Простейшие логарифмические уравнения. Примеры. Уравнения логарифмов
Логарифмические уравнения на примерах
Логарифмическими называются уравнения содержащие неизвестную величину под знаком логарифма или в основании логарифма (или в обоих местах одновременно). Их легко свести к квадратным или степенным уравнениям относительно переменной если знать свойства логарифма. Например, логарифмическими будут следующие уравнения
Необходимо отметить что во время решения логарифмических уравнений необходимо учитывать область допустимых значений ( ОДЗ ) : под знаком логарифма могут находиться только положительные величины, в основе логарифмов - положительные, отличные от единицы. Однако нахождения ОДЗ порой может быть очень громоздким и на практике имеем возможность или искать ОДЗ, или сделать проверку подстановкой корней уравнения.
Простейшим логарифмическим уравнением называют уравнение вида
Его решение вычисляется потенцированием (нахождение числа или выражения по его логарифму)
В некоторых случаях, решая логарифмические уравнения, целесообразно производить замену переменной. Например в уравненииудобно сделать замену и мы приходим к квадратному уравнению. Причем оба корни этого квадратного уравнения можно подставить в замену чтобы найти подходящее х.
Стоит запомнить что десятичный логарифм от единицы со следующими нулями равно количеству нулей в записи этого числа.
Для десятичного логарифма от единицы с предыдущими нулями правило подобное. Он равен количеству всех нулей в записи этого числа, включая и ноль целых, взятых со знаком минус. Для примера
На этом необходимый теоретический материал рассмотрен и можно переходить к рассмотрению практических примеров. Внимательно рассмотрите их решения это позволит усвоить некоторые правила логарифмов и увеличит практическую базу, которая пригодится при прохождении ВНО , контрольных, тестах и т.д.
Пример 1. Решить уравнение.
Решение. Используя свойство логарифмов переписываем уравнение в видеДелаем заменуи переписываемУмножаем на переменную и записываем в виде квадратного уравненияВычисляем дискриминантКорни уравнения приобретут значенияВозвращаемся к замене и находимУравнение имеет два решения
Пример 2. Решить уравнение.
Решение. Раскрываем скобки и записываем в виде суммы логарифмовУчитывая что уравнение примет видПереносим слагаемое за знаком равенства в правую сторонуОба множители приравниваем к нулю и находим
Пример 3. Решить уравнение.
Решение. Перепишем правую сторону в виде квадрата и прологарифмируем по основанию 10 обе части уравненияделаем заменуи сводим уравнение к квадратномуДискриминант такого уравнения принимает нулевое значение - уравнение имеет два одинаковых решенияВозвращаемся к замене которую делали выше
Пример 4. Решить уравнение.
Решение. Выполним некоторые преобразования с слагаемыми уравненияЛогарифмическое уравнение упростится до следующегоПоскольку логарифмы имеют одинаковые основания то значение под знаком логарифма тоже равны. На основе этого имеемРасписываем и решаем с помощью дискриминантаВторой корень не может быть решением, поскольку никакое положительное число при возведены в степени не даст в результате -1. Итак x=2 – единственное решение уравнения.
Пример 5. Найти решение уравнения .
Решение. Выполняем упрощения уравненияПо свойству переходим ко второй основы во втором логарифмеПо правилу логарифмирования имеемСводим уравнение к квадратному и решаем егоДискриминант равен нулю, следовательно имеем один корень кратности два
Пример 6. Найти решение уравнения.
Решение. Заданное уравнение и подобные ему решаются путем сведения к общей основе. Для этого преобразуем правую сторону уравнения к видуи подставим в уравнениеПоскольку основы логарифмов ровны переходим до показательного уравненияВыполняем замену и сводим к квадратному уравнениюВозвращаемся к замене и вычисляем
Пример 7. Найти решение уравнения.
Решение. Не пугайтесь подобных задач, если делать все по правилам то решение получается без труда. Забегая вперед скажу что корни в скобках к примеру отношения не имеют. Они для того чтобы напугать простых математиков.Упростим сначала второй логарифмДальше выполняем подстановку и сведения слагаемых под один логарифмПриравниваем к правой части уравнения и упрощаемКак видите - решение оказалось проще чем выглядело до решения, а результат x=100 только подтверждает это.
При решении логарифмических уравнений важно хорошо знать свойства логарифмов. Все остальные действия сводятся, как правило, к решению квадратных уравнений или степенных зависимостей относительно неизвестных. Поэтому практикуйте самостоятельно и не имейте проблем с логарифмическими уравнениями.
yukhym.com
Методика решения логарифмических уравнений
Разделы: Математика
Введение
Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем как поддержать у студентов интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. В связи с этим ведутся поиски новых эффективных методов обучения и таких методических приемов, которые активизировали бы мысль студентов, стимулировали бы их к самостоятельному приобретению знаний.
Возникновение интереса к математике у значительного числа студентов зависит в большей степени от методики ее преподавания, от того, на сколько умело будет построена учебная работа. Вовремя обращая внимание студентов на то, что математика изучает общие свойства объектов и явлений окружающего мира, имеет дело не с предметами, а с отвлеченными абстрактными понятиями, можно добиться понимания того, что математика не нарушает связи с действительностью, а, напротив, дает возможность изучить ее глубже, сделать обобщенные теоретические выводы, которые широко применяются в практике.
Участвуя в фестивале педагогических идей "Открытый урок" 2004-2005 учебного года, я представила урок-лекцию по теме "Логарифмическая функция" (диплом № 204044). Считаю этот метод наиболее удачным в данном конкретном случае. В результате изучения у студентов имеется подробный конспект и краткая схема по теме, что облегчит им подготовку к следующим урокам. В частности, по теме "Решение логарифмических уравнений", которая полностью опирается на изучение логарифмической функции и ее свойств.
При формировании основополагающих математических понятий важно создать у студентов представление о целесообразности введения каждого из них и возможности их применения. Для этого необходимо, чтобы при формулировке определения некоторого понятия, работе над его логической структурой, рассматривались вопросы об истории возникновения данного понятия. Такой подход поможет студентам осознать, что новое понятие служит обобщением фактов реальной действительности.
История возникновения логарифмов подробно представлена в работе прошлого года.
Учитывая важность преемственности при обучении математике в среднем специальном учебном заведении и в вузе и необходимость соблюдения единых требований к студентам считаю целесообразным следующую методику ознакомления студентов с решением логарифмических уравнений.
Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма (в частности, в основании логарифма), называются логарифмическими. Рассмотрим логарифмические уравнения вида:
(1)
Решение этих уравнений основано на следующей теореме.
Теорема 1. Уравнение равносильно системе
(2)
Для решения уравнения (1) достаточно решить уравнение
(3)
и его решения подставить в систему неравенств
(4),
задающую область определения уравнения (1).
Корнями уравнения (1) будут только те решения уравнения (3), которые удовлетворяют системе (4), т.е. принадлежат области определения уравнения (1).
При решения логарифмических уравнений может произойти расширение области определения (приобретение посторонних корней) или сужение (потеря корней). Поэтому подстановка корней уравнения (3) в систему (4), т.е. проверка решения, обязательна.
Пример 1: Решить уравнение
Решение:
Оба значения х удовлетворяют условиям системы.
Ответ:
Рассмотрим уравнения вида:
(5)
Их решение основано на следующей теореме
Теорема 2: Уравнение (5) равносильно системе
(6)
Корнями уравнения (5) будут только те корни уравнения , которые
принадлежат области определения, задаваемой условиями .
Логарифмическое уравнение вида (5) можно решить различными способами. Рассмотрим основные из них.
1. ПОТЕНЦИНИРОВАНИЕ (применение свойств логарифма).
Пример 2: Решить уравнение
Решение: В силу теоремы 2 данное уравнение равносильно системе:
Решим уравнение:
Всем условиям системы удовлетворяет лишь один корень. Ответ:
2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЛОГАРИФМА .
Пример 3: Найти х, если
Решение:
Значение х = 3 принадлежит области определения уравнения. Ответ х = 3
3. ПРИВЕДЕНИЕ К КВАДРАТНОМУ УРАВНЕНИЮ.
Пример 4: Решить уравнение
Оба значения х являются корнями уравнения.
Ответ:
4. ЛОГАРИФМИРОВАНИЕ.
Пример 5: Решить уравнение
Решение: Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10 и применим свойство "логарифм степени".
Оба корня принадлежат области допустимых значений логарифмической функции.
Ответ: х = 0,1; х = 100
5. ПРИВЕДЕНИЕ К ОДНОМУ ОСНОВАНИЮ.
Пример 6: Решить уравнение
Воспользуемся формулой и перейдем во всех слагаемых к логарифму по основанию 2:
Тогда данное уравнение примет вид:
Так как , то это корень уравнения.
Ответ: х = 16
6. ВВЕДЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
Решим способом введения вспомогательной переменной уравнение, заданное в примере 6.
Пусть ; тогда
Учитывая, что
Получим уравнение:
После проверки, проведенной устно, легко убеждаемся в правильности найденного ответа.
7. ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ.
Многие уравнения, содержащие переменную не только под знаком логарифма или в показателе степени, удобно решать графически.
Графически решением уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков функций, заданных в уравнении.
Пример 7: Решить уравнение
Решение: Построим графики функций и y = x
Графики функций не пересекаются, и, значит, уравнение не имеет корней (см. рисунок).
Ответ: корней нет
8. МЕТОД ПОДБОРА.
Пример 8: Найти х, если
Решение: С помощью рассмотренных выше способов корни уравнения найти не удается. Найдем какой-нибудь корень методом подбора.
Пусть, например, х = 10. Проверкой убедимся в том, что 10 - корень уравнения. Действительно,
истинно
Докажем, что других корней данное уравнение не имеет.
Эти корни следует искать во множестве значений х.
Допустимые значения х находятся в промежутке
На этом промежутке функция убывает, а функция возрастает. И, значит, если уравнение имеет решение, то оно единственное.
Итак, получаем
Ответ: х = 10
Упражнения для закрепления:
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
Логарифмические уравнения
Главный принцип решения логарифмических уравнений состоит в том, чтобы избавиться от этих самых логарифмов:
Если логарифмы обоих чисел по одному и тому же основанию равны, то их подлогарифмические выражения тоже равны:
Также следует помнить основные логарифмические свойства:
Пример 1.
Решите уравнение:
Число 8 обозначает показатель степени, в который нужно возвести основание (2), чтобы получить число (х)
Ответ: x=256..
Пример 2.
Решите уравнение:
Число обозначает показатель степени, в которой нужно возвести основание (3), чтобы получить число (x)
По свойству логарифмов: получаем:
Ответ: x=9.
Пример 3.
Решите уравнение:
Число обозначает показатель степени, в которой нужно возвести основание (3), чтобы получить число
По свойству логарифмов: получаем:
- по Т Виета
Ответ: .
Пример 4.
Решите уравнение:
Воспользуемся формулой :
Приводим к общему знаменателю:
Приводим к общему знаменателю:
Число 3 обозначает показатель степени, в который нужно возвести основание (3), чтобы получить число (х)
Ответ: x=27.
Пример 5.
Решите уравнение:
Приведём логарифмы к общему основанию (5) с помощью формулы :
Сокращаем:
Раскроем по формуле суммы логарифмов
По свойству логарифмов :
Замена:
Ответ: .
Пример 6.
Решите уравнение:
По формуле преобразуем левую часть:
Число 0 обозначает показатель степени, в который нужно возвести основание (4), чтобы получить число
Вычислим корень из правой и из левой части:
Ответ: .
Пример 7.
Решите уравнение:
Замена:
Обратная замена:
Число -1 обозначает показатель степени, в который нужно возвести основание (10), чтобы получить число (x)
Ответ: .
Пример 8.
Решите уравнение:
О.Д.З:
3) – это условие выполняется при любом x, т.к. число в чётной степени. Остаётся только учесть строгость неравенства:
Если дробь равна 0, значит её числитель равен 0:
Произведение равно 0, когда один из его множителей равен 0:
По О.Д.З нам подходят корни:
Ответ:
Автор статьи: Дьяков Александр Дмитриевич
Редакторы статьи: Гаврилина Анна Викторовна, Агеева Любовь Александровна
www.teslalab.ru
Уравнения, квадратные относительно логарифма
14 мая 2014
На уравнениях такого вида многие ученики «зависают». При этом сами задачи отнюдь не являются сложными — достаточно просто выполнить грамотную замену переменной, для чего следует научиться выделять устойчивые выражения.
В дополнение к этому уроку вас ждет довольно объемная самостоятельная работа, состоящая из двух вариантов по 6 задач в каждом.
Метод группировки
Сегодня мы разберем два логарифмических уравнения, одно из которых не решается «напролом» и требует специальных преобразований, а второе... впрочем, не буду рассказывать все сразу. Смотрите видео, скачивайте самостоятельную работу — и учитесь решать сложные задачи.
Итак, группировка и вынесение общих множителей за скобку. Дополнительно я расскажу вам, какие подводные камни несет область определения логарифмов, и как небольшие замечания по области определений могут существенно менять как корни, так и все решение.
Начнем из группировки. Нам нужно решить следующее логарифмическое уравнение:
log2x · log2 (x − 3) + 1 = log2 (x2 − 3x)
В первую очередь отметим, что x2 − 3x можно разложить на множители:
log2x(x− 3)
Затем вспоминаем замечательную формулу:
logafg = logaf + logag
Сразу же небольшое замечание: данная формула прекрасно работает, когда а, f и g— обычные числа. Но когда вместо них стоят функции, данные выражения перестают быть равноправными. Представьте себе такую гипотетическую ситуацию:
f < 0; g < 0
В этом случае произведение fg будет положительным, следовательно, loga (fg) будет существовать, а вот logaf и logag отдельно существовать не будут, и выполнить такое преобразование мы не сможем.
Игнорирование данного факта приведет к сужению области определения и, как следствие, к потере корней. Поэтому прежде чем выполнять такое преобразование, нужно обязательно заранее убедиться, что функции f и g положительные.
В нашем случае все просто. Поскольку в исходном уравнении есть функция log2x, то x > 0 (ведь переменная x стоит в аргументе). Также имеется log2 (x − 3), поэтому x − 3 > 0.
Следовательно, в функции log2x(x − 3) каждый множитель будет больше нуля. Поэтому можно смело раскладывать произведение на сумму:
log2x log2 (x − 3) + 1 = log2x + log2 (x − 3)
log2x log2 (x − 3) + 1 − log2x− log2 (x − 3) = 0
На первый взгляд может показаться, что легче не стало. Напротив: количество слагаемых лишь увеличились! Чтобы понять, как действовать дальше, введем новые переменные:
log2x = а
log2 (x − 3) = b
Получим:
a· b + 1 − a − b = 0
А теперь сгруппируем третье слагаемое с первым:
(a · b − a) + (1 − b) = 0
a(1 · b − 1) + (1 − b) = 0
Заметим, что и в первой, и во второй скобке стоит b− 1 (во втором случае придется вынести «минус» за скобку). Разложим нашу конструкцию на множители:
a (1 · b − 1) − (b − 1) = 0
(b − 1)(а · 1 − 1) = 0
А теперь вспоминаем наше замечательно правило: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
b − 1 = 0 ⇒ b = 1;
a − 1 = 0 ⇒ a = 1.
Вспоминаем, что такое b и а. Получим два простейших логарифмических уравнения, в которых останется лишь избавиться от знаков logи приравнять аргументы:
log2x = 1 ⇒ log2x = log2 2 ⇒ x1 =2;
log2 (x − 3) = 1 ⇒ log2 (x − 3) = log2 2 ⇒ x2 = 5
Мы получили два корня, но это не решение исходного логарифмического уравнения, а лишь кандидаты в ответ. Теперь проверим область определения. Для первого аргумента:
x > 0
Оба корня удовлетворяют первому требованию. Переходим ко второму аргументу:
x − 3 > 0 ⇒ x > 3
А вот здесь уже x = 2 нас не удовлетворяет, зато x = 5 вполне нас устраивает. Следовательно, единственным ответом будет x = 5.
Переходим ко второму логарифмическому равнению. На первый взгляд, оно существенно проще. Однако в процессе его решения мы рассмотрим тонкие моменты, связанные с областью определения, незнание которых существенно усложняет жизнь начинающим ученикам.
log0,7 (x2 − 6x + 2) = log0,7 (7 − 2x)
Перед нами каноническая форма логарифмического уравнения. Ничего преобразовывать не нужно — даже основания одинаковые. Поэтому просто приравниваем аргументы:
x2 − 6x + 2 = 7 − 2x
x2 − 6x + 2 − 7 + 2x = 0
x2 − 4x − 5 = 0
Перед нами приведенное квадратное уравнение, оно легко решается по формулам Виета:
(x − 5) (x + 1) = 0;
x − 5 = 0 ⇒ x = 5;
x + 1 = 0 ⇒ x = −1.
Но эти корни еще не являются окончательными ответами. Нужно найти область определения, поскольку в исходном уравнении присутствуют два логарифма, т.е. учет области определения строго обязателен.
Итак, выпишем область определения. С одной стороны, аргумент первого логарифма должен быть больше нуля:
x2 − 6x + 2 > 0
С другой — второй аргумент тоже должен быть больше нуля:
7 − 2x > 0
Эти требования должны выполняться одновременно. И вот тут начинается самое интересное. Безусловно, мы можем решить каждое из этих неравенств, затем пересечь их и найти область определения всего уравнения. Но зачем так усложнять себе жизнь?
Давайте заметим одну тонкость. Избавляясь от знаков log, мы приравниваем аргументы. Отсюда следует, что требования x2 − 6x + 2 > 0 и 7 − 2x > 0 равносильны. Как следствие, любое из двух неравенств можно вычеркнуть. Давайте вычеркнем самое сложное, а себе оставим обычное линейное неравенство:
−2x > −7
x < 3,5
Поскольку мы делили обе части на отрицательное число, знак неравенства поменялся.
Итак, мы нашли ОДЗ без всяких квадратных неравенств, дискриминантов и пересечений. Теперь осталось просто выбрать корни, которые лежат на данном интервале. Очевидно, что нас устроит лишь x = −1, потому что x = 5 > 3,5.
Можно записать ответ: x = 1 является единственным решением исходного логарифмического уравнения.
Выводы из данного логарифмического уравнения следующие:
- Не бойтесь раскладывать логарифмы на множители, а потом множители раскладывать на сумму логарифмов. Однако помните, что разбивая произведение на сумму двух логарифмов, вы тем самым сужаете область определения. Поэтому прежде чем выполнять такое преобразование, обязательно проверьте, каковы требования области определения. Чаще всего никаких проблем не возникает, однако лишний раз перестраховаться не помешает.
- Избавляясь от канонической формы, старайтесь оптимизировать вычисления. В частности, если от нас требуется, чтобы f > 0 и g > 0, но в самом уравнении f = g, то смело вычеркиваем одно из неравенств, оставляя себе лишь самое простое. Область определения и ответы при этом никак не пострадают, а вот объем вычислений существенно сократится.
Вот, собственно, и все, что я хотел рассказать о группировке.:)
Типичные ошибки при решении
Сегодня мы разберем два типичных логарифмических уравнения, на которых спотыкаются многие ученики. На примере этих уравнения мы увидим, какие ошибки чаще всего допускаются в процессе решения и преобразования исходных выражений.
Дробно-рациональные уравнения с логарифмами
Сразу следует отметить, что это довольно коварный тип уравнений, в которых отнюдь не всегда сразу присутствует дробь с логарифмом где-то в знаменателе. Однако в процессе преобразований такая дробь обязательно возникнет.
При этом будьте внимательны: в процессе преобразований изначальная область определения логарифмов может существенно измениться!
Переходим к еще более жестким логарифмическим уравнениям, содержащим дроби и переменные основания. Чтобы за один короткий урок успеть больше, я не буду рассказывать элементарную теорию. Сразу перейдем к задачам:
4 log25 (x − 1) − log3 27 + 2 logx− 1 5 = 1
Посмотрев на это уравнение, кто-то спросит: «При чем здесь дробно-рациональное уравнение? Где в этом уравнении дробь?» Давайте не будем спешить и внимательно посмотрим на каждое слагаемое.
Первое слагаемое: 4 log25 (x − 1). Основанием логарифма является число, но в аргументе стоит функция от переменной x. С этим мы пока ничего сделать не можем. Идем дальше.
Следующее слагаемое: log 3 27. Вспоминаем, что 27 = 33. Следовательно, весь логарифм мы можем переписать следующим образом:
log 3 27 = 33 = 3
Итак, второе слагаемое — это просто тройка. Третье слагаемое: 2 logx− 1 5. Тут тоже не все просто: в основании стоит функция, в аргументе — обычное число. Предлагаю перевернуть весь логарифм по следующей формуле:
logab = 1/logba
Такое преобразование можно выполнить только если b ≠ 1. Иначе логарифм, который получится в знаменателе второй дроби, просто не будет существовать. В нашем случае b= 5, поэтому все в порядке:
2 logx− 1 5 = 2/log5 (x− 1)
Перепишем исходное уравнение с учетом полученных преобразований:
4 log25 (x − 1) − 3 + 2/ log5 (x− 1) = 1
В знаменателе дроби у нас стоит log5 (x− 1), а в первом слагаемом мы имеем log25 (x − 1). Но 25 = 52, поэтому выносим квадрат из основания логарифма по правилу:
Другими словами, степень в основании логарифма становится дробью спереди. А выражение перепишется так:
4 1/2 log5 (x− 1) − 3 + 2/ log5 (x− 1) − 1 = 0
У нас получилось длинное уравнение с кучей одинаковых логарифмов. Введем новую переменную:
log5 (x − 1) = t;
2t− 4 + 2/t = 0;
А вот это уже дробно-рациональное уравнение, которое решается средствами алгебры 8—9 класса. Для начала разделим все на двойку:
t− 2 + 1/t = 0;
(t2 − 2t + 1)/t = 0
В скобках стоит точный квадрат. Свернем его:
(t− 1)2/t = 0
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Никогда не забывайте про этот факт:
(t− 1)2= 0
t = 1
t ≠ 0
Вспоминаем, что такое t:
log5 (x − 1) = 1
log5 (x − 1) = log5 5
Избавляемся от знаков log, приравниваем их аргументы, и получаем:
x− 1 = 5 ⇒ x = 6
Все. Задача решена. Но давайте вернемся к исходному уравнению и вспомним, что там присутствовали сразу два логарифма с переменной x. Поэтому нужно выписать область определения. Поскольку x− 1 стоит в аргументе логарифма, это выражение должно быть больше нуля:
x− 1 > 0
С другой стороны, тот же x− 1 присутствует и в основании, поэтому должен отличаться от единицы:
x− 1 ≠ 1
Отсюда заключаем:
x > 1; x ≠ 2
Эти требования должны выполняться одновременно. Значение x = 6 удовлетворяет обоим требованиям, поэтому является x = 6 окончательным решением логарифмического уравнения.
Переходим ко второй задаче:
Вновь не будем спешить и посмотрим на каждое слагаемое:
log4 (x + 1) — в основании стоит четверка. Обычное число, и его можно не трогать. Но в прошлый раз мы наткнулись на точный квадрат в основании, который пришлось выносить из-под знака логарифма. Давайте сейчас сделаем то же самое:
log4 (x + 1) = 1/2 log2 (x + 1)
Фишка в том, что у нас уже есть логарифм с переменной x, хоть и в основании — он является обратным к логарифму, который мы только что нашли:
8 logx + 1 2 = 8 · (1/log2 (x + 1)) = 8/log2 (x + 1)
Следующее слагаемое — log2 8. Это константа, поскольку и аргументе, и в основании стоят обычные числа. Найдем значение:
log2 8 = log2 23 = 3
То же самое мы можем сделать и с последним логарифмом:
Теперь перепишем исходное уравнение:
1/2 · log2 (x + 1) + 8/log2 (x + 1) − 3 − 1 = 0;
log2 (x + 1)/2 + 8/log2 (x + 1) − 4 = 0
Приведем все к общему знаменателю:
Перед нами опять дробно-рациональное уравнение. Введем новую переменную:
t = log2 (x + 1)
Перепишем уравнение с учетом новой переменной:
Будьте внимательны: на этом шаге я поменял слагаемые местами. В числителе дроби стоит квадрат разности:
Как и в прошлый раз, дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля:
(t− 4)2 = 0 ⇒ t = 4;
t ≠ 0
Получили один корень, который удовлетворяет всем требованиям, поэтому возвращаемся к переменной x:
log2 (x + 1) = 4;
log2 (x + 1) = log2 24;
x + 1 = 16;
x = 15
Все, мы решили уравнение. Но поскольку в исходном уравнении присутствовало несколько логарифмов, необходимо выписать область определения.
Так, выражение x + 1 стоит в аргументе логарифма. Поэтому x + 1 > 0. С другой стороны, x + 1 присутствует и в основании, т.е. x + 1 ≠ 1. Итого:
0 ≠ x > −1
Удовлетворяет ли найденный корень данным требованиям? Безусловно. Следовательно, x = 15 является решением исходного логарифмического уравнения.
Напоследок хотел бы сказать следующее: если вы смотрите на уравнение и понимаете, что вам предстоит решать что-то сложное и нестандартное, по старайтесь выделить устойчивые конструкции, которые впоследствии будут обозначены другой переменной. Если же какие-то слагаемые вообще не содержат переменную x, их зачастую можно просто вычислить.
Вот и все, о чем я хотел сегодня рассказать. Надеюсь, этот урок поможет вам в решении сложных логарифмических уравнений. Смотрите другие видеоуроки, скачивайте и решайте самостоятельные работы, и до встречи в следующем видео!
Смотрите также:
- Заключительный комплект уроков по решению логарифмических уравнений
- Логарифмические уравнения: несколько видеоуроков по теме
- Радианная и градусная мера угла
- Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №4
- Как решать задачи про смеси и сплавы
- Деление многочленов уголком
www.berdov.com
Логарифмические уравнения
Логарифмические уравнения. Продолжаем рассматривать задачи из части В ЕГЭ по математике. Мы с вами уже рассмотрели решения некоторых уравнений в статьях «Тригонометрические уравнения», «Решение рациональных уравнений». В этой статье рассмотрим логарифмические уравнения. Сразу скажу, что никаких сложных преобразований при решении таких уравнений на ЕГЭ не будет. Они просты.
Достаточно знать и понимать основное логарифмическое тождество, знать свойства логарифма. Обратите внимание на то, то после решения ОБЯЗАТЕЛЬНО нужно сделать проверку — подставить полученное значение в исходное уравнение и вычислить, в итоге должно получиться верное равенство.
Определение:
Логарифмом числа a по основанию b называется показатель степени, в который нужно возвести b, чтобы получить a.
Основное логарифмическое тождество:
Например:
log39 = 2, так как 32 = 9
Свойства логарифмов:
Частные случаи логарифмов:
Решим задачи. В первом примере мы сделаем проверку. В последующих проверку сделайте самостоятельно.
Найдите корень уравнения: log3(4–x) = 4
Используем основное логарифмическое тождество.
Так как logba = x bx = a, то
34 = 4 – x
x = 4 – 81
x = – 77
Проверка:
log3(4–(–77)) = 4
log381 = 4
34 = 81 Верно.
Ответ: – 77
Решите самостоятельно:
Найдите корень уравнения: log2 (4 – x) = 7
Посмотреть решение
Найдите корень уравнения log5 (4 + x) = 2
Используем основное логарифмическое тождество.
Так как logab = x bx = a, то
52 = 4 + x
x =52 – 4
x = 21
Проверка:
log5(4 + 21) = 2
log525 = 2
52 = 25 Верно.
Ответ: 21
Найдите корень уравнения log3(14 – x) = log35.
Имеет место следующее свойство, смысл его таков: если в левой и правой частях уравнения имеем логарифмы с одинаковым основанием, то можем приравнять выражения, стоящие под знаками логарифмов.
Если logca = logcb, то a = b
14 – x = 5
x = 9
Сделайте проверку.
Ответ: 9
Решите самостоятельно:
Найдите корень уравнения log5(5 – x) = log53.
Посмотреть решение
Найдите корень уравнения: log4(x + 3) = log4(4x – 15).
Если logca = logcb, то a = b
x + 3 = 4x – 15
3x = 18
x = 6
Сделайте проверку.
Ответ: 6
Найдите корень уравнения log1/8(13 – x) = – 2.
(1/8)–2 = 13 – x
82 = 13 – x
x = 13 – 64
x = – 51
Сделайте проверку.
Небольшое дополнение – здесь используется свойство
степени (отрицательная степень дроби).
Ответ: – 51
Решите самостоятельно:
Найдите корень уравнения: log1/7(7 – x) = – 2
Посмотреть решение
Найдите корень уравнения log2 (4 – x) = 2 log2 5.
Преобразуем правую часть. воспользуемся свойством:
logabm = m∙logab
log2(4 – x) = log252
Если logca = logcb, то a = b
4 – x = 52
4 – x = 25
x = – 21
Сделайте проверку.
Ответ: – 21
Решите самостоятельно:
Найдите корень уравнения: log5(5 – x) = 2 log5 3
Посмотреть решение
Решите уравнение log5(x2 + 4x) = log5(x2 + 11)
Если logca = logcb, то a = b
x2 + 4x = x2 + 11
4x = 11
x = 2,75
Сделайте проверку.
Ответ: 2,75
Решите самостоятельно:
Найдите корень уравнения log5(x2 + x) = log5(x2 + 10).
Посмотреть решение
Решите уравнение log2(2 – x) = log2(2 – 3x) +1.
Необходимо с правой стороны уравнения получить выражение вида:
log2 (......)
Представляем 1 как логарифм с основанием 2:
1 = log2 2
Далее применяем свойство:
logс(ab) = logсa + logсb
log2(2 – x) = log2(2 – 3x) + log22
Получаем:
log2(2 – x) = log2 2 (2 – 3x)
Если logca = logcb, то a = b, значит
2 – x = 4 – 6x
5x = 2
x = 0,4
Сделайте проверку.
Ответ: 0,4
Решите самостоятельно:
Найдите корень уравнения log5(7 – x) = log5(3 – x) +1
Посмотреть решение
Решите уравнение logх–125 = 2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
Воспользуемся основным логарифмическим тождеством:
(x – 1)2= 25
Далее необходимо решить квадратное уравнение. Кстати, квадратное уравнение, как вы поняли, это очень важная «буковка» в математической азбуке. К нему сводятся очень многие решения совершенно различных задач. Помнить формулы дискриминанта и корней нужно обязательно, и уметь решать такое уравнение вы должны очень быстро, периодически практикуйтесь.
Конечно же, опытный глаз сразу увидит, что в нашем примере выражение, стоящее под знаком квадрата равно 5 или – 5, так как только эти два числа при возведении в квадрат дают 25, устно можно посчитать:
корни равны 6 и – 4.
Корень "–4" не является решением, так как основание логарифма должно быть больше нуля, а при "– 4" оно равно «–5». Решением является корень 6. Сделайте проверку.
Ответ: 6.
Решите самостоятельно:
Решите уравнение logx–5 49 = 2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
Посмотреть решение
Как вы убедились, никаких сложных преобразований с логарифмическими уравнениями нет. Достаточно знать свойства логарифма и уметь применять их. В задачах ЕГЭ, связанных с преобразованием логарифмических выражений, выполняются более серьёзные преобразования и требуются более глубокие навыки в решении. Такие примеры мы рассмотрим, не пропустите! Успехов вам!!!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
matematikalegko.ru
Логарифмические уравнения
Факт 1.\(\bullet\) Логарифм по основанию \(a\) от \(b\) – это число \(t\), которое показывает, в какую степень нужно возвести \(a\), чтобы получить \(b\).Ограничения: числа \(a\) и \(b\) такие, что \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0\):\[{\color{blue}{a^t=b \quad\Leftrightarrow\quad \log_a{b}=t}}\]Т.к. мы имеем право возводить в любую степень, то \(t\in \mathbb{R}\).Примеры:
1) \(\log_24\) – степень, в которую нужно возвести \(2\), чтобы получить \(4\). Следовательно, \(\log_24=2\).
2) \(\log_3\frac13\) – степень, в которую нужно возвести \(3\), чтобы получить \(\dfrac13\). Следовательно, \(\log_3\frac13=-1\). \(\bullet\) Некоторые важные формулы:
(0) при \(a>0, \ a\ne 1, \ b>0\) выполняется основное логарифмическое тождество \[a^{\log_ab}=b\]
(1) при \(a>0,\ a\ne 1\) \[\log_a1=0, \qquad \log_aa=1\]
(2) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0\) \[\log_{a}{b^m}= m\log_ab\]\[\log_{a^n}{b}=\frac 1n\log_ab\]\[\log_{a^n}{b^m}=\frac mn\log_ab\]
при четных \(m\) и \(n\) и \(a\ne 0,\ a\ne 1,\ b\ne 0\) \[\log_{a^n}{b^m}=\dfrac mn\log_{|a|}{|b|}\]
(3) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0,\ c>0\) \[b^{\log_ac}=c^{\log_ab}\]
(4) при \(a>0,\ a\ne 1,\ bc>0\) \[\log_a{bc}=\log_a{|b|}+\log_a{|c|} \qquad \log_a{\dfrac bc}=\log_a{|b|}-\log_a{|c|}\]
(5) при \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0,\ b\ne 1,\ c>0\) \[\log_ab\cdot \log_bc=\log_ac \quad\Leftrightarrow\quad \log_bc=\dfrac{\log_ac}{\log_ab}\]\[\log_ab\cdot \log_ba=1 \quad\Leftrightarrow\quad \log_ba=\dfrac{1}{\log_ab}\]\(\bullet\) Частный случай формул (2): \[m=\log_a{a^m}\]С помощью нее нагляднее видно, как заменить число на логарифм по нужному основанию:\(4=\log_2{2^4}=\log_2{16}\). \(\bullet\) Формулу (0) удобно использовать, чтобы заменить число на степень с нужным основанием:\(4=3^{\log_34}\). \(\bullet\) С помощью формулы \(\log_ba=\dfrac1{\log_ab}\) из (5) можно “менять” основание и аргумент логарифма местами:\(\log_52=\dfrac1{\log_25}\).
\(\bullet\) Логарифмическое уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) в основании и/или аргументе логарифма.Простейшее логарифмическое уравнение:
\[\log_a{f(x)}=\log_a{g(x)} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} f(x)=g(x)\\ f(x)>0 \ (\text{или }g(x)>0) \end{cases}\] где \(a>0, a\ne 1\).Неравенства \(f(x)>0\) и \(g(x)>0\) составляют ОДЗ данного уравнения.
Примеры решения уравнений:1) Решить уравнение \(\log_{\frac13}(4x+1)=-3\).Решение.ОДЗ уравнения: \(4x+1>0\).Пользуясь определением логарифма, уравнение можно переписать в виде \(\left(\frac13\right)^{-3}=4x+1\). Так как \(\left(\frac13\right)^{-1}=3\), то \(\left(\frac13\right)^{-3}=3^3=27\). Следовательно, получаем уравнение \(27=4x+1\), откуда \(x=6,5\). Данный корень подходит по ОДЗ. 2) Решить уравнение \(\log_{\sqrt5}(2x+15)=4\log_{\sqrt5}2\).Решение.ОДЗ уравнения: \(2x+15>0\).Так как \(m\log_ab=\log_ab^m\), то \(4\log_{\sqrt5}2=\log_{\sqrt5}2^4=\log_{\sqrt5}16\). Следовательно, получаем уравнение \(\log_{\sqrt5}(2x+15)=\log_{\sqrt5}16\). Получили простейшее логарифмические уравнение, которое преобразуется в \(2x+15=16\), откуда \(x=0,5\). Данный корень подходит по ОДЗ. 3) Решить уравнение \(\log_3(2x+1)=\log_3(3-x)+1\).Решение.ОДЗ уравнения: \(2x+1>0\) и \(3-x>0\).Так как \(1=\log_33\), то правая часть равна \(\log_3(3-x)+\log_33=\log_3(3(3-x))\), следовательно, уравнение примет вид \(\log_3(2x+1)=\log_3(9-3x)\). Данное уравнение преобразуется в \(2x+1=9-3x\), откуда \(x=1,6\). Данный корень подходит по ОДЗ.
Факт 2.\(\bullet\) Объясним, зачем нужны модули в формулах (2) и (4).
1) Рассмотрим частный случай формулы (2) при четном \(m\): \(\log_a{b^m}=m\log_a{|b|}\) на примере.Рассмотрим: \(\log_3{b^2}=2\log_3{|b|}\).Зачем модуль? Заметим, что в левую часть равенства можно подставлять вместо \(b\) все числа \(b\ne 0\). Если в правой части не поставить модуль (т.е. \(\log_3b\)), то вместо \(b\) можно подставлять только \(b>0\). Таким образом, теряется часть возможных значений числа \(b\).
2) В формулах (4): \[\log_a{bc}=\log_a{|b|}+\log_a{|c|} \ \ \ \ \ \ \text{и} \ \ \ \ \ \ \log_a{\dfrac bc}=\log_a{|b|}-\log_a{|c|}\] аналогичная причина: в левую часть равенств можно подставлять как одновременно положительные \(b\) и \(c\), так и одновременно отрицательные (так как произведение двух отрицательных чисел является положительным числом). А вот в правые части, если в них убрать модули, отрицательные \(b\) и \(c\) уже подставлять будет нельзя (так как аргумент логарифма – всегда положительное выражение). Таким образом, не поставив модули, мы значительно сузим возможные значения для \(b\) и \(c\).Пример:Если не поставить модули, а записать, например, \(\log_2{bc}=\log_2b+\log_2c\), то значения \(b=-1\) и \(c=-1\) не удовлетворяют равенству. Тогда как с модулями числа \(b\) и \(c\) могут одновременно быть отрицательными.
shkolkovo.net
Решение логарифмических уравнений. Часть 1.
Решение логарифмических уравнений. Часть 1.
Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком логарифма ( в частности, в основании логарифма).
Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид:
Решение любого логарифмического уравнения предполагает переход от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифмов. Однако это действие расширяет область допустимых значений уравнения и может привести к появлению посторонних корней. Чтобы избежать появления посторонних корней, можно поступить одним из трех способов:
1. Сделать равносильный переход от исходного уравнения к системе, включающей область допустимых значений уравнения:
или
,
в зависимости от того, какое неравенство или проще.
Если уравнение содержит неизвестное в основании логарифма:
,
то мы переходим к системе:
2. Отдельно найти область допустимых значений уравнения, затем решить уравнение и проверить, удовлетворяют ли найденные решения ОДЗ уравнения.
3. Решить уравнение, и потом сделать проверку: подставить найденные решения в исходное уравнение, и проверить, получим ли мы верное равенство.
Логарифмическое уравнение любого уровня сложности в конечном итоге всегда сводится к простейшему логарифмическому уравнению.
Все логарифмические уравнения можно условно разделить на четыре типа:
1. Уравнения, которые содержат логарифмы только в первой степени. Они с помощью преобразований и использования свойств логарифмов приводятся к виду
или
Пример. Решим уравнение:
Решение.
Выпишем ОДЗ уравнения:
Внимание! Мы всегда ищем ОДЗ исходного уравнения, а не того, которое получится в процессе преобразований. То есть ОДЗ записываем перед тем, как переходим к решению уравнения.
Для упрощения вычислений давайте перенесем логарифмы с отрицательными коэффициентами в противоположную часть уравнения - из соображений, что умножать проще, чем делить:
Представим число 2 в виде логарифма по основанию 4:
Получим уравнение:
Воспользуемся свойствами логарифмов:
Приравняем выражения, стоящие под знаком логарифма:
Проверим, удовлетворяет ли наш корень ОДЗ уравнения:
Да, удовлетворяет.
Ответ: х=5
2. Уравнения, которые содержат логарифмы в степени, отличной от 1 (в частности, в знаменателе дроби). Такие уравнения решаются с помощью введения замены переменной.
Пример. Решим уравнение:
Решение.
Найдем ОДЗ уравнения:
Уравнение содержит логарифмы в квадрате, поэтому решается с помощью замены переменной.
Важно! Прежде чем вводить замену, нужно "растащить" логарифмы, входящие в состав уравнения на "кирпичики", используя свойства логарифмов.
При "растаскивании" логарифмов важно очень аккуратно применять свойства логарифмов:
Кроме того, здесь есть еще одно тонкое место, и, чтобы избежать распространенной ошибки, воспользуемся промежуточным равенством: запишем степень логарифма в таком виде:
Аналогично,
.
Подставим полученные выражения в исходное уравнение. Получим:
Теперь мы видим, что неизвестное содержится в уравнении в составе . Введем замену: . Так как может принимать любое действительное значение, на переменную мы никаких ограничений не накладываем.
Получили уравнение:
Раскроем скобки, приведем подобные члены и решим квадратное уравнение:
,
Вернемся к исходной переменной:
,
Отсюда:
,
Ответ: ,
Решение логарифмических уравнений остальных типов мы рассмотрим здесь и здесь.
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
ege-ok.ru
