Наименьшее общее кратное (НОК). Кратное числа 2
Делители и кратные числа
Тема «Кратные числа» изучается в 5 классе общеобразовательной школы. Ее целью является совершенствование письменных и устных навыков математических вычислений. На этом уроке вводятся новые понятия - «кратные числа» и «делители», отрабатывается техника нахождения делителей и кратных натурального числа, умение находить НОК различными способами.
Эта тема является очень важной. Знания по ней можно применить при решении примеров с дробями. Для этого нужно найти общий знаменатель путем расчета наименьшего общего кратного (НОК).
Кратным А считается целое число, которое делится на А без остатка.
18:2=9
Каждое натуральное число имеет бесконечное количество кратных ему чисел. Наименьшим считается оно само. Кратное не может быть меньше самого числа.
Задача
Нужно доказать, что число 125 кратно числу 5. Для этого нужно первое число разделить на второе. Если 125 делится на 5 без остатка, то ответ положительный.
Все натуральные числа можно разделить на 1. Кратное является делителем для себя самого.
Как мы знаем, числа при делении называются «делимое», «делитель», «частное».
27:9=3,
где 27 – делимое, 9 – делитель, 3 – частное.
Числа, кратные 2, – это те, которые при делении на два не образуют остатка. К ним относятся все четные.
Числа, кратные 3, – это такие, которые без остатка делятся на 3 (3, 6, 9, 12, 15…).
Например, 72. Это число кратно числу 3, потому что делится на 3 без остатка (как известно, число делится на 3 без остатка, если сумма его цифр делится на 3)
сумма 7+2=9; 9:3=3.
Является ли число 11 кратным 4?
11:4=2 (остаток 3)
Ответ: не является, так как есть остаток.
Общее кратное двух или более целых чисел - это такое, которое делится на эти числа без остатка.
К(8) = 8, 16, 24...
К(6) = 6, 12, 18, 24...
К(6,8) = 24
НОК (наименьшее общее кратное) находят следующим способом.
Для каждого числа необходимо отдельно выписать в строку кратные числа - вплоть до нахождения одинакового.
НОК (5, 6) = 30.
Данный способ применим для небольших чисел.
При расчёте НОК встречаются особые случаи.
1. Если необходимо найти общее кратное для 2-х чисел (например, 80 и 20), где одно из них (80) делится без остатка на другое (20), то это число (80) и есть наименьшее кратное этих двух чисел.
НОК (80, 20) = 80.
2. Если два простых числа не имеют общего делителя, то можно сказать, что их НОК – это произведение этих двух чисел.
НОК (6, 7) = 42.
Рассмотрим последний пример. 6 и 7 по отношению к 42 являются делителями. Они делят кратное число без остатка.
42:7=6
42:6=7
В этом примере 6 и 7 являются парными делителями. Их произведение равно самому кратному числу (42).
6х7=42
Число называется простым, если делится только само на себя или на 1 (3:1=3; 3:3=1). Остальные называются составными.
В другом примере нужно определить, является ли 9 делителем по отношению к 42.
42:9=4 (остаток 6)
Ответ: 9 не является делителем числа 42, потому что в ответе есть остаток.
Делитель отличается от кратного тем, что делитель – это то число, на которое делят натуральные числа, а кратное само делится на это число.
Наибольший общий делитель чисел a и b, умноженный на их наименьшее кратное, даст произведение самих чисел a и b.
А именно: НОД (а, b) х НОК (а, b) = а х b.
Общие кратные числа для более сложных чисел находят следующим способом.
Например, найти НОК для 168, 180, 3024.
Эти числа раскладываем на простые множители, записываем в виде произведения степеней:
168=2³х3¹х7¹
180=2²х3²х5¹
3024=2⁴х3³х7¹
Дальше выписываем все представленные основания степеней с самыми большими показателями и перемножаем их:
2⁴х3³х5¹х7¹=15120
НОК (168, 180, 3024) = 15120.
fb.ru
Трехзначные числа кратные 2. Четырехзначное число кратное 2. Все однозначные числа кратные 2. Наибольшее двузначное число кратное 2
Трехзначные числа кратные 2
Положительные трехзначные числа кратные 2:
100102104994996998
Все трехзначные числа между 100 и 998, которые делятся на 2, есть положительные трехзначные числа кратные 2.
Два трехзначных числа кратных 2
Вот два трехзначных числа кратных 2:
150992
Почему 150 кратно 2? Потому, что 150 делится на 2 без остатка:
150 : 2 = 75
Почему 992 кратно 2? Потому, что число 992 делится на 2 без остатка:
992 : 2 = 496
Есть другие трехзначные числа, кратные 2? Есть. Любое трехзначное число, делящееся нацело на 2 есть кратное 2.
Четырехзначное число кратное 2
Четырехзначное число кратное 2 – это четырехзначное число, делящееся нацело на 2.
Примеры положительных четырехзначных чисел, кратных 2 :
100010021004999499969998
Все четырехзначные числа между 1000 и 9998, которые делятся на 2, есть положительные трехзначные числа кратные 2.
Наибольшее двузначное число кратное 2
Наибольшее двузначное число кратное 2 – это число 98.
Почему число 98 кратно 2?
Потому, что число 98 делится без остатка на 2:
98 : 2 = 49
А почему число 98 есть наибольшее двузначное число кратное 2?
Потому, что двузначное число большее чем 98 есть только число 99.
Число же 99 не делится на 2, а значит и не является кратным 2.
Все однозначные числа кратные 2
Запишем все однозначные числа кратные 2:
2468
Почему числа 2, 4, 6, 8 кратны 2? Потому что они делятся на 2.
А отрицательные числа -2, -4, -6, -8 кратны 2? Да, кратны.
www.sbp-program.ru
ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ чисел, кратность чисел с примерами
Признаки делимости чисел на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 и другие числа полезно знать для быстрого решения задач на Цифровую запись числа. Вместо того, чтобы делить одно число на другое, достаточно проверить ряд признаков, на основании которых можно однозначно определить, делится ли одно число на другое нацело (кратно ли оно) или нет.
Основные признаки делимости
Приведем основные признаки делимости чисел:
- Признак делимости числа на «2» Число делится нацело на 2, если число является четным (последняя цифра равна 0, 2, 4, 6 или 8)Пример: Число 1256 кратно 2, поскольку оно заканчивается на 6. А число 49603 не делится нацело на 2, поскольку оно заканчивается на 3.
- Признак делимости числа на «3» Число делится нацело на 3, если сумма его цифр делится на 3Пример: Число 4761 делится на 3 нацело, поскольку сумма его цифр равна 18 и она делится на 3. А число 143 не кратно 3, поскольку сумма его цифр равна 8 и она не делится на 3.
- Признак делимости числа на «4» Число делится нацело на 4, если последние две цифры числа равны нулю или число, составленное из двух последних цифр, делится на 4Пример: Число 2344 кратно 4, поскольку 44 / 4 = 11. А число 3951 не делится нацело на 4, поскольку 51 на 4 не делится.
- Признак делимости числа на «5» Число делится нацело на 5, если последняя цифра числа равна 0 или 5Пример: Число 5830 делится нацело на 5, поскольку оно заканчивается на 0. А число 4921 не делится на 5 нацело, поскольку оно заканчивается на 1.
- Признак делимости числа на «6» Число делится нацело на 6, если оно делится нацело на 2 и на 3Пример: Число 3504 кратно 6, поскольку оно заканчивается на 4 (признак делимости на 2) и сумма цифр числа равна 12 и она делится на 3 (признак делимости на 3). А число 5432 на 6 нацело не делится, хотя число заканчивается на 2 (соблюдается признак делимости на 2), однако сумма цифр равна 14 и она не делится на 3 нацело.
- Признак делимости числа на «8» Число делится нацело на 8, если три последние цифры числа равны нулю или число, составленное из трех последних цифр числа, делится на 8Пример: Число 93112 делится нацело на 8, поскольку число 112 / 8 = 14. А число 9212 не кратно 8, поскольку 212 не делится на 8.
- Признак делимости числа на «9» Число делится нацело на 9, если сумма его цифр делится на 9Пример: Число 2916 кратно 9, поскольку сумма цифр равна 18 и она делится на 9. А число 831 не делится на 9 нацело, поскольку сумма цифр числа равна 12 и она не делится на 9.
- Признак делимости числа на «10» Число делится нацело на 10, если оно заканчивается на 0Пример: Число 39590 делится на 10 нацело, поскольку оно заканчивается на 0. А число 5964 не делится на 10 нацело, поскольку оно заканчивается не на 0.
- Признак делимости числа на «11» Число делится нацело на 11, если сумма цифр, стоящих на нечетных местах, равна сумме цифр, стоящих на четных местах или суммы должны отличаться на 11Пример: Число 3762 делится нацело на 11, поскольку 3 + 6 = 7 + 2 = 9. А число 2374 на 11 не делится, поскольку 2 + 7 = 9, а 3 + 4 = 7.
- Признак делимости числа на «25» Число делится нацело на 25, если оно заканчивается на 00, 25, 50 или 75Пример: Число 4950 кратно 25, поскольку оно заканчивается на 50. А 4935 не делится на 25, поскольку заканчивается на 35.
Признаки делимости на составное число
Чтобы узнать, делится ли заданное число на составное, нужно разложить это составное число на взаимно простые множители, признаки делимости которых известны. Взаимно простые числа - это числа, не имеющие общих делителей кроме 1. Например, число делится нацело на 15, если оно делится нацело на 3 и на 5.
Рассмотрим другой пример составного делителя: число делится нацело на 18, если оно делится нацело на 2 и 9. В данном случае нельзя раскладывать 18 на 3 и 6, поскольку они не являются взаимно простыми, так как имеют общий делитель 3. Убедимся в этом на примере.
Число 456 делится на 3, так как сумма его цифр равна 15, и делится на 6, так как оно делится и на 3 и на 2. Но если разделить 456 на 18 вручную, то получится остаток. Если же для числа 456 проверять признаки делимости на 2 и 9, сразу же видно, что оно делится на 2, но не делится на 9, так как сумма цифр числа равна 15 и она не делится на 9.
Наименьшее общее кратное двух, трех и более чисел
Данный калькулятор предназначен для нахождения наименьшего общего кратного двух, трех и более чисел онлайн.Кратное числа n – это число, которое делится на данное число n без остатка. Число может иметь бесконечное число кратных.Несколько чисел могут иметь одинаковые кратные, которые будут называться общими кратными чисел.
Среди общих кратных выделяют наименьшее из них. Наименьшее общее кратное (сокращенно НОК) двух, трех и более чисел – наименьшее число, которое делится без остатка на каждое из этих чисел. Нахождение наименьшего общего кратного полезно, например, при сложении и вычитании дробей, когда необходимо найти общий знаменатель дробей.Для тех пользователей, кого интересует вопрос, как находить наименьшее общее кратное двух, трех и более чисел самостоятельно, представим последовательность решения данной задачи двумя способами. Первый способ хорошо применим для небольших чисел. Он заключается в выписывании кратных для всех чисел до тех пор, пока не найдется одинаковое, наименьшее из них. Второй способ сложнее и состоит из нескольких этапов, но при этом он применим для больших чисел. Во-первых, необходимо разложить числа на простые множители. Во-вторых, составляется произведение из всех найденных простых множителей. В-третьих, необходимо исключить общие множители, которые присутствуют в разложении чисел. В-четвертых, перемножив оставшиеся простые множители, получаем наименьшее общее кратное.
Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких чисел, проще всего использовать данный калькулятор, так как самостоятельные расчеты займут слишком много времени и усилий, особенно это касается большого количества больших чисел. Просто введите числа в соответствующие ячейки калькулятора и нажмите кнопку «Вычислить».
| Выберете количество чисел 2345678910 Введите числа: | ||||||
| НОК | ||||||
Поделитесь этим калькулятором на форуме или в сети!
Это помогает делать новые калькуляторы.
НЕТ
Смотрите также
Наименьшее общее кратное
Общие кратные
Определение 1
Целые числа, которые кратны двум числам, являются общими кратными этих чисел.
Проще говоря, любое целое число, которое делится на каждое из данных чисел, является общим кратным данных целых чисел.
Можно находить общее кратное двух и большего количества целых чисел.
Пример 1
Вычислить общее кратное двух чисел: $2$ и $5$.
Решение.
По определению общим кратным чисел $2$ и $5$ является число $10$, т.к. оно кратно числу $2$ и числу $5$:
$10\div 2=5$,
$10\div 5=2$.
Общими кратными чисел $2$ и $5$ также будут числа $–10, 20, –20, 30, –30$ и т.д., т.к. все они делятся на числа $2$ и $5$.
Замечание 1
Нуль является общим кратным любого количества ненулевых целых чисел.
Согласно свойствам делимости, если некоторое число является общим кратным нескольких чисел, то и противоположное по знаку число также будет общим кратным заданных чисел. Это видно из рассмотренного примера.
Для заданных целых чисел всегда можно найти их общее кратное.
Пример 2
Вычислить общее кратное чисел $111$ и $55$.
Решение.
Перемножим заданные числа: $111\div 55=6105$. Несложно убедится, что число $6105$ делится на число $111$ и на число $55$:
$6105\div 111=55$;
$6105\div 55=111$.
Таким образом, число $6105$ – общее кратное чисел $111$ и $55$.
Ответ: общее кратное чисел $111$ и $55$ равно $6105$.
Но, как мы уже видели из предыдущего примера, это общее кратное не одно. Другими общими кратными будут числа $–6105, 12210, –12210, 61050, –61050$ и т.д. Таким образом, мы пришли к следующему выводу:
Замечание 2
Любой набор целых чисел имеет бесконечное множество общих кратных.
На практике ограничиваются нахождением общих кратных только целых положительных (натуральных) чисел, т.к. множества кратных данного числа и ему противоположного совпадают.
Определение наименьшего общего кратного
Наиболее часто из всех кратных заданных чисел используют наименьшее общее кратное (НОК).
Определение 2
Наименьшее положительное общее кратное заданных целых чисел является наименьшим общим кратным этих чисел.
Пример 3
Вычислить НОК чисел $4$ и $7$.
Решение.
Т.к. у данных чисел нет общих делителей, то $НОК(4,7)=28$.
Ответ: $НОК (4,7)=28$.
Нахождение НОК через НОД
Т.к. существует связь между НОК и НОД, с ее помощью можно вычислить НОК двух целых положительных чисел:
Замечание 3
$НОК (a,b)=\frac{a\cdot b}{НОД (a,b)}$
Пример 4
Вычислить НОК чисел $232$ и $84$.
Решение.
Воспользуемся формулой для нахождения НОК через НОД:
$НОК (a,b)=\frac{a\cdot b}{НОД (a,b)}$
Найдем НОД чисел $232$ и $84$ с помощью алгоритма Эвклида:
$232=84\cdot 2+64$,
$84=64\cdot 1+20$,
$64=20\cdot 3+4$,
$20=4\cdot 5$.
Т.е. $НОД (232, 84)=4$.
Найдем $НОК (232, 84)$:
$НОК (232,84)=\frac{232\cdot 84}{4}=58\cdot 84=4872$
Ответ: $НОК (232,84)=4872$.
Пример 5
Вычислить $НОК (23, 46)$.
Решение.
Т.к. $46$ делится нацело на $23$, то $НОД (23, 46)=23$. Найдем НОК:
$НОК (23,46)=\frac{23\cdot 46}{23}=46$
Ответ: $НОК (23,46)=46$.
Таким образом, можно сформулировать правило:
Замечание 4
Если одно целое число делится на другое целое число, то оно будет являться НОК этих чисел.
Нахождение НОК через разложение чисел на простые множители
Правило нахождения НОК через разложение чисел на простые множители следует из формулы для нахождения НОК через НОД:
Замечание 5
Для нахождения НОК заданных чисел необходимо записать произведение всех их простых множителей, затем исключить из этого произведения все общие простые множители, которые присутствуют в разложениях заданных чисел. Полученное произведение будет представлять НОК заданных чисел.
Пример 6
Вычислить НОК чисел $48$ и $60$.
Решение.
Разложим числа $48$ и $60$ на простые множители:
$48=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3$
$60=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$
Запишем произведение из всех простых множителей заданных чисел и из полученного произведения исключим все множители, которые одновременно присутствуют в разложениях чисел $48$ и $60$:
$2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5=240$
Ответ: $НОК (48,60)=240$.
spravochnick.ru
Натуральные числа кратные 2. Наименьшее натуральное число кратное 2. Множество натуральных чисел кратных 2
Натуральные числа кратные 2
Натуральные числа, кратные 2 – это натуральные числа, которые делятся на 2.
Какие числа кратны 2?
Если число делится на 2, то оно кратно 2.
Числа 4, 6, 8, 10 и много других кратны 2, ведь они нацело делятся на 2.
Наименьшее натуральное число кратное 2
Наименьшее натуральное число кратное 2 – это число 2.
Число 2 делится на 2:
2 : 2 = 1
Это значит, что число 2 кратно числу 2.
А почему 2 есть наименьшее натуральное число кратное 2?
Вспомним первые числа из ряда натуральных чисел:
1, 2, 3,...
Меньшим чем 2 натуральным числом является 1. Число 1 не кратно 2, т.к. 1 не делится на 2.
Следующим натуральным числом являеся 2 и оно делится на 2. Значит 2 есть наименьшее натуральное число кратное 2.
Множество натуральных чисел кратных 2
Множество натуральных чисел кратных 2 состоит из натуральных чисел, которые делятся на 2.
Как составить множество натуральных чисел кратных 2?
Если умножать 2 на целые положительные числа, то получим множество натуральных чисел кратных 2:
2 * 1 = 22 * 2 = 42 * 3 = 6и так далее
Сколько натуральных чисел кратных 2?
Сколько натуральных чисел кратных 2? Их бесконечно много.
Невозможно точно указать количество натуральных чисел кратных 2.
Любое натуральное число кратно 2?
Любое натуральное число кратно 2? Нет, не любое натуральное число кратно 2.
Только то натуральное число кратно 2, которое нацело делится на 2.
Натуральное число 1 кратноо 2? Нет, ведь оно не делится на 2.
Натуральное число 122 кратноо 2? Да, ведь оно делится на 2:
122 : 2 = 61
www.sbp-program.ru
Наименьшее общее кратное (НОК)
Примеры.
Пример 1. Найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 12 и 16.12 = 2*2*3;
16 = 2*2*2*2.
Выбираем число 16. Из разложения числа 12 добавляем к его множителям множитель 3, которого нет у числа 16: 2*2*2*2*3=48.
Cледовательно, НОК(12, 16) = 48.
Если выбрать число 12, то из разложения числа 16 нужно добавить множитель 2 два раза, так как в числе 12 только два множителя 2, а в числе 16 их четыре: 2*2*3*2*2=48.
Cледовательно, НОК(12, 16) = 48.
Пример 2. Найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 396 и 180.
396 = 2*2*3*3*11;
180 = 2*2*3*3*5.
Выбираем число 396. Из разложения числа 180 добавляем к его множителям множитель 5, которого нет у числа 396. То есть, 2*2*3*3*11*5=1980.
Cледовательно, НОК(396, 180) = 1980.
Пример 3. Найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 34, 51 и 68.
34 = 2*17;
51 = 3*17;
68 = 2*2*17.
Выбираем число 34. Из разложения числа 51 добавляем к его множителям множитель 3, которого нет у числа 34. Получаем разложение 2*17*3. Из разложения числа 68 добавляем множитель 2, так как в числе 68 два множителя 2, а в нашем разложении один множитель 2. То есть, 2*17*3*2=204.
Cледовательно, НОК(34, 51, 68) = 204.
Пример 4. Найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 10, 21 и 36.
10 = 2*5;
21 = 3*7;
36 = 2*2*3*3.
Выбираем число 10. Из разложения числа 21 добавляем к его множителям множители 3 и 7, которых нет у числа 10. Получаем разложение 2*5*3*7. Из разложения числа 36 добавляем множители 2 и 3, так как в числе 36 два множителя 2 и два множителя 3, а в нашем разложении один множитель 2 и один 3. То есть, 2*5*3*7*2*3=1260.
Cледовательно, НОК(10, 21, 36) = 1260.
Пример 5. Найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 12, 30, 60 и 75.
12 = 2*2*3;
30 = 2*3*5;
60 = 2*2*3*5;
75 = 3*5*5.
Выбираем число 12. Из разложения числа 30 добавляем к его множителям множитель 5, которого нет у числа 12. Получаем разложение 2*2*3*5. Из разложения числа 60 ничего не добавляем, так как все его множители присутствуют в нашем разложении. Из разложения числа 75 добавляем множитель 5, так как в разложении числа 75 два множителя 5, а в нашем разложении один множитель 5. То есть, 2*2*3*5*5=300.
Cледовательно, НОК(12, 30, 60, 75) = 300.
intemodino.com
