Трапеция. Свойства трапеции. Углы трапеции при основании


Углы при основании равнобедренной трапеции

Утверждение.

(Свойство равнобедренной трапеции)

Углы при основании равнобедренной трапеции равны.

 

   

   

 

 

Дано: ABCD — трапеция,

AD ∥ BC,AB=CD.

Доказать:∠A=∠D, ∠B=∠C.

Доказательство:

 

1) Проведем из вершин тупых углов высоты BF и CK:

   

   

2) Рассмотрим треугольники ABF и DCK.

∠AFB=90º, ∠DKC=90º (так как BF и CK — высоты трапеции).

AB=CD (по условию),

BF=CK (как высоты трапеции).

Отсюда следует, что треугольники ABF и DCK равны (по катету и гипотенузе).

3) Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠A=∠D.

4) ∠A+∠ABC=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей AB).

Отсюда, ∠ABC=180º-∠A.

Аналогично, ∠D+∠DCB — внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей CD, и ∠DCB=180º-∠D.

Так как ∠A=∠D, то и ∠ABC=∠DCB.

Что и требовалось доказать.

www.treugolniki.ru

Трапеция. Свойства, признаки трапеции | Подготовка к ЕГЭ по математике

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Трапеция,  у которой есть  прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

 

Свойства трапеции

 

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

3. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия –

Отношение площадей этих треугольников есть .

4. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

 

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

 

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

 

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная  окружность

 

Если в трапецию вписана окружность с радиусом   и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка —  и ,  то

 

Площадь

 

или где   – средняя линия

Смотрите хорошую подборку  задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Смотрите также площадь трапеции.

egemaximum.ru

Углы трапеции | Треугольники

Какими могут быть углы трапеции?

рисунок 1

Как и все другие четырехугольники и многоугольники, которые изучаются в школьном курсе, трапеция — выпуклый четырехугольник. Поэтому сумма углов трапеции равна 360º (речь идет о внутренних углах).

То есть для трапеции ABCD ∠A+∠B+∠C+∠D=360º.

Поскольку основания трапеции лежат на параллельных прямых, сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180 градусам.

Для трапеции ABCD (рисунок 1)

∠A+∠B=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей AB),

∠C+∠D=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей CD).

Следовательно, если один из углов, прилежащих к одной боковой стороне, острый, то другой — тупой. Если один из этих углов прямой, другой — тоже прямой.

Суммы углов, прилежащих к боковым сторонам трапеции, равны:

∠A+∠B=∠C+∠D

Могут ли углы трапеции, взятые в последовательном порядке, относиться как

1) 7:3:5:2?

Нет, поскольку 7k+3k≠5k+2k и 7K+2k≠3k+5k.

2) 5:4:6:3?

5k+4k=6k+3k, следовательно, углы трапеции могут быть пропорциональны этим числам.

На рисунке 1 углы прилежащие к основанию AD, оба острые, углы, прилежащие к основанию BC, оба тупые. В паре противолежащих углов ∠A и ∠С, ∠B и ∠D один — острый, другой — тупой.

Существует ли трапеция, у которой два противолежащих угла обо тупые или оба острые?

рисунок 2

 

Да, такая трапеция существует.

Например, трапеция, изображенная на рисунке 2.

 

Существует ли трапеция, у которой два противоположных угла оба прямые? Противоположные углы равны?

Нет, такой трапеции не существует (противоположные углы равны у параллелограмма).

www.treugolniki.ru

Трапеция

Сегодня на уроке мы познакомимся с геометрической фигурой, которую называют трапецией.

Итак, трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями.  А не параллельные  – боковыми сторонами.

Перпендикуляр, проведённый из любой точки одного из оснований на другое основание или его продолжение, называется высотой трапеции.

Трапеция, у которой есть прямой угол, называется прямоугольной. Следует отметить, что, так как основания AB и CD  параллельны, прямая BC – секущая, а сумма односторонних углов равна 180º, то и угол BCD также равен 90º.

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной.

Далее мы рассмотрим некоторые свойства и признаки равнобедренной трапеции.

Теорема. Свойство углов равнобедренной трапеции. Углы при основании равнобедренной трапеции равны.

Доказательство.

Рассмотрим прямоугольные  и .

, так как  – равнобедр. трапеция,

.

по катету и гипотенузе.

Следовательно, .

Теорема доказана.

Теорема. Свойство диагоналей равнобедренной трапеции. Диагонали равнобедренной трапеции равны.

Доказательство.

Рассмотрим  и .

, так как  – равнобедр. трапеция,сторона  – общая,

 как углы при основании равнобедр. трапеции.

 по первому признаку.

Следовательно, .

Теорема доказана.

Теорема. Признак равнобедренной трапеции. Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.

Доказательство.

Рассмотрим прямоугольные  и .

 по условию.

.

по катету и противолежащемуострому углу.

Следовательно, .

Тогда трапеция  – равнобедренная.

Теорема доказана.

Теорема. Признак равнобедренной трапеции. Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.

Доказательство.

Рассмотрим прямоугольные  и .

 по условию,.

по катету и гипотенузе.

Следовательно, .

Рассмотрим  и .

 по условию,сторона  – общая,.

по первому признаку.

Следовательно, .

Тогда трапеция  – равнобедренная.

Теорема доказана.

А теперь решим несколько задач.

Задача.  – трапеция, у которой . . Найдите градусную меру .

Решение.

Так как , то трапеция  – равнобедренная.

как углы при основании равнобедр. трапеции.

,  – внутр. односторонние при  и секущей , то есть

,

,

,

.

Ответ: .

Задача. В прямоугольной трапеции  проведена диагональ . , . Найдите градусную меру .

Решение.

как накр. лежащие при и секущей ,то есть .

,следовательно,  – равнобедренный, тогда .

Для : ,

,

,

.

Ответ: .

videouroki.net

Трапеция

\[{\Large{\text{Произвольная трапеция}}}\]

Определения

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами.

 

Высота трапеции – это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания к другому основанию.

 

Теоремы: свойства трапеции

 

1) Сумма углов при боковой стороне равна \(180^\circ\).

 

2) Диагонали делят трапецию на четыре треугольника, два из которых подобны, а два другие – равновелики.

 

Доказательство

1) Т.к. \(AD\parallel BC\), то углы \(\angle BAD\) и \(\angle ABC\) – односторонние при этих прямых и секущей \(AB\), следовательно, \(\angle BAD +\angle ABC=180^\circ\).

 

2) Т.к. \(AD\parallel BC\) и \(BD\) – секущая, то \(\angle DBC=\angle BDA\) как накрест лежащие.Также \(\angle BOC=\angle AOD\) как вертикальные.Следовательно, по двум углам \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\).

Докажем, что \(S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}\). Пусть \(h\) – высота трапеции. Тогда \(S_{\triangle ABD}=\frac12\cdot h\cdot AD=S_{\triangle ACD}\). Тогда: \[S_{\triangle AOB}=S_{\triangle ABD}-S_{\triangle AOD}=S_{\triangle ACD}-S_{\triangle AOD}=S_{\triangle COD}\]

 

Определение

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

 

Теорема

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

 

Доказательство*С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.

 

1) Докажем параллельность.

 

Проведем через точку \(M\) прямую \(MN'\parallel AD\) (\(N'\in CD\)). Тогда по теореме Фалеса (т.к. \(MN'\parallel AD\parallel BC, AM=MB\)) точка \(N'\) — середина отрезка \(CD\). Значит, точки \(N\) и \(N'\) совпадут.

 

2) Докажем формулу.

 

Проведем \(BB'\perp AD, CC'\perp AD\). Пусть \(BB'\cap MN=M', CC'\cap MN=N'\).

 

Тогда по теореме Фалеса \(M'\) и \(N'\) — середины отрезков \(BB'\) и \(CC'\) соответственно. Значит, \(MM'\) – средняя линия \(\triangle ABB'\), \(NN'\) — средняя линия \(\triangle DCC'\). Поэтому: \[MM'=\dfrac12 AB', \quad NN'=\dfrac12 DC'\]

Т.к. \(MN\parallel AD\parallel BC\) и \(BB', CC'\perp AD\), то \(B'M'N'C'\) и \(BM'N'C\) – прямоугольники. По теореме Фалеса из \(MN\parallel AD\) и \(AM=MB\) следует, что \(B'M'=M'B\). Значит, \(B'M'N'C'\) и \(BM'N'C\) – равные прямоугольники, следовательно, \(M'N'=B'C'=BC\).

 

Таким образом:

\[MN=MM'+M'N'+N'N=\dfrac12 AB'+B'C'+\dfrac12 C'D=\] \[=\dfrac12 \left(AB'+B'C'+BC+C'D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Теорема: свойство произвольной трапеции

Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

 

Доказательство*С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.

 

1) Докажем, что точки \(P\), \(N\) и \(M\) лежат на одной прямой.

 

Проведем прямую \(PN\) (\(P\) – точка пересечения продолжений боковых сторон, \(N\) – середина \(BC\)). Пусть она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\). Докажем, что \(M\) – середина \(AD\).

 

Рассмотрим \(\triangle BPN\) и \(\triangle APM\). Они подобны по двум углам (\(\angle APM\) – общий, \(\angle PAM=\angle PBN\) как соответственные при \(AD\parallel BC\) и \(AB\) секущей). Значит: \[\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{PN}{PM}\]

Рассмотрим \(\triangle CPN\) и \(\triangle DPM\). Они подобны по двум углам (\(\angle DPM\) – общий, \(\angle PDM=\angle PCN\) как соответственные при \(AD\parallel BC\) и \(CD\) секущей). Значит: \[\dfrac{CN}{DM}=\dfrac{PN}{PM}\]

Отсюда \(\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{CN}{DM}\). Но \(BN=NC\), следовательно, \(AM=DM\).

 

2) Докажем, что точки \(N, O, M\) лежат на одной прямой.

 

Пусть \(N\) – середина \(BC\), \(O\) – точка пересечения диагоналей. Проведем прямую \(NO\), она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\). Докажем, что \(M\) – середина \(AD\).

 

\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\) по двум углам (\(\angle OBN=\angle ODM\) как накрест лежащие при \(BC\parallel AD\) и \(BD\) секущей; \(\angle BON=\angle DOM\) как вертикальные). Значит: \[\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{ON}{OM}\]

Аналогично \(\triangle CON\sim \triangle AOM\). Значит: \[\dfrac{CN}{MA}=\dfrac{ON}{OM}\]

Отсюда \(\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{CN}{MA}\). Но \(BN=CN\), следовательно, \(AM=MD\).

\[{\Large{\text{Равнобедренная трапеция}}}\]

Определения

Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов – прямой.

 

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

 

Теоремы: свойства равнобедренной трапеции

1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.

 

2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

 

3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, являются равнобедренными.

 

Доказательство

1) Рассмотрим равнобедренную трапецию \(ABCD\).

Из вершин \(B\) и \(C\) опустим на сторону \(AD\) перпендикуляры \(BM\) и \(CN\) соответственно. Так как \(BM\perp AD\) и \(CN\perp AD\), то \(BM\parallel CN\); \(AD\parallel BC\), тогда \(MBCN\) – параллелограмм, следовательно, \(BM = CN\).

 

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABM\) и \(CDN\). Так как у них равны гипотенузы и катет \(BM\) равен катету \(CN\), то эти треугольники равны, следовательно, \(\angle DAB = \angle CDA\).

 

2)

 

Т.к. \(AB=CD, \angle A=\angle D, AD\) – общая, то по первому признаку \(\triangle ABD=\triangle ACD\). Следовательно, \(AC=BD\).

 

3) Т.к. \(\triangle ABD=\triangle ACD\), то \(\angle BDA=\angle CAD\). Следовательно, треугольник \(\triangle AOD\) – равнобедренный. Аналогично доказывается, что и \(\triangle BOC\) – равнобедренный.

 

Теоремы: признаки равнобедренной трапеции

1) Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.

 

2) Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.

 

Доказательство

Рассмотрим трапецию \(ABCD\), такую что \(\angle A = \angle D\).

 

Достроим трапецию до треугольника \(AED\) как показано на рисунке. Так как \(\angle 1 = \angle 2\), то треугольник \(AED\) равнобедренный и \(AE = ED\). Углы \(1\) и \(3\) равны как соответственные при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AB\). Аналогично равны углы \(2\) и \(4\), но \(\angle 1 = \angle 2\), тогда \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 = \angle 4\), следовательно, треугольник \(BEC\) тоже равнобедренный и \(BE = EC\).

 

В итоге \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), то есть \(AB = CD\), что и требовалось доказать.

 

2) Пусть \(AC=BD\). Т.к. \(\triangle AOD\sim \triangle BOC\), то обозначим их коэффициент подобия за \(k\). Тогда если \(BO=x\), то \(OD=kx\). Аналогично \(CO=y \Rightarrow AO=ky\).

 

Т.к. \(AC=BD\), то \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\). Значит \(\triangle AOD\) – равнобедренный и \(\angle OAD=\angle ODA\).

 

Таким образом, по первому признаку \(\triangle ABD=\triangle ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\) – общая). Значит, \(AB=CD\), чтд.

 

shkolkovo.net

Равнобедренная трапеция | Треугольники

Что такое равнобедренная трапеция и каковы ее свойства?

Определение.

Равнобедренная трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны.

Еще равнобедренную трапецию называют равнобокой (или равнобочной) трапецией.

рисунокравнобедреннойтрапеции

ABCD — равнобедренная трапеция.

AD и BC — основания трапеции,

AB и CD — её боковые стороны,

AB=CD.

Перечислим основные свойства равнобедренной трапеции.

Свойства равнобедренной трапеции:

1) Углы при основании равнобедренной трапеции равны.

∠A=∠D, ∠B=∠C

2) Сумма противолежащих углов равнобедренной трапеции равна 180º.

∠A+∠C=180º, ∠B+∠D=180º

3) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

AC=BD

 

4) Около любой равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Кроме основных, у равнобедренной трапеции есть и другие свойства. Например, можно доказать один раз и в дальнейшем использовать при решении задач следующее утверждение:

Высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, а другой — полуразности оснований.

AD=a, BC=b

   

   

 

 

Признаки равнобедренной трапеции:

1) Если углы при основании трапеции равны, то она — равнобедренная.

2) Если сумма противолежащих углов трапеции равна 180º, то она — равнобедренная.

3) Если диагонали трапеции равны, то она — равнобедренная.

4) Если около трапеции можно описать окружность, то она — равнобедренная.

www.treugolniki.ru

"Трапеция". 8-й класс

Разделы: Математика

Цель:

  1. Ввести понятие трапеции, её элементов, виды трапеций.
  2. Рассмотреть некоторые свойства трапеции.
  3. Применение знаний при решении задач.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Актуализация знаний.

Кроссворд.

Ключевое слово кроссворда – является темой нашего урока.

  1. Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется ...
  2. Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
  3. Отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины многоугольника.
  4. Сумма длин всех сторон многоугольника.
  5. Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются…
  6. В конце урока каждый ученик ждет хорошую …
  7. Две несмежные стороны четырехугольника называются …
  8. Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых внутренняя, а другая

Ответы:

III. Новый материал.

Трапеция – (от греч. trapezion, букв. – столик).

Трапеция – четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – непараллельные. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Виды трапеции.

Равнобедренная – трапеция, у которой равны боковые стороны.

Прямоугольная – трапеция, один из углов которой прямой.

Средняя линия трапеции.Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Работа в группах.

Группы с четными номерами – исследуют диагонали равнобедренной трапеции. Группы с нечетными номерами – исследуют углы равнобедренной трапеции.

Выслушать и обсудить результаты исследования, на доске и в тетрадях записать решения.

Свойства равнобедренной трапеции.

Теорема. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.

Доказательство.

Проведем СЕ АВ.

ABCD – параллелограмм (АВ СЕ, ВС AD).

CD = AB = CE, СDE – равнобедренный, СDЕ = СЕD.

АВ СЕ, тогда СЕD = ВАЕ, СDЕ = СЕD = ВАЕ.

ABC = 180° – СDЕ = 180° – ВАЕ = BCD.

Теорема. В равнобедренной трапеции диагонали равны.

Доказательство.

ABC = DСВ (АВ = С, ВС – общая сторона, АВС = ВСD) тогда АС = ВD.

Сформулируйте утверждения, обратные свойствам, и выясните их справедливость.

Признаки равнобедренной трапеции.

Выслушать и обсудить результаты исследования, на доске и в тетрадях записать решения.

1. Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.

Доказательство.

Проведем ЕС АВ.

ABCЕ – параллелограмм, тогда АВ СЕ, А = СЕD, СЕD – равнобедренный (D = СЕD), тогда СЕ = СD.

АВ = СЕ = СD, тогда АВСD – равнобедренная трапеция.

2. Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.

Доказательство.

Проведем СК ВD.

ВСКD – параллелограмм (т.к. СК ВD, ВС АК).

АСК – равнобедренный, т.к. АС = ВD = СК, САD = СDА.

СК ВD, ВDА = СКD, тогда САD = СКD.

АВD = DСА, т.к. АС=ВD, АD – общая сторона, САD = СКD, тогда АВ = СD, т.е. АВСD – равнобедренная трапеция.

IV. Закрепление.

Решение задач по готовым чертежам.

V. Итог урока:

VI. Домашнее задание.

Параграф 44, вопросы: 10-11, №386, №388.

Поделиться страницей:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai