Как найти синус угла, если известен косинус? Зная синус угла как найти косинус
Как найти синус, если известен косинус?
Когда дана задача, в которой известна одна тригонометрическая функция, и требуется найти другую тригонометрическую функцию, решить ее несложно. Но при этом очень важно учесть маленькие тонкости в решении. Рассмотрим подробные решения, учитывая нюансы. Есть несколько вариантов задач, в которых требуется найти синус, если известен косинус.
Вариант 1. Дан прямоугольный треугольник. Известно значение косинуса угла этого треугольника (не прямого угла). Насти синус.
Решение:
Вспомним основное тригонометрическое тождество: sin2α + cos 2α =1.
Отсюда sin2α =1 – cos2α.
sin α = ±√(1- cos2α)
В прямоугольном треугольнике значение угла (не прямого) может лежать в пределах от 10 до 890. Синус такого угла всегда положителен, следовательно, перед корнем у нас будет плюс.
Вариант 2. Известно значение косинуса некоторого угла. Также известно, к какой четверти тригонометрического круга принадлежит угол.
Решение:
sin2α + cos 2α =1.
sin2α =1 – cos2α.
sin α = ±√(1- cos2α)
Известно, что тригонометрическая функция синус может принимать значения от -1 до+1. Поэтому, извлекая корень, мы должны это учесть. В зависимости от того, к какой четверти принадлежит угол, ставим знак перед корнем «+» или «-» .
Какие бывают четверти:
- I (первая) – α от 00 до 900;
- II (вторая) – α от 900 до 1800;
- III (третья) – α от 1800 до 2700;
- IV (четвертая) – α от 2700 до 3600.
Если угол принадлежит I или II четверти, то перед знаком корня «-» не ставим, так как в этом случае sin α всегда положительный.
Если угол принадлежит III или IV четверти, то перед знаком корня ставим «-», так как в этом случае sin α всегда отрицательный.
Пример. Дан косинус, найти синус. cos α = v3/2. Угол в четвертой четверти.
Решение:
Итак, как найти синус, зная косинус:
sin α = ±v(1- cos2α)
Так как по условию задачи угол принадлежит четвертой четверти тригонометрического к
Как найти косинус угла, если известен синус?
Формулы по тригонометрии - это тема, которую изучают ученики в 10 и 11 классах. Чтобы найти косинус угла, зная синус, нужно воспользоваться основной формулой.
Сначала воспользуемся теоремой Пифагора
теперь подставляем полученные данные
Между синусом и косинусом для одного и того же угла можно найти взаимосвязь, которая позволит найти косинус, зная синус. Вот так выглядит эта взаимосвязь:
Получается чтобы найти косинус в данном случае нам просто напросто будет нужно произвести извлечение корня из выражения (1-sin в квадрате конкретного угла).
Как называется формула не помню:
cos^2+sin^2=1
cos=sqrt(1-sin^2).
Для таких случаев нужно помнить всегда главное тригонометрическое тождество
косинус квадрат альфа+ синус квадрат альфа=1
cos^2альфа+sin^2альфа=1
и вот отсюда уже выводим
cos^2альфа=1-sin^2альфа
соsальфа=sqrt(1-sin^2альфа)
Ответ мой будет аналогичным ответу на похожий вопрос (см. здесь).
Из основного тригонометрического тождества:
выразим косинус в квадрате угла а:
Значит косинус угла равен либо корню квадратному из этого выражения, либо ему же, только со знаком -.
Знак перед корнем зависит от ограничения, которое накладывается для определенности в условии задачи.
Если дано положительное значение синуса,то угол находится в 1-й или во 2-й четверти. В первой четверти (0lt; alt; 90) значение косинуса будет положительным. Здесь выбираем знак плюс. Во второй четверти (90lt; alt; 180) значение косинуса будет отрицательным. Тогда перед корнем выбираем знак минус.
Если значение синуса отрицательное, то угол расположен в 3-й или 4-й четверти. В 3 четверти (180lt; alt; 270) косинус угла будет меньше нуля.
В 4 четверти (270lt; alt; 360) косинус угла будет больше нуля.
Примеры.
Пример 1. Найти косинус угла, если sina = -0,6. 180lt;alt;270 (в градусах)
Решение. Находим разность 1 и квадрата значения sina, т.е. квадрата (-0,6).
-0,6 в квадрате находится так: (-0,6)*(-0,6) = 0,36. Подставим его в искомую разность:
1-0,36=0,64
Получили квадрат значения косинуса. Для нахождения значения самого косинуса, извлечем корень квадратный из 0,64 и возьмем его со знаком + или со знаком - . Получим 0,8 или -0,8.
Так как по условию угол находится в 3 четверти, то искомое значение косинуса будет также меньше нуля. Значит выбираем -0,8.
Ответ: cos a =-0,8.
Рассмотрим пример для случая, когда угол находится в 4 четверти:
Пример 2. Найти косинус угла, если sina = -0,6. 270lt;alt;360 (в градусах)
Решение такое же (см. пример 1).
Перед выбором ответа рассуждаем так:
Т. к. по условию угол расположен в 4 четверти, то значение косинуса будет больше нуля. Значит выбираем 0,8.
Ответ: cos a =0,8.
Что-то из них по тригонометрии равен отношению того к отношению этого, т.е надо перевернуть доску другой стороной кверху если синус угла наклона внизу и вернуть в исходное положение для того чтобы найти косинус угла наклона!
Вс предельно просто и основные вычисления строятся на базе одного всем известного уравнения, при котором сумма квадратов cos и sin одного и того же угла дают в итоге единицу.
Основным моментом, который может вызвать затруднения станет постановка положительного или отрицательного знак перед корнем.
С уроков в школе примерно 10-11 класс, я помню формулу основного тригонометрического тождества, которую мы учили наизусть:
Получаем искомую функцию:
Таким несложным способом можно найти косинус, если известен синус. И использовать его при решении задач.
Найти косинус угла можно из этого выражения:
cos^2альфа+sin^2альфа=1
То есть для того чтобы найти косинус нужно оставить косинус на левой стороне. Получится вот такое выражение - cos=sqrt(1-sin^2), косинус найден.
Вычислить косинус угла, зная его синус очень просто. Для этого стоит знать основу основ тригонометрии - сумма квадратов синуса и косинуса равна единице. Зная эту формулу, легко вычислить косинус угла. Тригонометрическое тождество визуально представлено в следующих формулах, по которым можно вычислить в том числе и косинус.
Не стоит забывать, что при нахождении косинуса, следует убрать его квадрат и вычислить его квадратный корень. То есть те же значения после цифры равно поставить в квадратный корень при вычислении.
Будем считать, что основное тригонометрическое тождество помнят все.
Если кто - то забыл, то напоминаю:
Сумма квадратов синуса и косинуса какого - то (одного) угла Альфа равняется одному (1).
Формулу вспомнили, а дальше все легко.
В левой части уравнения оставляем косинус угла в квадрате, а в правую часть (где уже присутствует единица) перекидываем квадрат синуса угла. Получается следующее:
Нам нужен не квадрат косинуса, а косинус, поэтому уравнение выше преобразовываем и получаем:
Косинус угла равен квадратному корню единицы минус квадрат синуса (cos=sqrt(1-sin^2)).
info-4all.ru
Таблица синусов, найти угол синуса
Тригонометрические функции: синус угла
Зачем надо знать значение синуса? Представим ситуацию: известен один из углов (А=60⁰), вписанный в прямоугольный треугольник, и длина гипотенузы. Больше нет никакой информации. Надо узнать вычислить дальний к углу (А) катет. Как поступить?
Ситуация очень простая: смотрим таблицы Брадиса, находим значение sin(60⁰)=0,866, подставляем данные в формулу тригонометрической функции и решаем линейное уравнение. Из школьного курса известно, что sin угла – это отношение дальнего к углу, в данном случае А=60⁰, катета к гипотенузе.
Произвести все расчеты проще, если воспользоваться онлайн калькулятором на сайте. Таким образом можно вычислить длину любой из сторон прямоугольного треугольника. Знаем угол – значит, знаем sin этого угла. И наоборот, знаем sin – найти угол не составит проблемы.
Таблица синусов 0°- 360°
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Поделитесь этим калькулятором на форуме или в сети!
Это помогает делать новые калькуляторы.
НЕТ
Смотрите также
allcalc.ru
Как найти синус угла, если известен косинус?
Для решения задачи следует воспользоваться основным тригонометрическим тождеством: сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна 1.
Отсюда синус угла равен плюс минус корню квадратному из разности 1 и квадрата косинуса угла.
Какой знак перед корнем квадратным брать зависит от того, где находится угол, косинус которого известен.
Если в условии задачи значение косинуса больше нуля (равенство нулю рассмотрено, как частный случай, ниже, хотя применимы рассуждения и для нуля), то угол находится либо в 1-й, либо в 4-й четверти.
Для определенности в условии задачи обычно дается ограничение для угла.
Если указано, что 0lt; alt; 90 (1 четверть), то значение синуса тоже следует брать со знаком плюс.
Если же 270lt; alt; 360 (4 четверть), то значение синуса следует брать со знаком минус.
Если значение косинуса угла меньше нуля, то это означает, что угол может находиться во 2-й или 3-й четверти.
1) 90lt; alt; 180 (2 четверть).
Тогда синус угла будет положительным и равняется корню квадратному из разности 1 и квадрата косинуса угла.
2) 180lt; alt; 270 (3 четверть).
В этом случае синус угла будет отрицательным и равняется тому же значению, что и в первом случае, только со знаком минус.
Частные случаи: Если cos a = 0, то sina=1; если cos a = 1, то sina=0; cos a = -1, то sina=0. Эти значения также легко находятся из основного тригонометрического тождества.
Приведем примеры.
Пример 1. Найти синус угла, если cos a = -0,8. 180lt;alt;270 (в градусах)
Решение. Находим разность 1 и квадрата значения cos a, т.е. квадрата (-0,8).
-0,8 возводим в квадрат, получим (-0,8)*(-0,8) = 0, 64. Подставим его в искомую разность:
1-0,64=0,36
Получили квадрат значения синуса. Для нахождения значения самого синуса, извлечем корень квадратный из 0,36 и возьмем его со знаком + и со знаком - (см. картинку). Получим 0,6 или -0,6.
Так как по условию угол находится в 3 четверти, то искомое значение синуса будет отрицательным. Значит выбираем -0,6.
Ответ: sina=-0,6.
Рассмотрим для краткости изложения этот же пример для случая, когда угол находится во второй четверти:
Пример 2. Найти синус угла, если cos a = -0,8. 90lt;alt;180 (в градусах)
Решение будет точно таким же, как для примера 1.
Изменится лишь выбор ответа. Рассуждения будут следующими:
Так как по условию угол находится во 2 четверти, то искомое значение синуса будет положительным. Значит выбираем 0,6.
Ответ: sina=0,6.
info-4all.ru
Как найти косинус, если известен синус
Синус и косинус - это прямые тригонометрические функции, для которых существует несколько определений - через окружность в декартовой системе координат, через решения дифференциального уравнения, через острые углы в прямоугольном треугольнике. Каждое из таких определений позволяет вывести зависимость между этими двумя функциями. Ниже приведен самый, пожалуй, простой способ выразить косинус через синус - через их определения для острых углов прямоугольного треугольника.
Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как найти косинус, если известен синус" Как вычислить длину стороны треугольника Как решать тригонометрические функции Как вычислить синусИнструкция
1
Выразите синус острого угла прямоугольного треугольника через длины сторон этой фигуры. Согласно определению, синус угла (?) должен быть равен отношению длины стороны (a), лежащей напротив него - катета - к длине стороны (c), противолежащей прямому углу - гипотенузы: sin(?) = a/c.2
Найдите аналогичную формулу для косинуса того же угла. По определению эта величина должна выражаться отношением длины стороны (b), примыкающей к этому углу (второго катета), к длине стороны (c), лежащей напротив прямого угла: cos(а) = a/c.3
Перепишите равенство, вытекающее из теоремы Пифагора, таким образом, чтобы в нем были задействованы соотношения между катетами и гипотенузой, выведенные на двух предыдущих шагах. Для этого сначала разделите обе части исходного уравнения этой теоремы (a? + b? = c?) на квадрат гипотенузы (a?/c? + b?/c? = 1), а затем полученное равенство перепишите в таком виде: (a/c)? + (b/c)? = 1.4
Замените в полученном выражении соотношения длин катетов и гипотенузы тригонометрическими функциями, исходя из формул первого и второго шага: sin?(а) + cos?(а) = 1. Выразите косинус из полученного равенства: cos(a) = v(1 - sin?(а)). На этом задачу можно считать решенной в общем виде.5
Если кроме общего решения нужно получить численный результат, воспользуйтесь, например, калькулятором, встроенным в операционную систему Windows. Ссылку на его запуск найдите в подразделе «Стандартные» раздела «Все программы» главного меню ОС. Эта ссылка сформулирована лаконично - «Калькулятор». Чтобы иметь возможность вычислять с помощью этой программы тригонометрические функции включите ее «инженерный» интерфейс - нажмите комбинацию клавиш Alt + 2.6
Введите данное в условиях значение синуса угла и кликните по кнопке интерфейса с обозначением x? - так вы возведете исходное значение в квадрат. Затем наберите на клавиатуре *-1, нажмите Enter, введите +1 и нажмите Enter еще раз - таким способом вы вычтите из единицы квадрат синуса. Щелкните по клавише со значком радикала, чтобы извлечь квадратный корень и получить окончательный результат. Как простоmasterotvetov.com
Как найти синус?
Как найти синус?
Изучение геометрии помогает развивать мышление. Этот предмет обязательно входит в школьную подготовку. В жизнедеятельности знание этого предмета может пригодиться - например, при планировке квартиры.
Из истории
В рамках курса геометрии изучается также тригонометрия, которая исследует тригонометрические функции. В тригонометрии мы изучаем синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы угла.
Но на данный момент начнем с самого простого – синуса. Давайте рассмотрим более детально самое первое понятие - синус угла в геометрии. Что такое синус и как его найти?
Понятие «синус угла» и синусоиды
Синус угла – это соотношение значений противоположного катета и гипотенузы прямоугольного треугольника. Это прямая тригонометрическая функция, которая на письме обозначается как
elhow.ru
Как находить синус угла :: SYL.ru
Синус является одной из основных тригонометрических функций, применение которой не ограничено одной лишь геометрией. Таблицы вычисления тригонометрических функций, как и инженерные калькуляторы, не всегда под рукой, а вычисление синуса порой нужно для решения различных задач. Вообще, вычисление синуса поможет закрепить чертёжные навыки и знание тригонометрических тождеств.
Игры с линейкой и карандашом
Простая задача: как найти синус угла, нарисованного на бумаге? Для решения понадобится обычная линейка, треугольник (или циркуль) и карандаш. Простейшим способом вычислить синус угла можно, разделив дальний катет треугольника с прямым углом на длинную сторону - гипотенузу. Таким образом, сначала нужно дополнить острый угол до фигуры прямоугольного треугольника, прочертив перпендикулярную одному из лучей линию на произвольном расстоянии от вершины угла. Потребуется соблюсти угол именно 90°, для чего нам и понадобится канцелярский треугольник.
Использование циркуля немного точнее, но займёт больше времени. На одном из лучей нужно отметить 2 точки на некотором расстоянии, настроить на циркуле радиус, примерно равный расстоянию между точками, и прочертить полуокружности с центрами в этих точках до получения пересечений этих линий. Соединив точки пересечения наших окружностей между собой, мы получим строгий перпендикуляр к лучу нашего угла, остаётся лишь продлить линию до пересечения с другим лучом.
В полученном треугольнике нужно линейкой измерить сторону напротив угла и длинную сторону на одном из лучей. Отношение первого измерения ко второму и будет искомой величиной синуса острого угла.
Найти синус для угла больше 90°
Для тупого угла задача не намного сложнее. Нужно прочертить луч из вершины в противоположную сторону с помощью линейки для образования прямой с одним из лучей интересующего нас угла. С полученным острым углом следует поступать как описано выше, синусы смежных углов, образующих вместе развёрнутый угол 180°, равны.
Вычисление синуса по другим тригонометрическим функциям
Также вычисление синуса возможно, если известны значения других тригонометрических функций угла или хотя бы длины сторон треугольника. В этом нам помогут тригонометрические тождества. Разберём распространённые примеры.
Как находить синус при известном косинусе угла? Первое тригонометрическое тождество, исходящее из теоремы Пифагора, гласит, что сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице.
Как находить синус при известном тангенсе угла? Тангенс получают делением дальнего катета на ближний или делением синуса на косинус. Таким образом, синусом будет произведение косинуса на тангенс, а квадратом синуса будет квадрат этого произведения. Заменяем косинус в квадрате на разность между единицей и квадратным синусом согласно первому тригонометрическому тождеству и путём нехитрых манипуляций приводим уравнение к вычислению квадратного синуса через тангенс, соответственно, для вычисления синуса придётся извлечь корень из полученного результата.
Как находить синус при известном котангенсе угла? Значение котангенса можно вычислить, разделив длину ближнего от угла катета на длину дальнего, а также поделив косинус на синус, то есть котангенс - функция, обратная тангенсу относительно числа 1. Для расчёта синуса можно вычислить тангенс по формуле tg α = 1 / ctg α и воспользоваться формулой во втором варианте. Также можно вывести прямую формулу по аналогии с тангенсом, которая будет выглядеть следующим образом.
Как находить синус по трём сторонам треугольника
Существует формула для нахождения длины неизвестной стороны любого треугольника, не только прямоугольного, по двум известным сторонам с использованием тригонометрической функции косинуса противолежащего угла. Выглядит она так.
Ну, а синус можно далее рассчитать по косинусу согласно формулам выше.
www.syl.ru
