ГлавнаяРазноеКак решить кубическое уравнение пример

Решение кубических уравнений. Формула Кардано. Как решить кубическое уравнение пример


Решение кубических уравнений, формулы и примеры

Запишем поэтапный ход деления. Делим старший элемент делимого (слагаемое со старшей степенью) на старший элемент делителя. То есть надо подобрать такой одночлен, что его произведение со старшим элементом делителя, то есть , будет равно старшему элементу делимого, то есть . Искомый одночлен равен , записываем его в поле для частного:

Далее делитель умножаем на полученное частное (для этого каждое слагаемое делителя умножаем на ), записываем результат под делимым так, чтобы каждая степень полученного после умножения выражения была записана под соответствующей степенью делимого:

Отнимаем многочлены:

Поскольку степень полученного остатка больше степени делителя, то деление продолжаем. Теперь подбираем одночлен, на который нужно умножить делитель , чтобы получить в результате старшее слагаемое остатка . Таким одночленом является , его записываем в поле для частного к записанному уже там значению :

Умножаем делитель на указанный одночлен, результат записываем под остатком и вычитаем от него:

Степень полученного остатка равна степени делителя (а должна быть строго меньше, чтобы процесс деления закончился), поэтому деление продолжаем.

Чтобы получить выражение , делитель нужно умножить на 2 (записываем это слагаемое в частное со знаком плюс), а результат этого умножения записываем под последним остатком и вычитаем от него. В результате получаем остаток, равный нулю. Деление закончено.

Итак, полное оформление деления многочлена на многочлен столбиком имеет следующий вид:

В результате деления можем сделать следующие выводы:

1) поскольку остаток равен нулю, то значение — корень многочлена ;

2) многочлен можно записать в виде:

   

ru.solverbook.com

Решение кубических уравнений

Здесь мы рассматриваем решение кубических уравнений вида(1)   .Далее считаем, что – это действительные числа.

Если исходное уравнение имеет вид:(2)   ,то разделив его на , получаем уравнение вида (1) с коэффициентами.

Уравнение (1) имеет три корня: , и . Один из корней всегда действительный. Действительный корень мы обозначаем как . Корни и могут быть либо действительными, либо комплексно сопряженными. Действительные корни могут быть кратными. Например, если , то и – это двукратные корни (или корни кратности 2), а – простой корень.

Если известен один корень

Пусть нам известен один корень кубического уравнения (1). Обозначим известный корень как . Тогда разделив уравнение (1) на , получим квадратное уравнение. Решая квадратное уравнение, найдем еще два корня и .

Для доказательства воспользуемся тем, что кубический многочлен можно представить в виде:.Тогда, разделив (1) на , получаем квадратное уравнение.

Примеры деления многочленов представлены на странице“Деление и умножение многочлена на многочлен уголком и столбиком”.Решение квадратных уравнений рассмотрено на странице“Корни квадратного уравнения”.

Если один из корней – целый

Если исходное уравнение имеет вид:(2)   ,и его коэффициенты , , , – целые числа, то можно попытаться найти целый корень. Если это уравнение имеет целый корень, то он является делителем коэффициента . Метод поиска целых корней заключается в том, что мы находим все делители числа и проверяем, выполняется ли для них уравнение (2). Если уравнение (2) выполняется, то мы нашли его корень. Обозначим его как . Далее делим уравнение (2) на . Получаем квадратное уравнение. Решая его, находим еще два корня.

Примеры определения целых корней даны на страницеПримеры разложения многочленов на множители > > >.

Поиск рациональных корней

Если в уравнении (2) , , , – целые числа, причем , и целых корней нет, то можно попытаться найти рациональные корни, то есть корни вида , где и – целые.

Для этого умножим уравнение (2) на и сделаем подстановку :;(3)   .Далее ищем целые корни уравнения (3) среди делителей свободного члена .

Если мы нашли целый корень уравнения (3), то, возвращаясь к переменной , получаем рациональный корень уравнения (2):.

Формулы Кардано и Виета для решения кубического уравнения

Если нам не известен ни один корень, и целых корней нет, то найти корни кубического уравнения можно по формулам Кардано.

Рассмотрим кубическое уравнение:(1)   .Сделаем подстановку:.После этого уравнение приводится к неполному или приведенному виду:(4)   ,где(5)   ;   .

Формула Кардано для неполного (приведенного) кубического уравнения имеет вид:;;;;.По формуле Кардано, мы находим три корня величины . Затем, используя формулу   , находим значения величины .

После разделения кубических корней величины , формула Кардано принимает следующий вид:(6)   ,   ,где(7)   ;   ;   ;(8)   .

При , для и нужно выбирать действительные корни, которые автоматически связаны соотношением   . При этом мы получим одно действительное решение и два комплексно сопряженных и .

При имеем:;   ;   .В этом случае мы имеем два кратных действительных корня. Если , то мы имеем три кратных корня.

При мы имеем три действительных корня. При этом и – комплексные. Поэтому решение приводится к тригонометрической форме, которая имеет название формулы Виета:(9)   ;(10)   ,где(11)   ;   .

Примеры решений по формулам Кардано и Виета

Решить кубические уравнения:;.

Решение примеров > > >

Онлайн калькулятор > > >

Использованная литература:И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 30-04-2016   Изменено: 02-10-2016

1cov-edu.ru

Кубические уравнения, формулы и примеры

Определение и формула кубического уравнения

Решение таких уравнений всегда можно найти с помощью формул Кардано (Джероламо (Джироламо, Иероним) Кардано (1501-1576) — итальянский математик, инженер, философ, медик и астролог).

Формулы Кардано — формулы для нахождения корней приведенного кубического уравнения

   

К такому виду может быть приведено любое кубическое уравнение общего вида (1) заменой . Коэффициенты уравнений (1) и (2) после такой замены связаны соотношениями:

   

Решение приведенного кубического уравнения (2) ищем в виде

   

После подстановки уравнение сводится к виду

   

Функции и выбираются так, чтобы слагаемое

   

Для нахождения функций и нужно решить систему

   

которая после замены , приводится к системе

   

Согласно теореме Виета, значения и являются корнями квадратного уравнения

   

Откуда

   

Выполняя обратную замену, находим три такие пары и , удовлетворяющие условию . А тогда находим три корня уравнения (2) , откуда .

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Примеры решений кубических уравнений

Обзор методов решения кубических уравнений приведен на странице “Решение кубических уравнений”. Здесь мы приводим два примера, используя формулы Кардано и Виета.

Пример решения кубического уравнения с комплексными корнями

Решить кубическое уравнение:(1.1)   .

Решение

Поиск целых корней

Уравнение (1.1) имеет целые коэффициенты. Проверим, не содержит ли это уравнение целых корней. Член без – это 1. У числа 1 есть два делителя: 1 и – 1. Подставим в уравнение (1.1) и . Ни для одного из этих чисел уравнение не выполняется. Следовательно, целых корней нет.

Сведение уравнения к приведенному виду

Пусть обозначают коэффициенты при , и свободный член. Делаем подстановку(1.2)   .В результате получаем уравнение приведенного вида:(1.3)   ,где;.

Определение вида корней

Определяем, имеет ли уравнение комплексные корни. Для этого находим дискриминант:.Дискриминант положителен. Следовательно, уравнение имеет один действительный корень и два комплексно сопряженных.

Нахождение корней по формуле Кардано

Поскольку дискриминант положителен, то находим корни по формуле Кардано:,   ,где;   ;   .При , для величин и , можно взять действительные значения корней. Тогда соотношение     выполняется автоматически.

В нашем случае:;;;;;;;;.

Итак, мы нашли корни неполного кубического уравнения. По формуле (1.2) находим корни исходного уравнения:.

Ответ

;;.

Пример с действительными корнями

Решить кубическое уравнение:(2.1)   .

Решение

Поиск целых корней

Уравнение (2.1) имеет целые коэффициенты. Проверим, нет ли у этого уравнения целых корней. Свободный член – это 1. У него есть два делителя: 1 и – 1. Подставим в уравнение (2.1) и . Уравнение не выполняется ни для одного из этих чисел. Следовательно, целых корней нет.

Сведение уравнения к приведенному виду

В исходном уравнении (2.1),.Делаем подстановку(2.2)   и приводим уравнение (2.1) к приведенному (неполному) виду:(2.3)   ,где;.

Определение вида корней

Определяем, имеет ли уравнение комплексные корни. Находим дискриминант:.Дискриминант отрицателен. Следовательно, уравнение имеет три действительных корня.

Нахождение корней по формуле Виета

Поскольку дискриминант отрицателен, то находим корни по формуле Виета:;;;;.

Итак, мы нашли корни приведенного кубического уравнения. По формуле (2.2) находим корни исходного уравнения:.

Ответ

;;.

Использованная литература:И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 02-10-2016

1cov-edu.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике - Алгебра

Схема метода Кардано

      Целью данного раздела является вывод формулы Кардано для решения уравнений третьей степени (кубических уравнений)

a0x3 + a1x2 ++ a2x + a3= 0,(1)

где a0, a1, a2, a3 – произвольные вещественные числа,

      Вывод формулы Кардано состоит из двух этапов.

      На первом этапе кубические уравнения вида (1) приводятся к кубическим уравнениям, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного. Такие кубические уравнения называют трёхчленными кубическими уравнениями.

      На втором этапе трёхчленные кубические уравнения решаются при помощи сведения их к квадратным уравнениям.

Приведение кубических уравнений к трехчленному виду

      Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a0 . Тогда оно примет вид

x3 + ax2 + bx + c = 0,(2)

где a, b, c – произвольные вещественные числа.

      Заменим в уравнении (2) переменную x на новую переменную y по формуле:

(3)

      Тогда, поскольку

то уравнение (2) примет вид

В результате уравнение (2) примет вид

(4)

      Если ввести обозначения

то уравнение (4) примет вид

где p, q – вещественные числа.

      Уравнения вида (5) и являются трёхчленными кубическими уравнениями, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного.

      Первый этап вывода формулы Кардано завершён.

Сведение трёхчленных кубических уравнений к квадратным уравнениям

      Будем искать решение уравнения (5) в виде

(6)

где z – новая переменная.

      Поскольку

то выполнено равенство:

      Следовательно, уравнение (5) переписывается в виде

(7)

      Если теперь уравнение (7) умножить на    z3, то мы получим квадратное уравнение относительно    z3:

(8)

Формула Кардано

      Решение уравнения (8) имеет вид:

      Следовательно,

      В соответствии с (6), отсюда вытекает, что уравнение (5) имеет два решения:

(9)

      В развернутой форме эти решения записываются так:

      Покажем, что, несмотря на кажущиеся различия, решения (10) и (11) совпадают.

      Действительно,

      С другой стороны,

      Таким образом,

y1 = y2 = z1 + z2

и для решения уравнения (5) мы получили формулу

которая и называется «Формула Кардано».

      Замечание. Поскольку у каждого комплексного числа, отличного от нуля, существуют три различных кубических корня, то, для того, чтобы избежать ошибок при решении кубических уравнений в области комплексных чисел, рекомендуется использовать формулу Кардано в виде (10) или (11).

Пример решения кубического уравнения

      Пример. Решить уравнение

x3 – 6x2 – 6x – 2 = 0.(13)

      Решение. Сначала приведем уравнение (13) к трехчленному виду. Для этого в соответствии с формулой (3) сделаем в уравнении (13) замену

      Тогда получим

x3 – 6x2 – 6x – 2 == (y + 2)3– 6(y + 2)2 –– 6(y + 2) – 2 == y3 + 6y2 + 12y + 8 – 6y2 –– 24y – 24 – 6y – 12 – 2 == y3 – 18y – 30.

      Следовательно, уравнение (13) принимает вид

y3 – 18y – 30 = 0.(15)

      Теперь в соответствии с формулой (6) сделаем в уравнении (15) еще одну замену

(16)

      Тогда поскольку

то уравнение (15) примет вид

(17)

      Далее из (17) получаем:

      Отсюда по формуле (16) получаем:

      Заметим, что такое же, как и в формуле (18), значение получилось бы, если бы мы использовали формулу

или использовали формулу

y = z1 + z2 .

      Далее из равенства (18) в соответствии с (14) получаем:

      Таким образом, мы нашли у уравнения (13) вещественный корень

      Замечание 1. У уравнения (13) других вещественных корней нет.

      Замечание 2. Поскольку произвольное кубическое уравнение в комплексной области имеет 3 корня с учетом кратностей, то до полного решения уравнения (13) остается найти еще 2 корня. Эти корни можно найти разными способами, в частности, применив вариант формулы Кардано для области комплексных чисел. Однако применение такого варианта формулы Кардано значительно выходит за рамки курса математики даже специализированных математических школ.

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ /span> или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Решения кубических уравнений с вещественными коэффициентами. Универсальные методы. Дискриминант кубического уравнения. Формула Виета для кубического уравнения.

Решения кубических уравнений с вещественными коэффициентами. Универсальные методы. Дискриминант кубического уравнения. Формула Виета для кубического уравнения.

Кубическим уравнением называется уравнение вида

Мы рассмотрим случай, когда коэффициенты являются веществеными числами.

Корни кубического уравнения. Нахождение корней (решение) кубического уравнения.

Число х называется корнем кубического уравнения (1), если при его подстановке уравнение (1) обращается в верное равенство.

Кубическое уравнение имеет не более трех корней (над комплексным полем всегда три корня, с учетом кратности) . И всегда имеет хотя бы 1 (вещественный) корень. Все возможные случаи состава корней легко определить с помощью знака дискриминанта кубического уравнения, т.е.:

Δ= -4b3d + b2c2 - 4ac3 + 18abcd - 27a2d2  (Да, это дискриминант кубического уравнения)

Итак, возможны только 3 следующих случая:

На практике часто , решение кубических уравнений упирается в разложении их на множители. Т.е. алгоритм приблизительно следующий: угадываем один корень, пусть это будет корень α. Затем делим многочлен на (х- α), (если α корень, то он должен поделиться без остатка). Ну а дальше мы имеем дело с обычным квадратным уравнением. Но угадать можно только рациональный корень, и то, если коэффициенты подобраны удачным образом, так что этот корень просто угадывается. Мы же рассмотрим универсальные методы решения кубичесих уравнений.

Формула Кардано решения кубических уравнений (нахождения корней).

Это формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения. (Над полем комлексных чисел).

Канонической формой кубического уравнения называется уравнение вида

y3 + py + q = 0 (2)

К такому виду можно привести любое кубическое уравнение вида (1) с помощью следующей замены:

Итак, приступим к вычислению корней. Найдем следующие величины:

Дискриминант уравнения (2) в этом случае равен

Δ = - 108Q

Дискриминант исходного уравнения (1) будет иметь тот же знак , что и вышеуказанный дискриминант. Корни уравнения (2) выражаются следующим образом:

Соответственно, если Q>0, то уравнения (2) и (1) будут иметь лишь 1 (вещественный) корень, y1. Подставим его в (3) и найдем х для уравнения (1). (если вас интересуют также мнимые корни, то просто вычислите еще и y2, y3 и подставьте их в (3).

Если Q<0, то уравнение (2), как и уравнение (1) имеет три различных вещественных корня, но для их вычисления нужно уметь извлекать квадратный корень из отрицательного числа. Если вы это умеете, то проделайте расчеты, получите три корня y1, y2, y3 и подставьте их в (3).

Если же Q =0, то все корни уравнений (1) и (2) вещественные, причем как минимум 2 корня каждого из уравнений совпадают. При этом имеем

Аналогично подставляем в (3) и получаем ответ.

Тригонометрическая формула Виета решения кубических уравнений (нахождения корней).

Эта формула находит решения приведенного кубического уравнения, то есть уравнения вида

x3 + ax2 + bx +c = 0 (4)

Очевидно, любое уравнение вида (1) можно привести к виду (4), просто поделив его на коэффициент а.

Итак, алгоритм применения этой формулы:

1. Вычисляем

2. Вычисляем

S = Q3 - R2

3. a) Если S>0, то вычисляем

φ=(arccos(R/Q3/2))/3

И наше уравнение имеет 3 корня (вещественных):

б) Если S<0, то заменим тригонометрические функции гиперболическими.

Вычисляем

φ=(Arch( |R|/|Q|3/2)/3

Тогда единственный корень (вещественный): x1= -2sgn(R)*|Q|1/2*ch(φ) - a/3

Для тех, кого интересуют также и мнимые корни:

ГДЕ:

в) Если S=0,то уравнение имеет меньше трех различных решений:

www.dpva.ru

Решение кубических уравнений

Решение кубических уравнений - онлайн калькулятор

Кубическое уравнение - это уравнение вида:

Коэффициенты a, b, c и d - вещественные числа и a ≠ 0.

Решение кубического уравнения онлайн
Чтобы найти корни кубического уравнения с помощью онлайн калькулятора кубических уравнений, введите коэффициенты a, b, c и d и нажмите кнопку 'Решить'. Ниже приведены примеры решения кубических уравнений с помощью калькулятора кубических уравнений. Рассмотрим уравнение x3 - 4x2 + x + 6 = 0. В данном уравнении коэффициент при x³ равен 1, поэтому соответствующее поле можно оставить пустым или ввести в него 1 (a = 1). В поле для коэффициента при x² введите -4 (b = -4). Коэффициент при x можно оставить пустым или написать 1 (c = 1). В поле свободного члена введите 6 (d = 6). Рассмотрим уравнение 10x3-6x2 = 0. В данном уравнении коэффициент при x и свободный член равны нулю. Значения коэффициентов должны быть заполнены следующим образом а = 10, b = -6, c = 0, d = 0. Поле свободного члена d можно оставить пустым. Коэффициент с надо обязательно поставить равным 0. Если оставить данное поле пустым, то коэффициент с будет считаться равным 1, и получится другое уравнение 10x3 - 6x2 + x= 0.
Решение кубического уравнения по формуле Кардано
Приведем уравнение к каноническому виду: Разделим уравнение на a и сделаем замену переменных .

Получаем уравнение , где .

Обозначим дискриминант кубического уравнения .

По формулам Кардано 3 корня уравнения определяются следующим образом:

,

где

При этом для каждого выбирается такое , что .

Количество корней уравнения определяются следующим образом:

Если , уравнение имеет три действительных корня.

Если , уравнение имеет один действительный и два комплексно сопряженных корня.

Если , уравнение имеет два действительных корня. Если p = q = 0, уравнение имеет один действительный корень.

intemodino.com