Как найти значение производной в точке функции. Как вычислить значение функции в точках
Как найти значение функции по значению аргумента
Как найти значение функции по значению аргумента? Это можно сделать с помощью формулы, задающей функцию.
Если функция задана формулой y=f(x), чтобы найти значение функции по данному значению аргумента, надо в формулу функции вместо каждого икса подставить это значение и вычислить значение y.
Пример.
1) Линейная функция задана формулой y=10x-7.
Найти значение функции, соответствующее значению аргумента, равному 3; -2,5; 1,4; 0.
Решение:
При x=3
при x=-2,5
при x=1,4
при x=0
2) Функция задана формулой
Найти значение функции при x, равном 10; -2; 1; 0.
Решение:
При x=10
при x=-2
при x=1
Значение функции по данному значению аргумента можно найти также по графику. Как это сделать, мы рассмотрим в следующий раз.
www.algebraclass.ru
Онлайн калькулятор: Вычисление значений функции
Данный онлайн калькулятор вычисляет значения функции одной переменной для заданных значений переменной . Функция задается при помощи формулы, в которой могут участвовать математические операции, константы и математические функции. Синтаксис описания формулы см. ниже.
Значения переменной x через запятую, для указания десятичной точки используйте точку.
Точность вычисленияЗнаков после запятой: 1
Результат расчета
Сохранить share extension
В формуле допускается использование одной переменной (обозначается как x), числа пи ( pi), следующих математических операторов:+ — сложение- — вычитание* — умножение/ — деление^ — возведение в степень
и следующих функций:
- sqrt — квадратный корень
- rootp — корень степени p, например root3(x) - кубический корень
- exp — e в указанной степени
- lb — логарифм по основанию 2
- lg — логарифм по основанию 10
- ln — натуральный логарифм (по основанию e)
- logp — логарифм по основанию p, например log7(x) — логарифм по основанию 7
- sin — синус
- cos — косинус
- tg — тангенс
- ctg — котангенс
- sec — секанс
- cosec — косеканс
- arcsin — арксинус
- arccos — арккосинус
- arctg — арктангенс
- arcctg — арккотангенс
- arcsec — арксеканс
- arccosec — арккосеканс
- versin — версинус
- vercos — коверсинус
- haversin — гаверсинус
- exsec — экссеканс
- excsc — экскосеканс
- sh — гиперболический синус
- ch — гиперболический косинус
- th — гиперболический тангенс
- cth — гиперболический котангенс
- sech — гиперболический секанс
- csch — гиперболический косеканс
- abs — абсолютное значение (модуль)
- sgn — сигнум (знак)
planetcalc.ru
как найти минимум функции?? какой порядок действий должен быть??? помогите плиз!
Находим производную функции Приравниваем эту производную к нулю Находим значения переменной получившегося выражения Разбиваем этими значениями координатную прямую на промежутки (при этом не нужно забывать о точках разрыва, которые также надо наносить на прямую) , все эти точки называются точками «подозрительными» на экстремум Вычисляем, на каких из этих промежутков производная будет положительной, а на каких – отрицательной. Для этого нужно подставить значение из промежутка в формулу с производной. Из точек подозрительных на экстремум надо найти именно экстремумы. Для этого смотрим на наши промежутки на координатной прямой. Если при прохождении через какую-то точку знак производной меняется с плюса на минус, то эта точка будет максимумом, а если с минуса на плюс, то минимумом. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции, нужно вычислить значение функции на концах отрезка и в точках экстремума. Затем выбрать наибольшее и наименьшее значение.
находишь производную от функции приравниваешь к 0 отмечаешь иксы на оси ОХ подставлешь пробные точки
Посмотреть по графику или 1) Найти производную функции 2) Приравнять производную к нулю и найти точки в кот. производная равна нулю - это будут точки максимумов и минимумов. 3) Чтобы найти минимум - надо сравнить знак производной функции до точки и после нее - если знак до - (функция спадала) а после + (функция начала возрастать) - это и есть точка минимума.
touch.otvet.mail.ru
Найти значение производной функции в точке х0
Производная функции в точке
Как найти производную функции в точке? Из формулировки следуют два очевидных пункта этого задания:
1) Необходимо найти производную.
2) Необходимо вычислить значение производной в заданной точке.
Пример 1
Вычислить производную функции
в точкеСправка: Следующие способы обозначения функции эквивалентны:
В некоторых заданиях бывает удобно обозначить функцию «игреком», а в некоторых через «эф от икс».Сначала находим производную:
Надеюсь, многие уже приноровились находить такие производные устно.
На втором шаге вычислим значение производной в точке
:Готово.
Небольшой разминочный пример для самостоятельного решения:
Пример 2
Вычислить производную функции
в точкеПолное решение и ответ в конце урока.
Необходимость находить производную в точке возникает в следующих задачах: построение касательной к графику функции (следующий параграф), исследование функции на экстремум, исследование функции на перегиб графика, полное исследование функции и др.
Но рассматриваемое задание встречается в контрольных работах и само по себе. И, как правило, в таких случаях функцию дают достаточно сложную. В этой связи рассмотрим еще два примера.
Пример 3
Вычислить производную функции
в точке . Сначала найдем производную:Производная, в принципе, найдена, и можно подставлять требуемое значение
. Но что-то делать это не сильно хочется. Выражение очень длинное, да и значение «икс» у нас дробное. Поэтому стараемся максимально упростить нашу производную. В данном случае попробуем привести к общему знаменателю три последних слагаемых:Ну вот, совсем другое дело. Вычислим значение производной в точке
:В том случае, если Вам не понятно, как найдена производная, вернитесь к первым двум урокам темы. Если возникли трудности (недопонимание) с арктангенсом и его значениями, обязательно изучите методический материал Графики и свойства элементарных функций – самый последний параграф. Потому-что арктангенсов на студенческий век ещё хватит.
Пример 4
Вычислить производную функции
в точке .Это пример для самостоятельного решения.
Уравнение касательной к графику функции
Чтобы закрепить предыдущий параграф, рассмотрим задачу нахождения касательной кграфику функции в данной точке. Это задание встречалось нам в школе, и оно же встречается в курсе высшей математики.
Рассмотрим «демонстрационный» простейший пример.
Составить уравнение касательной к графику функции
в точке с абсциссой . Я сразу приведу готовое графическое решение задачи (на практике этого делать в большинстве случаев не надо):Строгое определение касательной даётся с помощью определения производной функции, но пока мы освоим техническую часть вопроса. Наверняка практически всем интуитивно понятно, что такое касательная. Если объяснять «на пальцах», то касательная к графику функции – это прямая, которая касается графика функции в единственнойточке. При этом все близлежащие точки прямой расположены максимально близко к графику функции.
Применительно к нашему случаю: при
касательная (стандартное обозначение) касается графика функции в единственной точке .И наша задача состоит в том, чтобы найти уравнение прямой
.StudFiles.ru>
Производная функции в точке
Как найти производную функции в точке? Из формулировки следуют два очевидных пункта этого задания:
1) Необходимо найти производную.
2) Необходимо вычислить значение производной в заданной точке.
Пример 1
Вычислить производную функции
в точкеСправка: Следующие способы обозначения функции эквивалентны: В некоторых заданиях бывает удобно обозначить функцию «игреком», а в некоторых через «эф от икс».
Сначала находим производную:
Надеюсь, многие уже приноровились находить такие производные устно.
На втором шаге вычислим значение производной в точке
:Готово.
Небольшой разминочный пример для самостоятельного решения:
Пример 2
Вычислить производную функции
в точкеПолное решение и ответ в конце урока.
Необходимость находить производную в точке возникает в следующих задачах: построение касательной к графику функции (следующий параграф), исследование функции на экстремум, исследование функции на перегиб графика, полное исследование функции и др.
Но рассматриваемое задание встречается в контрольных работах и само по себе. И, как правило, в таких случаях функцию дают достаточно сложную. В этой связи рассмотрим еще два примера.
Пример 3
Вычислить производную функции
в точке . Сначала найдем производную:Производная, в принципе, найдена, и можно подставлять требуемое значение
. Но что-то делать это не сильно хочется. Выражение очень длинное, да и значение «икс» у нас дробное. Поэтому стараемся максимально упростить нашу производную. В данном случае попробуем привести к общему знаменателю три последних слагаемых:Ну вот, совсем другое дело. Вычислим значение производной в точке
:В том случае, если Вам не понятно, как найдена производная, вернитесь к первым двум урокам темы. Если возникли трудности (недопонимание) с арктангенсом и его значениями, обязательно изучите методический материал Графики и свойства элементарных функций – самый последний параграф. Потому-что арктангенсов на студенческий век ещё хватит.
Пример 4
Вычислить производную функции
в точке .Это пример для самостоятельного решения.
studopedia.ru>
Как найти значение производной функции F(x) в точке Хо? Как вообще это решать?
Sfash
Если формула задана, то найти производную и вместо Х подставить Х-нулевое. Посчитать Если речь идет о б-8 ЕГЭ, график, то надо найти тангенс угла (острый или тупой) , который образует касательная с осью Х (с помощью мысленного построения прямоугольного треугольника и определения тангенса угла)
Тимур адильходжаев
Во-первых, надо определиться со знаком. Если точка х0 находится в нижней части координатной плоскости, то знак в ответе будет минус, а если выше, то +. Во-вторых, надо знать что такое тангес в прямоугольном прямоугольнике. А это соотношение противолежащей стороны (катета) к прилежащей стороне (тоже катета) . На картине обычно есть несколько черных отметок. Из эти отметок составляешь прямоугольный треугольник и находишь тангес.
Как найти значение производной функции f x в точке x0?
нет конкретно поставленного вопроса — 3 года назадBk.Ru
В общем случае, что бы найти значение производной какой-либо функции по некоторой переменной в какой-либо точке, нужно продифференцировать заданную функцию по этой переменной. В вашем случае по переменной Х. В полученное выражение вместо Х поставить значение икса в той точке, для которой надо найти значение производной, т.е. в Вашем случае подставить нулевой Х и вычислить полученное выражение.
Ну а ваше стремление разобраться в этом вопросе, на мой взгляд, бесспорно заслуживает +, который ставлю с чистой совестью.
Lady v
Такая постановка задачи на нахождение производной часто ставится для закрепления материала на геометрический смысл производной. Предлагается график некоей функции, совершенно произвольной и не заданной уравнением и требуется найти значение производной (не саму производную заметьте!) в указанной точке Х0. Для этого строится касательная к заданной функции и находится точки ее пересечения с осями координат. Потом составляется уравнение этой касательной в виде y=кx+b.
В этом уравнении коэффициент к и будет являться значением производной. остается лишь найти значение коэффициента b. Для этого находим значение у при х=о, пусть оно равно 3 - это и есть значение коэффициента b. Подставляем в исходное уравнение значения Х0 и У0 и находим к - нашу значение производной в этой точке.
bolshoyvopros.ru>
Читайте также
zna4enie.ru
Как вычислить функцию
Функция определяет зависимость между несколькими величинами таким образом, что заданным значениям ее аргументов ставятся в соответствие значения других величин (значений функции). Вычисление функции заключается в определении области ее возрастания или убывания, поиске значений на каком-либо интервале или в заданной точке, в построении графика функции, нахождении ее экстремумов и других параметров.
Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как вычислить функцию" Как построить диаграмму Как проверить функцию на четность и нечетность Как построить график заданной функцииИнструкция
1
Определите признаки возрастания или убывания заданной функции. Для линейной функции вида f(x) = k*а+b имеет значение знак коэффициента при аргументе х. Если k>0, функция возрастает, при k 0, функция возрастающая, при f'(х)2
Найдите значения функции в заданном интервале [n, m]. Для этого подставьте граничные значения в качестве аргумента х в выражение функции. Произведите вычисления f (х), запишите результаты. Обычно поиск значений выполняется для построения графика функции. Однако двух пограничных точек для этого недостаточно. На указанном интервале задайте шаг в 1 или 2 единицы, в зависимости от промежутка, прибавляйте значение х на величину шага и каждый раз высчитывайте соответствующее значение функции. Оформите результаты в табличном виде, где одной строкой будет аргумент х, второй – значения функции.3
Постройте график функции на координатной плоскости ОХУ. Здесь горизонтальная ОХ является осью абсцисс, на которой отображаются все аргументы, вертикальная ОУ – ось ординат со значениями функции. Отложите на осях все полученные данные х и у (f(x)). Поставьте точки функции на пересечении соответствующих значений х и у. Плавной линией последовательно соедините точки и подпишите рядом с графиком выражение функции.4
Найдите экстремумы функции. Экстремумами называются максимальные или минимальные значения функции f(x) на определенном интервале, а аргумент х при этом – точкой максимума или минимума соответственно. Используйте необходимое условие экстремума: если аргумент х является точкой экстремума функции f(x), то дифференциал данной функции f'(x) равен нулю или не существует.5
Дифференцируйте заданную функцию. Приравняйте полученное выражение к нулю и найдите аргументы, при которых равенство истинно. Подставьте поочередно каждое из полученных значений х в уравнение дифференцированной функции, вычислите выражение и определите его знак. Если производная f'(x) меняет знак с плюса на минус, найденная точка является точкой максимума, при обратном результате – определена точка минимума. Найденные аргументы хmin и xmax подставьте в первоначальную функцию f(x) и вычислите ее значения в обоих случаях. Вы найдете соответствующие экстремумы функции. Как простоmasterotvetov.com
Как найти значение производной в точке функции
Периметр квадрата равен 1) 11см 2) 17см 3) 21см найдите длину его стороны. вопрос опубликован 01.01.2017 05:53:08. >. 1)2.75см 2)4.25см 3)8.25см.
Как найти значение производной в точке функции
Тип 5. Дан график функции и касательная к нему, найти значение производной.
Задача: На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой. Найдите значение производной функции в точке.
Помним, что производная равна тангенсу угла наклона касательной (т. е. угловому коэффициенту касательной)
Касательная есть, осталось найти тангенс её наклона к положительному направлению оси абсцисс.
Требуется изобразить какой-либо прямоугольный треугольник, в котором касательная была бы гипотенузой, а вершины лежали бы в узлах сетки.
Например, вот такой треугольник:
Угол для исследования : .
Известно, что тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению длины противолежащего катета к длине прилежащего.
Считаем клеточки, и получаем, что:
.
Итого:
Ответ: Производная в этой точке равна 4.
Задача: На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой. Найдите значение производной функции в точке.
Замечание: Задача аналогична предыдущей с тем отличием, что касательная «наклонена влево» и мы понимаем, что её угловой коэффициент отрицателен.
Замечание: Нужные точки касательной, точно расположенные в узлах координатной решетки, как бы невзначай обозначены жирненькими точками. Их то мы и возьмем за вершины треугольника.
Требуется найти. Из чертежа видно, что.
А из тригонометрии известно, что
Считаем клеточки, и получаем, что:
.
Итого:
Ответ: Производная в этой точке равна.
Как найти значение производной в точке функции
Простейшие типовые задачи с производной. Примеры решений
После изучения азов нахождения производной в статьях Как найти производную? Примеры решений и Производная сложной функции мы рассмотрим типовые задачи, связанные с нахождением производной. Желающие улучшить свои навыки дифференцирования также могут ознакомиться с уроком Сложные производные. Логарифмическая производная.
Помимо нового материала у вас есть возможность дополнительно «набить руку» на нахождении производных. Действительно, если речь пойдет о типовых задачах на производную, то, как минимум, во всех примерах нужно будет найти эту самую производную. Я постараюсь рассмотреть приёмы решения и хитрости, которые не встречались в других статьях.
Вот наше аппетитное меню:
Производная функции в точке
Уравнение касательной к графику прямой
Дифференциал функции одной переменной
Повар на раздаче.
Производная функции в точке
Как найти производную функции в точке? Из формулировки следуют два очевидных пункта этого задания:
1) Необходимо найти производную.
2) Необходимо вычислить значение производной в заданной точке.
Вычислить производную функции в точке
Справка: Следующие способы обозначения функции эквивалентны:
В некоторых заданиях бывает удобно обозначить функцию «игреком», а в некоторых через «эф от икс».
Сначала находим производную:
Надеюсь, многие уже приноровились находить такие производные устно.
На втором шаге вычислим значение производной в точке :
Небольшой разминочный пример для самостоятельного решения:
Вычислить производную функции в точке
Полное решение и ответ в конце урока.
Необходимость находить производную в точке возникает в следующих задачах: построение касательной к графику функции (следующий параграф), исследование функции на экстремум, исследование функции на перегиб графика, полное исследование функции и др.
Но рассматриваемое задание встречается в контрольных работах и само по себе. И, как правило, в таких случаях функцию дают достаточно сложную. В этой связи рассмотрим еще два примера.
Вычислить производную функции в точке.
Сначала найдем производную:
Производная, в принципе, найдена, и можно подставлять требуемое значение. Но что-то делать это не сильно хочется. Выражение очень длинное, да и значение «икс» у нас дробное. Поэтому стараемся максимально упростить нашу производную. В данном случае попробуем привести к общему знаменателю три последних слагаемых:
Ну вот, совсем другое дело. Вычислим значение производной в точке :
В том случае, если Вам не понятно, как найдена производная, вернитесь к первым двум урокам темы. Если возникли трудности (недопонимание) с арктангенсом и его значениями, Обязательно изучите методический материал Графики и свойства элементарных функций – самый последний параграф. Потому что арктангенсов на студенческий век ещё хватит.
Вычислить производную функции в точке.
Это пример для самостоятельного решения.
Уравнение касательной к графику функции
Чтобы закрепить предыдущий параграф, рассмотрим задачу нахождения касательной к графику функции в данной точке. Это задание встречалось нам в школе, и оно же встречается в курсе высшей математики.
Рассмотрим «демонстрационный» простейший пример.
Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой. Я сразу приведу готовое графическое решение задачи (на практике этого делать в большинстве случаев не надо):
Строгое определение касательной даётся с помощью определения производной функции, но пока мы освоим техническую часть вопроса. Наверняка практически всем интуитивно понятно, что такое касательная. Если объяснять «на пальцах», то касательная к графику функции – это Прямая, которая касается графика функции в Единственной точке. При этом все близлежащие точки прямой расположены максимально близко к графику функции.
Применительно к нашему случаю: при касательная (стандартное обозначение) касается графика функции в единственной точке.
И наша задача состоит в том, чтобы найти уравнение прямой.
Как составить уравнение касательной в точке с абсциссой?
Общая формула знакома нам еще со школы:
Значение нам уже дано в условии.
Теперь нужно вычислить, чему равна Сама функция в точке :
На следующем этапе находим производную:
Находим производную в точке (задание, которое мы недавно рассмотрели):
Подставляем значения, и в формулу :
Таким образом, уравнение касательной:
Это «школьный» вид уравнения прямой с угловым коэффициентом. В высшей математике уравнение прямой на плоскости принято записывать в так называемой общей форме, поэтому перепишем найденное уравнение касательной в соответствии с традицией:
Очевидно, что точка должна удовлетворять данному уравнению:
– верное равенство.
Следует отметить, что такая проверка является лишь частичной. Если мы неправильно вычислили производную в точке, то выполненная подстановка нам ничем не поможет.
Рассмотрим еще два примера.
Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
Уравнение касательной составим по формуле
1) Вычислим значение функции в точке :
2) Найдем производную. Дважды используем правило дифференцирования сложной функции:
3) Вычислим значение производной в точке :
4) Подставим значения, и в формулу :
Выполним частичную проверку:
Подставим точку в найденное уравнение:
– верное равенство.
Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
Полное решение и образец оформления в конце урока.
В задаче на нахождение уравнения касательной очень важно ВНИМАТЕЛЬНО и аккуратно выполнить вычисления, привести уравнение прямой к общему виду. И, конечно же, ознакомьтесь со Строгим определением касательной, после чего закрепите материал на уроке Уравнение нормали, где есть дополнительные примеры с касательной.
Дифференциал функции одной переменной
С формально-технической точки зрения найти дифференциал функции – это «почти то же самое, что найти производную».
Производная функции чаще всего обозначается через.
Дифференциал функции стандартно обозначается через (так и читается – «дэ игрек»)
Дифференциал функции одной переменной записывается в следующем виде:
Другой вариант записи:
Простейшая задача: Найти дифференциал функции
1) Первый этап. Найдем производную:
2) Второй этап. Запишем дифференциал:
Дифференциал функции одной или нескольких переменных чаще всего используют для приближенных вычислений.
Помимо «комбинированных» задач с дифференциалом время от времени встречается и «чистое» задание на нахождение дифференциала функции:
Найти дифференциал функции
Перед тем, как находить производную или дифференциал, всегда целесообразно посмотреть, а нельзя ли как-нибудь упростить функцию (или запись функции) ещё До дифференцирования? Смотрим на наш пример. Во-первых, можно преобразовать корень:
(корень пятой степени относится именно к синусу).
Во-вторых, замечаем, что под синусом у нас дробь, которую, очевидно, предстоит дифференцировать. Формула дифференцирования дроби очень громоздка. Нельзя ли избавиться от дроби? В данном случае – можно, почленно разделим числитель на знаменатель:
Функция сложная. В ней два вложения: под степень вложен синус, а под синус вложено выражение. Найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции два раза:
Запишем дифференциал, при этом снова представим в первоначальном «красивом» виде:
Когда производная представляет собой дробь, значок обычно «прилепляют» в самом конце числителя (можно и справа на уровне дробной черты).
Найти дифференциал функции
Это пример для самостоятельного решения.
Следующие два примера на нахождение дифференциала в точке:
Вычислить дифференциал функции в точке
Опять, производная вроде бы найдена. Но в эту бодягу еще предстоит подставлять число, поэтому результат максимально упрощаем:
Труды были не напрасны, записываем дифференциал:
Теперь вычислим дифференциал в точке :
В значок дифференциала единицу подставлять не нужно, он немного из другой оперы.
Ну и хорошим тоном в математике считается устранение иррациональности в знаменателе. Для этого домножим числитель и знаменатель на. Окончательно:
Вычислить дифференциал функции в точке. В ходе решения производную максимально упростить.
Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец оформления и ответ в конце урока.
Вторая производная
Всё очень просто. Вторая производная – это Производная от первой производной:
Стандартные обозначения второй производной: , или (дробь читается так: «дэ два игрек по дэ икс квадрат»). Чаще всего вторую производную обозначают первыми двумя вариантами. Но третий вариант тоже встречается, причем, его очень любят включать в условия контрольных заданий, например: «Найдите функции…». А студент сидит и битый час чешет репу, что это вообще такое.
Рассмотрим простейший пример. Найдем вторую производную от функции.
Для того чтобы найти вторую производную, как многие догадались, нужно сначала найти первую производную:
Теперь находим вторую производную:
Рассмотрим более содержательные примеры.
Найти вторую производную функции
Найдем первую производную:
На каждом шаге всегда смотрим, нельзя ли что-нибудь упростить? Сейчас нам предстоит дифференцировать произведение двух функций, и мы избавимся от этой неприятности, применив известную Тригонометрическую формулу . Точнее говоря, использовать формулу будем в обратном направлении: :
Находим вторую производную:
Можно было пойти другим путём – понизить степень функции еще перед дифференцированием, используя формулу :
Если интересно, возьмите первую и вторую производные снова. Результаты, естественно, совпадут.
Отмечу, что понижение степени бывает очень выгодно при нахождении Частных производных функции. Здесь же оба способа решения будут примерно одинаковой длины и сложности.
Как и для первой производной, можно рассмотреть Задачу нахождения второй производной в точке.
Например: Вычислим значение найденной второй производной в точке :
Необходимость находить вторую производную и вторую производную в точке возникает при исследовании графика функции на выпуклость/вогнутость и перегибы.
Найти вторую производную функции. Найти
Это пример для самостоятельного решения.
Аналогично можно найти третью производную, а также производные более высоких порядков. Такие задания встречаются, но встречаются чуть реже.
Решения и ответы:
Пример 2: Найдем производную:
Вычислим значение функции в точке :
Пример 4: Найдем производную:
Вычислим производную в заданной точке:
Пример 6: Уравнение касательной составим по формуле
1) Вычислим значение функции в точке :
2) Найдем производную. Перед дифференцированием функцию выгодно упростить:
3) Вычислим значение производной в точке :
4) Подставим значения, и в формулу :
Пример 8: Преобразуем функцию:
Пример 10: Найдем производную:
Вычислим дифференциал в точке :
Пример 12: Найдем первую производную:
Найдем вторую производную:
Вычислим:
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Как найти значение производной в точке функции
Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Задание 7
Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Задание 7.
Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:
Посмотрите ВИДЕОУРОК, в котором я подробно объясняю, в чем заключается геометрический смысл производной, и как выводится уравнение касательной. А затем мы рассмотрим решение задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.
Геометрический смысл производной.
В этом уравнении:
Приведем несколько примеров решения задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике, в которых используется знание геометрического смысла производной.
Проведем через точку А прямую параллельно оси ОХ, а через точку В — параллельно оси OY. Получим прямоугольный треугольник ABC:
Угол А треугольника АВС равен углу между касательной и положительным направлением оси ОХ.
Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
Длины катетов считаем по количеству клеточек.
Построим, как предыдущей задаче, прямоугольный треугольник АВС:
Запомните, если прямая наклонена влево, то коэффициент наклона прямой отрицателен.
Соединим отрезком точку начала координат с точкой касания:
Производная функции в точке касания равна тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси ОХ:
Для вас другие записи этой рубрики:
Отзывов ( 25 )
Большое спасибо за объяснение!
Раньше боялся смотреть на В8, а сейчас, как орешки щелкаю.
Очень доступно и понятно!
А что если, дан график производной функции, а не сама функция?
«Запомните, если прямая наклонена влево, то коэффициент наклона прямой отрицателен.» Это написано под 2 примером. — наоборот мне кажется.. На 1 примере прямая наклонена влево, а на втором примере вправо.
Ты путаешь право и лево 🙂
Спасибо вам большое:)
Ваш сайт очень помогает подготовке к экзамену)
Откуда АВ=10 в примере 3 ?
Считаем по клеточкам.
Спасибо за ответ, уже нашла в банке заданий, там нарисованы клеточки, так что разобралась. И конечно, присоединяюсь к общим похвалам в адрес вашего прекрасного сайта.
Инна! Большое Вам спасибо за вашу работу! Благодаря Вам многие вопросы становятся более доступными. Когда у меня появляются какие-то проблемные вопросы-я захожу к Вам на сайт и часто нахожу ответы на вопросы. Дай Бог Вам здоровья и энергии!
poiskvstavropole.ru
Как найти максимальное значение функции
Пусть дана некоторая функция, заданная аналитически, то есть выражением вида f(x). Требуется исследовать функцию и вычислить максимальное значение, которое она принимает на заданном отрезке [a, b].Инструкция
- Прежде всего нужно установить, определена ли заданная функция на всем отрезке [a, b] и если у нее есть точки разрыва, то какого рода эти разрывы. Например, функция f(x) = 1/x вовсе не имеет ни максимального, ни минимального значения на отрезке [-1, 1], поскольку в точке x = 0 стремится к плюс бесконечности справа и к минус бесконечности слева.
- Если заданная функция — линейная, то есть задана уравнением вида y = kx + b, где k ≠ 0, то она на всей своей области определения монотонно возрастает, если k > 0; и монотонно убывает, если k 0; и f(a), если k
- Следующий шаг — исследование функции на экстремумы. Даже если установлено, что f(a) > f(b) (или наоборот), функция может достигать больших значений в точке максимума.
- Чтобы найти точку максимума, необходимо прибегнуть к помощи производной. Известно, что если в точке x0 функция f(x) имеет экстремум (то есть максимум, минимум или стационарную точку), то ее производная f′(x) в этой точке обращается в ноль: f′(x0) = 0.Для определения, какой из трех видов экстремума находится в обнаруженной точке, нужно исследовать поведение производной в ее окрестностях. Если она меняет знак с плюса на минус, то есть монотонно убывает, то в найденной точке исходная функция имеет максимум. Если производная меняет знак с минуса на плюс, то есть монотонно возрастает, то в найденной точке исходная функция имеет минимум. Если же, наконец, производная не меняет знака, то x0 — это стационарная точка для исходной функции.
- В тех случаях, когда вычислить знаки производной в окрестностях найденной точки сложно, можно воспользоваться второй производной f′′(x) и определить знак этой функции в точке x0:- если f′′(x0) > 0, то найдена точка минимума;- если f′′(x0) - наконец, если f′′(x0) = 0, то найдена стационарная точка.
- Для окончательного решения задачи необходимо выбрать максимальное из значений функции f(x) на концах отрезка и во всех найденных точках максимума.
completerepair.ru