матрица - Как решить матричное уравнение? Как решить уравнение матрицы


РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ — ПриМат

© 2012-2016: Нохум-Даниэль Блиндер (11), Анастасия Лозинская (10), Игорь Любинский (8), Юлия Стерлянко (8), Денис Стехун (8), Олег Шпинарев (7), Александр Базан (7), Валентин Малявко (7), Анна Чалапчий (7), Константин Берков (7), Татьяна Корнилова (6), Влад Радзивил (6), Максим Швандт (6), Людмила Рыбальченко (6), Денис Базанов (5), Александр Ковальский (5), Александр Земсков (5), Алиса Ворохта (5), Марина Чайковская (5), Екатерина Шибаева (5), Мария Корень (5), Анна Семененко (5), Мария Илларионова (5), Сергей Черкес (5), Валерия Заверюха (5), Елизавета Снежинская (5), Вадим Покровский (5), Кирилл Волков (5), Даниил Радковский (5), Влад Недомовный (5), Александр Онищенко (5), Иван Мясоедов (4), Павел Жуков (4), Полина Сорокина (4), Кирилл Демиденко (4), Дмитрий Стеценко (4), Святослав Волков (4), Алёна Гирняк (4), Николай Царев (4), Роман Бронфен-Бова (4), Артём Романча (4), Анна Шохина (4), Никита Савко (4), Кондрат Воронов (4), Иван Чеповский (4), Игорь Чернега (4), Даниил Кубаренко (4), Ольга Денисова (4), Андрей Лисовой (4), Яков Юсипенко (4), Ольга Слободянюк (4), Руслан Авсенин (4), Екатерина Фесенко (4), Дмитрий Заславский (4), Станислав Бондаренко (3), Ильдар Сабиров (3), Кирилл Сплошнов (3), Дмитрий Козачков (3), Алёна Янишевская (3), Илья Черноморец (3), Дмитрий Байков (3), Павел Загинайло (3), Илья Бровко (3), Максим Носов (3), Филип Марченко (3), Артем Чернобровкин (3), Дмитрий Мороз (3), Станислав Чмиленко (3), Катя Писова (3), Данила Савчак (3), Дмитрий Дудник (3), Дарья Кваша (3), Игорь Стеблинский (3), Георгий Мартынюк (3), Виктор Булгаков (3), Валерия Ларикова (3), Игорь Вустянюк (3), Андрей Яроцкий (3), Екатерина Мальчик (3), Анатолий Осецимский (3), Иван Василевский (3), Дмитрий Робакидзе (3), Вячеслав Зелинский (3), Стефания Амамджян (3), Валерия Сиренко (3), Андрей-Святозар Чернецкий (3), Вячеслав Иванов (3), Андрей Бойко (3), Милан Карагяур (3), Александр Димитриев (3), Константин Григорян (3), Карина Миловская (3), Стас Коциевский (3), Павел Бакалин (3), Антон Локтев (3), Константин Грешилов (3), Марина Кривошеева (3), Денис Куленюк (3), Томас Пасенченко (3), Константин Мысов (3), Мария Карьева (3), Александра Рябова (3), Колаев Демьян (3), Александр Гутовский (2), Таня Спичак (2), Радомир Сиденко (2), Алина Гончарова (2), Андрей Сидоренко (2), Юлия Стоева (2), Яна Колчинская (2), Надежда Кибакова (2), Майк Евгеньев (2), Евгений Колодин (2), Денис Карташов (2), Роман Гайдей (2), Гасан Мурадов (2), Алексей Никифоров (2), Настя Филипчук (2), Александр Дяченко (2), Михаил Абабин (2), Кирилл Бондаренко (2), Бриткариу Ирина (2), Андрей Данилов (2), Александра Филистович (2), Юрий Олейник (2), Татьяна Таран (2), Даниил Крутоголов (2), Настя Кондратюк (2), Сергей Запорожченко (2), Георгий Луценко (2), Настя Панько (2), Дэвид Ли (2), Александр Коломеец (2), Евгения Максимова (2), Алексей Пожиленков (2), Юрий Молоканов (2), Антон Джашимов (2), Артак Григорян (1), Юрий Холодков (1), Никита Пушкин (1), Марк Носуленко (1),

ib.mazurok.com

Решение системы линейных уравнений (матричный метод)

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто решить систему линейных уравнений (СЛУ) матричным методом.

Для того чтобы решить систему линейных уравнений матричным методом, выберите количество неизвестных величин: 2345

Заполните систему линейных уравнений

Для изменения в уравнении знаков с "+" на "-" вводите отрицательные числа. Если в вашем уравнение отсутствует какой-то коэффициент, то на его месте в калькуляторе введите ноль. Вводить можно числа или дроби. Например: 1.5 или 1/7 или -1/4 и т.д.

Решить систему

Воспользуйтесь также:Решение системы линейных уравнений (метод подстановки)Решение системы линейных уравнений (метод Гаусса)Решение системы линейных уравнений (метод Крамера)

Решение системы линейных уравнений матричным методом

Матричный метод решения СЛУ

Если выписать коэффициенты при неизвестных величинах xi в матрицу A, неизвестные величины собрать в вектор столбец X, а свободные члены в вектор столбец B, то система линейных уравнения сведется к следующему матричному уравнению

A · X = B,

которое имеет единственное решение только тогда, когда определитель матрицы A не будет равен нулю (в противном случае система уравнений будет иметь либо бесконечное количество решений, либо не иметь решений вовсе).

Если определитель матрицы A отличен от нуля, то решение системы уравнений можно найти следующим способом

X = A-1 · B,

где A-1 обратная матрица, которую можно найти используя, например, Онлайн сервис для вычисления обратной матрицы на нашем сайте.

Таким образом, задача решения системы линейных уравнений матричным способом сводится к нахождению обратной матрицы A-1 и последующему умножению её на матрицу-столбец B. Именно эта задача и выполняется с помощью предложенного вам онлайн калькулятора.

matematikam.ru

Системы линейных уравнений (Лекция №14)

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

где aij и bi (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x1,…,xn – неизвестные. В обозначении коэффициентов aij первый индекс iобозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы.

Числа, стоящие в правых частях уравнений, b1,…,bm называются свободными членами.

Совокупность n чисел c1,…,cn называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c1,…,cn вместо соответствующих неизвестных x1,…,xn.

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

  1. Система может иметь единственное решение.
  2. Система может иметь бесконечное множество решений. Например, . Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком.
  3. И третий случай, когда система вообще не имеет решения. Например, , если бы решение существовало, то x1 + x2 равнялось бы одновременно нулю и единице.

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной.

Рассмотрим способы нахождения решений системы.

МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов

Найдем произведение

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

или короче A∙X=B.

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A-1, обратную матрице A: . Поскольку A-1A = E и E∙X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A-1B.

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A-1B.

Примеры. Решить системы уравнений.

  1. Найдем матрицу обратную матрице A.

    ,

    Таким образом, x = 3, y = – 1.

  2. Итак, х1=4,х2=3,х3=5.

  3. Решите матричное уравнение: XA+B=C, где

    Выразим искомую матрицу X из заданного уравнения.

    Найдем матрицу А-1.

    Проверка:

  4. Решите матричное уравнение AX+B=C, где

    Из уравнения получаем .

    Следовательно,

ПРАВИЛО КРАМЕРА

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

называется определителем системы.

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Тогда можно доказать следующий результат.

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A11 элемента a11, 2-ое уравнение – на A21 и 3-е – на A31:

Сложим эти уравнения:

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

.

Далее рассмотрим коэффициенты при x2:

Аналогично можно показать, что и .

Наконец несложно заметить, что

Таким образом, получаем равенство: .

Следовательно, .

Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.

Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

Примеры. Решить систему уравнений

  1. Итак, х=1, у=2, z=3.

  2. Решите систему уравнений при различных значениях параметра p:

    Система имеет единственное решение, если Δ ≠ 0.

    . Поэтому .

    1. При
    2. При p = 30 получаем систему уравнений которая не имеет решений.
    3. При p = –30 система принимает вид и, следовательно, имеет бесконечное множество решений x=y, yÎR.

МЕТОД ГАУССА

Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

.

Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x1. Для этого второе уравнение разделим на а21 и умножим на –а11, а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а31 и умножим на –а11, а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:

Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x2. Для этого третье уравнение разделим на , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:

Отсюда из последнего уравнения легко найти x3, затем из 2-го уравнения x2 и, наконец, из 1-го – x1.

При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами.

Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:

и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:

  1. перестановка строк или столбцов;
  2. умножение строки на число, отличное от нуля;
  3. прибавление к одной строке другие строки.

Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса.

  1. Вернувшись к системе уравнений, будем иметь

  2. Выпишем расширенную матрицу системы и сведем ее к треугольному виду.

    Вернувшись к системе уравнений, несложно заметить, что третье уравнения системы будет ложным, а значит, система решений не имеет.

  3. Разделим вторую строку матрицы на 2 и поменяем местами первый и третий столбики. Тогда первый столбец будет соответствовать коэффициентам при неизвестной z, а третий – при x.

    Вернемся к системе уравнений.

    Из третьего уравнения выразим одну неизвестную через другую и подставим в первое.

Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.

www.toehelp.ru

Решение уравнений матрицы онлайн решателем

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Стандартное матричное уравнение включает в себя несколько матриц и неизвестную матрицу . Именно последнюю матрицу и необходимо найти. Из этого можно сделать вывод, что решением матричного уравнения является матрица.

Так же читайте нашу статью "Решить матричное уравнение онлайн решателем"

Допустим, нам дано матричное уравнение следующего вида:

\[\begin{pmatrix} 1 & -3\\ 8&0 \end{pmatrix}-2X=3\begin{pmatrix} -1 &1\\ 0&4 \end{pmatrix} \]

Чтобы решить вышеописанное матричное уравнение необходимо применить стандартный алгоритм решения уравнения с неизвестной. Умножаем каждый член уравнения на 3, а также выполним преобразование - перенесем -2Х в левую сторону и изменим знак на противоположный:

\[-2X=\begin{pmatrix} -3 &3\\ 0&12 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1&-3\\ 8&0 \end{pmatrix}\]

Преобразуем и сократим правую часть:

\[-2X=\begin{pmatrix} -3 &-1 &3-(-3)\\ 0&-8&12&0 \end{pmatrix} -2X=\begin{pmatrix} -4 &6\\ -8&12 \end{pmatrix}\]

Выразим \[X,\] умножив левую и правую часть на \[-\frac{1}{2}\]:

\[-\frac{1}{2}\cdot (-2X)=-\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix} -4 &6\\ -8&12 \end{pmatrix} X=-\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix} -4 &6\\ -8&12 \end{pmatrix}\]

Проанализировав полученную матрицу, видно, что все ее числа можно поделить на 2 благодаря чему можно будет избавиться от дроби и минуса:

\[X=\begin{pmatrix} 2 &-3\\ 4&-6 \end{pmatrix}\]

Это и есть нашим ответом.

Где можно решить уравнение матрицы онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

pocketteacher.ru

матрица / Как решить матричное уравнение? / Математика

Уравнение имеет вид $%(BD)^tA(BD)=A$%, и требуется найти все $%D$% по заданным $%A$%, $%B$%. Если $%B$% невырожденная, то достаточно описать все $%X$% с условием $%X^tAX=A$%. После этого получается $%D=B^{-1}X$%, где $%X$% пробегает найденное множество решений.

Следует заметить, что рассматриваемое уравнение сложнее, чем аналогичное уравнение коммутирования, без операции транспонирования. Если всё выражать через матричные координаты, то получится система квадратичных уравнений, в то время как для случая $%XA=AX$% уравнения получаются линейными.

Допустим, что матрица $%A$% симметрична. Тогда мы, фактически, имеем дело с квадратичными формами, а правило $%A\to X^tAX$% задаёт закон преобразования квадратичных форм.

Прежде всего, можно методом Лагранжа привести форму с матрицей $%A$% к сумме/разности квадратов посредством некоторого невырожденного линейного преобразования. Это даёт $%A=Q^tMQ$%, где $%Q$% -- невырожденная матрица, и $%M$% диагональная. Применяя описанный метод, мы имеем явное выражение для $%M$% и $%Q$%.

Если $%A$% вдобавок невырожденная, то $%M$% состоит из единиц и минус единиц по диагонали. То есть форма после преобразования имеет вид $%x_1^2+\cdots+x_p^2-x_{p+1}^2-\cdots-x_{p+q}^2$%, где $%p+q=n$%.

Известно, что преобразования, сохраняющие такую форму, образуют группу. При $%q=0$%, то есть для случая положительно определённой формы, получается ортогональная группа преобразований $%O(n)$%. Устроена она относительно сложно, но это описание в принципе хорошо известно. Грубо говоря, ортогональных преобразований столько же, сколько ортонормированных базисов в $%\mathbb R^n$%, а последние получаются применением процесса ортогонализации Грама - Шмидта к произвольным базисам, то есть, фактически, невырожденным матрицам.

Если форма не является положительно определённой, то получается некоторое обобщение описанной выше группы; см. здесь. О ней также многое известно, и может быть найдено в литературе. Надо сразу заметить, что уровень сложности описания множества решений для случая симметричной матрицы $%A$%, точно такой же, как устройство группы $%O(p,q)$%, так как одно легко переводится в другое.

Действительно, наше уравнение можно записать как $%X^tQ^tMQX=Q^tMQ$%, что равносильно условию, что $%QXQ^{-1}$% сохраняет форму с матрицей $%M$%, то есть задаётся матрицей из группы $%G=O(p,q)$%. Тогда $%X$% принадлежит $%Q^{-1}GQ$%, где матрица $%Q$% нам известна.

Для несимметричной матрицы $%A$% ситуация ещё более усложняется, но мне пока трудно сказать, в какой мере.

отвечен 10 Сен '17 21:52

math.hashcode.ru