Можно ли и как разделить отрезок на три равные части с помощью циркуля? Деление отрезка на 3 равные части
2. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ЧЕРЧЕНИЕ
Знание основных геометрических построений дает возможность правильно и быстро чертить, выбирая для каждого случая наиболее рациональные приемы.
2.1. Деление отрезка на равные части
Разделить отрезок пополам можно при помощи циркуля, построив срединный перпендикуляр (рис. 18, а). Для этого берём радиус размером более половины длины отрезка и из его концов по обе стороны проводим дуги окружностей до их взаимного пересечения. Через точки пересечения дуг проводим срединный перпендикуляр.
Рис. 18
Для деления на любое число равных частей используем теорему Фа-
леса: если на одной стороне угла отложить равные между собой отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то на другой стороне угла отложатся также равные между собой отрезки(рис. 18, б). Под про-
извольным углом к отрезку АВ проводим вспомогательный лучАС, на котором откладываем отрезок произвольной длины столько раз, на сколько частей нужно разделить данный отрезок. Конец последнего отрезка соединяем с точкойВичерезконцыостальныхотрезковпроводимпрямые, параллельныеВС.
2.2. Деление окружности на произвольное число равных частей
Умение делить окружность на равные части необходимо для построения правильных многоугольников. Рассмотрим сначала частные приёмы деления окружности.
Деление на три части (рис. 19)
Ставим ножку циркуля в один из концов взаимно перпендикулярных диаметров окружности. Раствором циркуля, равным радиусу окружности, делаем засечки на ней по обе стороны от этого конца диаметра. Получаем две вершины правильного треугольника. Третьей вершиной является противоположный конец диаметра.
Деление на четыре части (рис. 20)
Два взаимно перпендикулярных диаметра делят окружность на четыре равные части. Если через центр окружности провести прямые под углом 45ᵒ к осям, то они также разделят окружность на четыре равные части. Стороны вписанного квадрата будут параллельны осям окружности. Вместе эти два квадрата разделили окружность на восемь равных частей.
Деление на пять частей (рис. 21)
●Ставим ножку циркуля в один из концов диаметра (точка 1). Раствором циркуля, равным радиусу, делаем засечку на окружности. Получаем точку2.
●Из точки 2 опускаем перпендикуляр на тот диаметр, из конца которого была сделана засечка. Получаем точку3.
●Ставим ножку циркуля в точку 3. Берём радиус, равный расстоянию от точки3 до конца вертикального диаметра (точка4), и проводим дугу до пересечения с горизонтальным диаметром. Получаем точку5.
●Соединяем точки 4 и5. Хорда4–5 будет составлять 1/5 часть окружности.
●Замеряем циркулем длину хорды 4–5 и начинаем откладывать её от одного из концов диаметра (в зависимости от того, как должен быть ориентирован пятиугольник относительно осей). Тот диаметр, от конца которого начинаем откладывать отрезок, будет являться осью симметрии фигуры.
Отрезки рекомендуется откладывать сразу с двух сторон. Оставшийся отрезок должен оказаться перпендикулярным оси симметрии. Если его длина не будет равна длине остальных отрезков, то, значит, неточно выполнено построение или неточно замерена хорда 4–5.Следует внести корректировку длины отрезка и повторить деление окружности ещё раз.
Деление на шесть частей (рис. 22)
Раствором циркуля, равным радиусу окружности, делаем засечки из обоих концов одного и того же диаметра в обе стороны от них. Получаем четыре вершины правильного шестиугольника. Двумя другими вершинами являются концы диаметра, из которых сделаны засечки.
Деление на семь частей (рис. 23)
●Ставим ножку циркуля в один из концов диаметра (точка 1). Раствором циркуля, равным радиусу окружности, делаем на ней засечку. Получаем точку2.
●Из точки 2 опускаем перпендикуляр на тот диаметр, из конца которого была сделана засечка. Получаем точку3. Отрезок2–3 составляет 1/7 часть окружности.
●Замеряемциркулемдлинуотрезка2–3 ипоследовательнооткладываем его от любого конца диаметра сразу с двух сторон. Последний отрезок должен быть перпендикулярен диаметру, от конца которого начали откладывать отрезки. Этотдиаметрбудетосьюсимметриивписанногосемиугольника.
Деление на десять частей (рис. 24)
●Делим окружность на 5 частей, как показано на рис. 21. Получаем правильный пятиугольник.
●Из каждой вершины пятиугольника опускаем перпендикуляры на противолежащие стороны. Все они пройдут через центр окружности и разделят сторону и стягивающую её дугу пополам. Получим ещё 5 вершин.
Деление на двенадцать частей (рис. 25)
Раствором циркуля, равным радиусу окружности, делаем засечки из концов обоих диаметров по обе стороны от них.
Деление на четырнадцать частей (рис. 26)
●Делим окружность на 7 частей, как показано на рис. 23. Получаем правильный семиугольник.
●Через каждую вершину семиугольника и центр окружности проводим диаметры. Они разделят противолежащие стороны и стягивающие их дуги пополам. Получим ещё 7 вершин.
Существует и общий приём деления окружности на любое число частей. Рассмотрим его на примере построения правильного девятиугольника (рис. 27).
● Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра (горизонтальный и вертикальный).
●Тот диаметр, который хотим сделать осью симметрии фигуры, делим на столько частей, на сколько требуется разделить окружность. На рис. 27 диаметр АВ разделён на 9 частей. Полученные точки деления нумеруем.
●Ставим ножку циркуля в точку А и радиусом, равным диаметру окружности, проводим дугу до пересечения с продолжением вертикального диаметра. Получаем точкуС.
●Точку С соединяем через одну с точками деления диаметра и продолжаем до пересечения с противолежащей дугой окружности в точках I, II, III, IV. Если одной из вершин девятиугольника должна быть точкаА, то лучи проводим через все чётные деления диаметра (рис. 27,а). Если же одной из вершин должна стать точкаВ, то лучи следует проводить через все нечётные деления диаметра (рис. 27,б).
Рис. 27
● Симметрично отображаем построенные точки относительно горизонтального диаметра. Получаем остальные вершины фигуры.
2.2.1. Задание № 4. Деление окружности
Цель: изучить приёмы деления окружности на равные части.
На формате А3 в первом ряду вычертить правильные многоугольники (трех-,четырех-,пяти-,шести-,семи- и девятиугольник), вписанные в окружности диаметром 60 мм. Окружности как вспомогательные линии должны быть тонкими. Многоугольники обвести толстыми линиями.
studfiles.net
Учебно-методическое пособие «Техника выполнения геометрических построений» для выполнения графических работ — Информио
При изучении дисциплины «Начертательная геометрия и инженерная графика» студенты должны усвоить правила и последовательность выполнения геометрических построений и сопряжений.
В этом отношении лучшим способом приобретения навыков построения являются задания по вычерчиванию контуров сложных деталей.
Прежде чем приступить к выполнению контрольного задания, нужно изучить технику выполнения геометрических построений и сопряжений по методическому пособию.
1.1. Деление отрезка пополам
Разделить заданный отрезок АВ пополам.
Из концов отрезка АВ, как из центров, проведем дуги окружностей радиусом R, размер которого должен быть несколько больше, чем половина отрезка АВ (Рис. 1). Эти дуги пересекутся в точках M и N, найдем точку С, в которой пересекаются прямые АВ и MN. Точка С разделит отрезок АВ на две равные части.
Примечание. Все необходимые построения должны и могут выполняться только с помощью циркуля и линейки (без делений).
Рис. 1
1.2. Деление отрезка на n равных частей
Разделить заданный отрезок на n равных частей.
Из конца отрезка – точки А проведем вспомогательный луч под произвольным углом α.(рис.2 а) На этом луче отложим 4 равных отрезка произвольной длины (рис.2б). Конец последнего, четвертого, отрезка (точку 4) соединим с точкой В. Далее из всех предыдущих точек 1…3 проведем отрезки, параллельные отрезку В4 до пересечения с отрезком АВ в точках1', 2', 3'. Полученные таким образом точки разделили отрезок на равные четыре отрезка
1.3. Деление угла пополам
Разделить заданный угол ВАС пополам.
Из вершины угла А произвольным радиусом проводим дугу до пересечения со сторонами угла в точках В и С (рис.3 а). Затем из точек В и С проводим две дуги радиусом, большим половины расстояния ВС, до их пересечения в точке D (рис.3 б). Соединив точки А и D прямой, получаем биссектрису угла, которая делит заданный угол пополам (рис.3 в)
а) б) с)
рис.3
2.1. Деление окружности на три равные части
Из конца диаметра, например, точки А (рис.4) проводят дугу радиусом R, равным радиусу заданной окружности. Получают первое и второе деление – точки 1 и 2. Третье деление точка 3, находится на противоположном конце того же диаметра. Соединив точки 1,2,3 хордами, получают правильный вписанный треугольник.
|
| |
| Рис. 4 | Рис. 5 |
2.2. Деление окружности на шесть равных частей
Из концов какого-либо диаметра, например АВ (рис.5), описывают дуги радиусом R окружности. Точки А, 1,3,В,4,2 делят окружность на шесть равных частей. Соединив их хордами, получают правильный вписанный шестиугольник.
Примечание. Вспомогательные дуги проводить полностью не следует, достаточно сделать засечки на окружности.
2.3. Деление окружности на пять равных частей
- Проводят два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD (рис.6). Радиус ОС в точке О1делят пополам.
- Из точки О1, как из центра, проводят дугу радиусом О1А до пересечения ее с диаметром CD в точке Е.
- Отрезок АЕ равен стороне правильного вписанного пятиугольника, а отрезок ОЕ – стороне правильного вписанного десятиугольника.
- Приняв точку А за центр, дугой радиуса R1 = АЕ на окружности отмечают точки 1 и 4. Из точек 1 и 4, как из центров, дугами того же радиуса R1 отмечают точки 3 и 2. Точки А, 1, 2, 3, 4 делятокружность на пять равных частей.
Рис. 6
2.4. Деление окружности на семь равных частей
Из конца диаметра, например, точки А проводят дугу радиуса R, равного радиусу окружности (рис.7). Хорда CD равна стороне правильного вписанного треугольника. Половина хорды CD с достаточным приближением равняется стороне правильного вписанного семиугольника, т.е. делит окружность на семь равных частей.
R1 = CD/2
Рис. 7 - Боголюбов С.К. Инженерная графика: Учебник для средних специальных учебных заведений. – 3-е изд., испр. И доп. - М.: Машиностроение, 2006. – с.392: ил.
- Куприков М.Ю. Инженерная графика: учебник для ССУЗов – М.: Дрофа, 2010 – 495 с.: ил.
- Федоренко В.А., Шошин А.И. Справочник по машиностроительному черчению Л.: Машиностроение. 1976. 336 с.
www.informio.ru
Можно ли и как разделить отрезок на три равные части с помощью циркуля? — koshkinsad.ru
Можно ли и как разделить отрезок на три равные части с помощью циркуля?
Грустный Роджер дал абсолютно правильный ответ, мне остается только добавить,
что этот способ основан на теореме Фалеса.
В этой задаче циркуль используется только для проведения окружности
Конечно.
Постройте на этом отрезке произвольный угол, проведя луч из одного из концов. Потом на этом луче циркулем отмерьте три произвольные равные части. Поскольку длина каждой части произвольная, то это сделать легко. Тупо ножку циркуля в вершину угла, сделать засечку, потом ножку циркуля на эту засечку — и сделать ещ одну, ну и так далее. Вот на сколько частей надо разделить отрезок — столько и засечек (минус 1).
Теперь соедините последнюю засечку со вторым концом отрезка. Ну а теперь тупо от каждой засечки стройте линии, параллельные вот только что проведнной. Построение циркулем и линейкой прямой, параллельной данной и проходящей через данную точку, — задачка тривиальная. Эти прямые разделят исходный отрезок на требуемое число частей. ТОЧНО.
Голосуем за ответ Грустного Роджера,кроме одного уточнения:построения линий ,параллельных линии только проведнной.Задача не настолько тривиальная,так как многие часто проводят параллельные линии треугольником,ведя его по линейке параллельно исходной прямой.Если это разрешено,то хорошо.А если нет ,те нужно параллельные линии строить.Пусть делим отрезок АД на 3 части.Проводим луч угла АД1,предварительно на нм отметив отрезки АВ1=В1С1=С1Д1.После соединения Д и Д1 нужно построить ВВ1CC1ДД1.Чтобы построить СС1ДД1нужно построить угол lt;CC1A=lt;ДД1А.(Признак параллельности). Циркулем дугу =Д1С1проведм до пересечения с ДД1-т.Е.Из т.С1 -дугу=В1С1=Д1С1.замерив циркулем С1Е,проведем засечку В1F=C1E.Из т.С1 -засечкуС1F=Д1Е.То есть строим lt;С1Д1Е=lt;В1С1F.Тогда C1FД1Е.
koshkinsad.ru
