Как найти область определения математических функций? Область определения функции с корнями


Область определения функции

Сегодня потренируемся в отыскании области определения выражения и функции.

Когда отыскивают область определения функции, то часто она совпадает с областью определения выражения, задающего функцию: такая область определения называется естественной. Но бывает и так, что условия задачи накладывают особые ограничения: например, естественная область определения функции от (-8) до 8, но аргумент этой функции – время (или вес). Понятно тогда, что время (как и вес) не может быть отрицательной величиной и тогда естественная область определения  такой функции сужается до промежутка (0; 8).При отыскании области определения функции надо помнить о следующих ограничениях:1. При извлечении корня четной степени подкоренное выражение обязано быть неотрицательным (что не запрещает ему быть равным нулю). 2. Знаменатель дроби не может быть равным нулю. 3. Выражение, стоящее под знаком логарифма, не может быть отрицательным или равняться нулю. 4. Выражение, стоящее под знаком арксинуса или арккосинуса, не может превышать 1 по модулюТакже надо помнить, что область определения всегда нужно искать для исходной функции, до каких-либо преобразований.Например, функции  и  имеют разные области определения: для первой это – вся числовая ось, а вторая не определена в точке 0. То же относится к функциям  и  –  у первой область определения – также вся числовая ось, а у второй – [)

1. Найдите область определения выражения:Перепишем выражение:Так как выражение стоит под корнем четной степени, значение его не должно быть отрицательным:Дробь положительна, если числитель и знаменатель ее одновременно положительны или отрицательны. У нас в числителе положительное число, поэтому знаменатель неотрицателен. Кроме того, знаменатель не может быть равен нулю, поэтому неравенство становится таким:Получили квадратное неравенство. Находим корни квадратного уравнения, чтобы выяснить точки перемены знака:Наносим полученные точки на координатную прямую и расставляем знаки. Так как  (старший член) – со знаком «плюс», то ветви параболы направлены вверх, на самом правом отрезке ставим знак «плюс», а далее знаки меняются. Точки выкалываем, поскольку неравенство строгое:

Ответ: – круглые скобки показывают, что концы интервалов не входят в ответ.2. Найдите область определения выражения:Так как выражение стоит под корнем четной степени, значение его не должно быть отрицательным:Получили квадратное неравенство. Находим корни квадратного уравнения, чтобы выяснить точки перемены знака:

Наносим полученные точки на координатную прямую и расставляем знаки. Так как  (старший член) в исходном неравенстве – со знаком «минус», то ветви параболы направлены вниз, на самом правом отрезке ставим знак «минус», а далее знаки меняются. Точки закрашиваем, поскольку неравенство нестрогое.Ответ: – квадратные скобки показывают, что концы отрезка  входят в ответ.3. Найдите область определения функции:Очевидно, что область определения функции будет совпадать с областью определения выражения  – ищем естественную  область определения функции.  Данное выражение имеет смысл только при – задача сводится к решению этого неравенства. Определяем точки перемены знака:Изображаем полученные точки на числовой оси, ставим знаки:

Точки закрашены, концы интервалов входят в решение. Тогда область определения функции: (] [)4. Найдите область определения функции: Очевидно, что область определения функции будет совпадать с областью определения выражения  – ищем естественную  область определения функции.  Данное выражение имеет смысл только при ; – задача сводится к решению системы неравенств. Определяем точки перемены знака:Изображаем полученные точки на числовой оси:

Решение системы неравенств:  Область определения функции: [ )5. Найдите область определения функции: Очевидно, что область определения функции будет совпадать с областью определения выражения – ищем естественную  область определения функции.  Данное выражение имеет смысл только при – задача сводится к решению неравенства.Рассмотрим два случая:Решение: ИлиРешение: Область определения функции: [)6. Найти область определения функции:Решение:Ответ:

7. Найти область определения функции: Решение:Ответ: 8. Найти область определения функции:Решение:Ответ:

easy-physic.ru

9 класс. Алгебра. Определение числовой функции. Способы задания функций. - Область определения иррациональных функций.

Комментарии преподавателя

Область определения функции с корнем

Функция с квадратным корнем  определена только при тех значениях «икс», когдаподкоренное выражение неотрицательно: . Если корень расположился в знаменателе , то условие очевидным образом ужесточается: . 

Пример 5

Найти область определения функции 

Решение: подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

Прежде чем продолжить решение, напомню основные правила работы с  неравенствами, известные ещё со школы.

 Итак, для неравенства равносильны следующие преобразования:

1) Слагаемые можно переносить из части в часть со сменой знака.

2) Обе части неравенства можно умножить на положительное число.

3) Если обе части неравенства умножить на отрицательное число, то необходимо сменитьзнак самого неравенства. Например, если было «больше», то станет «меньше»; если было «меньше либо равно», то станет «больше либо равно».

В неравенстве  перенесём «тройку» в правую часть со сменой знака (правило №1):

Умножим обе части неравенства на –1 (правило №3):

Умножим обе части неравенства на  (правило №2):

Ответ: область определения: 

Ответ также можно записать эквивалентной фразой: «функция определена при ». Геометрически область определения изображается штриховкой соответствующих интервалов на оси абсцисс. В данном случае: Ещё раз напоминаю геометрический смысл области определения – график функции  существует только на заштрихованном участке и отсутствует при .

В большинстве случаев годится чисто аналитическое нахождение области определения, но когда функция сложная, следует чертить ось  и делать пометки.

Пример 6

Найти область определения функции 

Это пример для самостоятельного решения.

Когда под квадратным корнем находится квадратный двучлен или трёхчлен, ситуация немного усложняется, и сейчас мы подробно разберём технику решения:

Пример 7

Найти область определения функции 

Решение: подкоренное выражение должно быть строго положительным, то есть нам необходимо решить неравенство . На первом шаге пытаемся разложить квадратный трёхчлен на множители: Дискриминант положителен, ищем корни: Таким образом, парабола  пересекает ось абсцисс в двух точках, а это значит, что часть параболы расположена ниже оси (неравенство ), а часть параболы – выше оси (нужное нам неравенство ).

Поскольку коэффициент , то ветви параболы смотрят вверх. Из вышесказанного следует, что на интервалах  выполнено неравенство  (ветки параболы уходят вверх на бесконечность), а вершина параболы расположена на промежутке  ниже оси абсцисс, что соответствует неравенству :  

Обратите внимание, что сами точки  выколоты (не входят в решение), поскольку неравенство у нас строгое.

Ответ: область определения: 

Вообще, многие неравенства (в том числе рассмотренное) решаются универсальнымметодом интервалов, известным опять же из школьной программы. Но в случаях квадратных дву- и трёхчленов, на мой взгляд, гораздо удобнее и быстрее проанализировать расположение параболы относительно оси . 

Источник конспекта: http://www.mathprofi.ru/oblast_opredeleniya.html

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=6aqZHIHeMeQ

Файлы

Нет дополнительных материалов для этого занятия.

www.kursoteka.ru

Область определения функции

Каждая функция имеет свою собственную область определения. Целью этого материала является объяснение этого понятия и описание способов ее вычисления. Сначала мы введем основное определение, а потом на конкретных примерах покажем, как выглядит область определения основных элементарных функций (степенной, постоянной и др.) Разбирать случаи с более сложными функциями мы пока не будем.

В рамках данной статьи мы рассмотрим область определения функций, включающих в себя только одну переменную.

Понятие и обозначение области определения функции

Самое простое определение этого понятия дается в учебниках тогда, когда впервые вводится понятие функции как таковой. На этом этапе термином «область определения» обозначают множество всех возможных значений аргумента.

По мере углубления знаний о функциях определение сужается и усложняется. Так, в одном из учебников можно встретить следующую формулировку:

Определение 1

Числовая функция с областью определения D – это соответствие значений переменной x некоторому числу y, которое находится в зависимых отношениях с x.

Используя это определение, охарактеризуем нужное нам понятие более четко:

Определение 2

Областью определения функции называется множество значений аргумента, на котором можно задать эту функцию.

Теперь рассмотрим, как правильно обозначать ее на письме. Ранее мы договорились, что для записи самих функций будем использовать маленькие латинские буквы, например, g, f и др. Чтобы указать на наличие функциональной зависимости, используется запись вида y=f(x). Таким образом, функция f представляет собой некоторое правило, согласно которому каждому значению переменной x можно поставить в соответствие значение другой переменной y, которая находится в зависимых отношениях от x.

Пример 1

Возьмем для примера функцию y=x2. Можно записать ее как f(x)=x2.  Это функция возв

www.zaochnik.com

Как найти область определения функции?

Как найти область определения функции? Ученикам средних классов приходится часто сталкиваться с данной задачей.

Родителям следует помочь своим детям разобраться в данном вопросе.

Математические понятия

Задание функции.

Напомним основополагающие термины алгебры. Функцией в математике называют зависимость одной переменной от другой. Можно сказать, что это строгий математический закон, который связывает два числа определенным образом.

В математике при анализе формул числовые переменные подменяют буквенными символами. Наиболее часто используют икс («х») и игрек («у»). Переменную х называют аргументом, а переменную у — зависимой переменной или функцией от х.

Существуют различные способы задания зависимостей переменных.

Перечислим их:

  1. Аналитический тип.
  2. Табличный вид.
  3. Графическое отображение.

Аналитический способ представляют формулой. Рассмотрим примеры: у=2х+3, у=log(х), у=sin(х). Формула у=2х+3 является типичной для линейной функции. Подставляя в заданную формулу числовое значение аргумента, получаем значение y.

Табличный способ представляет собой таблицу, состоящую из двух столбцов. Первая колонка выделяется для значений икса, а в следующей графе записывают данные игрека.

Графический способ считается наиболее наглядным. Графиком называют отображение множества всех точек на плоскости.

Для построения графика применяют декартовую систему координат. Система состоит из двух перпендикулярных прямых. На осях откладывают одинаковые единичные отрезки. Отсчет производят от центральной точки пересечения прямых линий.

Независимую переменную указывают на горизонтальной линии. Ее называют осью абсцисс. Вертикальная прямая (ось ординат) отображает числовое значение зависимой переменной. Точки отмечают на пересечении перпендикуляров к данным осям. Соединяя точки между собой, получаем сплошную линию. Она являться основой графика.

Виды зависимостей переменных

Определение.

В общем виде зависимость представляется как уравнение: y=f(x). Из формулы следует, что для каждого значения числа х существует определенное число у. Величину игрека, которая соответствует числу икс, называют значением функции.

Все возможные значения, которые приобретает независимая переменная, образуют область определения функции. Соответственно, все множество чисел зависимой переменной определяет область значений функции. Областью определения являются все значения аргумента, при котором f(x) имеет смысл.

Начальная задача при исследовании математических законов состоит в нахождении области определения. Следует верно определять этот термин. В противном случае все дальнейшие расчеты будут бесполезны. Ведь объем значений формируется на основе элементов первого множества.

Область определения функции находится в прямой зависимости от ограничений. Ограничения обусловливаются невозможностью выполнения некоторых операций. Также существуют границы применения числовых значений.

При отсутствии ограничений область определения представляет собой все числовое пространство. Знак бесконечности имеет символ горизонтальной восьмерки. Все множество чисел записывается так: (-∞; ∞).

В определенных случаях массив данных состоит из нескольких подмножеств. Рамки числовых промежутков или пробелов зависят от вида закона изменения параметров.

Укажем список факторов, которые влияют на ограничения:

Если таких элементов несколько, то поиск ограничений разбивают для каждого из них. Наибольшую проблему представляет выявление критических точек и промежутков. Решением задачи станет объединение всех числовых подмножеств.

Множество и подмножество чисел

О множествах.

Область определения выражают как D(f), а знак объединения представлен символом ∪. Все числовые промежутки заключают в скобки. Если граница участка не входит во множество, то ставят полукруглую скобку. В ином случае, когда число включается в подмножество, используют скобки квадратной формы.

Обратная пропорциональность выражена формулой у=к/х. График функции представляет собой кривую линию, состоящую из двух веток. Ее принято называть гиперболой.

Так как функция выражена дробью, нахождение области определения сводится к анализу знаменателя. Общеизвестно, что в математике деление на нуль запрещено. Решение задачи сводится к уравниванию знаменателя к нулю и нахождению корней.

Приведем пример:

Задается: у=1/(х+4). Найти область определения.

Решение:

  1. Приравниваем знаменатель к нулю.х+4=0
  2. Находим корень уравнения.х=-4
  3. Определяем множество всех возможных значений аргумента.D(f)=(-∞ ; -4)∪(-4; +∞)

Ответ: областью определения функции являются все действительные числа, кроме -4.

Значение числа под знаком квадратного корня не может быть отрицательным. В этом случае определения функции с корнем сводится к решению неравенства. Подкоренное выражение должно быть больше нуля.

Область определения корня связана с четностью показателя корня. Если показатель делится на 2, то выражение имеет смысл только при его положительном значении. Нечетное число показателя указывает на допустимость любого значения подкоренного выражения: как положительного, так и отрицательного.

Неравенство решают так же, как уравнение. Существует только одно различие. После перемножения обеих частей неравенства на отрицательное число следует поменять знак на противоположный.

Если квадратный корень находится в знаменателе, то следует наложить дополнительное условие. Значение числа не должно равняться нулю. Неравенство переходит в разряд строгих неравенств.

Логарифмические и тригонометрические функции

Пример.

Логарифмическая форма имеет смысл при положительных числах. Таким образом, область определения логарифмической функции аналогична функции квадратного корня, за исключением нуля.

Рассмотрим пример логарифмической зависимости: y=lоg(2x-6). Найти область определения.

Решение:

Ответ: (3; +∞).

Областью определения y=sin x и y=cos x является множество всех действительных чисел. Для тангенса и котангенса существуют ограничения. Они связаны с делением на косинус либо синус угла.

Тангенс угла определяют отношением синуса к косинусу. Укажем величины углов, при которых значение тангенса не существует. Функция у=tg x имеет смысл при всех значениях аргумента, кроме x=π/2+πn, n∈Z.

Областью определения функции y=ctg x является все множество действительных чисел, исключая x=πn, n∈Z. При равенстве аргумента числу π или кратному π синус угла равен нулю. В этих точках (асимптотах) котангенс не может существовать.

Первые задания на выявление области определения начинаются на уроках в 7 классе. При первом ознакомлении с этим разделом алгебры ученик должен четко усвоить тему.

Следует учесть, что данный термин будет сопровождать школьника, а затем и студента на протяжении всего периода обучения.

lediznaet.ru

Область определения функции y(x)

Областью определения называют множество значений аргумента при котором существует значение функции и обозначают или . Областью значений называют множество чисел, которые принимает функция при прохождении аргументом всех значений из области определения. Ее обозначают или . Графически обе области хорошо иллюстрирует следующий рисунок

Для схематической функции рассматриваемые области принимают значения

Методика нахождения области определения для всех функций одна и та же: нужно выявить точки при которых функция не существует, а затем исключить из множества действительных чисел . В результаты получим набор промежутков или интервалов, точки, которые образуют область определения.

Особенности элементарных функций

1) Если функция имеет вид полинома то ее областью определения будет вся действительная ось или . Такая функция определена повсюду.

2) Дробно рациональная функция , где – полиномы, областью определения имеет значения аргумента при которых знаменатель не превращается в ноль. Сначала находим решения уравнения, если те существуют, вырезаем из множества действительных значений. В результате получим набор интервалов

где – корни уравнения .

3) Функция содержит корень парного степени . В таком случае областью определения будут точки , при которых подкоренная функция принимает неотрицательные значения, т.е. решения неравенства .

4) Если корень содержит знаменатель

то область определения определяют из строгого неравенства .

5) Если в знаменателе имеем корень нечетной степени

то область определения находим из условия .

5) Если является логарифмом от другой функции , то по свойству логарифма область определения находим из условия . Как правило, это будет интервал или несколько интервалов.

6) Экспонента областью определения имеет множество аргументов , для которых определена . Например, функция определена на всей действительной оси.

7) Простые тригонометрические функции (косинус и синус) определены на всем множестве действительных чисел .

8) Тангенс и котангенс областями определения имеют интервалы, граничащих между собой точками

для первой функции и

для второй, т.е.

В случаях когда при аргументах есть множители , точки в которых функция не существует следует определять из условия

Подобным образом и для котангенса

9) Следует отметить, что обратные тригонометрические функции - арксинус и арккосинус областями значений имеют отрезок . Для отыскания областей определения необходимо решить двойное неравенство

Например, для функции имеем неравенство с которого получим

При суперпозиции функций, то есть когда задана их комбинацию, нужно находить область определения каждой из функций, после чего - сечение найденных областей.

Пример.

Решение.

Область определения первого слагаемого находим из неравенства

Второй и третий дадут следующий вклад

Сечением найденных областей будет интервал

---------------------------------------

Находите области определения по приведенной выше схеме, выключайте все лишние промежутки и точки и не допускайте ошибок. Помните, что установление областей определения - это одно из самых простых заданий при исследовании функции.

Посмотреть материалы:

yukhym.com

Как найти область определения функции?

Очень часто при выполнении задач возникает проблема, как найти область определения функции? Без этого никак не обойтись при построении графиков и при дальнейшем исследовании значений функции.

Понятие об области определения функции

Область определения функции это множество значений переменной функции Х, при которых функция f(Х) имеет смысл. А точнее будет сказать значение переменной функции Х, при которых f(X) может существовать в реальности. Для примера предлагается рассмотреть случай, когда функция вообще не может существовать. Первый случай, который мы рассмотрим, когда в выражении. В варианте, когда имеет место дробь, знаменатель должен быть не равен нулю, по простой причине, что подобных дробных выражений просто не существует, так как они в итоге приводят к значение ноль, да и одно из золотых правил арифметики - нельзя делить на ноль.

С нулем разобрались, давайте разбираться с самой дробью. Что найти область определения функции, примеры с той же дробью, и определить значение переменной Х нам нужно прировнять дробь к нулю, и, решив данное уравнение, мы получим значение переменной Х, которое и будет исключено из области решения. Второй пример, когда наша функция содержит корень четной степени. Тут у нас полная свобода действия, так как при решении такой функции мы при любом варианте подкоренного числа получаем положительный ответ, который и будет далее удален из области определения функции. Чего нельзя сказать о корне нечетной степени, когда нас устроит только положительно подкоренное число.

Примеры решений

Еще пример, когда надо найти область определения данных функции, заданной логарифмом. Тут уж совершенно просто, область определения логарифма - все положительные числа. И для нахождения значений переменной, надо решать неравенство для данного логарифма. Где подлагорифмическое выражение будет отрицательным. Надо учитывать и обратные тригонометрические функции, а именно арксинус и арккосинус, которые определяются на промежутке [-1:1]. Для этого надо проследить, чтоб значение выражения, обозначенное этими функциями попадало в заранее нам известный промежуток, а все остальное смело исключаем из значений переменной.

Один пример, как найти область определения функции, если функция содержит, к примеру, сложносоставленную дробь. Где, к примеру, знаменатель будет выглядеть как корень из арксинуса. В таком случае надо выделить только те значения переменной, при которых арксинус может существовать,

elhow.ru

Область определения функции с корнем

Функция с квадратным корнем определена только при тех значениях «икс», когдаподкоренное выражение неотрицательно: . Если корень расположился в знаменателе , то условие очевидным образом ужесточается: . Аналогичные выкладки справедливы для любого корня положительной чётной степени: , правда, корень уже 4-ой степени в исследованиях функций не припоминаю.

Пример 5

Найти область определения функции

Решение: подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

Прежде чем продолжить решение, напомню основные правила работы с неравенствами, известные ещё со школы.

Обращаю особое внимание! Сейчас рассматриваются неравенства с одной переменной – то … есть для нас существует только одна размерность по оси . Пожалуйста, не путайте снеравенствами двух переменных, где геометрически задействована вся координатная плоскость. Однако есть и приятные совпадения! Итак, для неравенства равносильны следующие преобразования:

1) Слагаемые можно переносить из части в часть со сменой знака.

2) Обе части неравенства можно умножить на положительное число.

3) Если обе части неравенства умножить на отрицательное число, то необходимо сменитьзнак самого неравенства. Например, если было «больше», то станет «меньше»; если было «меньше либо равно», то станет «больше либо равно».

В неравенстве перенесём «тройку» в правую часть со сменой знака (правило №1):

Умножим обе части неравенства на –1 (правило №3):

Умножим обе части неравенства на (правило №2):

Ответ: область определения:

Ответ также можно записать эквивалентной фразой: «функция определена при ».Геометрически область определения изображается штриховкой соответствующих интервалов на оси абсцисс. В данном случае:Ещё раз напоминаю геометрический смысл области определения – график функции существует только на заштрихованном участке и отсутствует при .

В большинстве случаев годится чисто аналитическое нахождение области определения, но когда функция сильно заморочена, следует чертить ось и делать пометки.

Пример 6

Найти область определения функции

Это пример для самостоятельного решения.

Когда под квадратным корнем находится квадратный двучлен или трёхчлен, ситуация немного усложняется, и сейчас мы подробно разберём технику решения:

Пример 7

Найти область определения функции

Решение: подкоренное выражение должно быть строго положительным, то есть нам необходимо решить неравенство . На первом шаге пытаемся разложить квадратный трёхчлен на множители:Дискриминант положителен, ищем корни:Таким образом, парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, а это значит, что часть параболы расположена ниже оси (неравенство ), а часть параболы – выше оси (нужное нам неравенство ).

Поскольку коэффициент , то ветви параболы смотрят вверх. Из вышесказанного следует, что на интервалах выполнено неравенство (ветки параболы уходят вверх на бесконечность), а вершина параболы расположена на промежутке ниже оси абсцисс, что соответствует неравенству :! Примечание: если вам не до конца понятны объяснения, пожалуйста, начертите вторую ось и параболу целиком! Целесообразно вернуться к статье Графики и свойства элементарных функций и методичке Горячие формулы школьного курса математики.

Обратите внимание, что сами точки выколоты (не входят в решение), поскольку неравенство у нас строгое.

Ответ: область определения:

Вообще, многие неравенства (в том числе рассмотренное) решаются универсальнымметодом интервалов, известным опять же из школьной программы. Но в случаях квадратных дву- и трёхчленов, на мой взгляд, гораздо удобнее и быстрее проанализировать расположение параболы относительно оси . А основной способ – метод интервалов мы детально разберём в статье Нули функции. Интервалы знакопостоянства.

Пример 8

Найти область определения функции

Это пример для самостоятельного решения. В образце подробно закомментирована логика рассуждений + второй способ решения и ещё одно важное преобразование неравенства, без знания которого студент будет хромать на одну ногу…, …хмм… на счёт ноги, пожалуй, погорячился, скорее – на один палец. Большой палец.

Может ли функция с квадратным корнем быть определена на всей числовой прямой? Конечно. Знакомые всё лица: . Или аналогичная сумма с экспонентой: . Действительно, для любых значения «икс» и «ка»: , поэтому подАвно и .

А вот менее очевидный пример: . Здесь дискриминант отрицателен (парабола не пересекает ось абсцисс), при этом ветви параболы направлены вверх, следовательно, и область определения: .

Вопрос противоположный: может ли область определения функции быть пустой? Да, и сразу напрашивается примитивный пример , где подкоренное выражение отрицательно при любом значении «икс», и область определения: (значок пустого множества). Такая функция не определена вообще (разумеется, график тоже иллюзорен).

загрузка…

С нечётными корнями и т.д. всё обстоит гораздо лучше – тут подкоренное выражение может быть и отрицательным. Например, функция определена на всей числовой прямой. Однако у функции единственная точка всё же не входит в область определения, поскольку обращают знаменатель в ноль. По той же причине для функции исключаются точки .

Некоторым посетителям сайта рассматриваемые примеры покажутся элементарными и примитивными, но в этом нет случайности – во-первых, я стараюсь «заточить» материал для нубов, а во-вторых, подбираю реалистичные вещи под грядущие задачи: полное исследование функции, нахождение области определения функции двух переменныхи некоторые другие. Всё в математике цепляется друг за дружку. Хотя любители трудностей тоже не останутся обделёнными, более солидные задания встретятся и здесь, и на урокео методе интервалов.

 

refac.ru