Трапеция. Свойства трапеции. Углы трапеции при основании
Углы при основании равнобедренной трапеции
Утверждение.
(Свойство равнобедренной трапеции)
Углы при основании равнобедренной трапеции равны.
Дано: ABCD — трапеция,
AD ∥ BC,AB=CD.
Доказать:∠A=∠D, ∠B=∠C.
Доказательство:
1) Проведем из вершин тупых углов высоты BF и CK:
2) Рассмотрим треугольники ABF и DCK.
∠AFB=90º, ∠DKC=90º (так как BF и CK — высоты трапеции).
AB=CD (по условию),
BF=CK (как высоты трапеции).
Отсюда следует, что треугольники ABF и DCK равны (по катету и гипотенузе).
3) Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠A=∠D.
4) ∠A+∠ABC=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей AB).
Отсюда, ∠ABC=180º-∠A.
Аналогично, ∠D+∠DCB — внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей CD, и ∠DCB=180º-∠D.
Так как ∠A=∠D, то и ∠ABC=∠DCB.
Что и требовалось доказать.
www.treugolniki.ru
Трапеция. Свойства, признаки трапеции | Подготовка к ЕГЭ по математике
Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).
Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.
Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
Свойства трапеции
1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.
3. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.
Коэффициент подобия –
Отношение площадей этих треугольников есть .
4. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.
5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.
6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.
7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
Свойства и признаки равнобедренной трапеции
1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.
3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.
4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.
Вписанная окружность
Если в трапецию вписана окружность с радиусом и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — и , то
Площадь
или где – средняя линия
Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.
Смотрите также площадь трапеции.
egemaximum.ru
Углы трапеции | Треугольники
Какими могут быть углы трапеции?
рисунок 1
Как и все другие четырехугольники и многоугольники, которые изучаются в школьном курсе, трапеция — выпуклый четырехугольник. Поэтому сумма углов трапеции равна 360º (речь идет о внутренних углах).
То есть для трапеции ABCD ∠A+∠B+∠C+∠D=360º.
Поскольку основания трапеции лежат на параллельных прямых, сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180 градусам.
Для трапеции ABCD (рисунок 1)
∠A+∠B=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей AB),
∠C+∠D=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей CD).
Следовательно, если один из углов, прилежащих к одной боковой стороне, острый, то другой — тупой. Если один из этих углов прямой, другой — тоже прямой.
Суммы углов, прилежащих к боковым сторонам трапеции, равны:
∠A+∠B=∠C+∠D
Могут ли углы трапеции, взятые в последовательном порядке, относиться как
1) 7:3:5:2?
Нет, поскольку 7k+3k≠5k+2k и 7K+2k≠3k+5k.
2) 5:4:6:3?
5k+4k=6k+3k, следовательно, углы трапеции могут быть пропорциональны этим числам.
На рисунке 1 углы прилежащие к основанию AD, оба острые, углы, прилежащие к основанию BC, оба тупые. В паре противолежащих углов ∠A и ∠С, ∠B и ∠D один — острый, другой — тупой.
Существует ли трапеция, у которой два противолежащих угла обо тупые или оба острые?
рисунок 2
Да, такая трапеция существует.
Например, трапеция, изображенная на рисунке 2.
Существует ли трапеция, у которой два противоположных угла оба прямые? Противоположные углы равны?
Нет, такой трапеции не существует (противоположные углы равны у параллелограмма).
www.treugolniki.ru
Трапеция
Сегодня на уроке мы познакомимся с геометрической фигурой, которую называют трапецией.
Итак, трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.
Параллельные стороны трапеции называются основаниями. А не параллельные – боковыми сторонами.
Перпендикуляр, проведённый из любой точки одного из оснований на другое основание или его продолжение, называется высотой трапеции.
Трапеция, у которой есть прямой угол, называется прямоугольной. Следует отметить, что, так как основания AB и CD параллельны, прямая BC – секущая, а сумма односторонних углов равна 180º, то и угол BCD также равен 90º.
Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной.
Далее мы рассмотрим некоторые свойства и признаки равнобедренной трапеции.
Теорема. Свойство углов равнобедренной трапеции. Углы при основании равнобедренной трапеции равны.
Доказательство.
Рассмотрим прямоугольные и .
, так как – равнобедр. трапеция,
.
по катету и гипотенузе.
Следовательно, .
Теорема доказана.
Теорема. Свойство диагоналей равнобедренной трапеции. Диагонали равнобедренной трапеции равны.
Доказательство.
Рассмотрим и .
, так как – равнобедр. трапеция,сторона – общая,
как углы при основании равнобедр. трапеции.
по первому признаку.
Следовательно, .
Теорема доказана.
Теорема. Признак равнобедренной трапеции. Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.
Доказательство.
Рассмотрим прямоугольные и .
по условию.
.
по катету и противолежащемуострому углу.
Следовательно, .
Тогда трапеция – равнобедренная.
Теорема доказана.
Теорема. Признак равнобедренной трапеции. Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.
Доказательство.
Рассмотрим прямоугольные и .
по условию,.
по катету и гипотенузе.
Следовательно, .
Рассмотрим и .
по условию,сторона – общая,.
по первому признаку.
Следовательно, .
Тогда трапеция – равнобедренная.
Теорема доказана.
А теперь решим несколько задач.
Задача. – трапеция, у которой . . Найдите градусную меру .
Решение.
Так как , то трапеция – равнобедренная.
как углы при основании равнобедр. трапеции.
, – внутр. односторонние при и секущей , то есть
,
,
,
.
Ответ: .
Задача. В прямоугольной трапеции проведена диагональ . , . Найдите градусную меру .
Решение.
как накр. лежащие при и секущей ,то есть .
,следовательно, – равнобедренный, тогда .
Для : ,
,
,
.
Ответ: .
videouroki.net
Трапеция
\[{\Large{\text{Произвольная трапеция}}}\]
Определения
Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.
Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами.
Высота трапеции – это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания к другому основанию.
Теоремы: свойства трапеции
1) Сумма углов при боковой стороне равна \(180^\circ\).
2) Диагонали делят трапецию на четыре треугольника, два из которых подобны, а два другие – равновелики.
Доказательство
1) Т.к. \(AD\parallel BC\), то углы \(\angle BAD\) и \(\angle ABC\) – односторонние при этих прямых и секущей \(AB\), следовательно, \(\angle BAD +\angle ABC=180^\circ\).
2) Т.к. \(AD\parallel BC\) и \(BD\) – секущая, то \(\angle DBC=\angle BDA\) как накрест лежащие.Также \(\angle BOC=\angle AOD\) как вертикальные.Следовательно, по двум углам \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\).
Докажем, что \(S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}\). Пусть \(h\) – высота трапеции. Тогда \(S_{\triangle ABD}=\frac12\cdot h\cdot AD=S_{\triangle ACD}\). Тогда: \[S_{\triangle AOB}=S_{\triangle ABD}-S_{\triangle AOD}=S_{\triangle ACD}-S_{\triangle AOD}=S_{\triangle COD}\]
Определение
Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
Теорема
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Доказательство*С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.
1) Докажем параллельность.
Проведем через точку \(M\) прямую \(MN'\parallel AD\) (\(N'\in CD\)). Тогда по теореме Фалеса (т.к. \(MN'\parallel AD\parallel BC, AM=MB\)) точка \(N'\) — середина отрезка \(CD\). Значит, точки \(N\) и \(N'\) совпадут.
2) Докажем формулу.
Проведем \(BB'\perp AD, CC'\perp AD\). Пусть \(BB'\cap MN=M', CC'\cap MN=N'\).
Тогда по теореме Фалеса \(M'\) и \(N'\) — середины отрезков \(BB'\) и \(CC'\) соответственно. Значит, \(MM'\) – средняя линия \(\triangle ABB'\), \(NN'\) — средняя линия \(\triangle DCC'\). Поэтому: \[MM'=\dfrac12 AB', \quad NN'=\dfrac12 DC'\]
Т.к. \(MN\parallel AD\parallel BC\) и \(BB', CC'\perp AD\), то \(B'M'N'C'\) и \(BM'N'C\) – прямоугольники. По теореме Фалеса из \(MN\parallel AD\) и \(AM=MB\) следует, что \(B'M'=M'B\). Значит, \(B'M'N'C'\) и \(BM'N'C\) – равные прямоугольники, следовательно, \(M'N'=B'C'=BC\).
Таким образом:
\[MN=MM'+M'N'+N'N=\dfrac12 AB'+B'C'+\dfrac12 C'D=\] \[=\dfrac12 \left(AB'+B'C'+BC+C'D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]
Теорема: свойство произвольной трапеции
Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.
Доказательство*С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.
1) Докажем, что точки \(P\), \(N\) и \(M\) лежат на одной прямой.
Проведем прямую \(PN\) (\(P\) – точка пересечения продолжений боковых сторон, \(N\) – середина \(BC\)). Пусть она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\). Докажем, что \(M\) – середина \(AD\).
Рассмотрим \(\triangle BPN\) и \(\triangle APM\). Они подобны по двум углам (\(\angle APM\) – общий, \(\angle PAM=\angle PBN\) как соответственные при \(AD\parallel BC\) и \(AB\) секущей). Значит: \[\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{PN}{PM}\]
Рассмотрим \(\triangle CPN\) и \(\triangle DPM\). Они подобны по двум углам (\(\angle DPM\) – общий, \(\angle PDM=\angle PCN\) как соответственные при \(AD\parallel BC\) и \(CD\) секущей). Значит: \[\dfrac{CN}{DM}=\dfrac{PN}{PM}\]
Отсюда \(\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{CN}{DM}\). Но \(BN=NC\), следовательно, \(AM=DM\).
2) Докажем, что точки \(N, O, M\) лежат на одной прямой.
Пусть \(N\) – середина \(BC\), \(O\) – точка пересечения диагоналей. Проведем прямую \(NO\), она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\). Докажем, что \(M\) – середина \(AD\).
\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\) по двум углам (\(\angle OBN=\angle ODM\) как накрест лежащие при \(BC\parallel AD\) и \(BD\) секущей; \(\angle BON=\angle DOM\) как вертикальные). Значит: \[\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{ON}{OM}\]
Аналогично \(\triangle CON\sim \triangle AOM\). Значит: \[\dfrac{CN}{MA}=\dfrac{ON}{OM}\]
Отсюда \(\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{CN}{MA}\). Но \(BN=CN\), следовательно, \(AM=MD\).
\[{\Large{\text{Равнобедренная трапеция}}}\]
Определения
Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов – прямой.
Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.
Теоремы: свойства равнобедренной трапеции
1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.
2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.
3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, являются равнобедренными.
Доказательство
1) Рассмотрим равнобедренную трапецию \(ABCD\).
Из вершин \(B\) и \(C\) опустим на сторону \(AD\) перпендикуляры \(BM\) и \(CN\) соответственно. Так как \(BM\perp AD\) и \(CN\perp AD\), то \(BM\parallel CN\); \(AD\parallel BC\), тогда \(MBCN\) – параллелограмм, следовательно, \(BM = CN\).
Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABM\) и \(CDN\). Так как у них равны гипотенузы и катет \(BM\) равен катету \(CN\), то эти треугольники равны, следовательно, \(\angle DAB = \angle CDA\).
2)
Т.к. \(AB=CD, \angle A=\angle D, AD\) – общая, то по первому признаку \(\triangle ABD=\triangle ACD\). Следовательно, \(AC=BD\).
3) Т.к. \(\triangle ABD=\triangle ACD\), то \(\angle BDA=\angle CAD\). Следовательно, треугольник \(\triangle AOD\) – равнобедренный. Аналогично доказывается, что и \(\triangle BOC\) – равнобедренный.
Теоремы: признаки равнобедренной трапеции
1) Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.
2) Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.
Доказательство
Рассмотрим трапецию \(ABCD\), такую что \(\angle A = \angle D\).
Достроим трапецию до треугольника \(AED\) как показано на рисунке. Так как \(\angle 1 = \angle 2\), то треугольник \(AED\) равнобедренный и \(AE = ED\). Углы \(1\) и \(3\) равны как соответственные при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AB\). Аналогично равны углы \(2\) и \(4\), но \(\angle 1 = \angle 2\), тогда \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 = \angle 4\), следовательно, треугольник \(BEC\) тоже равнобедренный и \(BE = EC\).
В итоге \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), то есть \(AB = CD\), что и требовалось доказать.
2) Пусть \(AC=BD\). Т.к. \(\triangle AOD\sim \triangle BOC\), то обозначим их коэффициент подобия за \(k\). Тогда если \(BO=x\), то \(OD=kx\). Аналогично \(CO=y \Rightarrow AO=ky\).
Т.к. \(AC=BD\), то \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\). Значит \(\triangle AOD\) – равнобедренный и \(\angle OAD=\angle ODA\).
Таким образом, по первому признаку \(\triangle ABD=\triangle ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\) – общая). Значит, \(AB=CD\), чтд.
shkolkovo.net
Равнобедренная трапеция | Треугольники
Что такое равнобедренная трапеция и каковы ее свойства?
Определение.
Равнобедренная трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны.
Еще равнобедренную трапецию называют равнобокой (или равнобочной) трапецией.
рисунокравнобедреннойтрапеции
ABCD — равнобедренная трапеция.
AD и BC — основания трапеции,
AB и CD — её боковые стороны,
AB=CD.
Перечислим основные свойства равнобедренной трапеции.
Свойства равнобедренной трапеции:
1) Углы при основании равнобедренной трапеции равны.
∠A=∠D, ∠B=∠C
2) Сумма противолежащих углов равнобедренной трапеции равна 180º.
∠A+∠C=180º, ∠B+∠D=180º
3) Диагонали равнобедренной трапеции равны.
AC=BD
4) Около любой равнобедренной трапеции можно описать окружность.
Кроме основных, у равнобедренной трапеции есть и другие свойства. Например, можно доказать один раз и в дальнейшем использовать при решении задач следующее утверждение:
Высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, а другой — полуразности оснований.
AD=a, BC=b
Признаки равнобедренной трапеции:
1) Если углы при основании трапеции равны, то она — равнобедренная.
2) Если сумма противолежащих углов трапеции равна 180º, то она — равнобедренная.
3) Если диагонали трапеции равны, то она — равнобедренная.
4) Если около трапеции можно описать окружность, то она — равнобедренная.
www.treugolniki.ru
"Трапеция". 8-й класс
Разделы: Математика
Цель:
- Ввести понятие трапеции, её элементов, виды трапеций.
- Рассмотреть некоторые свойства трапеции.
- Применение знаний при решении задач.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Актуализация знаний.
Кроссворд.
Ключевое слово кроссворда – является темой нашего урока.
- Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется ...
- Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
- Отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины многоугольника.
- Сумма длин всех сторон многоугольника.
- Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются…
- В конце урока каждый ученик ждет хорошую …
- Две несмежные стороны четырехугольника называются …
- Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых внутренняя, а другая
Ответы:
III. Новый материал.
Трапеция – (от греч. trapezion, букв. – столик).
Трапеция – четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – непараллельные. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
Виды трапеции.
Равнобедренная – трапеция, у которой равны боковые стороны.
Прямоугольная – трапеция, один из углов которой прямой.
Средняя линия трапеции.Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
Работа в группах.
Группы с четными номерами – исследуют диагонали равнобедренной трапеции. Группы с нечетными номерами – исследуют углы равнобедренной трапеции.
Выслушать и обсудить результаты исследования, на доске и в тетрадях записать решения.
Свойства равнобедренной трапеции.
Теорема. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.
Доказательство.
Проведем СЕ АВ.
ABCD – параллелограмм (АВ СЕ, ВС AD).
CD = AB = CE, СDE – равнобедренный, СDЕ = СЕD.
АВ СЕ, тогда СЕD = ВАЕ, СDЕ = СЕD = ВАЕ.
ABC = 180° – СDЕ = 180° – ВАЕ = BCD.
Теорема. В равнобедренной трапеции диагонали равны.
Доказательство.
ABC = DСВ (АВ = С, ВС – общая сторона, АВС = ВСD) тогда АС = ВD.
Сформулируйте утверждения, обратные свойствам, и выясните их справедливость.
Признаки равнобедренной трапеции.
Выслушать и обсудить результаты исследования, на доске и в тетрадях записать решения.
1. Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.
Доказательство.
Проведем ЕС АВ.
ABCЕ – параллелограмм, тогда АВ СЕ, А = СЕD, СЕD – равнобедренный (D = СЕD), тогда СЕ = СD.
АВ = СЕ = СD, тогда АВСD – равнобедренная трапеция.
2. Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.
Доказательство.
Проведем СК ВD.
ВСКD – параллелограмм (т.к. СК ВD, ВС АК).
АСК – равнобедренный, т.к. АС = ВD = СК, САD = СDА.
СК ВD, ВDА = СКD, тогда САD = СКD.
АВD = DСА, т.к. АС=ВD, АD – общая сторона, САD = СКD, тогда АВ = СD, т.е. АВСD – равнобедренная трапеция.
IV. Закрепление.
Решение задач по готовым чертежам.
V. Итог урока:
VI. Домашнее задание.
Параграф 44, вопросы: 10-11, №386, №388.
Поделиться страницей:xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai