Квадратное уравнение (строим график функции в MS EXCEL). Квадратное уравнение график


Решаем квадратные уравнения и строим графики

Квадратные уравнения являются равенствами второго уровня с одной переменной. Они отражают поведение параболы на координатной плоскости. Искомые корни отображают точки, в которых график пересекает ось ОХ. По коэффициентам можно предварительно узнать определенные качества параболы. Например, если значение числа, стоящего перед х2, отрицательное, то ветви параболы будут смотреть вверх. Кроме этого, существует несколько хитростей, с помощью которых можно существенно упростить решение заданного уравнения.

Виды квадратных уравнений

В школе преподают несколько видов квадратных уравнений. В зависимости от этого различают и способы их решений. Среди особых типов можно выделить квадратные уравнения с параметром. Такой тип содержит несколько переменных:

ах2+12х-3=0

Следующей вариацией можно назвать уравнение, в котором переменная представлена не одним числом, а целым выражением:

21(х+13)2-17(х+13)-12=0

Стоит учесть, что это все является общим видом квадратных уравнений. Бывает, они преподносятся в таком формате, при котором их необходимо сначала привести в порядок, разложить на множители или упростить.

4(х+26)2-(-43х+27)(7-х)=4х

Принцип решения

Квадратные уравнения решаются следующим способом:

  1. При необходимости находится область допустимых значений.
  2. Уравнение приводится в соответствующий вид.
  3. Находится дискриминант по соответствующей формуле: Д=b2-4ас.
  4. В соответствии со значением дискриминанта делаются выводы относительно функции. Если Д>0, то говорят, что уравнение имеет два разных корня (при Д).
  5. После этого находят корни уравнения.
  6. Далее (в зависимости от задания) строят график или находят значение в определенной точке.

Квадратные уравнения: теорема Виета и другие хитрости

Каждому школьнику хочется блеснуть на уроках своими знаниями, смекалкой и умениями. Во время изучения квадратных уравнений это можно сделать несколькими способами.

В том случае, когда коэффициент а=1, можно говорить о применении теоремы Виета, согласно которой сумма корней равна значению числа b, стоящего перед х (со знаком, противоположным имеющемуся), а произведение х1 и х2 приравнивается с. Такие уравнения называются приведенными.

х2-20х+91=0,

х1*х2=91 и х1+х2=20, => х1=13 и х2=7

Еще одним способом приятного упрощения математической работы является использование свойств параметров. Так, если сумма всех параметров равна 0, то получаем, что х1=1 и х2=с/а.

17х2-7х-10=0

17-7-10=0, следовательно, корень 1: х1=1, и корень2: х2=-10/12

Если же сумма коэффициентов а и с равна b, то х1=-1 и, соответственно, х2=-с/а

25х2+49х+24=0

25+24=49, следовательно, х1=-1 и х2=-24/25

Такой подход к решению квадратных уравнений существенно упрощает процесс вычисления, а также экономит огромное количество времени. Все действия можно осуществлять в уме, не тратя при этом драгоценные минуты контрольной или проверочной работы на умножение в столбик или использование калькулятора.

Квадратные уравнения служат связующим звеном между цифрами и координатной плоскостью. Чтобы быстро и просто построить параболу соответствующей функции, необходимо после нахождения ее вершины провести вертикальную линию, перпендикулярную оси х. После этого каждую полученную точку можно зеркально отображать относительно данной линии, которая называется ось симметрии.

fb.ru

Графическое решение квадратных уравнений

Разделы: Математика

На уроке учащиеся продемонстрировали знания и умения программы:

– распознавать виды функции, строить их графики; – отрабатывали навыки построения квадратичной функции; – отрабатывали графические способы решения квадратных уравнений, используя метод выделения полного квадрата.

Мне захотелось уделить особое внимание решению задач с параметром, так как ЕГЭ по математике предлагает очень много заданий такого типа.

Возможность применить на уроке такой вид работы дали мне сами ученики, так как они имеют достаточную базу знаний, которые можно углубить и расширить.

Заранее подготовленные учащимися шаблоны позволили экономить время урока. В ходе урока мне удалось реализовать поставленные задачи в начале урока и получить ожидаемый результат.

Использование физкультминутки помогло избежать переутомления учащихся, сохранить продуктивную мотивацию получения знаний.

В целом результатом урока я довольна, но думаю, что есть еще резервные возможности: современные инновационные технологические средства, которыми мы, к сожалению, не имеем возможности пользоваться.

Тип урока: закрепление изученного материала.

Цели урока:

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

– Сегодня на уроке мы обобщим и закрепим графическое решение квадратных уравнений различными способами. В дальнейшем эти навыки нам будут нужны в старших классах на уроках математики при решении тригонометрических и логарифмических  уравнений, нахождения площади криволинейной трапеции, а также на уроках физики.

II. Проверка домашней работы

Разберем на доске № 23.5(г).

Решить это уравнение с помощью параболы и прямой.

Решение:

х2 + х – 6 = 0 Преобразуем уравнение:  х2 = 6 – х Введем функции:

у = х2;   квадратичная функция                                         у = 6 – х    линейная, графиком  явл. парабола,                                                   графиком  явл. прямая,

Строем в одной системе координат графики функций (по шаблону)

Получили две точки пересечения.

Решением квадратного уравнения являются абсциссы этих точек х1 = – 3, х2 = 2.

Ответ:  – 3; 2.

III. Фронтальный опрос

IV. Закрепление материала

№ 23.6 (а)

На доске решают учащиеся первым, вторым, третьим  способами.

Класс решает четвертым

– х2 + 6х – 5 = 0

Преобразую квадратное уравнение, выделяя полный квадрат двучлена:

– х2 + 6х – 5 = – (х2 – 6х + 5) = – (х2 – 6х + 32 – 9 + 5) = – ((х – 3)2 – 4) = – (х – 3)2 + 4

Получили квадратное уравнение:

– (х – 3)2 + 4 = 0

Введем функцию:

у = – (х2 – 3)2 + 4

Квадратичная функция вида у = а (х + L)2 + m

Графиком явл. парабола, ветви направлены вниз, сдвиг основной параболы по оси Ох в право на 3 ед., по оси Оу вверх на 4 ед., вершина (3; 4). 

Строим по шаблону.

Нашли точки пересечения  параболы с осью Ох. Абсциссы этих точек явл. решением данного уравнения.  х = 1, х = 5.

Давайте посмотрим другие графические решение у доски. Прокомментируйте свой способ решения квадратных уравнений.

1 ученик

Решение:

– х2 + 6х – 5 = 0

Введем функцию у = – х + 6х – 5, квадратичная функция, графиком является парабола, ветви направлены вниз, вершина

х0 = – в/2а х0 = – 6/– 2 = 3 у0 = – 32 + 18 = 9;  точка (3; 9) ось симметрии х = 3

Строим по шаблону

Получили точки пересечения с осью Ох, абсциссы этих точек являются решением квадратного уравнения. Два корня х1 = 1, х2 = 5

2 ученик

Решение:

– х2 + 6х – 5 = 0

Преобразуем:  – х2 + 6х = 5

Введем функции: у1 = – х2 + 6х, у2 = 5, линейная функция, квадратичная функция, графиком  графиком явл. прямая у || Ох явл. парабола, ветви направлены   вниз, вершина  х0 = – в/2а х0 = – 6/– 2 = 3 у0 = – 32 + 18 = 9; (3; 9). ось симметрии х = 3 Строим по шаблону Получили точки пересечения параболы и прямой, их абсциссы являются решением квадратного уравнения. Два корня х1 = 1, х2 = 5 Итак, одно и тоже уравнение можно решать различными способами, а ответ получаться должен один и тот же.

V. Физкультминутка

VI. Решение задачи с параметром

№ 23.19

При каких значениях р уравнение х2 + 6х + 8 = р: – Не имеет корней? – Имеет один корень? – Имеет два  корня? Чем отличается это уравнение от предыдущего? Правильно, буквой! Эту букву в дальнейшем мы будем называть параметром, Р. Пока она вам ни о чем не говорит. Но мы будем  в дальнейшем решать различные задачи с параметром. Сегодня решим квадратное уравнение с параметром графическим методом, используя третий способ с помощью параболы и прямой параллельной оси абсцисс. Ученик помогает учителю решать у доски. С чего начнем решать?

Зададим функции:

у1 = х2 + 6х + 8                                        у2 = р линейная функция, квадратичная функция,                          графиком является прямая графиком явл. парабола, ветви направлены вниз, вершина 

х0 = – в/2а, х0 = – 6/2 = – 3 у0 = (– 3)2 + 6(– 3) + 8 = – 1 (– 3; – 1)

Ось симметрии х = 3, таблицу строить не буду, а возьму шаблон у = х2 и приложу к вершине параболы. Парабола построена! Теперь надо провести прямую у = р. – Где надо начертить прямую р, чтобы получить два корня? – Где надо начертить прямую р, чтобы получить один корень? – Где надо начертить прямую р, чтобы не было корней? – Итак, сколько наше уравнение может иметь корней? – Понравилась задача? Спасибо за помощь! Оценка 5.

VII. Самостоятельная работа по вариантам (5 мин.)

I В.                                         II В.

у = х2 – 5х + 6                       у = – х2 + х – 6

Решить квадратное уравнение графическим способом, выбирая для вас удобный способ. Если кто-то справится с заданием раньше, проверьте свое решение другим способом. За это будет выставляться дополнительная оценка.

VIII. Итог урока

– Чему научились вы на сегодняшнем уроке? – Сегодня на уроке мы с вами квадратные уравнения решали графическим методом, используя различные способы решения, и рассмотрели графический способ решения квадратного уравнения с параметром! – Переходим к домашнему заданию.

IХ.  Домашнее задание

1. Домашняя контрольная работа на стр. 147, из задачника Мордковича по вариантам I и II. 2. На кружке, в среду, будем решать V-м способом, (гипербола и прямая).

Х. Литература:

1.  А.Г. Мордкович. Алгебра-8. Часть 1. Учебник для учащихся образовательных учреждений. М.: Мнемозина, 2008 г. 2.  А.Г. Мордкович, Л.А.Александрова, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская. Алгебра – 8. Часть 2. Задачник для учащихся образовательных учреждений. М.: Мнемозина, 2008 г. 3.  А.Г. Мордкович. Алгебра 7-9. Методическое пособие для учителя.М.: Мнемозина, 2004 г. 4.  Л.А. Александрова. Алгебра-8. Самостоятельные работы для учащихся образовательных учреждений./Под ред. А.Г. Мордковича. М.: Мнемозина, 2009 г.

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

22. Квадратичная функция, ее график, квадратное уравнение

§ 22. Квадратичная функция , ее график,квадратное уравнение

Частный случай этой функции дает каноническое уравнение параболы, рис.1.11 (в, г) см. § 1.7.

В общем случае это уравнение параболы с осью, параллельной оси ОY и произвольной вершиной.

Квадратное уравнение имеет два корня: , , где дискриминант уравнения . В этом случае квадратичную функцию можно представить в виде: . При ветви параболы направлены вверх, а при – вниз.

Если , то , т. е. оба корня совпадают – парабола касается оси ОХ.

В этом случае говорят, что является корнем квадратности два. В случае , корнями квадратного уравнения являются два комплексных числа. График квадратичной функции не пересекает ось OX.

Комплексные числа вводятся с помощью символа , этот символ называют мнимой единицей. Комплексное число имеет вид: , где A и B – вещественные числа. Число A называют вещественной частью Z и обозначают: , а число B – мнимой частью числа Z: . Алгебраические действия над комплексными числами производят по обычным правилам алгебры, при этом ; ; . Например,

. Произвольному числу Z Ставится в соответствие сопряженное число , при этом – это вещественное число.

При корни квадратного уравнения имеют вид: , , т. е. являются взаимно сопряженными комплексными числами. Таким образом, квадратное уравнение всегда имеет два корня: два разных вещественных числа, либо одно вещественное число кратности два, либо два комплексно–сопряженных числа.

График функции приведен на рис. 1.2.

< Предыдущая Следующая >
 

matica.org.ua

Квадратичная функция

•Квадратичной функцией называется функция вида y=ax2+bx+c, где a,b,c - числа, причем a≠0. •Графиком квадратичной функции является парабола.

Чтобы построить график функции y=x2 составим таблицу значений

и построим график, используя полученные точки:

Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент a=1, то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции y=x2 при любых значениях остальных коэффициентов. График функции y=-x2 имеет вид:

Итак: •Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы напрaвлены вверх. •Если старший коэффициент a

Второй этап построения графика функции – значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции. На графике нули функции f(x) - это точки пересечения графика функции y=f(x) с осью ОХ.

Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты точек пересечения графика функции y=f(x) с осью ОХ, нужно решить уравнение f(x)=0.

В случае квадратичной функции y=ax2+bx+c нужно решить квадратное уравнение ax2+bx+c=0.

В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: D=b2-4ac, который определяет число корней квадратного уравнения.

И здесь возможны три случая: 1. Если D2+bx+c=0 не имеет решений, и, следовательно, парабола y=ax2+bx+c не имеет точек пересечения с осью ОХ.Если a>0,то график функции выглядит примерно так:

2. Если D=0 ,то уравнение ax2+bx+c=0 имеет одно решение, и, следовательно, парабола y=ax2+bx+c имеет одну точку пересечения с осью ОХ.Если a>0,то график функции выглядит примерно так:

3.Если D>0, то уравнение ax2+bx+c=0 имеет два решения, и, следовательно, парабола y=ax2+bx+c имеет две точки пересечения с осью ОХ: , Если a>0, то график функции выглядит примерно так:

Значит, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.

Следующий важный этап построения графика квадратичной функции – координаты вершины параболы:

Прямая, прохдящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы.

И еще один этап построения графика функции – точка пересечения параболы y=ax2+bx+c с осью OY.

Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y=ax2+bx+c с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: y(0)=c.

То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).

Итак, основные моменты построения графика квадратичной функции показаны на рисунке:

www.tofmal.ru

Графическое решение квадратных уравнений

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Описание слайда:

Графическое решение Квадратных уравнений. Выполнила: Темникова А.Е. Педагог математики

2 слайд Описание слайда:

Немного истории Еще в древнем Вавилоне могли решить некоторые виды квадратных уравнений. Диофант Александрийский, Аль- Хорезми . Евклид Омар Хайям Решали уравнения геометрическими и графическими способами

3 слайд Описание слайда:

Для графического решения квадратного уравнения представьте его в одном из видов: ax2 + bx +c = 0 ax2 = -bx – c ax2 + c = - bx a(x + b/2a)2 = ( 4ac - b2 )/4a Квадратное уравнение имеет вид ax2 + bx + c = 0

4 слайд Описание слайда:

Алгоритм графического решения квадратных уравнений Ввести функцию f(x), равную левой части и g(x) , равную правой части Построить графики функций y=f(x) и y=g(x) на одной координатной плоскости Отметить точки пересечения графиков Найти абсциссы точек пересечения, сформировать ответ

5 слайд Описание слайда:

Способы графического решения квадратного уравнения ах² + bх + с = 0 Способ поcтрое- ния параболы y=ах² +bx+c Способ поcтрое- ния прямой у= bx+c и параболы у = ах² Способ поcтрое- ния прямой у= bx и параболы у = ах²+с Способ выделе-ния полного квадрата I II III (a) (b) Способ поcтрое- ния прямой у= с и параболы у = ах²+ bx (в)

6 слайд Описание слайда:

«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу различными способами, чем решать три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт». У. У. Сойер.

7 слайд Описание слайда:

Графическое решение квадратного уравнения Иллюстрация на одном примере

8 слайд Описание слайда:

Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом Способ 1 Построить график функции y=ax2+bx+c Найти точки пересечения графика с осью абсцисс

9 слайд Описание слайда:

Решить уравнение 1 способ Корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения графика с осью х, т.е. где у=0. Значит, корни уравнения -1 и 3. Проверка устно. Ответ: -1; 3. -1 1 -1 3 х 3 о у

10 слайд Описание слайда:

Алгоритм построения параболы найти координаты вершины; провести ось параболы; отметить на оси абсцисс две точки, симметричные относительно оси параболы; найти значения функции в этих точках; провести параболу через полученные точки.

11 слайд Описание слайда:

Пусть f(x)= x2 – 2x -3 и g(x) =0 а = 1>0, ветви вверх Координаты вершины x۪۪ ο =-b/2a; x۪۪ ο =1 . y ο = 1² - 2 – 3 = -4; y ο = -4; ( 1; -4) Найти точки абсциссы которых симметричны относительно х=1 Построить по таблице график y=x2 -2x -3 Примеры графического решения квадратных уравнений 3 -1 Решение уравнения x2-2x –3=0 Корни уравнения равны абсциссам точек пересечения параболы с осью ОХ у=x2 – 2x -3 x 0 2 -1 3 y -3 -3 0 0

12 слайд Описание слайда:

Графический способ решения квадратных уравнений Квадратное уравнение имеет два равных корня Квадратное уравнение не имеет корней Квадратное уравнение имеет два различных корня

13 слайд Описание слайда:

Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом Способ 2(а) Построить графики функции y=ax2 и у = bx+ с Найти абсциссы точек пересечения графиков.

14 слайд Описание слайда:

x2 – 2x – 3 =0 Представим в виде x2 = 2x +3 Пусть f(x)=x2 и g(x)=2x +3 Построим на одной координатной плоскости графики функций y=x2 и y= 2x + 3 3 -1 Корни уравнения абсциссы точек пересечения параболы с прямой

15 слайд Описание слайда:

2 способ Преобразуем уравнение к виду Построим в одной системе координат графики функций -это парабола -это прямая х у 0 1 3 5 3 -1 3 Корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения: -1 и 3 Корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения: -1 и 3

16 слайд Описание слайда:

4 x2 – 4x + 1 =0 Представим в виде 4x2 = 4x -1 1). Построим графики функций: у = 4 x2 , у = 4x - 1 2). Строим параболу у = 4 x2 а = 4, ветви вверх хο = - ; хο= 0; ; уο= 0. По шаблону строим параболу 3). Строим прямую у = 4x - 1 -1 0 1 3 1 0,5 Корнем уравнения является абсцисса точки пересечения: 0,5 -1 -1 у х x 0 1 y -1 3

17 слайд Описание слайда:

Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом Способ 2 (b) Преобразовать уравнение к виду ax2+с = bx Построить: параболу y = ax2+с и прямую y = bx Найти абсциссы точек пересечения графиков функции.

18 слайд Описание слайда:

x2 – 2x – 3 =0 Представим в виде x2 –3 = 2x Пусть f(x)=x2 –3 и g(x)=2x Построим на одной координатной плоскости графики функций y=x2 –3 и y =2x -1 3 Корни уравнения абсциссы точек пересечения параболы с прямой y=x2 –3 y =2x

19 слайд Описание слайда:

x2 – 4x + 5 =0 Представим в виде x2 +5 = 4x Пусть f(x)=x2 +5 и g(x)=4x Построим на одной координатной плоскости графики функций y=x2 +5 и y =4x Точек пересечения параболы с прямой нет Ответ: корней нет y=x2 +5 y =4x y x о

20 слайд Описание слайда:

Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом Способ 2(в) Построить графики функции y=ax2 + bx и у = с Найти абсциссы точек пересечения графиков.

21 слайд Описание слайда:

x2 – 2x – 3 =0 Представим в виде x2 – 2x = 3 Пусть f(x)= х² - 2х и g(x)=3 Построим на одной координатной плоскости графики функций y= х² - 2х и y=3 -1 3 Корни уравнения абсциссы точек пересечения параболы с прямой y=3 y= х² - 2х y х о 2 -1 3

22 слайд Описание слайда:

Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способом Способ 3 (выделение полного квадрата) Преобразовать уравнение к виду a(x+l)2 = m Построить: параболу y = a(x+l)2 и прямую y = m Найти абсциссы точек пересечения графиков функций.

23 слайд Описание слайда:

Выделение квадрата двучлена. x2 – 2x + 1 = 3 + 1 ( x –1)2=4. x2 – 2x = 3 ( x –1)2 - 4 = 0 ( x –1)2 - 2² = 0 ( x –1 – 2) ( x –1 + 2 ) = 0 ( x –3 ) ( x + 1 ) = 0 x –3 = 0 x + 1 = 0 x = 3 x = - 1

24 слайд Описание слайда:

x2 – 2x – 3 =0 Представим в виде (x –1)2=4 Пусть f(x)= (x – 1)2 и g(x)=4 Построим на одной координатной плоскости графики функций y= (x –1)2 и y=4 -1 3 Корни уравнения абсциссы точек пересечения параболы с прямой y=4 y= (x –1)2

25 слайд Описание слайда:

Решите графически уравнение Группа А Группа С Группа В х² + 2х – 8= 0 4х² - 8х + 3= 0 3х² + 2х – 1= 0

26 слайд Описание слайда:

Сколько нам открытий чудных готовит просвещения дух?

27 слайд Описание слайда:

Решить графически уравнение

28 слайд Описание слайда:

Как решить уравнение? Построить график квадратичной функции и абсциссы точек пересечения параболы с осью x будут являться корнями уравнения. Выполнить преобразование уравнения, рассмотреть функции, построить графики этих функций, установить точки пересечения графиков функций, абсциссы которых и будут являться корнями уравнения.

29 слайд Описание слайда:

Решить графически уравнение

30 слайд Описание слайда:

Построить график функции

31 слайд Описание слайда:

Построить график функции

32 слайд Описание слайда:

Корни уравнения: абсциссы точек пересечения графиков функций

33 слайд Описание слайда:

Построить график функции Корни уравнения: точки пересечения параболы с осью ОХ

34 слайд Описание слайда:

Решить графически уравнение Корни уравнения: точки пересечения параболы и прямой

35 слайд Описание слайда:

Решить графически уравнение Корни уравнения: точки пересечения параболы и прямой

36 слайд Описание слайда:

Итог Познакомились: с графическим методом решения квадратных уравнений; с различными способами графического решения квадратных уравнений. закрепили знания по построению графиков различных функций.

37 слайд Описание слайда:

Заключительное слово учителя: «Чем больше и глубже вам удастся усвоить азы математики и научиться пользоваться ее методами, тем дальше и быстрее вы сумеете продвинуться в использовании математических средств в той области деятельности, которой займетесь после школы»

38 слайд Описание слайда:

Найдите материал к любому уроку,указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

Выберите категорию: Все категорииАлгебраАнглийский языкАстрономияБиологияВсемирная историяВсеобщая историяГеографияГеометрияДиректору, завучуДоп. образованиеДошкольное образованиеДругоеДругойЕстествознаниеИЗО, МХКИзобразительное искусствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИспанский языкИсторияИстория РоссииИстория Средних вековИтальянский языкКлассному руководителюКультурологияЛитератураЛитературное чтениеЛогопедияМатематикаМировая художественная культураМузыкаМХКНачальные классыНемецкий языкОБЖОбществознаниеОкружающий мирОсновы безопасности жизнедеятельностиПриродоведениеРелигиоведениеРисованиеРусский языкСоциальному педагогуТехнологияУкраинский языкФизикаФизическая культураФилософияФинский языкФранцузский языкХимияЧерчениеЧтениеШкольному психологуЭкология

Выберите класс: Все классыДошкольники1 класс2 класс3 класс4 класс5 класс6 класс7 класс8 класс9 класс10 класс11 класс

Выберите учебник: Все учебники

Выберите тему: Все темы

также Вы можете выбрать тип материала:

Общая информация

Номер материала: ДБ-304985

Похожие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

infourok.ru

Графическое решение квадратных уравнений - презентация

Слайды и текст этой презентации

Слайд №1

Графическоерешение

квадратных

уравнений

Алгебра 8 класс

Слайд №2

Немного историиЕще в древнем Вавилоне могли решить некоторые виды квадратных уравнений. Диофант Александрийский, Аль- Хорезми

.

Евклид Омар Хайям

Решали уравнениягеометрическими играфическими способами

Слайд №3

Для графического решения квадратного уравнения представьте его в одном из видов:Для графического решения квадратного уравнения представьте его в одном из видов: ax2 + bx +c = 0

ax2 = -bx – cax2 + c = — bxa(x + b/2a)2 = ( 4ac — b2 )/4a

Квадратное уравнение имеет вид ax2 + bx + c = 0

Слайд №4

Алгоритм графического решения квадратных уравненийВвести функцию f(x), равную левой части и g(x) , равную правой частиПостроить графики функций y=f(x) и y=g(x) на одной координатной плоскостиОтметить точки пересечения графиковНайти абсциссы точек пересечения, сформировать ответ

Слайд №5

Способы графического решения квадратного уравненияах² + bх + с = 0

Способ поcтрое-ния параболы y=ах² +bx+c

Способ поcтрое-ния прямойу= bx+c и параболы у = ах²

Способ поcтрое-ния прямойу= bx и параболы у = ах²+с

Способ выделе-ния полного квадрата

I

II

III

(a)

(b)

Способ поcтрое-ния прямойу= с и параболы у = ах²+ bx

(в)

Слайд №6

«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу различными способами, чем решать три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт». У. У. Сойер.«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу различными способами, чем решать три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт». У. У. Сойер.

Слайд №7

Графическое решение квадратного уравненияИллюстрация на одном примере

Слайд №8

Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способомСпособ 1Построить график функции y=ax2+bx+cНайти точки пересечения графика с осью абсцисс

Слайд №9

Решить уравнение1 способ

Построим график функции у =

График-парабола, а=1>0,ветви вверх.Вершина ( )

=-

Х ο = 1

(1; -4)-вершина

3. Ось параболы

4. Дополнительные точки:

х

у

1

-4

0

-1

2

3

0

-3

-3

0

Корнями уравнения являютсяабсциссы точек пересечения графика с осью х, т.е. где у=0.Значит, корни уравнения -1 и 3. Проверка устно. Ответ: -1; 3.

-1

1

-1

3

х

3

о

у

Слайд №10

Алгоритм построения параболынайти координаты вершины; провести ось параболы;отметить на оси абсцисс две точки, симметричные относительно оси параболы; найти значения функции в этих точках;провести параболу через полученные точки.

Слайд №11

Примеры графического решения квадратных уравненийПусть f(x)= x2 – 2x -3 и g(x) =0 а = 1>0, ветви вверх Координаты вершины x۪۪ ο =-b/2a; x۪۪ ο =1 . y ο = 1² — 2 – 3 = -4; y ο = -4; ( 1; -4) Найти точки абсциссы которых симметричны относительно х=1 Построить по таблице график y=x2 -2x -3

x

0

2

-1

3

y

-3

-3

0

0

3

-1

Решение уравнения x2-2x –3=0

Корни уравнения равны абсциссам точек пересечения параболы с осью ОХ

у=x2 – 2x -3

Слайд №12

Графический способ решения квадратных уравненийПарабола и прямая касаются

Парабола и прямаяпересекаются

Квадратное уравнение имеет два равных корня

Квадратное уравнение не имеет корней

Квадратное уравнение имеет два различных корня

Парабола и прямая непересекаются и не касаются

Слайд №13

Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способомСпособ 2(а)Построить графики функции y=ax2 и у = bx+ сНайти абсциссы точек пересечения графиков.

Слайд №14

x2 – 2x – 3 =0 Представим в виде x2 = 2x +3Пусть f(x)=x2 и g(x)=2x +3 Построим на одной координатной плоскости графики функций y=x2 иy= 2x + 3

3

-1

Корни уравнения абсциссы точек пересечения параболы с прямой

Слайд №15

2 способПреобразуем уравнение

к виду

Построим в одной системе координат графики функций

-это парабола

-это прямая

х

у

0

1

3

5

3

-1

3

Корнями уравнения являютсяабсциссы точек пересечения: -1 и 3

Корнями уравнения являютсяабсциссы точек пересечения: -1 и 3

Слайд №16

4 x2 – 4x + 1 =0 Представим в виде 4×2 = 4x -11). Построим графики функций: у = 4 x2 , у = 4x — 1

2). Строим параболу у = 4 x2а = 4, ветви вверххο = — ; хο= 0; ; уο= 0.

По шаблону строим параболу3). Строим прямую у = 4x — 1

x

0

1

y

-1

3

-1

0

1

3

1

0,5

Корнем уравнения являетсяабсцисса точки пересечения: 0,5

-1

-1

у

х

Слайд №17

Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способомСпособ 2 (b)Преобразовать уравнение к видуax2+с = bxПостроить:параболу y = ax2+с и прямую y = bxНайти абсциссы точек пересеченияграфиков функции.

Слайд №18

x2 – 2x – 3 =0 Представим в виде x2 –3 = 2xПусть f(x)=x2 –3 и g(x)=2x Построим на одной координатной плоскости графики функций y=x2 –3 и y =2x

-1

3

Корни уравнения абсциссы точек пересечения параболы с прямой

y=x2 –3

y =2x

Слайд №19

x2 – 4x + 5 =0 Представим в виде x2 +5 = 4xПусть f(x)=x2 +5 и g(x)=4x Построим на одной координатной плоскости графики функций y=x2 +5 и y =4x

Точек пересечения параболы с прямой нетОтвет: корней нет

y=x2 +5

y =4x

y

x

о

Слайд №20

Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способомСпособ 2(в)Построить графики функцииy=ax2 + bx и у = сНайти абсциссы точек пересечения графиков.

Слайд №21

x2 – 2x – 3 =0 Представим в виде x2 – 2x = 3Пусть f(x)= х² — 2х и g(x)=3 Построим на одной координатной плоскости графики функций y= х² — 2х и y=3

-1

3

Корни уравнения абсциссы точек пересечения параболы с прямой

y=3

y= х² — 2х

y

х

о

2

-1

3

Слайд №22

Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способомСпособ 3(выделение полного квадрата)Преобразовать уравнение к видуa(x+l)2 = mПостроить:параболу y = a(x+l)2 и прямую y = mНайти абсциссы точек пересечения графиков функций.

Слайд №23

Выделение квадрата двучлена.x2 – 2x + 1 = 3 + 1

( x –1)2=4.

x2 – 2x = 3

( x –1)2 — 4 = 0

( x –1)2 — 2² = 0

( x –1 – 2) ( x –1 + 2 ) = 0

( x –3 ) ( x + 1 ) = 0

x –3 = 0

x + 1 = 0

x = 3

x = — 1

Слайд №24

x2 – 2x – 3 =0 Представим в виде (x –1)2=4Пусть f(x)= (x – 1)2 и g(x)=4 Построим на одной координатной плоскости графики функций y= (x –1)2 и y=4

-1

3

Корни уравнения абсциссы точек пересечения параболы с прямой

y=4

y= (x –1)2

Слайд №25

Решите графически уравнениеГруппа А

Бычев АндрейЕрофеева КсенияКаминская СветаЛобов ЕгорЛукьяненко ВероникаОсипов ПавелЦиорба Влад

Группа С

Григорьева КатяСоловьев Илья

Группа В

Баличев ИльяПомигуев ПавелФролов Саша

х² + 2х – 8= 0

4х² — 8х + 3= 0

3х² + 2х – 1= 0

Слайд №26

Сколько нам открытий чудных готовит просвещения дух?

Слайд №27

Решить графически уравнение

Слайд №28

Как решить уравнение?Построить график квадратичной функции и абсциссы точек пересечения параболы с осью x будут являться корнями уравнения.Выполнить преобразование уравнения, рассмотреть функции, построить графики этих функций, установить точки пересечения графиков функций, абсциссы которых и будут являться корнями уравнения.

Слайд №29

Решить графически уравнение

Слайд №30

Построить график функции

Слайд №31

Построить график функции

Слайд №32

Корни уравнения: абсциссы точек пересечения графиков функций

Слайд №33

Построить график функцииКорни уравнения:точки пересеченияпараболы с осью ОХ

Слайд №34

Решить графически уравнениеКорни уравнения:точки пересеченияпараболы и прямой

Слайд №35

Решить графически уравнениеКорни уравнения:точки пересеченияпараболы и прямой

Слайд №36

ИтогПознакомились:с графическим методом решения квадратных уравнений;с различными способами графического решения квадратных уравнений.закрепили знания по построению графиков различных функций.

Слайд №37

Заключительное слово учителя:«Чем больше и глубже вам удастся усвоить азы математики и научиться пользоваться ее методами, тем дальше и быстрее вы сумеете продвинуться в использовании математических средств в той области деятельности, которой займетесь после школы»

Слайд №38

Желаю удачи !

Оцените статью: Поделитесь с друзьями!

volna.org

Квадратное уравнение (строим график функции в MS EXCEL). Примеры и методы

Построим график функции y=a*x^2+b*x+с (квадратное уравнение). Также рассчитаем дискриминант, найдем корни уравнения, координаты точки экстремума (максимума или минимума). Сделаем форму для сдвига и отражения графика с помощью элементов управления формы.

Построим график функции y=a*x^2+b*x+с в диаграмме типа Точечная с гладкими кривыми. (см. файл примера лист График).

Укажем на графике точку экстремума (для этого в диаграмме создан дополнительный ряд, состоящий из 1 точки).

Коэффициенты а, b, с введем в отдельные ячейки, чтобы можно было быстро построить нужный график.

Строить график в диаграмме типа Точечная с гладкими кривыми проще, чем строить его в диаграмме типа График (см. статью График vs Точечная диаграмма в MS EXCEL), т.к. точку пересечения вертикальной осью горизонтальной оси можно настроить только по номеру категории (порядковый номер точки), а не по значению x (получается, что вертикальная ось y не проходит через х=0, что не удобно).

Диаграмма также может построить график, отраженный относительно горизонтальной оси (проходящей через точку экстремума).

Сдвиг графика

В файле примера на листе Сдвиг-Отражение сделана форма для сдвига графика по координатам х и y с помощью Элементов управления формы.

Эта форма позволяет быстро рассчитывать коэффициенты нового квадратного уравнения, полученного при сдвиге.

Форма также позволяет рассчитывать коэффициенты квадратного уравнения, полученного при горизонтальном отражении ранее сдвинутого графика (с его построением на диаграмме).

СОВЕТ: Для начинающих пользователей EXCEL советуем прочитать статью Основы построения диаграмм в MS EXCEL, в которой рассказывается о базовых настройках диаграмм, а также статью об основных типах диаграмм.

excel2.ru