Задания по теме «Область допустимых значений (ОДЗ)». Нахождение одз

Область допустимых значений (ОДЗ): теория, примеры, решения

Любое выражение с переменной имеет свою область допустимых значений, где оно существует. ОДЗ необходимо всегда учитывать при решении. При его отсутствии можно получить неверный результат.

В данной статье будет показано, как правильно находить ОДЗ, использовать на примерах. Также будет рассмотрена важность указания ОДЗ при решении.

Допустимые и недопустимые значения переменных

Данное определение связано с допустимыми значениями переменной. При введении определения посмотрим, к какому результату приведет.

Начиная с 7 класса, мы начинаем работать с числами и числовыми выражениями. Начальные определения с переменными переходят к значению выражений с выбранными переменными.

Когда имеются выражения с выбранными переменными, то некоторые из них могут не удовлетворять. Например, выражение вида 1:а, если а=0, тогда оно не имеет смысла, так как делить на ноль нельзя. То есть выражение должно иметь такие значения, которые подойдут в любом случае и дадут ответ. Иначе говоря, имеют смысл с имеющимися переменными.

Определение 1

Если имеется выражение с переменными, то оно имеет смысл только тогда, когда при их подстановке значение может быть вычислено.

Определение 2

Если имеется выражение с переменными, то оно не имеет смысл, когда при их подстановке значение не может быть вычислено.

То есть отсюда следует полное определение

Определение 3

Существующими допустимыми переменными называют такие значения, при которых выражение имеет смысл. А если смысла не имеет, значит они считаются недопустимыми.

Для уточнения вышесказанного: если переменных более одной, тогда может быть и пара подходящих значений.

Пример 1

Для примера рассмотрим выражение вида 1x-y+z, где имеются три переменные. Иначе можно записать, как x=0, y=1, z=2, другая же запись имеет вид (0,1,2). Данные значения называют допустимыми, значит, можно найти значение выражения. Получим, что 10-1

www.zaochnik.com

Область допустимых значений (ОДЗ). Задания ЕГЭ по математике (профильный уровень)

а) 1. Согласно формуле приведения, ctg\left( \frac{3\pi }2-x\right) =tgx. Областью определения уравнения будут такие значения x, что \cos x \neq 0 и tg x \neq -1. Преобразуем уравнение, пользуясь формулой косинуса двойного угла 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x. Получим уравнение: 5(1+\cos x) =\frac{11+5tgx}{1+tgx}.

Заметим, что \frac{11+5tgx}{1+tgx}= \frac{5(1+tgx)+6}{1+tgx}= 5+\frac{6}{1+tgx}, поэтому уравнение принимает вид: 5+5 \cos x=5 +\frac{6}{1+tgx}. Отсюда \cos x =\frac{\dfrac65}{1+tgx}, \cos x+\sin x =\frac65.

2. Преобразуем \sin x+\cos x по формуле приведения и формуле суммы косинусов: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\right), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\right)= \sqrt 2\cos \left( x-\frac\pi 4\right) = \frac65.

Отсюда \cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac{3\sqrt 2}5. Значит, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac{3\sqrt 2}5+2\pi k, k \in \mathbb Z,

или x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac{3\sqrt 2}5+2\pi t, t \in \mathbb Z.

Поэтому x=\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5+2\pi k,k \in \mathbb Z,

или x =\frac\pi 4-arc\cos \frac{3\sqrt 2}5+2\pi t,t \in \mathbb Z.

Найденные значения x принадлежат области определения.

б) Выясним сначала куда попадают корни уравнения при k=0 и t=0. Это будут соответственно числа a=\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5 и b=\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5.

1. Докажем вспомогательное неравенство:

\frac{\sqrt 2}{2}<\frac{3\sqrt 2}2<1.

Действительно, \frac{\sqrt 2}{2}=\frac{5\sqrt 2}{10}<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.

Заметим также, что \left( \frac{3\sqrt 2}5\right) ^2=\frac{18}{25}<1^2=1, значит \frac{3\sqrt 2}5<1.

2. Из неравенств (1) по свойству арккосинуса получаем:

arccos 1<arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<arc\cos \frac{\sqrt 2}2,

0<arccos\frac{3\sqrt2}{5}<\frac{\pi}{4}.

Отсюда \frac\pi 4+0<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,

0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,

0<a<\frac\pi 2.

Аналогично, -\frac\pi 4<arccos\frac{3\sqrt2}{5}<0,

0=\frac\pi 4-\frac\pi 4<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5< \frac\pi 4<\frac\pi 2,

0<b<\frac\pi 2.

При k=-1 и t=-1 получаем корни уравнения a-2\pi и b-2\pi.

\Bigg( a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac{3\sqrt 2}5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac{3\sqrt 2}5\Bigg). При этом -2\pi <a-2\pi <-\frac{3\pi }2,

-2\pi <b-2\pi <-\frac{3\pi }2. Значит, эти корни принадлежат заданному промежутку \left( -2\pi , -\frac{3\pi }2\right).

При остальных значениях k и t корни уравнения не принадлежат заданному промежутку.

Действительно, если k\geqslant 1 и t\geqslant 1, то корни больше 2\pi. Если k\leqslant -2 и t\leqslant -2, то корни меньше -\frac{7\pi }2.

academyege.ru

Как найти область допустимых значений

Область допустимых значений функции нельзя путать с областью значений функции. Если первое – это все х, при которых уравнение или неравенство может быть решено, то второе – все значения функции, то есть у. Об области допустимых значений нужно помнить всегда, поскольку нередко найденные значения х коварно оказываются вне этой совокупности и поэтому не могут быть решением уравнения.

Вам понадобится

- уравнение или неравенство с переменной.

Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как найти область допустимых значений" Как определить область значения функции Как найти область определения и область значения функции Как определить область значений

Инструкция

Изначально в качестве области допустимых значений возьмите бесконечность. То есть представьте, что уравнение можно решить при всех х. После этого, используя несколько несложных запретов математики (нельзя делить на ноль, выражения под корнем четной степени и логарифма должно быть больше нуля), исключайте из ОДЗ недопустимые значения переменной.

Если переменная х заключена в выражении под корень четной степени, поставьте условие: выражение под корнем должны быть меньше нуля. Затем решите это неравенство, найденный интервал исключите из области допустимых значений. Обратите внимание, не надо решать все уравнение – при поиске ОДЗ вы решаете лишь его небольшой кусочек.

Обратите внимание на знак деления. Если в выражении есть знаменатель, содержащий переменную, приравняйте его к нулю и решите полученное уравнение. Исключите полученные значения переменной из области допустимых значений.

Если в выражении есть знак логарифма с переменной в основании, обязательно поставьте следующее ограничение: основание всегда должно быть больше нуля и не равно единице. Если же переменная стоит под знаком логарифма, укажите, что все выражение в скобках должно быть больше единицы. Решите полученные небольшие уравнения и исключите недопустимые значения из ОДЗ.

Если в уравнении или неравенстве несколько корней четной степени, операций деления или логарифмов, найдите недопустимые значений отдельно для каждого выражения. Затем объедините решение, вычитая все полученные результаты из области допустимых значений.

Даже если вы нашли ОДЗ и полученные при решении уравнения корни удовлетворяют ему, это не всегда значит, что эти значения х являются решением, поэтому всегда проверяйте правильность решения подстановкой. Например, попробуйте решить следующее уравнение: v (2х-1)=-х. В область допустимых значений здесь войдут все числа, удовлетворяющие 2х-1?0, то есть х?1/2. Для решения уравнения возведите обе части в квадрат, после упрощений у вас получится один корень х=1. Обратите внимание, этот корень входит в ОДЗ, но при подстановке вы убедитесь, что он не является решением уравнения. Окончательный ответ – корней нет. Как просто

masterotvetov.com

ОДЗ логарифма | Логарифмы

ОДЗ логарифма следует непосредственно из определения логарифма.

По определению, логарифм — это показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить число знаком логарифма:

Основание степени должно быть положительным числом, отличным от единицы.

При возведении в любую степень такого числа всегда получается положительное число.

Таким образом, область допустимых значений логарифма (ОДЗ логарифма)

состоит из трёх условий:

1) Под знаком логарифма должно стоять положительное число:

2-3) В основании логарифма должно стоять положительное число, отличное от единицы:

Все три условия должны быть выполнены одновременно.

Таким образом, чтобы найти ОДЗ логарифма

надо решить систему из трёх неравенств:

Если в основании логарифма стоит число:

ОДЗ логарифма содержит всего одно условие:

Если под знаком логарифма стоит число, а в основании — выражение с переменной:

то в область допустимых значений нужно записать два условия:

Примеры нахождения ОДЗ логарифма рассмотрим отдельно.

www.logarifmy.ru

ОДЗ уравнения - конечное число значений

Если ОДЗ уравнения состоит из конечного числа значений, достаточно подставить каждое значение в уравнение, чтобы проверить, является ли это значение корнем.

Примеры применения конечной ОДЗ к решению уравнений.

Под знаком корня чётной степени должно стоять неотрицательное число, поэтому

Первое неравенство — квадратичное, решаем его методом интервалов. Второе — линейное.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств:

ОДЗ состоит из единственного значения: {3}.

Остаётся выполнить проверку, является ли 3 корнем уравнения:

Получили верное равенство, следовательно, x=3 — корень данного уравнения.

Ответ: 3.

Под знаком квадратного корня должно стоять неотрицательное число. Отсюда ОДЗ

Первые два неравенства — квадратичные. Решаем их методом интервалов. Третье — линейное. Отмечаем решение каждого неравенства на числовой прямой и находим пересечение решений:

ОДЗ состоит из двух значений: {2; 3}.

Выполним проверку.

При x=2

При x=3

Таким образом, данное уравнение имеет единственный корень x=3.

Ответ:3.

Область допустимых значений арксинуса — закрытый промежуток от -1 до 1. В основании степени с нецелым положительным показателем должно стоять неотрицательное число. ОДЗ:

Таким образом, область допустимых значений уравнения состоит из одного значения:{1}. Остаётся проверить, является ли x=1 корнем данного уравнения.

Ответ: 1.Если ОДЗ уравнения состоит из одного или нескольких чисел, этот способ может помочь легко и быстро справиться с заданием.

Как и другие способы решения уравнений, основанные на свойствах функций, применение конечного числа значений часто ОДЗ позволяет решить достаточно сложные нестандартные задания. И хотя в школьном курсе алгебры он проявляется не часто, полезно его помнить и уметь применять.