Наибольшее и наименьшее значение функции. Задание В15 (2014). У наибольшее и у наименьшее как найти

Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке?

Для этого мы следуем известному алгоритму:

1. Находим ОДЗ функции.

2. Находим производную функции

3. Приравниваем производную к нулю

4. Находим промежутки, на которых производная сохраняет знак, и по ним определяем промежутки возрастания и убывания функции:

Если на промежутке I производная функции $f^{prime}(x)>0$ , то функция y=f(x) возрастает на этом промежутке.

Если на промежутке I производная функции $f^{prime}(x)<0$ , то функция y=f(x) убывает на этом промежутке.

5. Находим точки максимума и минимума функции.

В точке максимума функции производная меняет знак с "+" на "-".

В точке минимума функции производная меняет знак с "-" на "+".

6. Находим значение функции в концах отрезка,

затем сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках максимума, и выбираем из них наибольшее, если нужно найти наибольшее значение функции
или сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках минимума, и выбираем из них наименьшее, если нужно найти наименьшее значение функции

Однако, в зависимости от того, как себя ведет функция на отрезке, это алгоритм можно значительно сократить.

Рассмотрим функцию f(x)=x^3-2x^2+3 . График этой функции выглядит так:

В зависимости от того, на каком промежутке мы будем рассматривать функцию, алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения будет различным.

1. Рассмотрим функцию на отрезке {x}{in}delim{[}{-1;0}{]}

Функция возрастает на этом отрезке, поэтому наибольшее значение она будет принимать в правом конце отрезка: f(0) , а наименьшее - в левом: f(-1) .

2. Рассмотрим функцию на отрезке {x}{in}delim{[}{-1;1}{]}

Очевидно, что наибольшее значение функция принимает в точке максимума f(0) , а наименьшее - в одном из концов отрезка, то есть надо найти значения f(-1) и f(1) и выбрать из них наименьшее.

3. Если мы рассмотрим функцию на отрезке {x}{in}delim{[}{-1;2}{]} , то чтобы найти наибольшее значение, нам нужно будет сравнить значения функции в точке максимума и в правом конце отрезка, то есть f(0) и f(2) .

Чтобы найти наименьшее значение функции, нам нужно будет сравнить значения функции в точке минимума и в левом конце отрезка, то есть f(4/3) и f(-1) .

Эти рассуждения очевидны, если перед глазами есть график функции. Но эскиз графика легко нарисовать, проведя исследование функции с помощью производной:

1. ОДЗ функции f(x)=x^3-2x^2+3 - множество действительных чисел.

2. $f^{prime}(x)=3x^2-4x$

3. 3x^2-4x=0 , если x_1=0 или x_2=4/3

Нанесем корни производной на числовую ось и расставим знаки. Теперь поведение функции легко определить, и, следуя за стрелками, символизирующими возрастание - убывание, можно схематично изобразить ее график:

Рассмотрим несколько примеров решения задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике

1. Задание B15 (№ 26695)

Найдите наибольшее значение функции y=15x-3sinx+5 на отрезке [-{pi}/2;0] .

1. Функция y=15x-3sinx+5 определена при всех действительных значениях х

2. $y^{prime}= 15-3cosx$

3. 15-3cosx=0

cosx=5 Очевидно, что это уравнений не имеет решений, и производная при всех значениях х положительна. Следовательно, функция y=15x-3sinx+5 возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, то есть при х=0.

y(0)=5

Ответ: 5.

2. Задание B15 (№ 26702)

Найдите наибольшее значение функции y=3tgx-3x+5 на отрезке [ -{pi}/4;0 ].

1. ОДЗ функции y=3tgx-3x+5 x<>{pi}/2+{pi}k, k{in}{bbZ}

2. $y^{prime}=3/{cos^2{x}}-3$

Производная равна нулю при cosx={pm}1 , однако, в этих точках она не меняет знак:

$0<cos^2{x}<=1$ , следовательно, $3/{cos^2{x}}>=3$ , значит, $3/{cos^2{x}}-3>=0$ , то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция y=3tgx-3x+5 возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, при x=0 .

Чтобы стало очевидно, почему производная не меняет знак, преобразуем выражение для производной следующим образом:

$y^{prime}=3/{cos^2{x}}-3={3-3cos^2{x}}/{cos^2{x}}={3sin^2{x}}/{cos^2{x}}=3tg^2{x}>=0$

у(0)=5

Ответ: 5.

3. Задание B15 (№ 26708)

Найдите наименьшее значение функции y=2tgx-4x+{pi}-3 на отрезке [ -{pi}/3;{pi}/3 ].

1. ОДЗ функции y=2tgx-4x+{pi}-3 : x<>{pi}/2+{pi}k, k{in}{bbZ}

2. $y^{prime}=2/{cos^2{x}}-4$

3. $2/{cos^2{x}}-4=0$

$cos^2{x}=1/2$ , cos{x}={pm}sqrt{2}/2

Расположим корни этого уравнения на тригонометрической окружности.

Промежутку delim{[}{-{pi}/3;{pi}/3}{]} принадлежат два числа: -{pi}/4 и {pi}/4

Расставим знаки. Для этого определим знак производной в точке х=0: $y^{prime}(0)=2/{cos^2(0)}-4=-2<0$ . При переходе через точки -{pi}/4 и {pi}/4 производная меняет знак.

Изобразим смену знаков производной функции y=2tgx-4x+{pi}-3 на координатной прямой:

Очевидно, что точка x={pi}/4 является точкой минимума ( в ней производная меняет знак с "-" на "+"), и чтобы найти наименьшее значение функции y=2tgx-4x+{pi}-3 на отрезке delim{[}{-{pi}/3;{pi}/3}{]} , нужно сравнить значения функции в точке минимума и в левом конце отрезка, f({-{pi}/3}) .

Схитрим: так как результат должен быть целым числом, или конечной десятичной дробью, а tg({-{pi}/3}) таковым на является, следовательно подставим в уравнение функции x={pi}/4

y{({pi}/4)}=2tg({pi}/4)-4({pi}/4)+{pi}-3=-1

Ответ: -1

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Попробуйте скачатьFirefox

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке

Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке наименьшего и наибольшего значений. Это может произойти либо в точках экстремума, либо на концах отрезка. Поэтому для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции, непрерывной на отрезке [a, b], нужно вычислить её значения во всех критических точках и на концах отрезка, а затем выбрать из них наименьшее и наибольшее.

Пусть, например, требуется определить наибольшее значение функции f(x) на отрезке [a, b]. Для этого следует найти все её критические точки, лежащие на [a, b].

Критической точкой называется точка, в которой функция определена, а её производная либо равна нулю, либо не существует. Затем следует вычислить значения функции в критических точках. И, наконец, следует сравнить между собой по величине значения функции в критических точках и на концах отрезка (f(a) и f(b)). Наибольшее из этих чисел и будет наибольшим значением функции на отрезке [a, b].

Аналогично решаются и задачи на нахождение наименьших значений функции.

Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1, 2].

Решение. Находим производную данной функции . Приравняем производную нулю () и получим две критические точки: и . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке достаточно вычислить её значения на концах отрезка и в точке , так как точка не принадлежит отрезку [-1, 2]. Эти значения функции - следующие: , , . Из этого следует, что наименьшее значение функции, равное -7, достигается на правом конце отрезка - в точке , а наибольшее, равно 9, - в критической точке .

Если функция непрерывна в некотором промежутке и этот промежуток не является отрезком (а является, например, интервалом; разница между интервалом и отрезком: граничные точки интервала не входят в интервал, а граничные точки отрезка входят в отрезок), то среди значений функции может и не быть наименьшего и наибольшего. Так, например, функция, изображённая на рисунке ниже, непрерывна на ]-∞, +∞[ и не имеет наибольшего значения.

Однако для любого промежутка (закрытого, открытого или бесконечного) справедливо следующее свойство непрерывных функций.

Если функция непрерывна в промежутке и имеет единственный экстремум, то он является наименьшим значением в случае минимума и наибольшим - в случае максимума.

Как наименьшее значение функции, так и её наибольшее значение, могут быть найдены не только в одной точке, принадлежащей заданного интервала, а, как, например, далее - в двух.

Нередки случаи, когда уравнение, полученное от приравнивания производной функции нулю, не имеет действительных решений. Тогда наименьшее и наибольшее значения функции можно найти только на концах отрезка. Таков следующий пример.

Неплохо было бы взять и случаи, когда производная функции вычисляется не одним махом, как в предыдущих примерах. Это мы сейчас и сделаем, решив пример, где требуется найти производную частного.

Пример 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1, 3].

Решение. Находим производную данной функции как производную частного:

Приравниваем производную нулю, что даёт нам одну критическую точку: . Она принадлежит отрезку [-1, 3]. Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:

Сравниваем эти значения. Вывод: функция достигает наименьшего значения, равного -5/13, в точке и наибольшего значения, равного 1, в точке .

Есть преподаватели, которые по теме нахождения наименьшего и наибольшего значений функции не дают студентам для решения примеры сложнее только что рассмотренных, то есть таких, в которых функция - многочлен либо дробь, числитель и знаменатель которой - многочлены. Но мы не ограничимся такими примерами, поскольку среди преподавателей бывают любители заставить студентов думать по полной (таблице производных). Поэтому в ход пойдут логарифм и тригонометрическая функция.

В прикладных экстремальных задачах нахождение наименьшего (наибольшего) значений функции, как правило, сводится к нахождению минимума (максимума). Но больший практический интерес имеют не сами минимумы или максимумы, а те значения аргумента, при которых они достигаются. При решении прикладных задач возникает дополнительная трудность - составление функций, описывающих рассматриваемое явление или процесс.

Пример 8. Резервуар ёмкостью 4 , имеющий форму параллелепипеда с квадратным основанием и открытый сверху, нужно вылудить оловом. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы на его покрытие ушло наименьшее количество материала?

Решение. Пусть x - сторона основания, h - высота резервуара, S - площадь его поверхности без крышки, V - его объём. Площадь поверхности резервуара выражается формулой , т.е. является функцией двух переменных . Чтобы выразить S как функцию одной переменной, воспользуемся тем, что , откуда . Подставив найденное выражение h в формулу для S:

или

Исследуем эту функцию на экстремум. Она определена и дифференцируема всюду в ]0, +∞[, причём

Приравниваем производную нулю () и находим критическую точку . Кроме того, при производная не существует, но это значение не входит в область определения и поэтому не может быть точкой экстремума. Итак, - единственная критическая точка. Проверим её на наличие экстремума, используя второй достаточный признак. Найдём вторую производную . При вторая производная больше нуля (). Значит, при функция достигает минимума . Поскольку этот минимум - единственный экстремум данной функции, он и является её наименьшим значением. Итак, сторона основания резервуара должна быть равна 2 м, а его высота .

Пример 9. Из пункта A, находящегося на линии железной дороги, в пункт С, отстоящий от неё на расстоянии l, должны переправляться грузы. Стоимость провоза весовой единицы на единицу расстояния по железной дороге равна , а по шоссе она равна . К какой точке М линии железной дороги следует провести шоссе, чтобы транспортировка груза из А в С была наиболее экономичной (участок АВ железной дороги предполагается прямолинейным)?

Пусть , , (см. рисунок ниже).

Тогда , , . Стоимость провоза p единиц груза по шоссе СМ составит , а по железной дороге МА она составит . Общая стоимость провоза груза по пути СМА выражается функцией

где .

Нужно найти наименьшее значение этой функции. Она дифференцируема при всех значениях x, причём

Приравняв производную нулю, получим иррациональное уравнение , решение которого даёт единственную критическую точку (так как точка не входит в область определения функции).

Взяв контрольные точки и слева и справа от критической точки, убедимся, что производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, при стоимость провоза груза из А и С является наименьшей, если . Если же , т. е. , то шоссе должно пройти по прямой АС (см. рисунок ниже).

Весь блок "Производная"

function-x.ru

Наибольшее и наименьшее значение функции.

В этой статье я расскажу о том, как применять умение находить производную сложной функции к исследованию функции: к нахождению ее наибольшего или наименьшего значения. А затем мы решим несколько задач из Задания В15 из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.

Как обычно, сначала вспомним теорию.

В начале любого исследования функции находим ее область определения.

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции y=f(x) , нужно исследовать, на каких промежутках функция возрастает, и на каких убывает.

Для этого надо найти производную функции y=f(x) и исследовать ее промежутки знакопостоянства, то есть промежутки, на которых производная сохраняет знак.

Промежутки, на которых производная функции положительна, являются промежутками возрастания функции.

Промежутки, на которых производная функции отрицательна, являются промежутками убывания функции.

1. Решим задание В15 (№ 245184)

Найдите наибольшее значение функции $y=3^{-7-6x-x^2}$

Для его решения будем следовать такому алгоритму:

а) Найдем область определения функции $y=3^{-7-6x-x^2}$

б) Найдем производную функции $y=3^{-7-6x-x^2}$ .

в) Приравняем ее к нулю.

г) Найдем промежутки знакопостоянства функции.

д) Найдем точку, в которой функция принимает наибольшее значение.

е) Найдем значение функции в этой точке.

Подробное решение этого задания я рассказываю в ВИДЕОУРОКЕ:

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр "Час ЕГЭ", попробуйте скачатьFirefox

2. Решим задание В15 (№282862)

Найдите наибольшее значение функции $y={(x-2)}^2(x-4)+5$ на отрезке [1;3]

а) Найдем область определения функции . Эта функция определена при любом действительном значении

б) Найдем производную функции $y={(x-2)}^2(x-4)+5$ . Для этого удобно правую часть уравнения функции преобразовать в многочлен. Можно, конечно, использовать формулу для нахождения производной произведения, но в этом случае, мне кажется, что это нецелесообразно.

$f(x)={(x-2)}^2(x-4)+5=(x^2-4x+4)(x-4)+5=x^3-4x^2+4x-4x^2+16x-16+5=x^3-8x^2+20x-11$

${f}prime(x)={(x^3-8x^2+20x-11)}prime=3x^2-16x+20$

в) Приравняем производную к нулю:

3x^2-16x+20=0

x_1=2 , $x_2={10}/3$

г) Исследуем знаки производной:

Мы исследуем поведение функции на отрезке [1;3]:

Очевидно, что наибольшее значение на отрезке [1,3] функция принимает в точке максимума, при х=2. Найдем значение функции в этой точке: $y(2)={(2-2)}^2(2-4)+5=5$

Ответ: 5

3. Решим задание В15 (№245180):

Найдите наибольшее значение функции $y=log_5{(4-2x-x^2)}+3$

a) Найдем область определения функции . Выражение, стоящее под знаком логарифма должно быть больше нуля: 4-2x-x^2>0 . Пока на этом остановимся, решим неравенство, если в этом возникнет необходимость в процессе решения.

а) Найдем производную функции $y=log_5{(4-2x-x^2)}+3$ :

В таблице производных найдем производную логарифмической функции:

${(log_{a}x)}prime=1/{xlna}$

Для производной сложной функции эта формула выглядит так:

${(log_{a}{Delta})}prime=1/{{Delta}lna}{Delta}prime$

${(log_5{(4-2x-x^2)}+3)}prime=({log_5{(4-2x-x^2)})prime+{(3)}prime={1/{(4-2x-x^2)ln5}}*{(4-2x-x^2)}prime={-2-2x}/{(4-2x-x^2)ln5}}$

Выясним промежутки знакопостоянства выражения ${-2-2x}/{(4-2x-x^2)ln5}$

Воспользуемся методом интервалов.

1. ln5>0 , , т.к. 5>1 , поэтому это число не влияет на знак неравенства.

2. Т.к по область определения исходной функции 4-2x-x^2>0 , следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.

3. Числитель равен нулю при x=-1 . Проверим, принадлежит ли x=-1 ОДЗ функции. Для этого проверим, выполняется ли условие 4-2x-x^2>0 при x=-1 .

$4-2(-1)-{(-1)}^2>0$ ,

значит, точка x=-1 принадлежит ОДЗ функции

Исследуем знак производной справа и слева от точки x=-1 :

Мы видим, что наибольшее значение функция принимает в точке x=-1 . Теперь найдем значение функции при x=-1 :

$y=log_5{(4-2(-1)-{(-1)}^2)}+3=log_5{5}+3=1+3=4$

Ответ: 4

Замечание 1. Заметим, что в этой задаче мы не находили область определения функции: мы только зафиксировали ограничения и проверили, принадлежит ли точка, в которой производная равна нулю области определения функции. В данной задаче этого оказалось достаточно. Однако, так бывает не всегда. Это зависит от задачи.

Замечание 2. При исследовании поведения сложной функции можно пользоваться таким правилом:

если внешняя функция сложной функции возрастающая, то функция принимает наибольшее значение в той же точке, в которой внутренняя функция принимает наибольшее значение. Это следует из определения возрастающей функции: функция возрастает на промежутке I, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
если внешняя функция сложной функции убывающая, то функция принимает наибольшее значение в той же точке, в которой внутренняя функция принимает наименьшее значение. Это следует из определения убывающей функции: функция убывает на промежутке I, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции

В нашем примере внешняя функция $log_5{x}$ - возрастает на всей области определения. Под знаком логарифма стоит выражение 4-2x-x^2 - квадратный трехчлен, который при отрицательном старшем коэффициенте принимает наибольшее значение в точке x={-b}/{2a}= 2/{(-2)}=-1 . Далее подставляем это значение х в уравнение функции $y=log_5{(4-2x-x^2)}+3$ и находим ее наибольшее значение.