Действительные числа и их свойства. Действительные числа с

определение, примеры, представления, координатная прямая

Данная статья посвящена теме "Действительные числа". В статье дается определение действительных чисел, иллюстрируется их положение на координатной прямой, рассматриваются способы задания действительных чисел числовыми выражениями.

Определение действительных чисел

Целые и дробные числа вместе составляют рациональные числа. В свою очередь, рациональные и иррациональные числа составляют действительные числа. Как дать определение, что такое действительные числа?

Определение 1

Действительные числа - это рациональные и иррациональные числа. Множество действительных чисел обозначается через R.

Данное определение можно записать иначе с учетом следующего:

Рациональные числа можно представить в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби.
Иррациональные числа представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби.

Определение 2

Действительные числа - числа, которые можно записать в виде конечной или бесконечной (периодической или непериодической) десятичной дроби.

Действительные числа - это любые рациональные и иррациональные числа. Приведем примеры таких чисел: 0; 6; 458; 1863; 0,578; -38; 265; 0,145(3); log512.

Нуль также является действительным числом. Согласно определению, существуют как положительные, так и отрицательные действительные числа. Нуль является единственным действительным числом, которое не положительно и не отрицательно.

Еще одно название для действительных чисел - вещественные числа. Эти числа позволяют описывать значение непрерывно меняющейся величины без введения эталонного (единичного) значения этой величины.

Координатная прямая и действительные числа

Каждой точке не координатной прямой соответствует определенное и единственное действительное число. Иными словами, действительные числа занимают всю координатную прямую, а между точками кривой и числами присутствует взаимно-однозначное соответствие.

www.zaochnik.com

Действительные числа и их свойства

Пифагор утверждал, что число лежит в основании мира наравне с основными стихиями. Платон считал, что число связывает феномен и ноумен, помогая познавать, соизмерять и делать выводы. Арифметика происходит от слова "арифмос" - число, начало начал в математике. Ним можно описать любой объект - от элементарного яблока до абстрактных пространств.

Потребности как фактор развития

На начальных этапах становления общества потребности людей ограничивались необходимостью вести счет - один мешок зерна, два мешка зерна и т. д. Для этого достаточно было натуральных чисел, множество которых представляет собой бесконечную положительную последовательность целых чисел N.

Позже, с развитием математики как науки, возникла необходимость в отдельном поле целых чисел Z - оно включает в себя отрицательные величины и ноль. Его появление на бытовом уровне было спровоцировано тем, что в первичной бухгалтерии необходимо было как-то зафиксировать долги и убытки. На научном уровне отрицательные числа сделали возможным решение простейших линейных уравнений. Помимо прочего, теперь стало возможным изображение тривиальной системы координат, т. к. появилась точка отсчета.

Следующим шагом стала необходимость ввода дробных чисел, так как наука не стояла на месте, все новые и новые открытия требовали теоретической базы для нового толчка роста. Так появилось поле рациональных чисел Q.

Наконец, рациональность перестала удовлетворять запросы, ведь все новые выводы требовали обоснования. Появились поле действительных чисел R, труды Евклида о несоизмеримости некоторых величин в силу их иррациональности. То есть древнегреческие математики позиционировали число не только как константу, но и как абстрактную величину, которая характеризуется отношением несоизмеримых величин. Благодаря тому что появились действительные числа, "увидели свет" такие величины, как "пи" и "е", без которых современная математика не смогла бы состояться.

Финальным нововведением стало комплексное число C. Оно ответило на ряд вопросов и опровергло ранее введенные постулаты. Из-за стремительного развития алгебры исход был предсказуем - имея действительные числа, решение многих задач было невозможно. Например, благодаря комплексным числам выделились теории струн и хаоса, расширились уравнения гидродинамики.

Теория множеств. Кантор

Понятие бесконечности во все времена вызывало споры, так как его нельзя было ни доказать, ни опровергнуть. В контексте математики, которая оперировала строго выверенными постулатами, это проявлялось наиболее явно, тем более что теологический аспект все еще имел вес в науке.

Однако благодаря работам математика Георга Кантора все с течением времени встало на свои места. Он доказал, что бесконечных множеств существует бесконечное множество, и то, что поле R больше поля N, пусть они оба и не имеют конца. В середине XIX века его идеи громогласно называли бредом и преступлением против классических, незыблемых канонов, однако время все расставило на свои места.

Основные свойства поля R

Действительные числа обладают не только теми же свойствами, что и подможества, которые в них включены, но и дополнены иными в силу масшабности своих элементов:

Ноль существует и принадлежит полю R. c + 0 = c для любого c из R.
Ноль существует и принадлежит полю R. c х 0 = 0 для любого c из R.
Отношение c : d при d ≠ 0 существует и является действительным для любых c, d из R.
Поле R упорядочено, то есть если c ≤ d, d ≤ c, то c = d для любых c, d из R.
Сложение в поле R является коммутативным, то есть c + d = d + c для любых c, d из R.
Умножение в поле R является коммутативным, то есть c х d = d х c для любых c, d из R.
Сложение в поле R является ассоциативным, то есть (c + d) + f = c + (d + f) для любых c, d, f из R.
Умножение в поле R ассоциативно, то есть (c х d) х f = c х (d х f) для любых c, d, f из R.
Для каждого числа из поля R существует ему противоположное, такое что c + (-c) = 0, где c, -c из R.
Для каждого числа из поля R существует ему обратное, такое что c х c-1 = 1, где c, c-1 из R.
Единица существует и принадлежит R, так что c х 1 = c, для любого c из R.
Имеет силу распределительный закон, так что c х (d + f) = c х d + c х f, для любых c, d, f из R.
В поле R ноль не равен единице.
Поле R является транзитивным: если c ≤ d, d ≤ f, то c ≤ f для любых c, d, f из R.

В поле R порядок и сложение взаимосвязаны: если c ≤ d, то c + f ≤ d + f для любых c, d, f из R.
В поле R порядок и умножение взаимосвязаны: если 0 ≤ c, 0 ≤ d, то 0 ≤ c х d для любых c, d из R.
Как отрицательные, так и положительные действительные числа непрерывны, то есть для любых c, d из R найдется такое f из R, что c ≤ f ≤ d.

Модуль в поле R

Действительные числа включают в себя такое понятие, как модуль. Обозначается он как |f| для любого f из R. |f| = f, если 0 ≤ f и |f| = -f, если 0 > f. Если рассматривать модуль как геометрическую величину, то он являет собой пройденное расстояние - неважно, "прошли" вы за ноль в минус или вперед к плюсу.

Комплексные и действительные числа. Что общего и в чем различия?

По большому счету, комплексные и действительные числа - это одно и то же, разве что к первому присоединилась мнимая единица i, квадрат которой равен -1. Элементы полей R и С можно представить в виде следующей формулы:

c = d + f х i, где d, f принадлежат полю R, а i - мнимая единица.

Чтобы получить c из R в данном случае f просто считают равным нулю, то есть остается только действительная часть числа. В силу того что поле комплексных чисел обладает тем же набором свойств, что и поле действительных, f х i = 0, если f = 0.

Касаемо практических различий, то, например, в поле R квадратное уравнение не решается, если дискриминант отрицательный, тогда как поле C не налагает подобное ограничение благодаря введению мнимой единицы i.

Итоги

"Кирпичи" аксиом и постулатов, на которых базируется математика, не сменяются. На часть из них в связи с увеличением информации и введением новых теорий кладутся следующие "кирпичи", которые в перспективе могут стать основой для очередного шага. Например, натуральные числа, несмотря на то что являются подмножеством действительного поля R, не теряют своей актуальности. Именно на них основывается вся элементарная арифметика, с которой начинается познание человеком мира.

С практической точки зрения действительные числа выглядят как прямая. На ней можно выбрать направление, обозначить начало отсчета и шаг. Прямая состоит из бесконечного числа точек, каждой из которых соответствует единственное действительное число, вне зависимости от того, рациональное оно или нет. Из описания ясно, что речь идет о понятии, на котором строится как математика в целом, так и математический анализ в частности.

fb.ru

Что такое действительные числа

Возникновение понятия действительного числа обусловлено практическим использованием математики для выражения с помощью определенного числа значения любой величины, а также внутренним расширением математики. Действительные числа – это положительные числа, отрицательные числа или нуль. Все действительные числа делятся на рациональные и иррациональные. Первые – это числа, представленные в виде дроби. Вторые – это действительное число, не являющееся рациональным.Совокупность действительных чисел обладает рядом свойств. Во-первых, свойство упорядоченности. Оно означает, что два любых действительных числа удовлетворяют только одному из отношений: xy.Во-вторых, свойства операций сложения. Для любой пары действительных чисел определено единственное число, называемое их суммой. Для нее выполняются следующие отношения: x+y=x+y (свойство коммутативности) , x+(y+с)=(x+y)+с (свойство ассоциативности). Если к действительному числу прибавить нуль получится само действительное число, т.е. x+0=x. Если к действительному числу прибавить противоположное ему действительное число (-x), то получится нуль, т.е. x+ (-x) = 0.В-третьих, свойства операций умножения. Для любой пары действительных чисел определено единственное число, называемое их произведением. Для него выполняются следующие отношения: x*y=x*y (свойство коммутативности), x*(y*c)=(x*y)*c (свойство ассоциативности). Если умножить любое действительное число и единицу, то получится само действительное число, т.е. x*1=y. Если любое действительное число, не равное нулю, умножить на обратное ему число (1/y), то получится единица, т.е. y*(1/y)=1.В-четвертых, свойство дистрибутивности умножения относительно сложения. Для любых трех действительных чисел выполняется отношение с*(x+y) = x*с + y*с.В-пятых, архимедово свойство. Каково бы ни было действительное число, существует такое целое число, которое больше него, т.е. n>x. Совокупность элементов, удовлетворяющих перечисленным свойствам, является упорядоченным архимедовым полем.

completerepair.ru

Действительные числа — с русского

property, character, feature, behavior, quality

• Будет обнаружено, что это свойство присуще (и)... - It will be found that this property is shared by...

• В данном параграфе мы обсуждаем некоторые простые свойства и примеры (чего-л). - In this section we discuss some simple properties and examples of...

• В следующей теореме мы устанавливаем дополнительные свойства... - In the next theorem we obtain further properties of...

• В соответствии со свойствами... возникают четыре разных случая. - Four distinct cases arise according to the nature of...

• В таблице 2 сведены воедино свойства (чего-л). - Table 2 summarizes the properties of...

• В этом параграфе мы подведем итог относительно некоторых свойств (чего-л). - We summarize in this section some of the properties of...

• Все действительные числа обладают следующими свойствами... - All real numbers have the following properties:...

• Выясняется одно замечательное свойство... - A remarkable feature emerges:...

• Данное свойство является основой одного метода нахождения... - This property provides one method of determining...

• Затем вы выводим некоторые из элементарных свойств... - We next derive some of the elementary properties of...

• Материал не меняет своих свойств в широком температурном диапазоне. - The material retains its properties over a wide temperature range.

• Мы будем изучать свойства... - We shall study the properties of...

• Мы выведем теперь некоторые элементарные свойства... - We shall now obtain some elementary properties of...

• Мы можем использовать эти же свойства, чтобы определить... - We can use these same properties to define...

• Мы начинаем с того, что установим свойства... - We begin by establishing the properties of...

• Мы обсудим асимптотические свойства... - We will discuss the asymptotic properties of...

• Мы уже вывели некоторые свойства (чего-л). - We have deduced some of the properties of...

• Наиболее точной формулировкой этих свойств является следующая. - The most concise statement of these properties is as follows.

• Но сначала мы установим некоторые фундаментальные свойства (оператора и т. п. ). - But let us first establish some fundamental properties of...

• Новое свойство возникает, когда мы рассматриваем... - A new feature appears when we consider...

• Огромный интерес вызывают свойства этого нового материала. - Great interest is focused on the properties of this new material....

• Одним интересным свойством этих результатов является то, что они указывают... - One interesting feature of these results is that they indicate...

• Относительно соотношения (12) заметим, что его интересным свойством является, что... - The interesting feature to notice about (12) is that...

• Подытожим наиболее важные свойства... - We summarize the most important properties of...

• При выводе большинства этих свойств отправной точкой служит наблюдение, что... - In establishing most of these properties the starting point is the observation that...

• Рассмотрим два свойства... - Let us consider two properties of...

• Результат, представленный формулой (9), очень полезен при выводе свойств (чего-л). - The result (9) is very useful for deducing properties of...

• Следующая теорема обобщает хорошо известное свойство... - The following theorem generalizes a well-known property of...

• Следующие свойства (чего-л) совершенно очевидны... - The following properties are immediately evident:...

• Смит [1] сообщает, что это свойство могло бы иметь полезные практические приложения, что и показывается ниже. - Smith [1] suggests that this property may have a useful practical application as follows.

• Таким образом, важно узнать основные свойства... - Thus, it is important to understand the basic properties of...

• Теперь мы можем найти некоторые дополнительные свойства... - We are now in a position to determine some further properties of...

• Топология имеет дело со свойствами... - Topology deals with the properties of...

• Частицы с конечной массой не обладают этим свойством. - This property is not shared by particles with a finite mass.

• Читатель поймет, что данные свойства прямо связаны с... - The reader will realize that these properties are directly connected with...

• Эти свойства, безусловно, могут применяться в... - These properties can of course be applied to...

• Это подходящее место, чтобы обсудить некоторые свойства, связанные с... - This is a good place to review a number of properties connected with...

• Это приводит нас к важному свойству... - This leads us to an important property of...

• Это свойство известно под названием... - This property is known as...

• Это свойство может быть использовано, чтобы вывести... - This property can be used to derive...

• Это свойство особенно полезно, когда... - This feature is particularly useful when...

• Это свойство позволяет найти... - This property enables one to find...

• Это свойство является почти очевидным как следствие того факта, что... - This property is almost evident from the fact that...

• Это свойство является следствием следующей теоремы. - This property is a consequence of the following theorem.

translate.academic.ru

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА — с русского