"Взаимно обратные числа". Взаимно обратные числа это


Обратные числа |

Обратные или взаимно-обратные числа

Обратными – или взаимно-обратными – числами называют пару чисел, которые при перемножении дают 1. В самом общем виде обратными являются числа . Характерный частный случай взаимно-обратных чисел – пара . Обратными являются, скажем, числа ; .

Как найти обратное число

Правило: нужно 1 (единицу) поделить на данное число.

Пример №1.

Дано число 8. Обратное к нему – 1:8 или  (второй вариант предпочтительнее, потому что такая запись математически более корректна).

Когда ищется обратное число для обыкновенной дроби, то делить ее на 1 не очень удобно, т.к. запись получается громоздкой. В этом случае гораздо проще поступать иначе: дробь просто переворачивают, меняя местами числитель и знаменатель. Если дана правильная дробь, то после переворачивания получается дробь неправильная, т.е. такая, из которой можно выделить целую часть. Делать это или нет, решать нужно в каждом конкретном случае особо. Так, если с полученной перевернутой дробью далее придется совершать какие-то действия (к примеру, умножение или деление), то выделять целую часть не стоит. Если же полученная дробь – это конечный результат, то, возможно, выделение целой части и желательно.

Пример №2.

Дана дробь . Обратная к ней: .

Если требуется найти обратное число к десятичной дроби, то следует воспользоваться первым правилом (деление 1 на число). В этой ситуации можно действовать одним из 2 способов. Первый – просто разделить 1 на это число в столбик. Второй – сформировать дробь из 1 в числителе и десятичной дроби в знаменателе, а затем домножить числитель и знаменатель на 10, 100 или другое число, состоящее из 1 и такого количества нулей, которое необходимо, чтобы избавиться от десятичной запятой в знаменателе. В результате будет получена обыкновенная дробь, которая и является результатом. При необходимости ее может понадобиться сократить, выделить из нее целую часть или перевести в десятичный вид.

Пример №3.

Дано число 0,82. Обратное число к нему такое:  . Теперь сократим дробь и выделим целую часть: .

Как проверить, являются ли два числа обратными

Принцип проверки основан на определении обратных чисел. То есть для того, чтобы убедиться, что числа являются обратными друг другу, нужно перемножить их. Если в результате будет получена единица, значит, числа – взаимно обратные.

Пример №4.

Даны числа 0,125 и 8. Являются ли они обратными?

Проверка. Необходимо найти произведение 0,125 и 8. Для наглядности представим данные числа в виде обыкновенных дробей:  (сократим 1-ю дробь на 125)  . Вывод: числа 0,125 и 8 являются обратными.

Свойства обратных чисел

Свойство №1

Обратное число существует для любого числа, кроме 0.

Это ограничение связано с тем, что нельзя делить на 0, а при определении обратного числа для нуля его как раз придется переместить в знаменатель, т.е. фактически делить на него.

Свойство №2

Сумма пары взаимно-обратных чисел всегда не меньше, чем 2.

Математически это свойство можно выразить неравенством: .

Свойство №3

Умножение числа на два взаимно-обратных числа равносильно умножению на единицу. Выразим это свойство математически: .

Пример №5.

Найти значение выражения: 3,4·0,125·8. Поскольку числа 0,125 и 8 являются обратными (см. Пример №4), то умножать 3,4 на 0,125 и затем на 8 нет необходимости. А значит, ответом здесь будет 3,4.

Свойство №4

Взаимно-обратными могут быть и числовые выражения.

Пример №6.

Выражения  и  являются обратными. Докажем это:   .

Свойство №5

Для числа, представленного в виде степени с показателем х, обратным будет число в виде степени с показателем –х. Обоснование:  . Это свойство означает, что и для всякой степени тоже может быть подобрано обратное число.

Пример №7.

Дано число . Требуется найти обратное к нему.

Решение. Обратное число в данном случае равно: .

spadilo.ru

Обратные числа | Алгебра

Что такое обратные числа? Как найти число, обратное данному?

Определение

Обратные числа (взаимно-обратные числа) — это два числа, произведение которых равно единице.

Примеры обратных чисел.

1) 10 и 0,1

10∙0,1=1;

2) 0,125 и 8

0,125∙8=1;

   

   

   

   

   

   

Обратное число существует для любого числа, кроме нуля.

Число, обратное 1 — это 1. Таким образом, единица — число, являющееся обратным самому себе.

В общем виде взаимно-обратные дроби можно представить как

   

натуральное число a и обратное ему число — как

   

Чтобы проверить, являются ли два числа обратными, надо найти их произведение. Если произведение равно единице, числа — взаимно-обратные, в противном случае числа обратными не являются.

Чтобы найти число, обратное данному, можно единицу разделить на данное число.

На практике обычно поступают проще.

Чтобы найти дробь, обратную обыкновенной дроби, числитель и знаменатель данной дроби меняют местами (дробь «переворачивают»).

Число, обратное натуральному, записывают как дробь с числителем 1 и знаменателем, равным данному натуральному числу.

Смешанные и десятичные дроби сначала переводят в обыкновенные дроби, а затем «переворачивают» и, если нужно, выделяют целую часть.

В алгебре по аналогии с взаимно-обратными числами вводится понятие взаимно-обратных выражений, в частности, обратных дробей.

www.algebraclass.ru

Взаимно обратные числа

Взаимно обратные числа – это два числа, произведение которых равно единице:

Обратное число к данному числу – это число, умножение которого на данное число, даёт в результате единицу. Так, если числа p и q взаимно обратные, то можно сказать, что число p – это число, обратное числу q, а число q – это число, обратное числу p.

Как находить обратные числа

Если взять обыкновенную дробь и перевернуть её, т. е. поменять местами числитель со знаменателем, то мы получим дробь обратную данной.

Возьмём дробь и перевернём её, получится дробь :

Проверить, правильно ли найдено обратное число к данному можно с помощью умножения:

Теперь рассмотрим, как найти число, обратное натуральному числу: возьмём к примеру число 15, представим его в виде дроби , затем перевернём эту дробь, получится дробь .

Из сказаного следует, что:

Число, обратное данному натуральному числу, получается от деления единицы на это натуральное число.

Чтобы найти число обратное смешанному числу нужно:

  1. Представить его в виде неправильной дроби.
  2. Перевернуть полученную дробь

Найдём обратное число для :

Проверяем:

Обратное число для десятичной дроби находится точно так же, как и для смешанного числа:

Проверяем:

Для единицы обратным числом является сама единица, так как:

1 · 1 = 1

Для нуля не существует обратного числа, так как невозможно умножить нуль на какое-то число и получить единицу.

Таким образом, для любого числа, кроме нуля, существует обратное число.

naobumium.info

Как найти число, обратное данному

Прежде чем перейти к делению дробей, рассмотрим, как найти число, обратное данному.

Два числа, произведение которых равно единице, называют взаимно обратными.

Например, 

   

   

так как

   

   

   

   

   

Легко заметить, что для обыкновенной дроби обратной к ней является перевернутая дробь, то есть дробь, у которой числитель и знаменатель меняются местами:

   

а для целого числа число, обратное к нему — дробь, в числителе которой стоит единица, а в знаменателе — данное число:

   

Таким образом, на вопрос: «Как найти число, обратное данному?» можно дать такой ответ: надо записать данное число в виде обыкновенной дроби или целого числа, а затем перевернуть эту дробь (числитель записать на место знаменателя, знаменатель — на место числителя).

Например: Найти числа, обратные к данным:

   

   

Решение:

   

Чтобы найти число, обратное к данному, сначала смешанное число переводим в неправильную дробь, а затем переворачиваем эту дробь:

   

Таким образом, взаимно обратные числа —

   

Аналогично:

   

   

   

Здесь надо найти число, обратное к десятичной дроби. Сначала переводим ее в смешанное число, если есть возможность, как в данном примере — сокращаем.

   

www.for6cl.uznateshe.ru

"Взаимно обратные числа"

ГБОУ ООШ с. Верхнее Санчелеево мунипального района Ставропольский Самарской области

Взаимно обратные числа.

Работа Учителя

Лось Любовь Александровны

2016 год

«Эй, скорей проверь дружок,

Ты готов начать урок?

Всё ль на месте,

Всё ль в порядке,

Ручка, книжка и тетрадка?

Все ли правильно сидят?

Все ль внимательно глядят?

Каждый хочет получать

Только лишь оценку пять».

«Кто с детских лет занимается математикой , тот развивает внимание , тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает в себе настойчивость и упорство в достижении цели». А. Маркушевич

1 4

2 - * - =

4 9

Выполни умножение

22 23

- * - =

23 22

8 15

- * - =

15 8

Отгадай , что скрыто под знаком вопроса

К ОТ ТОК ? НОС

3 4 5 ? ? 7 4 6

КАК ВЫ СЧИТАЕТЕ КАКАЯ ЦЕЛЬ НАШЕГО УРОКА?

1

7 * - =

7

1 4

2 - * - =

4 9

1

Цель урока:

Определение. Два числа, произведение которых равно 1, называются взаимно обратными .

Является ли пара чисел взаимно обратными числами

3 2 5 1 1 2 7

- и - ; 1,2 и - ; 3 - и 2 - ; 1 - и - ?

2 3 6 2 3 7 9

Соедини линией числа взаимно обратные

8

-

7

12

-

17

17

-

12

7

-

8

2

-

3

Нет

Взаимно

обратного

1

9 -

4

1

1

4

-

37

0

1,5

ПРОВЕРЯЕМ

8

-

7

12

-

17

17

-

12

7

-

8

2

-

3

Нет

Взаимно

обратного

1

9 -

4

1

1

4

-

37

0

1,5

Вывод

Если нужно найти взаимно обратное число для

Вывод

Если нужно найти взаимно обратное число для

http://school-collection.edu.ru/catalog/res/eae6cc82-1aa2-4945-b2e8-ad381c919690/view/

Первая группа переходит к ПК выполняет работу по тренажёру.

Вторая группа выполняет работу по учебнику № 579, 580

По выполнению задания ребята меняются местами.

4

-

3

3

- * х = 1

4

7

1= - * а

9

9

-

7

7

- * в = 0

9

5 5

- * х = -

6 6

0

1

Найди значение выражений

1 5 6

3 - * - * - =

2 6 5

2 7

1,2 * 1 - * - =

7 9

1

19,8 * 2 * - =

2

25 99 100

4 - * - * - =

88 100 99

а в

3,7 * - * - =

в а

1

2 * 546 * - =

2

Выбери подходящее для тебя выражение и закончи его, в соответствии с результатом урока

Определите, насколько вы усвоили сегодняшний материал, и достигли ли вы поставленных целей. Зеленая означает, что вы все поняли на уроке, умеете на практике все это применять, и достигли целей, поставленных вначале урока. Синяя –все поняли, но есть недочеты, цели достигнуты, но не все. Красная-ничего не усвоил, цели не достигнуты.

Пусть каждый день и каждый час Вам новое добудет. Пусть добрым будет ум у вас, А сердце умным будет.

intolimp.org

взаимно обратные числа - Математика

< >1) На доске записан ряд чисел:

15; 1/7; 3/2; 18 7/8; 12,5; 2; 0,62; 113; 7 ¼; 0,48.

14; -1/3; ½; 17 7/8; 11,5; 1; -0,38; 112; 6 ½; -0,52.

Работаем самостоятельно.

Натуральные

числа

Десятичные

числа

Смешанные числа

Обыкновенные

Дроби

15; 113; 2;

12,5; 0,48; 0,62;

18 7/8;

7 ¼;

1/7; 3/2;

Осуществляется взаимопроверка. Приводят свои примеры. 2) Выполняют устно математические действия. - Найдите разность между наибольшим натуральным числом и произведением двух меньших. (83) - Найдите сумму десятичных дробей. (13,6)

- Найдите разность смешанных чисел. (11 5/8).

- Найдите произведение обыкновенных дробей. (3/14). Ставят оценку в оценочный лист.

- Какие ещё числа бывают? (Отрицательные и положительные, противоположные, простые и составные).

Все вместе они называются рациональными.

- Сегодня мы познакомимся с ещё одним видом чисел, а как они называются, вы мне сами подскажите, но сначала поработайте самостоятельно по карточкам.

3. Самостоятельная работа.

Выполните умножение:

a) 2* ½ = b) 3/5*5 = c)4/9 * 1 ¼ = d)7/9 * 3/7 =

e) 3 1/3 * 3/10 = f) 2,5 *4 = g) ¾ * 4/3 = h) 0,2 * 5 = Учащиеся сверяют свои ответы с готовыми ответами на доске и ставят себе сами оценку. Слайд 2-3

4. Определение темы и целей урока.

- Ребята, а вы обратили внимание на одну закономерность? Верно, значения некоторых произведений равны единице. В каком случае это получалось? Как можно назвать эти дроби? Посмотрите ещё один Слайд, может быть он подскажет вам тему сегодняшнего урока? Слайд 4-5

Из предложенных вариантов учитель выбирает нужный и просит записать тему урока. Слайд 6.

- Какие числа называются взаимно обратными? Сформулируйте сами определение.

- Чтобы вы хотели узнать про взаимно обратные числа? Зачем мы их выделили сегодня в отдельную группу? Учитель предлагает взять следующие цели урока. Слайд 7

Цели урока:

1.Определить, какие числа называются взаимно обратными.

2. Научится определять практическим путём, взаимно обратные это числа или нет.

3. Как найти и правильно записать взаимно обратные числа для

а) натуральных чисел, б) десятичных чисел, в) смешанных чисел,

г) обыкновенных дробей?

4.Ответить на вопросы: а) Имеет ли единица взаимно обратное число?

б) Может ли одно из взаимно обратных чисел равно нулю?

в) Могут ли взаимно обратные числа быть отрицательными?

5. Сформулировать свойство взаимно обратных чисел, которое можно использовать для более рационального выполнения математических действий.

Итак, какие числа называются взаимно обратными? Слайд 8.

Записываем определение в тетрадях.

5. Закрепление нового материала. а) Укажите пары взаимно обратных чисел; найдите взаимно обратные числа для данных чисел на сладах; Слайд 9- 12 б) Найти взаимно обратные числа для ряда чисел на классной доске.

в) Сформулировать правила нахождения взаимно обратных чисел и ответить на вопросы 4а, 4б, 4в. Слайд 13.

  1. Физкультминутка. Учитель называет утверждения. Если учащиеся согласны с ним, то встают со своих мест. Если учащиеся не согласны с утверждением, то продолжают сидеть на своих местах и отрицать головой.

  2. При умножении числа на (-1) получается число противоположное данному числу.(Да).

  3. Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и взять знак (-).Да.

  4. При умножении отрицательного числа на нуль получается отрицательное число. (Нет)

  5. Чтобы перемножить числа с разными знаками, нужно перемножить их модули и взять знак (-).Да.

  6. Если отрицательное число возвести в четвёртую степень, то получится отрицательное число.Нет.

  7. Если от меньшего положительного числа отнять большее положительное число, то получится положительное число. (Нет)

  8. Если от меньшего отрицательного числа отнять большее отрицательное число, то получится отрицательное число.(Да)

А теперь все дружно встали,

Не сомневаюсь – вы устали.

Встрепенулись, потянулись, повернулись

И гостям все улыбнулись.

На цыпочках присели, головою повертели,

Встали, покружились и на место приземлились.

7. Продолжение закрепления нового материала.

1)Задание на карточках. Выполните умножение чисел:

а) 6/5 * 1,7 *5/6 = b) 1/8*3 2/29*8 = c) 3 ½ *5/12*2/7 =

Слайд14.

2) Формулировка свойства обратных чисел.

Если выполнение задания задерживается, значит, учащиеся не увидели произведения двух взаимно обратных чисел. Если же обнаружили их, то задание выполняется устно с использованием Слайда.

- Что же произойдёт с числом, если его умножить сначала на одно число, а потом на взаимно обратное? Верно, оно не изменится. Запишите свойство: «Если число х умножить на число a/b, а потом на взаимно обратное число b/a, то получится число х».

  1. Контроль усвоения знаний.

Предлагаю использовать это свойство при решении уравнений. Учащиеся смотрят на интерактивной доске примеры решения уравнений, а потом решают самостоятельно и осуществляют проверку с комментированием.

1)Решите уравнения: Слайд 15; 16; 17.

а) 8/3*x =3/7; b) 2/9*x=5/6; c) 1 ¼*x = 5/6;

x= 9/56; x = 3 ¾; x = 2/3;

2) Математический диктант Слайд 18-19.

- Замените десятичную дробь 1,3 неправильной обыкновенной дробью.13/10

- Запишите число, на которое надо умножить 7/15, чтобы произведение было равно единице. 15/7

- Запишите число, на которое надо умножить 12, чтобы произведение было равно единице. 1/12;

- Запишите число, на которое надо умножить 1, чтобы получилось произведение равное единице. 1

- Запишите число, которое надо умножить на 2,7, чтобы получилось произведение, равное единице. 10/27;

3)Верно ли, что … Слайд 20.

9. Итоги урока. Релаксация. Вспоминаем цели нашего урока. О каких числах вы сегодня узнали? Дайте определение.

- Как найти число, обратное натуральному числу?

- Как найти число, обратное обыкновенной дроби?

- Как найти число, обратное десятичной дроби?

- Как найти число, обратное смешанному числу?

- Какое свойство взаимно обратных чисел мы использовали при выполнении умножения чисел и решении уравнений?

А теперь посмотрим ваши оценочные листы: какие оценки вы себе поставили?

Домашнее задание. Слайд 21.

Оценочный лист к уроку по теме: «Взаимно обратные числа».

Фамилия:___________________

1.Повторение.

-Умеешь ли различать числа по группам?

-Правильно считал устно?

- Хорошо ли ты понимаешь речь учителя, математическую терминологию?

Оценка:

2.Самостоятельная работа.

-Знаешь ли ты правило умножения обыкновенных дробей и смешанных чисел?

- Умеешь переводить десятичные дроби в обыкновенные и наоборот?

-Сколько в работе правильных ответов?

Оценка:

3. Объяснение нового материала:

- Понял, какие числа называются взаимно обратными?

- Устно ответил на все вопросы на Слайдах?

- Запомнил правило нахождения взаимно обратных чисел для разных видов?

- На классной доске для ряда чисел правильно назвал обратные числа?

Оценка:

4.Контроль применения новых знаний:

- Применял свойство обратных чисел при вычислениях?

- Все уравнения на карточке правильно решил?

- Как написал математический диктант?

- Сам всё решал или тебе помогали? Помогал решать соседу?

Оценка:

Общая оценка за урок:

Понравилось:

  • Да
  • Очень
  • Не очень
  • Так себе
  • Нет

multiurok.ru

Взаимно обратные числа Википедия

Обра́тное число́ (обратное значение, обратная величина) к данному числу x — это число, умножение которого на x даёт единицу. Принятая запись: 1x{\displaystyle {\frac {1}{x}}} или x−1{\displaystyle x^{-1}}. Два числа, произведение которых равно единице, называются взаимно обратными. Обратное число не следует путать с обратной функцией. Например, 1cos⁡x{\displaystyle {\frac {1}{\cos {x}}}} отличается от значения функции, обратной косинусу — арккосинуса, который обозначается cos−1⁡x{\displaystyle \cos ^{-1}x} или arccos⁡x{\displaystyle \arccos x}.

Обратное к действительному числу

Для любого действительного (или комплексного) числа, отличного от нуля, существует число, обратное ему. Обратное к действительному числу можно подать в виде дроби или степени с показателем -1. Но, как правило, используется запись через дробь.

Число Обратное
Дробь Степень
n{\displaystyle n} 1n{\displaystyle {\frac {1}{n}}} n−1{\displaystyle n^{-1}}

То есть  1n=n−1{\displaystyle \ {\frac {1}{n}}=n^{-1}}.

Не стоит путать термины «обратное число» и «противоположное число». Два числа называются противоположными, если их сумма равна нулю. Например, число, противоположное к 3, это -3, а обратное 1/3.

Обратное к нулю

В арифметике, которая оперирует действительными (или комплексными) числами, нет понятия бесконечности (нет числа «бесконечность»). Поэтому в ней считается, что на ноль делить нельзя. Таким образом, ноль не имеет обратного числа. Но, с момента ввода предельного перехода (в математическом анализе), появились такие понятия как бесконечно малая и бесконечно большая величины, которые являются взаимно обратными.

Используя предельный переход, получаем:

Таким образом, обратной величиной для нуля, в зависимости от того с какой стороны к нему стремиться, формально является бесконечность со знаком «+» или «−». Однако такое определение обратного к нулю бессмысленно — при введении теряется дистрибутивность, что проявляется, в частности, когда предел обратного квадрата также "равен" бесконечности, но при делении предыдущего предела на этот даёт ответ 0, а не 1.

Но limx→+01x1x2=limx→+0x2x=0{\displaystyle \lim _{x\to +0}{\frac {\frac {1}{x}}{\frac {1}{x^{2}}}}=\lim _{x\to +0}{\frac {x^{2}}{x}}=0}

Обратное к комплексному числу

Числа, обратные к комплексным, выглядят несколько сложнее нежели обратные к действительным. Существует три формы комплексного числа: алгебраическая, тригонометрическая и показательная.

                    Обозначение и доказательство                    

Доказательство:Для алгебраической и тригонометрической форм используем основное свойство дроби, умножая числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное:

  • Алгебраическая форма:

1z=1x+iy=x−iy(x+iy)(x−iy)=x−iyx2+y2=xx2+y2−iyx2+y2{\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{x+iy}}={\frac {x-iy}{(x+iy)(x-iy)}}={\frac {x-iy}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-i{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}}

  • Тригонометрическая форма:

1z=1r(cos⁡φ+isin⁡φ)=1rcos⁡φ−isin⁡φ(cos⁡φ+isin⁡φ)(cos⁡φ−isin⁡φ)=1rcos⁡φ−isin⁡φcos2⁡φ+sin2⁡φ=1r(cos⁡φ−isin⁡φ){\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}}={\frac {1}{r}}{\frac {\cos \varphi -i\sin \varphi }{(\cos \varphi +i\sin \varphi )(\cos \varphi -i\sin \varphi )}}={\frac {1}{r}}{\frac {\cos \varphi -i\sin \varphi }{\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi }}={\frac {1}{r}}(\cos \varphi -i\sin \varphi )}

  • Показательная форма:

1z=1reiφ=1re−iφ{\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{re^{i\varphi }}}={\frac {1}{r}}e^{-i\varphi }}

Таким образом, при нахождении обратного к комплексному числу, удобнее пользоваться его показательной формой.

Пример:

Обратное к мнимой единице

Существует лишь два числа (комплексно-сопряженные), обратное и противоположное числа к которым равны. Это ±i{\displaystyle \pm i}.

Примечания

  1. ↑ 1 2 Обратное (1z){\displaystyle \left({\frac {1}{z}}\right)} к комплексному числу (z){\displaystyle (z)} записывается в такой же форме, как и это число (z){\displaystyle (z)}.
  2. ↑ 1 2 Запись комплексного числа в тригонометрической форме с использованием конкретного значения косинуса и синуса аргумента: cos⁡π3=12,  sin⁡π3=32{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{2}},\ \ \sin {\frac {\pi }{3}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}

См. также

wikiredia.ru