Как перемножить корни. При умножении корней
Как умножать корни » VripMaster
Знак корня (√) означает квадратный корень из некоторого числа. Знак корня встречается не только в алгебре, но и в повседневной жизни, например, в деревообрабатывающем производстве, которое включает расчет относительных размеров. Вы можете умножить два любых корня с одинаковыми показателями (степени корня). Если у корней разные показатели, необходимо привести корни к одному показателю. Если вы хотите узнать, как умножить корни с или без множителей, прочитайте эту статью.
Умножение корней без множителей
-
Убедитесь, что корни имеют одинаковый показатель (степень). Степень записывается слева над знаком корня. Если степени нет, то корень считается квадратным (то есть его степень 2) и его можно умножить на другие квадратные корни (об умножении корней с разными показателями читайте далее). Вот несколько примеров умножения корней с одинаковыми показателями: - Пример 1: √(18) x √(2) = ?
- Пример 2: √(10) x √(5) = ?
- Пример 3: √(3) x √(9) = ?
-
Перемножьте числа под корнем. Вот как это делается: - Пример 1: √(18) x √(2) = √(36)
- Пример 2: √(10) x √(5) = √(50)
- Пример 3: √(3) x √(9) = √(27)
-
Упростите подкоренное выражение. При умножении корней полученное подкоренное выражение можно упростить (не всегда) до произведения некоторого числа (или выражения) на полный квадрат или куб. Вот как это делается: - Пример 1: √(36) = 6. 36 является квадратом числа 6, потому что 6*6=36.
- Пример 2: √(50) = √(25*2) = √([5*5]*2) = 5√(2). Число 50 можно разложить на произведение чисел 25 и 2. Корень из 25 равен 5, поэтому выносим 5 за знак корня и таким образом упрощаем подкоренное выражение.
- Если внести число 5 обратно под знак корня, оно возводится в квадрат, и вы получите число 25 под знаком корня.
- Пример 3: √(27) = 3. Кубический корень из числа 27 равен 3, потому что 3*3*3 = 27.
Умножение корней с множителями
Умножьте множители. Множитель – число, стоящее перед знаком корня. Если его нет, то множитель равен 1. Перемножьте множители. Вот как это делается: - Пример 1: 3√(2) x √(10) = 3√(?)
- Пример 2: 4√(3) x 3√(6) = 12√(?)
-
Умножьте числа под знаком корня. После того как вы перемножили множители, перемножьте числа под знаком корня. Вот как это делается: - Пример 1: 3√(2) x √(10) = 3√(2 x 10) = 3√(20)
- Пример 2: 4√(3) x 3√(6) = 12√(3 x 6) = 12√(18)
-
Упростите подкоренное выражение. Далее упростите полученные значения под знаком корня, вынеся соответствующие числа за знак корня. После этого просто перемножьте эти вынесенные числа и множители, стоящие перед знаком корня. Вот как это делается: - 3√(20) = 3√(4 x 5) = 3√([2 x 2] x 5) = (3 x 2)√(5) = 6√(5)
- 12√(18) = 12√(9 x 2) = 12√(3 x 3 x 2) = (12 x 3)√(2) = 36√(2)
Умножение корней с разными показателями
-
Найдите НОК (наименьшее общее кратное) показателей. НОК показателей – наименьшее число, которое делится на оба показателя. Найдите НОК показателей для следующего выражения:√(5) x √(2) = ? - Показатели равны 3 и 2. Число 6 является НОК этих двух чисел, потому что это наименьшее число, которое делится без остатка как на 3, так и на 2: 6/3=2 и 6/2=3. Чтобы умножить корни, их показатель должен быть равен 6.
-
Запишите каждый корень с НОК в качестве нового показателя. Вот как записать выражение с новым показателем: -
Найдите числа, на которые вы должны умножить каждый исходный показатель, чтобы получить НОК. В выражении √(5) вам нужно умножить показатель 3 на 2, чтобы получить 6. В выражении √(2) вам нужно умножить показатель 2 на 3, чтобы получить 6.
-
Возведите число, стоящее под знаком корня, в степень равную числу, найденному в предыдущем шаге. Для первого выражения возведите 5 в степень 2. Для второго выражения возведите 2 в степень 3. Вот как это будет выглядеть: - --> √(5) = √(5)
- --> √(2) = √(2)
-
Проделайте операцию возведения в степень и запишите результат под знаком корня. Вот как это делается: - √(5) = √(5 x 5) = √25
- √(2) = √(2 x 2 x 2) = √8
-
Перемножьте числа под знаком корня: √(8 x 25)
-
Запишите ответ. √(8 x 25) = √(200). В некоторых случаях вы можете упростить подкоренное выражение, например, найдя множитель числа 200, из которого можно взять корень 6 степени. Но в данном случае выражение не упрощается.
Советы
- Если «множитель» отделяется от корня знаком плюс или минус, то это уже вообще не множитель – это отдельный член выражения, и операции с ним проводятся отдельно от корня.
- Знак корня является еще одним способом записи дробных показателей. Например, квадратный корень из любого числа есть это число в степени 1/2; кубический корень из любого числа есть это число в степени 1/3 и так далее.
- Множитель – число, стоящее непосредственно перед знаком корня. Так, например, в выражении 2(квадратный корень)5, число 5 является подкоренным выражением, а число 2 – множителем. Когда множитель и корень записаны рядом, то это означает их умножение: 2*(квадратный корень)5.
vripmaster.com
| 3 методика:Умножение корней без множителейУмножение корней с множителямиУмножение корней с разными показателями Знак корня (√) означает квадратный корень из некоторого числа. Знак корня встречается не только в алгебре, но и в повседневной жизни, например, в деревообрабатывающем производстве, которое включает расчет относительных размеров. Вы можете умножить два любых корня с одинаковыми показателями (степени корня). Если у корней разные показатели, необходимо привести корни к одному показателю. Если вы хотите узнать, как умножить корни с или без множителей, прочитайте эту статью. ШагиМетод 1 из 3: Умножение корней без множителей
Метод 2 из 3: Умножение корней с множителями
Метод 3 из 3: Умножение корней с разными показателями
Советы
|
ves-mir.3dn.ru
Как умножать корни - Как? Так!
Содержимое:
3 метода:
Знак корня (√) означает квадратный корень из некоторого числа. Знак корня встречается не только в алгебре, но и в повседневной жизни, например, в деревообрабатывающем производстве, которое включает расчет относительных размеров. Вы можете умножить два любых корня с одинаковыми показателями (степени корня). Если у корней разные показатели, необходимо привести корни к одному показателю. Если вы хотите узнать, как умножить корни с или без множителей, прочитайте эту статью.
Шаги
Метод 1 Умножение корней без множителей
- 1 Убедитесь, что корни имеют одинаковый показатель (степень). Степень записывается слева над знаком корня. Если степени нет, то корень считается квадратным (то есть его степень 2) и его можно умножить на другие квадратные корни (об умножении корней с разными показателями читайте далее). Вот несколько примеров умножения корней с одинаковыми показателями:
- Пример 1: √(18) x √(2) = ?
- Пример 2: √(10) x √(5) = ?
- Пример 3: 3√(3) x 3√(9) = ?
- 2 Перемножьте числа под корнем. Вот как это делается:
- Пример 1: √(18) x √(2) = √(36)
- Пример 2: √(10) x √(5) = √(50)
- Пример 3: 3√(3) x 3√(9) = 3√(27)
- 3 . При умножении корней полученное подкоренное выражение можно упростить (не всегда) до произведения некоторого числа (или выражения) на полный квадрат или куб. Вот как это делается:
- Пример 1: √(36) = 6. 36 является квадратом числа 6, потому что 6*6=36.
- Пример 2: √(50) = √(25*2) = √([5*5]*2) = 5√(2). Число 50 можно разложить на произведение чисел 25 и 2. Корень из 25 равен 5, поэтому выносим 5 за знак корня и таким образом упрощаем подкоренное выражение.
- Если внести число 5 обратно под знак корня, оно возводится в квадрат, и вы получите число 25 под знаком корня.
- Пример 3: 3√(27) = 3. Кубический корень из числа 27 равен 3, потому что 3*3*3 = 27.
Метод 2 Умножение корней с множителями
- 1 Умножьте множители. Множитель – число, стоящее перед знаком корня. Если его нет, то множитель равен 1. Перемножьте множители. Вот как это делается:
- Пример 1: 3√(2) x √(10) = 3√(?)
- Пример 2: 4√(3) x 3√(6) = 12√(?)
- 2 Умножьте числа под знаком корня. После того как вы перемножили множители, перемножьте числа под знаком корня. Вот как это делается:
- Пример 1: 3√(2) x √(10) = 3√(2 x 10) = 3√(20)
- Пример 2: 4√(3) x 3√(6) = 12√(3 x 6) = 12√(18)
- 3 Упростите подкоренное выражение. Далее упростите полученные значения под знаком корня, вынеся соответствующие числа за знак корня. После этого просто перемножьте эти вынесенные числа и множители, стоящие перед знаком корня. Вот как это делается:
- 3√(20) = 3√(4 x 5) = 3√([2 x 2] x 5) = (3 x 2)√(5) = 6√(5)
- 12√(18) = 12√(9 x 2) = 12√(3 x 3 x 2) = (12 x 3)√(2) = 36√(2)
Метод 3 Умножение корней с разными показателями
- 1 Найдите НОК (наименьшее общее кратное) показателей. НОК показателей – наименьшее число, которое делится на оба показателя. Найдите НОК показателей для следующего выражения:3√(5) x 2√(2) = ?
- Показатели равны 3 и 2. Число 6 является НОК этих двух чисел, потому что это наименьшее число, которое делится без остатка как на 3, так и на 2: 6/3=2 и 6/2=3. Чтобы умножить корни, их показатель должен быть равен 6.
- 2 Запишите каждый корень с НОК в качестве нового показателя. Вот как записать выражение с новым показателем:
- 3 Найдите числа, на которые вы должны умножить каждый исходный показатель, чтобы получить НОК. В выражении 3√(5) вам нужно умножить показатель 3 на 2, чтобы получить 6. В выражении 2√(2) вам нужно умножить показатель 2 на 3, чтобы получить 6.
- 4 Возведите число, стоящее под знаком корня, в степень равную числу, найденному в предыдущем шаге. Для первого выражения возведите 5 в степень 2. Для второго выражения возведите 2 в степень 3. Вот как это будет выглядеть:
- 2 --> 6√(5) = 6√(5)2
- 3 --> 6√(2) = 6√(2)3
- 5 Проделайте операцию возведения в степень и запишите результат под знаком корня. Вот как это делается:
- 6√(5)2 = 6√(5 x 5) = 6√25
- 6√(2)3 = 6√(2 x 2 x 2) = 6√8
- 6 Перемножьте числа под знаком корня: 6√(8 x 25)
- 7 Запишите ответ. 6√(8 x 25) = 6√(200). В некоторых случаях вы можете упростить подкоренное выражение, например, найдя множитель числа 200, из которого можно взять корень 6 степени. Но в данном случае выражение не упрощается.
Советы
- Если «множитель» отделяется от корня знаком плюс или минус, то это уже вообще не множитель – это отдельный член выражения, и операции с ним проводятся отдельно от корня.
- Знак корня является еще одним способом записи дробных показателей. Например, квадратный корень из любого числа есть это число в степени 1/2; кубический корень из любого числа есть это число в степени 1/3 и так далее.
- Множитель – число, стоящее непосредственно перед знаком корня. Так, например, в выражении 2(квадратный корень)5, число 5 является подкоренным выражением, а число 2 – множителем. Когда множитель и корень записаны рядом, то это означает их умножение: 2*(квадратный корень)5.
Похожие статьи
Прислал: Новикова Ксения . 2017-11-12 13:11:09
kak-otvet.imysite.ru
Как умножать корни - PontCost
Умножение корней без множителей
- Убедитесь, что корни имеют одинаковый показатель (степень). Степень записывается слева над знаком корня. Если степени нет, то корень считается квадратным (то есть его степень 2) и его можно умножить на другие квадратные корни (об умножении корней с разными показателями читайте далее). Вот несколько примеров умножения корней с одинаковыми показателями:
Пример 1: √(18) x √(2) = ?
Пример 2: √(10) x √(5) = ?
Пример 3: 3√(3) x 3√(9) = ?
- Перемножьте числа под корнем. Вот как это делается:
Пример 1: √(18) x √(2) = √(36)
Пример 2: √(10) x √(5) = √(50)
Пример 3: 3√(3) x 3√(9) = 3√(27)
- Упростите подкоренное выражение. При умножении корней полученное подкоренное выражение можно упростить (не всегда) до произведения некоторого числа (или выражения) на полный квадрат или куб. Вот как это делается:
Пример 1: √(36) = 6. 36 является квадратом числа 6, потому что 6*6=36.
Пример 2: √(50) = √(25*2) = √([5*5]*2) = 5√(2). Число 50 можно разложить на произведение чисел 25 и 2. Корень из 25 равен 5, поэтому выносим 5 за знак корня и таким образом упрощаем подкоренное выражение.Если внести число 5 обратно под знак корня, оно возводится в квадрат, и вы получите число 25 под знаком корня.
Пример 3: 3√(27) = 3. Кубический корень из числа 27 равен 3, потому что 3*3*3 = 27.
Умножение корней с множителями
- Умножьте множители. Множитель – число, стоящее перед знаком корня. Если его нет, то множитель равен 1. Перемножьте множители. Вот как это делается:
Пример 1: 3√(2) x √(10) = 3√(?)
3 x 1 = 3
Пример 2: 4√(3) x 3√(6) = 12√(?)
4 x 3 = 12
- Умножьте числа под знаком корня. После того как вы перемножили множители, перемножьте числа под знаком корня. Вот как это делается:
Пример 1: 3√(2) x √(10) = 3√(2 x 10) = 3√(20)
Пример 2: 4√(3) x 3√(6) = 12√(3 x 6) = 12√(18)
- Упростите подкоренное выражение. Далее упростите полученные значения под знаком корня, вынеся соответствующие числа за знак корня. После этого просто перемножьте эти вынесенные числа и множители, стоящие перед знаком корня. Вот как это делается:
3√(20) = 3√(4 x 5) = 3√([2 x 2] x 5) = (3 x 2)√(5) = 6√(5)
12√(18) = 12√(9 x 2) = 12√(3 x 3 x 2) = (12 x 3)√(2) = 36√(2)
pontcost.com
Как умножить квадратный корень на квадратный корень
Одна из четырех простейших математических операций (умножение) породила другую, несколько более усложненную - возведение в степень. Та, в свою очередь, добавила дополнительную сложность в обучение математике, породив обратную себе операцию - извлечение корня. К любой из этих операций можно применять все остальные математические действия, что еще более запутывает изучение предмета. Чтобы все это каким-то образом упорядочить, существуют наборы правил, одно из которых регламентирует порядок умножения корней.
Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как умножить квадратный корень на квадратный корень" Как вычитать квадратный корень Как найти сумму корней уравнения Как извлечь корень из дробиИнструкция
1
Используйте для умножения квадратных корней правило - результатом этой операции должен стать квадратный корень, подкоренным выражением которого будет произведение подкоренных выражений корней-множителей. Это правило действует при умножении двух, трех и любого другого числа квадратных корней. Впрочем, оно относится не только к корням квадратным, но и к кубическим или с любым другим показателем степени, если этот показатель одинаков у всех участвующих в операции радикалов.2
Если под знаками умножаемых корней стоят численные значения, то перемножьте их между собой и поставьте полученную величину под знак корня. Например, при умножении v3,14 на v7,62 это действие можно записать так: v3,14 * v7,62 = v(3,14*7,62) = v23,9268.3
Если подкоренные выражения содержат переменные, то сначала запишите их произведение под одним знаком радикала, а затем попробуйте упростить полученное подкоренное выражение. Например, если надо умножить v(x+7) на v(x-14), то операцию можно записать так: v(x+7) * v(x-14) = v((x+7) * (x-14)) = v(x?-14*x+7*x-7*14) = v(x?-7*x-98).4
При необходимости перемножить больше двух квадратных корней действуйте точно так же - собирайте под одним знаком радикала подкоренные выражения всех умножаемых корней в качестве множителей одного сложного выражения, а затем упрощайте его. Например, при перемножении квадратных корней из чисел 3,14, 7,62 и 5,56 операцию можно записать так: v3,14 * v7,62 * v5,56 = v(3,14*7,62*5,56) = v133,033008. А умножение квадратных корней, извлекаемых из выражений с переменными x+7, x-14 и 2*x+1 - так: v(x+7) * v(x-14) * v(2*x+1) = v((x+7) * (x-14) * (2*x+1)) = v((x?-14*x+7*x-7*14) * (2*x+1)) = v((x?-7*x-98) * (2*x+1)) = v(2*x*x?-2*x*7*x-2*x*98 + x?-7*x-98) = v(2*x?-14*x?-196*x+x?-7*x-98) = v(2*x?-13*x?-205*x-98). Как простоmasterotvetov.com
Как перемножить корни
Арифметические действия с корнями различной степени могут значительно упростить расчеты в физике и технике и сделать их более точными. При умножении и делении удобнее не извлекать корень из каждого сомножителя или делимого и делителя, а сначала выполнить нужные действия с подкоренными выражениями и показателями степени. Чтобы вычисления получились точными, необходимо следовать определенным правилам.Вам понадобится
- - корни заданной степени;
- - ручка;
- - лист бумаги;
- - калькулятор.
Инструкция
- Внимательно прочитайте условия задания и проанализируйте данные. Обратите внимание на показатели степени. От того, разные они или одинаковые, зависит способ действия. Если нужно перемножить корни одной и той же степени, просто перемножьте между собой подкоренные выражения. При этом неважно, со сколькими корнями вы имеете дело. Показатель степени при этом остается тем же самым. Например, вам нужно умножить квадратные корни из чисел a, b и c. Выражение будет выглядеть так: √a*√b*√c = √abc.
- Деление корней с одинаковыми показателями степени выполняется точно так же. Поставьте знак корня с тем же показателем. Одно подкоренное выражение разделите на другое. √a : √b=√a/b. Вместо a и b можно использовать любые числа или буквенные обозначения. Над знаком корня частного поставьте тот же самый показатель степени, что у делимого и делителя.
- Если показатели степени разные, вычисления необходимо проводить несколько иначе. Показатели степени в этом случае тоже участвуют в процессе. Их необходимо привести к общему показателю примерно так же, как это делается при приведении простых дробей. Если вам нужно перемножите корни с показателями m и n, то общий показатель будет mn. Соответственно, у первого сомножителя необходимо возвести в степень n оба числа. Умножьте показатели степени радикала на этот дополнительный множитель. Во втором случае умножьте оба показателя на m. Поставьте знак радикала с показателем mn и перемножьте подкоренные выражения, как и в первом способе. Деление выполняется аналогично.
- Если корни имеют коэффициенты, их необходимо перемножить или разделить отдельно. Результат запишите перед знаком корня, под которым стоит результат умножения или деления подкоренных выражений.
- Очень часто бывает необходимо вывести один из сомножителей из-под корня или наоборот. Для этого число, стоящее перед радикалом, необходимо возвести в ту же степени, которая обозначена показателем, и убрать под корень. Например, 3√2=√9*2=√18. Можно поступить и наоборот, разложив подкоренное выражение на сомножители. Извлеките корень из того сомножителя, из которого это можно сделать, и выведите его из-под знака радикала.
completerepair.ru
Корни и степени. Квадратный корень, кубический корень.
Степенью называется выражение вида .
Здесь — основание степени, — показатель степени.
Степень с натуральным показателем
Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.
По определению, .
Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.
.
Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.
.
Возвести число в натуральную степень — значит умножить его само на себя раз:
Степень с целым показателем
Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.
По определению,
.
Это верно для . Выражение не определено.
Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.
Конечно, все это верно для , поскольку на ноль делить нельзя.
Например,
Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.
Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби , где — целое, — натуральное.
Здесь нам понадобится новое понятие — корень -степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.
Арифметический квадратный корень
Уравнение имеет два решения: и .
Это числа, квадрат которых равен .
А как решить уравнение ?
Если мы нарисуем график функции , то увидим, что и у этого уравнения есть два решения, одно из которых положительно, а другое отрицательно.
Но эти решения не являются целыми числами. Более того, они не являются рациональными. Для того чтобы записать эти решения, мы вводим специальный символ квадратного корня.
Арифметический квадратный корень из числа — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .
Запомните это определение.
Арифметический квадратный корень обозначается .
Например,
Обратите внимание:
1) Квадратный корень можно извлекать только из неотрицательных чисел
2) Выражение всегда неотрицательно. Например, .
Перечислим свойства арифметического квадратного корня:
1.
2. 3.
Запомним, что выражение не равно . Легко проверить:
— получился другой ответ.
Кубический корень
Аналогично, кубический корень из — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число .
Например, , так как ;
, так как ;
, так как .
Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.
Теперь мы можем дать определение корня -ной степени для любого целого .
Корень -ной степени
Корень -ной степени из числа — это такое число, при возведении которого в -ную степень получается число .
Например,
Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.
Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.
Итак, — такое число, что . Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.
По определению,
в общем случае .
Сразу договоримся, что основание степени больше .
Например,
Выражение по определению равно .
При этом также выполняется условие, что больше .
Например,
Запомним правила действий со степенями:
— при перемножении степеней показатели складываются
— при делении степени на степень показатели вычитаются
— при возведении степени в степень показатели перемножаются
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:
1.
Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.
2.
3.
Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.
Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)
Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.
ege-study.ru
