Учебный проект по математике "Магический квадрат" (4 класс). Математика 4 класс магический квадрат
Как решать магические квадраты?
Как решать магические квадраты?
Магическим квадратом принято называть головоломку наподобие судоку. Это квадрат, клетки которого заполнены числами так, чтобы сумма в конце любой строки, столбца и диагонали была одинаковой. В магических квадратах-головоломках некоторые числа пропущены, и требуется их расставить так, чтобы соблюсти описанное выше условие равной суммы. Как же решать магические квадраты?
Способы решения магических квадратов
Для того чтобы решение магических квадратов было верным, необходимо знать ту самую волшебную сумму, которая должна получаться при сложении чисел в строках, столбцах и диагоналях. После этого расставить недостающие числа становится существенно проще. Как же эту сумму найти?
Способ 1
Наипростейший вариант магического квадрата - когда одна из строк, один из столбцов или одна из диагоналей полностью заполнена числами. В таком случае остается только подсчитать сумму этих чисел и подбирать решения.
Способ 2
Сумму чисел на концах строк, столбцов и диагоналей можно высчитать по специальным формулам. При этом формула для квадратов с четным количеством ячеек в одной строк
elhow.ru
Магические квадраты - Документ
МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ
Магический, или волшебный квадрат — это квадратная таблица , заполненная числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова.
Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях, называется магической константой, M.
Наименьшая магическая константа волшебного квадрата 3х3 равна 15, квадрата 4х4 равна 34, квадрата 5х5 равна 65,
Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим.
Построение волшебного квадрата 3 х 3 с наименьшей
магической константой
Найдём наименьшую магическую константу волше́бного квадрата 3х3
и числа, расположенного посередине этого квадрата.
1 способ
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1+9) + (2+8) + (3+7) + (4+6) + 5 = 45
4
5 : 3 = 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9
М = 15.
Число, записанное посередине 15 : 3 = 5
Определили, что посередине, записано число 5.
2 способ
Можно рассчитать магическую константу по формуле,
где n – число строк
n = 3 = = 15
Если можешь построить один магический квадрат, то нетрудно построить их любое количество. Поэтому запомним приёмы построения
магического квадрата 3х3 с константой 15.
1 способ построения. Расставь сначала по углам чётные числа
2,4,8,6 и посередине 5. Остальной процесс простая арифметика
15 – 6 = 9; 15 – 14 = 1 15 – 8 = 7; 15 – 12 = 3
2 способ решения
Используя найденный волшебный квадрат с константой 15, можно задавать множество разноплановых заданий:
Пример. Построить новые различные волшебные квадраты 3 х 3
Решение.
Сложив каждое число волшебного квадрата, или умножив его на одно и тоже число, получим новый волшебный квадрат.
Пример 1. Построить магический квадрат 3 х 3, у которого число, расположенное посередине, равно 13.
Решение.
Построим знакомый волшебный
квадрат с константой 15.
Найдём число, которое находится в
середине искомого квадрата
13 – 5 = 8.
К каждому числу волшебного
квадрата прибавим по 8.
Пример 2. Заполнить клетки волшебных
квадратов, зная магическую константу.
М = 42
Решение. Найдём число,
записанное посередине 42 : 3 = 14
42 – 34 = 8, 42 – 30 =12 42 – 20=22, 42 – 36=6 42–24=18, 42–32= 10
задания для самостоятельного решения
Примеры. 1. Заполнить клетки волшебных квадратов с магической
константой М =15.
1) 2) 3)
2. Найди магическую константу волшебных квадратов.
1) 2) 3)
3. Заполнить клетки волшебных квадратов, зная магическую константу
1) 2) 3)
М = 24 М = 30 М = 27
4. Построить волшебный квадрат 3х3, зная, что магическая константа
равна 21.
Решение. Вспомним, как строится волшебный 3х3 квадрат по наименьшей
константе 15. По крайним полям записываются чётные числа
2, 4, 6, 8, а в середине число 5 (15:3).
По условию надо построить квадрат по магической константе
21. В центре искомого квадрата должно быть число 7 (21:3).
Найдём, насколько больше каждый член искомого квадрата
каждого члена с наименьшей магической константой 7 – 5 = 2.
Строим искомый волшебный квадрат:
21 – (4 + 6) = 11
21 – (6 + 10) = 5
21 – (8 + 10) = 3
21 – (4 + 8) = 9
4. Построить волшебные квадраты 3х3, зная их магические константы
М = 42 М = 36 М = 33
М = 45 М = 40 М = 35
Построение волшебного квадрата 4 х 4 с наименьшей
магической константой
Найдём наименьшую магическую константу волше́бного квадрата 4х4
и числа, расположенного посередине этого квадрата.
1 способ
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 +13 +14 + 15 + 16 =
(1+16)+(2+15)+(3+14)+(4+13)+(5+12)+ (6+11)+ (7+10)+(8+9) = 17 х 8 = 136
136 : 4= 34.
2 способ
Можно рассчитать магическую константу по формуле,
где n – число строк n = 4.
= = 34.
Сумма чисел на любой горизонтали,
вертикали и диагонали равна 34.
Эта сумма также встречается во всех
угловых квадратах 2×2, в центральном
квадрате (10+11+6+7), в квадрате из
угловых клеток (16+13+4+1).
Для построения любых волше́бных квадратов 4х4 надо: построить один
с константой 34.
Пример. Построить новые различные волшебные квадраты 4 х 4.
Решение.
Сложив каждое число найденного
волшебного квадрата 4 х 4 или
умножив его на одно и тоже число,
получим новый волшебный квадрат.
Пример. Построить магический
квадрат 4 х 4, у которого магическая
константа равна 46.
Решение. Построили знакомый волшебный
квадрат с константой 34.
46 – 34 = 12. 12 : 4 = 3
К каждому числу волшебного квадрата
прибавим по 3.
Прежде чем приступить к решению более сложных примеров на волшебных квадратах 4 х 4 ещё раз проверь свойства, которыми он обладает, если М=34.
Примеры. 1. Заполнить клетки волшебного квадрата с магической
константой М =38.
.
н =38-(10+7+13)=8 д =38-(17+4+11)=6 в =38-(17+4+14)=3
е = 38-(12+7+8)=11 п =38-(17+6+10)=5 с =38-(3+12+8)=15
б =38-(11+7+16)=4 г =38-(5+7+12)=14 к =38-(6+11+12)=9
свойство 1,3,1 свойства 2,1,1 т =38-(14+9+13)=2
свойства 1,1,1,1
Ответ.
Задания для самостоятельного решения
Заполнить клетки волшебного квадрата с если известна магическая
константа
К = 46 К = 58 К = 62
Познакомься с волшебными квадратами 5х5 и 6х6
n = 5, n = 6,
М = = =65. М = = = 111.
М = 65 М = 111
refdb.ru
Учебный проект по математике "Магический квадрат" (4 класс)
История появления магических квадратов.
В давние времена, научившись считать и выполнять арифметические действия, люди с удивление обнаружили, что числа имеют самостоятельную жизнь, удивительную и таинственную.
Китайский император Ню, живший 4 тысячи лет назад, однажды гулял по берегу реки. И вдруг увидел черепаху. На её панцире был изображён рисунок из белых и чёрных кружков.
« Да, она священна!», - воскликнул он.
Если заменить каждую фигуру числом, показывающим, сколько в ней кружков, получится такая таблица.
9
2
3
5
7
8
1
6
(Сумма чисел строк равна сумме чисел столбцов, равна сумме чисел диагоналей и равна 15.)
Сейчас любую квадратную таблицу, составленную из чисел и обладающую таким свойством, называют магическим квадратом.
Определение магического квадрата.
Магический квадрат - квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.
Наверное, эту легенду китайцы придумали, когда нашли расположение чисел от 1 до 9 со столь замечательным свойством. Рисунок они назвали «ло-шу» и стали считать его магическим символом. Первое специальное упоминание о таком квадрате найдено около 1 века до н.э. Вплоть до 10 века н.э. магические квадраты были воплощены в амулетах, заклинаниях. Они использовались в качестве талисманов по всей Индии. Их рисовали на кувшинах удачи, медицинских кружках. До сих пор они используются у некоторых восточных народов как талисман.
Полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до сего времени. Магических квадратов 2*2 не существует. Существует единственный магический квадрат 3*3, так как остальные магические квадраты 3*3 получаются из него либо перестановкой строк (рис. 4а) или столбцов (рис. 4б) либо путем поворота исходного квадрата на 900 (рис. 4в) или на 1800 (рис 4г).
27
6
9
5
1
4
3
8
8
1
6
3
5
7
4
9
2
9
4
7
5
3
6
1
8
6
1
8
7
5
3
2
9
4
а б в г
В IX веке интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Получение магических квадратов считалось популярным развлечением среди математиков. Ими создавались огромные квадраты, например, 45*45, содержащий числа от 1 до 2025, Были придуманы способы построения магических квадратов любого размера.
В XIII веке математик Ян Хэй занялся проблемой методов построения магических квадратов. Его исследования были, потом продолжены другими китайскими математиками. Из Китая магические квадраты распространились сначала в Индию, а затем и в другие страны.
Редкостью является использование магического квадрата в изобразительном искусстве, а не в научном или литературном произведении. Впервые это сделал немецкий художник Альбрехт Дюрер (1471 – 1528), выпустивший в гравюру «Меланхолия», на которой есть изображение магического квадрата четвёртого порядка. Причем два числа в середине нижней строки указывают на год создания гравюры – 1514.Этот факт говорит об умении в то время составлять магические квадраты с определённым заданным расположением некоторых чисел. Говорят, что гравюра А.Дюрера послужила толчком для знаменитых пророчеств его современника Мишеля Нострадамуса (1503-1566).
Применение магических квадратов .
Традиционной сферой применения магических квадратов являются талисманы. К примеру, талисман Луны обладает определенными свойствами: предохраняет от кораблекрушения и болезней, делает человека любезным, способствует предотвращению дурного намерения, а так же укрепляет здоровье. Его гравируют на серебре в день и час Луны, когда Солнце или Луна находится в первых десяти градусах Рака. Магический квадрат 9-ого порядка вписывается в девятиугольник (9 - число Луны, см. ниже) и окружается специальными символами.
В наши дни магические квадраты можно встретить на палубах больших пассажирских судов как площадку для игры. Известная головоломка – пазл с числами - судоку, появившаяся примерно 30 лет назад и популярная во многих странах мира, тоже содержит магические квадраты.
За последнее столетие значительно возросло число книг по занимательной математике, в которых содержатся головоломки и задачки, связанные с необычными квадратами. В наше время магические квадраты продолжают привлекать к себе внимание не только специалистов, но и любителей математических игр и развлечений.
|
infourok.ru
Урок математики в 4-м классе "Формирование вычислительных навыков"
Разделы: Начальная школа
Формирование вычислительного навыка требует выполнения большого количества однообразных упражнений. В то же время ученики младших классов в силу недостаточно развитого произвольного внимания не могут долго выполнять вычислительную работу. И здесь мы встречаемся с противоречием: чтобы правильно считать, нужно много считать – много считать нельзя, в связи с возрастными особенностями учащихся.
Опыт использования магических квадратов на уроках и во внеклассной работе показывает, что в первую очередь решение магических квадратов вызывает интерес у учащихся, дети с удовольствием принимаются их выполнять, что делает процесс формирования вычислительных навыков внутренне мотивированными. Кроме того, использование магических квадратов способствует не только формированию вычислительных навыков, но и развитию мышления, умения планировать и контролировать свою деятельность. Использование магических квадратов способствует так же математическому развитию.
Задачи:
- Формировать вычислительные навыки.
- Развивать логическое мышление, умение планировать и контролировать свою деятельность.
- Создание благоприятного психологического климата для возможности раскрытия потенциала каждого ребенка; формировать качества взаимовыручки, ответственности, любознательности; развивать познавательную активность учащихся; воспитывать усидчивость, уверенность в своих возможностях.
Ход урока
1. Организационный момент.
– Ребята! Готовы вы к уроку? (Да!)
– На вас надеюсь я, друзья.
– Мы хороший, дружный класс.
– Все получится у нас!
Я очень хочу, что бы урок получился интересным, познавательным, что бы мы вместе повторили и закрепили то, что мы уже знаем и постарались открыть новые секреты чисел и вычислений.
2. Актуализация знаний.
Мы привыкли пользоваться благами цивилизации – автомобилем, телефоном, телевизором и прочей техникой, делающей нашу жизнь легче и интереснее. Тысячи изобретений потребовались для этого, но самым важным из них были первыми – колесо и число. Без них не было бы всего нашего технического великолепия. У этих двух изобретений есть общая черта – ни колеса, ни числа в природе нет, и то, и другое – плод деятельности человеческого разума. Арабы принесли к нам способ записи чисел, которым мы сейчас пользуемся из Индии. Кто-то придумал знак нуля в Древнем Вавилоне. Кто-то из индейцев Майя – в Америке. Кто-то в Китае.
Числа настолько вошли в жизнь человека, что им стали приписывать всякие магические свойства. Так, многие не любят числа 13, число 666 называют звериным числом, приносящим несчастье.
В Древнем Китае четные числа называют женственными, а нечетные мужественные. Это какие?
Игра “Ай, да я!”. Дети цепочкой называют числа, хлопают в ладоши, если число четное, то вместо числа говорят: “Ай, да я!”.
При археологических раскопках в Китае и Индии были найдены квадратные амулеты. Квадрат разделен на девять квадратиков, в каждом из которых написано по одному числу от 1 до 9. Замечательно, что суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и по каждой из двух диагоналей были равны одному и тому же числу 15. Эту задачу решали тысячи лет назад китайские математики.
В средние века магические квадраты были очень популярны, они приносили счастье.
3. Постановка проблемы.
А вы хотите научиться решать магические квадраты? Эта задача – одна из самых древних задач в математике.
Какой квадрат можно назвать магическим?
Магический квадрат – это квадрат разделенный на клетки (количество клеток по вертикали и горизонтали одинаково), где в каждую клетку вписан последовательный ряд чисел. Числа записаны так, что их сумма по любым направлениям (диагоналям, горизонталям, вертикалям) постоянна. Каждое число магического квадрата участвует в нескольких разных суммах, и все эти суммы равны между собой! Этот любопытный, с точки зрения математики, факт вызывает большой интерес. Магия чисел завораживает.
Рис. 1
4. Физминутка для глаз:
- Быстро поморгать, закрыть глаза и посидеть спокойно, медленно считая до 5. Повторять 4–5 раз.
- Крепко зажмурить глаза (считать до 3), открыть глаза, посмотреть вдаль (считать до 5). Повторять 4–5 раз.
- Вытянуть правую руку вперед. Следить глазами, не поворачивая головы, замедленными движениями указательного пальца вытянутой руки влево и вправо, вверх и вниз. Повторять 4–5 раз.
- Посмотреть на указательный палец вытянутой руки на счет 1–4, потом перенести взгляд на счет 1–6, повторять 4–5 раз.
- В среднем темпе проделать 3–4 круговых движения глазами в правую сторону, столько же в левую сторону. Расслабив глазные мышцы, посмотреть вдаль на счет 1–6. повторять 1–2 раза.
- “Метелки”. Выполнить частое моргание без напряжения глаз до 10– 15 раз. Упражнение можно сопровождать проговариванием текста: Вы метелки, усталость сметите,
- Глазки нам хорошо освежите.
Упражнение повторять 4–5 раз.
Хотите узнать историю создания магических квадратов и способы их решения?
Пусть квадрат разделен на девять клеток (малых квадратов). Требуется разложить в них числа от 1 до 9 так, что бы сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце, в каждой диагонали составляла 15.
Удобно запомнить следующее решение (рис. 2).
- 1. Сначала напишем во всех 9 клетках по 5. Понятно, что в этом случае сумма трех чисел в каждой строке составляет 15.
- Оставим в трех клетках по 5 (в средней клетке стоит 5).
- В двух рядом стоящих клетках добавим к пятеркам 1 и 2.
Дальше не трудно закончить составление таблицы. Проверь: получается ли по всем направлениям постоянная сумма 15?
Другой способ составления такого квадрата – использование симметрии (рис. 3).
- Начерти квадрат из 5 х 5 = 25 клеток.
- Внутри этого квадрата лесенкой напиши подряд числа от 1 до 9 (рис. 3).
Рис. 2
- “Перебрось” цифры 1 и 9 через цифру 5 и напиши их рядом с цифрой 5. То же самое проделай с цифрами 3 и 7.
Остальные клетки заполнить не трудно.
5. Расслабляющая гимнастика (на фоне релаксирующей музыки):
Пусть дети присядут на край стула как им хочется, в свободной позе. Не громко не торопливо произнесите:
Все умеют танцевать, бегать, прыгать, рисовать, Но не все пока умеют расслабляться. Отдыхать. Есть у нас игра такая – очень легкая, простая: Замедляются движенья. Исчезает напряжение, И становится понятно: расслабление приятно.
6. “Открытие” детьми нового знания.
А вы сами хотите создать магические квадраты?
В учебниках математики часто встречаются магические квадраты из девяти клеток (3 столбца и 3 строки). Их легко составить по простому правилу: запиши такой ряд из 9 чисел, в котором каждое следующее число на одно и то же число больше предыдущего.
Например: 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30.
Возьми вторую тройку из этих чисел и запиши их по диагонали квадрата. Рядом с самым большим числом из этой тройки запиши самое маленькое число из ряда. Продолжи составление этого квадрата.
Рис. 3
7. Первичное закрепление.
Проверь, что новые магические квадраты можно получить из данного, увеличивая или уменьшая каждое из записанных в нем чисел на одно и то же число (например, на 6) или в одно и то же число раз (например, в 2 раза).
Работа в парах.
Используя данный способ составьте свои магические квадраты и решите их.
Сумма чисел каждого ряда, столбца и каждой диагонали квадрата одинакова.
Рис. 4
Произведение каждого ряда, столбца и диагонали квадрата одинаково.
Рис. 5
Оцените свою работу в группе пословицей, поговоркой или изречением. Обведите пословицу или поговорку:
- Терпение дает умение.
- Это успех.
- Не будь тороплив, а будь терпелив.
- Нерадивый дважды дело делает.
- Перо пишет, а ум водит.
- Захотел – сделал.
8. Физкультминутка.
Летел по небу шарик, По небу шар летел. Но знаем, что до неба Наш шар не долетел.
При очередном прочтении закрывается по одному слову, заменяя его жестом (2 раза).
9. Самостоятельная работа с самопроверкой в классе.
Групповая работа (5 групп).
Задание для первой группы (средний уровень):
Докажите, что данный квадрат не является магическим:
Рис. 6
Достаточно указать, что значение сумм чисел по диагоналям не равны: 12 + 15 + 18 ≠ 9 + 15 + 24.
Оцените свою работу в группе пословицей.
Задание для второй группы (высокий уровень):
В магическом квадрате суммы чисел по любым вертикалям, по любым горизонталям раны одному и тому же числу. Найдите это число. Укажите рациональный способ вычислений.
Рис. 7
(Достаточно указать, найти значение одной, причем любой, из указанных в определении сумм. Более того ученик осознает необходимость в проведении рационального вычисления, т.к. простота вычислений в каждом случае будет разная. Например, найти сумму чисел 8 + 18 + 16).
Оцените свою работу в группе пословицей.
Задание для третьей группы (высокий уровень):
Дан магический квадрат. Какое число должно стоять в пустой клеточке?
Рис. 8
(Можно рассуждать так: 1) найду постоянную сумму квадрата, для этого найду сумму левого столбика: 18 + 10 + 2 = 30; 2) найду сумму известных чисел в том столбике, где находится пустая клетка: 4 + 12 = 16; 3) найду число, которое должно стоять в пустой клетке: 30 – 16 = 14; 4) проверю, будет ли квадрат магическим, для этого найду сумму чисел в средней строке и сравню ее с постоянной с постоянной суммой квадрата: 14 + 6 + 10 = 30, 30 = 30, данный квадрат магический).
Оцените свою работу в группе пословицей.
Задание для четвертой группы (высокий уровень):
Дан магический квадрат. Докажите, что в клеточке со звездочкой (*) не может стоять число 32.
Рис. 9
(Первый способ: можно с помощью вычислений установить, что в данной клеточке должно стоять число 14, поэтому не может стоять 32. Второй способ: найдем постоянную сумму: 8 + 6 + 16 = 30. Так как сумма должна быть не меньше каждого слагаемого, то все числа в клетках должны быть не больше 30. Но 32 > 30, значит 32 не может стоять вместо *).
Оцените свою работу в группе пословицей
Задание для пятой группы (низкий уровень):
В магическом квадрате суммы чисел по любым вертикалям, по любым горизонталям, по любым диагоналям равны одному и тому же числу. Проверьте будет ли данный квадрат магическим:
Рис. 10
(Ученик должен сам составить в соответствии с условием все необходимые суммы, найти их значение и сделать вывод. Три суммы дают столбики, три суммы дают строчки, две суммы дают диагонали).
Оцените свою работу в группе пословицей.
10. Итог урока.
– Что нового узнали на уроке?
– Что было особенно интересным?
– Что вызвало затруднения, над чем еще нужно поработать?
– Оцените свою работу на уроке.
Спасибо за урок. Молодцы!
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
Магический квадратАльбрехт Дюрер на своей знаменитой гравюре «Меланхолия» изобразил женскую фигуру Геометрии, окруженную разными приборами для измерения и взвешивания.Над головой женщины помещен числовой квадрат. В 16 клетках размещены числа от 1 до 16, средние 2 числа последней строки указывают год 1514, к которому гравюра относится. Расположены числа так, что если сложить все числа любого горизонтального или вертикального ряда или обеих диагоналей,то получится всегда одна и та же сумма 34. Квадрат Дюрера можно разбить на 4 квадрата по четыре клетки, и в каждом из этих маленьких квадратов сумма чисел также равна 34. Кроме этого, квадрат из внутренних 4 клеток также дает в сумме 34. Такие числовые квадраты, которые дают постоянную сумму для всех горизонтальных, вертикальных и диагональных рядов, называются магическими квадратами. В Риме сохранился высеченный в мраморе квадрат с такими же свойствами, составленный из 9х9 клеток и вмещающий все числа от 1 до 81.
«Двадцать»Начертите квадрат со стороной, равной 8 см, и разделите его на шестнадцать одинаковых клеток. Нарежьте из картона шестнадцать квадратиков размером 2х2 см. Напишите на квадратиках числа: 2, 4, 6, 8, каждое по четыре раза. В клетках квадрата расположите так, чтобы написанные на них числа давали в сумме 20 по всем горизонтальным и вертикальным рядам, а так же по его диагонали.
Ответ
|
www.igraza.ru
Как решить магический квадрат для 4 класса
Как решить магический квадрат для 4 класса
Как решать магические квадраты? 17 ноября 2014 23842Смотрите видео Как решать магические квадраты? Магическим квадратом принято называть головоломку наподобие судоку. Это квадрат, клетки которого заполнены числами так, чтобы сумма в конце любой строки, столбца и диагонали была одинаковой. В магических квадратах-головоломках некоторые числа пропущены, и требуется их расставить так, чтобы соблюсти описанное выше условие равной суммы. Как же решать магические квадраты?Способы решения магических квадратовДля того чтобы решение магических квадратов было верным, необходимо знать ту самую волшебную сумму, которая должна получаться при сложении чисел в строках, столбцах и диагоналях. После этого расставить недостающие числа становится существенно проще. Как же эту сумму найти?Способ 1Наипростейший вариант магического квадрата - когда одна из строк, один из столбцов или одна из диагоналей полностью заполнена числами. В таком случае остается только подсчитать сумму этих чисел и подбирать решения. Способ 2Сумму чисел на концах строк, столбцов и диагоналей можно высчитать по специальным формулам. При этом формула для квадратов с четным количеством ячеек в одной строке будет отличаться от квадратов с нечетным количеством ячеек. Итак, для четных квадратов подходит формула:n + ( (n+1) * n * (n-1) / 2), где n - количество ячеек в одной строке. Для нечетных квадратов подходит формула:n * ( n2 +1) / 2, где n - также количество ячеек в одной строке. Пример решенияРассмотрим решения магического квадрата из девяти ячеек с числами от 1 до 9. Сначала подсчитаем сумму, которая должна получаться на концах. В одной строке у нас 3 ячейки, то есть n = 3. Подставляем значение в формулу:3 * ( 32 +1 ) / 2 = 3 * 10 / 2 = 15Теперь подбираем числа так, чтобы сумма равнялась 15.Далее алгоритм потребует немного пространственного воображения. Поставьте число 1 в середину верхней строки. Каждое следующее число мы ставим справа по диагонали вверх. Пробуем ставить 2. Но там нет ячеек, если мы подставим над нашим квадратом еще один такой же воображаемый, то число 2 окажется в правом нижнем углу этого нового
Похожие задачи:
Является ли рациональным или иррациональным числом сумма а + b, где а - 1,323223222... (группы цифр, состоящие из одной, двух, трёх двоек и т. д., разделяются тройками) и b = 2,313113111... (группы цифр, состоящие из одной, двух, трёх единиц и т. д., разделяются тройками)?смотреть решение >>erricon.ru
Магический квадрат
Разделы: Математика
Цели работы:
Распознать сущность магических квадратов, их влияние на развитие познавательных интересов человека.
Задачи:
- Раскрыть исторические сведения о магических квадратах.
- Показать их связь с жизнью.
- Выяснить алгоритм построения магического квадрата.
- Познакомиться с другими магическими квадратами.
Древние люди куда больше зависели от природы, чем мы. Не имея метеорологических станций и спутников, центров для обработки наблюдений и прогнозирования, они предсказывали погоду по поведению птиц и животных, форме облаков, цвету восхода и заката Солнца. Найденные приметы передавались из поколения в поколение. Ими не пренебрегает и современная служба погоды.
Подобные приметы существовали не только для определения погоды, люди пытались найти связи для всех важных для них явлений с другими явлениями. Так родилась астрология, связывающая судьбы людей и народов с расположением небесных светил. А с появлением чисел им стали придавать и мистический смысл. До сих пор многие считают число 13 несчастливым, а уж если тринадцатое число месяца — пятница, то тут жди беды.
От беды нужно иметь защиту. Так появились разнообразные амулеты, предохраняющие человека от несчастий: драгоценные камни, когти и зубы животных, листья и травы. А в Китае и Индии с давних пор одним из видов амулета была бумажка с девятью цифрами, записанными в некотором порядке (рис.1). Цифры там были, конечно, не те, которыми мы пользуемся сейчас.
Рис. 1
Главное свойство такого расположения цифр в том, что их сумма в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду и по каждой из двух диагоналей одна и та же.
По древней китайской легенде, император Ню, живший 4000 лет назад, однажды нашел на берегу реки священную черепаху, на панцире которой был изображен рисунок, состоящий из черных и белых кружков, соединенных черточками (рис.2). Этот рисунок назвали “ло-шу”.
Рис. 2
Подсчитав количество кружков в каждой из фигур, мы получим наш прежний магический квадрат. А существуют ли другие магические квадраты? Давайте подумаем.
Сначала выясним, чему может равняться сумма чисел в строке. Так как 1 + 2+3+4 + 5+6 + 7 + 8+9 = 45, то в каждой строке (столбце, диагонали) стоит треть от этого числа, т.е. 15.
Теперь определим число, стоящее в центре. Обозначим его через х и сложим все числа, стоящие на вертикали, горизонтали и диагоналях, проходящих через центр. При этом каждое число войдет в сумму по одному разу, а центральное — четыре раза, поэтому 4*15=(45 - х)+4х. Отсюда находим, что х = 5.
Из соображений четности следует, что в углах квадрата должны стоять четные числа, а в серединах сторон - нечетные.
Теперь уже нетрудно убедиться, что все магические квадраты получаются из квадрата “ло-шу” с помощью поворотов вокруг центра и симметрии относительно средних линий и диагоналей. Всего же их 8.
По образу квадрата “ло-шу” в дальнейшем стали придумывать магические квадраты большего размера. На картине знаменитого немецкого художника Альбрехта Дюрера “Меланхолия” мы видим магический квадрат размерами 4X4 (рис.3). Любопытно, что два числа в середине его нижней строки указывают год создания картины (1514 г.).
Рис. 3
16 |
2 |
3 |
13 |
5 |
11 |
10 |
8 |
9 |
7 |
6 |
12 |
4 |
14 |
15 |
1 |
Магическим квадратом стали называть квадрат nхn, в клетках которого записаны числа от 1 до п2 так, что в каждой строке, каждом столбце и по каждой из двух его диагоналей сумма чисел одна и та же. Найти эту сумму не составляет труда, так как 1+2+…+n2=n2(n2+1)/2. Поэтому сумма в каждой строке (столбце, диагонали) равна n(n2+1)/2.
Долгое время составление магических квадратов было весьма популярным занятием математиков и любителей математики. Выдающийся американский общественный деятель, дипломат и ученый Бенджамин Франклин в молодости забавлялся составлением причудливых магических квадратов, скрашивая скучные часы на службе в Законодательном Собрании штата Пенсильвания. Его квадрат 8X8, изображенный на рисунке 4, обладает многими дополнительными свойствами.
52 |
61 |
4 |
13 |
20 |
29 |
36 |
45 |
14 |
3 |
62 |
51 |
46 |
35 |
30 |
19 |
63 |
60 |
5 |
12 |
21 |
28 |
37 |
44 |
11 |
6 |
59 |
54 |
43 |
38 |
27 |
22 |
55 |
58 |
7 |
10 |
23 |
26 |
39 |
42 |
9 |
8 |
57 |
56 |
41 |
40 |
25 |
24 |
50 |
63 |
2 |
15 |
18 |
31 |
34 |
47 |
16 |
1 |
64 |
49 |
48 |
33 |
32 |
17 |
Рис. 4
Сумма чисел в каждой строке здесь равна 8(64+1)/2=260. При этом сумма чисел в каждой половине строки и в каждой половине столбца равна 130. Четыре числа в углах вместе с четырьмя числами в центре вновь дают 260. И еще много подобных соотношений можно отыскать в этом квадрате.
Известны и небольшие квадраты с дополнительными свойствами. Так, квадрат 4X4, изображенный на рисунке 5, имеет сумму 34 не только по строкам, столбцам и диагоналям, но и по “разломанным диагоналям” (рис.6), а также в каждом квадрате 2X2. Если такими квадратами замостить плоскость, то каждый квадрат 4X4 в этой плоскости будет магическим.
1 |
12 |
6 |
15 |
8 |
13 |
3 |
10 |
11 |
2 |
16 |
5 |
14 |
7 |
9 |
4 |
Рис. 5
Создавались магические квадраты больших размеров. Известный немецкий математик М. Штифель в книге “Arithmetica integra”, вышедшей в 1544 году, приводит магический квадрат размерами 16X16. Известны магические квадраты размерами 43 X 43. Изготовление большого магического квадрата не составляет труда, поскольку имеются алгоритмы, позволяющие строить магические квадраты любых размеров.
Следует, правда, отметить, что магического квадрата 2X2 не существует.
Рис.6
При всем том, многое о магических квадратах неизвестно. Неизвестно, как зависит количество магических квадратов nхn от значения размера n. Известно лишь, что квадратов 4X4 существует 880, а квадратов 5X5 — около четверти миллиона. Прямой перебор всех возможностей даже для квадратов 5 X 5 на современных ЭВМ займет около 1000 лет!
Современных математиков магические квадраты интересуют из-за их связи с так называемыми “конечными геометриями”, в которых используется конечное число точек, а поэтому “прямые” и “плоскости” в таких геометриях также состоят из конечного числа точек.
Использованная литература:
- Физико-математический журнал для школьников и студентов “Квант” №4 1995 г.
- М.М. Постников “Магические квадраты”.
Презентация
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
