос о нахождении значения выражения. Нужно отметить, что понятие логарифма используется во многих заданиях и понимать его смысл крайне важно. Что касается ЕГЭ, то логарифм используется при решении уравнений, в прикладных задачах, также в заданиях связанных с исследованием функций.

Приведём примеры для понимания самого смысла логарифма:

Основное логарифмическое тождество:

Свойства логарифмов, которые необходимо  всегда помнить:

*Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

* * *

*Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов сомножителей.

* * *

*Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.

* * *

*Переход к новому основанию

* * *

Ещё свойства:

* * *

Вычисление логарифмов тесно связано с использованием свойств показателей степени.

Перечислим некоторые из них:

Суть данного свойства заключается в том, что при переносе числителя в знаменатель и наоборот, знак показателя степени меняется на противоположный.  Например:

Следствие из данного свойства:

* * *

При возведении степени в степень основание остаётся прежним, а показатели перемножаются.

* * *

При возведении в степень произведения в эту же степень возводится каждый множитель.

Так же необходимо знать следующее свойство:

Рассмотрим примеры:

*Данный контент (более 20 подробно решённых примеров) доступен только для зарегистрированных пользователей! Вкладка регистрации (входа) находится в ГЛАВНОМ МЕНЮ сайта. После прохождения регистрации войдите на сайт и обновите данную страницу.

Как вы убедились само понятие логарифма несложное. Главное то, что необходима хорошая практика, которая даёт определённый навык. Разумеется знание формул обязательно. Если навык в преобразовании элементарных логарифмов не сформирован, то при решении  простых заданий можно легко допустить ошибку.

Практикуйтесь, решайте сначала простейшие примеры из курса математики, затем переходите к более сложным. В будущем обязательно покажу, как решаются «страшненькие» логарифмы, таких на ЕГЭ не будет, но они представляют интерес, не пропустите!

На этом всё! Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

matematikalegko.ru

Задания В11. Логарифмические выражения | Подготовка к ЕГЭ по математике

 Часть 4.

Здесь смотрим части 1, 2, 3, 5

При решении задач, что мы сегодня рассматриваем, нам понадобятся свойства логарифмов.

 

 Числовые логарифмические выражения

Задание 1.

Найдите значение выражения  .

Решение: + показать

Задание 2.

Найдите значение выражения .

Решение: + показать

Представим как и далее воспользуемся  следующим свойством логарифмов:

при :

А теперь применяем основное логарифмическое тождество:

Ответ: 49. 

Задание 3.

Найдите значение выражения .

Решение: + показать

Задание 4.

Найдите значение выражения .

Решение: + показать

Задание 5.

Найдите значение выражения .

Решение: + показать

Ответ: 12. 

Задание 6.

Найдите значение выражения .

Решение: + показать

Складывать логарифмы не имеем право, у них разные основания.

Работаем с каждым слагаемым по отдельности:

Тогда 

Ответ: 1,5. 

Задание 7.

Найдите значение выражения .

Решение: + показать

Задание 8.

Найдите значение выражения .

Решение: + показать

Ответ: 2. 

Задание 9.

Найдите значение выражения .

Решение: + показать

Задание 10.

Найдите значение выражения .

Решение: + показать

Ответ: 9. 

Задание 11.

Найдите значение выражения .

Решение: + показать

Ответ: 1. 

Задание 12.

Найдите значение выражения .

Решение: + показать

Ответ: 9. 

Задание 13.

Найдите значение выражения .

Решение: + показать

Ответ: 0. 

Задание 14.

Вычислите значение выражения: .

Решение: + показать

В самом конце мы применили основное логарифмическое тождество, а до этого – следствие из свойства 7 логарифмов.

Ответ: 2. 

Задание 15.

Найдите значение выражения .

Решение: + показать

Обратите внимание, это не произведение логарифмов. У логарифма по основанию подлогарифмным выражением является .

Ответ: 0,25. 

Буквенные логарифмические выражения

Задание 1.

Найдите , если .

Решение: + показать

При  имеем:

Ответ: -32. 

Задание 2.

Найдите значение выражения , если .

Решение: + показать

:) После плодотворной работы не помешало бы и отдохнуть немного… –>+ показать

Жизнь полна неожиданностей, неправда ли?

 

Вы можете пройти обучающий тест по теме «Преобразование логарифмических выражений».

 

 

egemaximum.ru

Логарифмы, примеры решений

Теория про логарифмы

Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается :

   

а логарифм по основанию называют натуральным и обозначают :

   

Примеры

ПРИМЕР 3
Задание Вычислить значение выражения

   

Решение Перейдем в каждом из слагаемых к логарифму по основанию 18, используя формулу перехода . Получим:

   

Так как сумма логарифмов равна логарифму произведения, последняя сумма перепишется в виде:

   

Число 324 можно представить как степень 18, получим

   

далее выносим степень как коэффициент перед знаком логарифма:

   

Учитывая, что , окончательно будем иметь:

   

Ответ
ПРИМЕР 5
Задание Вычислить
Решение Перейдем во всех логарифмах к основанию 2, используя формулу перехода к новому основанию:

   

получим

   

Представим 4 и 8 в виде степени двойки и вынесем полученные степени за знак логарифма как коэффициент:

   

Ответ
Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Логарифмы: примеры и решения

Как известно, при перемножении выражений со степенями их показатели всегда складываются (ab*ac = ab+c). Этот математический закон был выведен Архимедом, а позже, в VIII веке, математик Вирасен создал таблицу целых показателей. Именно они послужили для дальнейшего открытия логарифмов. Примеры использования этой функции можно встретить практически везде, где требуется упростить громоздкое умножение на простое сложение. Если вы потратите минут 10 на прочтение этой статьи, мы вам объясним, что такое логарифмы и как с ними работать. Простым и доступным языком.

Определение в математике

Логарифмом называется выражение следующего вида: logab=c, то есть логарифмом любого неотрицательного числа (то есть любого положительного) "b" по его основанию "a" считается степень "c", в которую необходимо возвести основание "a", чтобы в итоге получить значение "b". Разберем логарифм на примерах, допустим, есть выражение log28. Как найти ответ? Очень просто, нужно найти такую степень, чтобы из 2 в искомой степени получить 8. Проделав в уме некоторые расчеты, получаем число 3! И верно, ведь 2 в степени 3 дает в ответе число 8.

Разновидности логарифмов

Для многих учеников и студентов эта тема кажется сложной и непонятной, однако на самом деле логарифмы не так страшны, главное - понять общий их смысл и запомнить их свойста и некоторые правила. Существует три отдельных вида логарифмических выражений:

  1. Натуральный логарифм ln a, где основанием является число Эйлера (e = 2,7).
  2. Десятичный логарифм lg a, где основанием служит число 10.
  3. Логарифм любого числа b по основанию a>1.

Каждый из них решается стандартным способом, включающим в себя упрощение, сокращение и последующее приведение к одному логарифму с помощью логарифмических теорем. Для получения верных значений логарифмов следует запомнить их свойства и очередность действий при их решениях.

Правила и некоторые ограничения

В математике существует несколько правил-ограничений, которые принимаются как аксиома, то есть не подлежат обсуждению и являются истиной. Например, нельзя числа делить на ноль, а еще невозможно извлечь корень четной степени из отрицательных чисел. Логарифмы также имеют свои правила, следуя которым можно с легкостью научиться работать даже с длинными и емкими логарифмическими выражениями:

Как решать логарифмы?

К примеру, дано задание найти ответ уравнения 10х= 100. Это очень легко, нужно подобрать такую степень, возведя в которую число десять, мы получим 100. Это, конечно же, квадратичная степень! 102=100.

А теперь давайте представим данное выражение в виде логарифмического. Получим log10100 = 2. При решении логарифмов все действия практически сходятся к тому, чтобы найти ту степень, в которую необходимо ввести основание логарифма, чтобы получить заданное число.

Для безошибочного определения значенияя неизвестной степени необходимо научиться работать с таблицей степеней. Выглядит она следующим образом:

Как видите, некоторые показатели степени можно угадать интуитивно, если имеется технический склад ума и знание таблицы умножения. Однако для больших значений потребуется таблица степеней. Ею могут пользоваться даже те, кто совсем ничего не смыслит в сложных математических темах. В левом столбце указаны числа (основание a), верхний ряд чисел - это значение степени c, в которую возводится число a. На пересечении в ячейках определены значения чисел, являющиеся ответом (ac=b). Возьмем, к примеру, самую первую ячейку с числом 10 и возведем ее в квадрат, получим значение 100, которое указано на пересечении двух наших ячеек. Все так просто и легко, что поймет даже самый настоящий гуманитарий!

Уравнения и неравенства

Получается, что при определенных условиях показатель степени - это и есть логарифм. Следовательно, любые математические численные выражения можно записать в виде логарифмического равенства. Например, 34=81 можно записать в виде логарифма числа 81 по основанию 3, равному четырем (log381 = 4). Для отрицательных степеней правила такие же: 2-5= 1/32 запишем в виде логарифма, получим log2 (1/32) = -5. Одной из самых увлекательных разделов математики является тема "логарифмы". Примеры и решения уравнений мы рассмотрим чуть ниже, сразу же после изучения их свойств. А сейчас давайте разберем, как выглядят неравенства и как их отличить от уравнений.

Дано выражение следующего вида: log2(x-1) > 3 - оно является логарифмическим неравенством, так как неизвестное значение "х" находится под знаком логарифма. А также в выражении сравниваются две величины: логарифм искомого числа по основанию два больше, чем число три.

Самое главное отличие между логарифмическими уравнениями и неравенствами заключается в том, что уравнения с логарифмами (пример - логарифм2x = √9)подразумевают в ответе одно или несколько определенных числовых значений, тогда как при решении неравенства определяются как область допустимых значений, так и точки разрыва этой функции. Как следствие, в ответе получается не простое множество отдельных чисел как в ответе уравнения, а а непрерывный ряд или набор чисел.

Основные теоремы о логарифмах

При решении примитивных заданий по нахождению значений логарифма, его свойства можно и не знать. Однако когда речь заходит о логарифмических уравнениях или неравенствах, в первую очередь, необходимо четко понимать и применять на практике все основные свойства логарифмов. С примерами уравнений мы познакомимся позже, давайте сначала разберем каждое свойство более подробно.

  1. Основное тождество выглядит так: аlogaB=B. Оно применяется только при условии, когда а больше 0, не равно единице и B больше нуля.
  2. Логарифм произведения можно представить в следующей формуле: logd(s1*s2) = logds1 + logds2. При этом обязательным условием является: d, s1 и s2 > 0; а≠1. Можно привести доказательство для этой формулы логарифмов, с примерами и решением. Пусть logas1 = f1 и logas2 = f2, тогда af1= s1, af2= s2. Получаем, что s1*s2 = af1*af2= af1+f2 (свойства степеней), а далее по определению: loga(s1*s2)= f1+ f2 = logas1 + logas2, что и требовалось доказать.
  3. Логарифм частного выглядит так: loga(s1/s2) = logas1- logas2.
  4. Теорема в виде формулы приобретает следующий вид: logaqbn = n/q logab.

Называется эта формула "свойством степени логарифма". Она напоминает собой свойства обычных степеней, и неудивительно, ведь вся математика держится на закономерных постулатах. Давайте посмотрим на доказательство.

Пусть logab = t, получается at=b. Если возвести обе части в степень m: atn = bn;

но так как atn= (aq)nt/q = bn, следовательно logaqbn = (n*t)/t, тогда logaqbn = n/q logab. Теорема доказана.

Примеры задач и неравенств

Самые распространенные типы задач на тему логарифмов - примеры уравнений и неравенств. Они встречаются практически во всех задачниках, а также входят в обязательную часть экзаменов по математике. Для поступления в университет или сдачи вступительных испытаний по математике необходимо знать, как правильно решать подобные задания.

К сожалению, единого плана или схемы по решению и определению неизвестного значения логарифма не существует, однако к каждому математическому неравенству или логарифмическому уравнению можно применить определенные правила. Прежде всего следует выяснить, можно ли упростить выражение или привести к общему виду. Упрощать длинные логарифмические выражения можно, если правильно использовать их свойства. Давайте скорее с ними познакомимся.

При решении же логарифмических уравнений, следует определить, какой перед нами вид логарифма: пример выражения может содержать натуральный логарифм или же десятичный.

Вот примеры десятичных логарифмов: ln100, ln1026. Их решение сводится к тому, что нужно определить ту степень, в которой основание 10 будет равно 100 и 1026 соответственно. Для решений же натуральных логарифмов нужно применить логарифмические тождества или же их свойства. Давайте на примерах рассмотрим решение логарифмических задач разного типа.

Как использовать формулы логарифмов: с примерами и решениями

Итак, рассмотрим примеры использования основных теорем о логарифмах.

  1. Свойство логарифма произведения можно применять в заданиях, где необходимо разложить большое значение числа b на более простые сомножители. Например, log24 + log2128 = log2(4*128) = log2512. Ответ равен 9.
  2. log48 = log22 23 = 3/2 log22 = 1,5 - как видите, применяя четвертое свойство степени логарифма, удалось решить на первый взгляд сложное и нерешаемое выражение. Необходимо всего лишь разложить основание на множители и затем вынести значения степени из знака логарифма.

Задания из ЕГЭ

Логарифмы часто встречаются на вступительных экзаменах, особенно много логарифмических задач в ЕГЭ (государственный экзамен для всех выпускников школ). Обычно эти задания присутствуют не только в части А (самая легкая тестовая часть экзамена), но и в части С (самые сложные и объемные задания). Экзамен подразумевает точное и идеальное знание темы "Натуральные логарифмы".

Примеры и решения задач взяты из официальных вариантов ЕГЭ. Давайте посмотрим, как решаются такие задания.

Дано log2(2x-1) = 4. Решение:перепишем выражение, немного его упростив log2(2x-1) = 22, по определению логарифма получим, что 2x-1 = 24, следовательно 2x = 17; x = 8,5.

Ниже даны несколько рекомендаций, следуя которым можно с легкостью решать все уравнения, содержащие выражения, которые стоят под знаком логарифма.

fb.ru

Формулы логарифмов. Логарифмы примеры решения.

Сегодня мы поговорим о формулах логарифмов и дадим показательные примеры решения.

Ранее мы уже познакомились с понятием логарифма. А также рассмотрели основные свойства и примеры решения.

Формулы логарифмов сами по себе подразумевают шаблоны решения согласно основным свойствам логарифмов. Прежде применять формулы логарифмов для решения напомним для вас, сначала все свойства:

Теперь на основе этих формул(свойств), покажем примеры решения логарифмов.

Примеры решения логарифмов на основании формул.

Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается logab) - это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b, при этом b > 0, a > 0, а 1.

Согласно определения logab = x, что равносильно ax = b, поэтому logaax = x.

Логарифмы, примеры:

log28 = 3, т.к. 23 = 8

log749 = 2, т.к. 72 = 49

log51/5 = -1, т.к. 5-1 = 1/5

Десятичный логарифм - это обычный логарифм, в основании которого находится 10. Обозначается как lg.

lg100 = 2

log10100 = 2, т.к. 102 = 100

Натуральный логарифм - также обычный логарифм логарифм, но уже с основанием е (е = 2,71828... - иррациональное число). Обозначается как ln.

Формулы или свойства логарифмов желательно запомнить, потому что они понадобятся нам в дальнейшем при решении логарифмов, логарифмических уравнений и неравенств. Давайте еще раз отработаем каждую формулу на примерах.

Как видите, формулы логарифмов не так сложны как кажутся. Теперь рассмотрев примеры решения логарифмов мы можем переходить к логарифмическим уравнениям. Примеры решения логарифмических уравнений мы более подробно рассмотрим в статье: "Решение логарифмических уравнений. Как решать, на примерах". Не пропустите!

Если у вас остались вопросы по решению, пишите их в комментариях к статье.

Заметка: решили получить образование другого класса обучение за рубежом как вариант развития событий.

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

reshit.ru

Логарифмические уравнения, примеры решений

Найдем ОДЗ:

   

   

   

   

   

   

Решение логарифмического уравнения имеет вид . Применяя это к исходному уравнению, получим

   

   

Умножим левую и правую части последнего равенства на , получим:

   

   

   

Полученное показательное уравнение решим методом замены переменной. Введем замену , тогда уравнение примет вид:

   

Полученное квадратное уравнение можно свернуть по формулам сокращенного умножения в квадрат разности:

   

Сделаем обратную замену ОДЗ.

ru.solverbook.com