Окружность, вписанная в треугольник. Теоремы и их рассмотрение. Радиус вписанная окружность в треугольник
Радиус вписанной окружности | Треугольники
Удобно, когда все формулы, по которым можно найти радиус вписанной в треугольник и в многоугольник окружности, размещены на одной странице.
Радиус вписанной в многоугольник окружности
Если в многоугольник можно вписать окружность, то формула для вычисления радиуса вписанной окружности:
где p — полупериметр, то есть полусумма длин всех сторон этого многоугольника.
Например, для пятиугольника со сторонами a, b, c, d, e радиус вписанной окружности находится по формуле
откуда
По этой же формуле ищут радиус вписанной в треугольник окружности.
Радиус вписанной в треугольник окружности
Формула для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности (верна для треугольника любого вида)
где p — полупериметр,
где a, b, c — стороны треугольника.
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности
Формула для нахождения радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник
где a и b — катеты, c — гипотенуза.
Радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник
Формула радиуса вписанной в правильный многоугольник окружности
где a — сторона многоугольника, n — количество сторон.
Частные случаи — правильный (равносторонний) треугольник, правильный четырехугольник (квадрат) и правильный шестиугольник.
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник
Формула радиуса вписанной окружности для правильного треугольника:
В правильном треугольнике радиус вписанной окружности вдвое меньше радиуса описанной окружности:
Радиус окружности, вписанной в квадрат
Формула радиуса вписанной в квадрат окружности:
где a — сторона квадрата.
Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник
Формула радиуса вписанной в правильный шестиугольник окружности:
где a — сторона правильного шестиугольника.
Для любого многоугольника центр вписанной окружности лежит в точке пересечения его биссектрис.
www.treugolniki.ru
Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике - Планиметрия
Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Напомним определение биссектрисы угла.
Определение 1. Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.
Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла). Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).
Рис. 1
Доказательство. Рассмотрим произвольную точку D, лежащую на биссектрисе угла BAC, и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE, а гипотенуза AD – общая. Следовательно,
DF = DE,
что и требовалось доказать.
Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1). Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).
Рис. 2
Доказательство. Рассмотрим произвольную точку D, лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE, а гипотенуза AD – общая. Следовательно,
что и требовалось доказать.
Определение 2. Окружность называют окружностью, вписанной в угол, если она касается касается сторон этого угла.
Теорема 3. Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.
Доказательство. Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC, а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).
Рис.3
Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности), а гипотенуза AD – общая. Следовательно
AF = AE,
что и требовалось доказать.
Замечание. Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.
Напомним определение биссектрисы треугольника.
Определение 3. Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.
Теорема 4. В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.
Доказательство. Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC, и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).
Рис. 4
OD = OE,
Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
OD = OF,
Следовательно, справедливо равенство:
OE = OF,
откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC. Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать
Определение 4. Окружностью, вписанной в треугольник, называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности.
Рис. 5
Следствие. В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.
Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности, удобно представить в виде следующей таблицы.
Фигура | Рисунок | Формула | Обозначения |
Произвольный треугольник | Посмотреть вывод формулы | a, b, c – стороны треугольника,S – площадь,r – радиус вписанной окружности,p – полупериметр . | |
Посмотреть вывод формулы | |||
Равнобедренный треугольник | Посмотреть вывод формулы | a – боковая сторона равнобедренного треугольника,b – основание,r – радиус вписанной окружности | |
Равносторонний треугольник | Посмотреть вывод формулы | a – сторона равностороннего треугольника,r – радиус вписанной окружности | |
Прямоугольный треугольник | Посмотреть вывод формул | a, b – катеты прямоугольного треугольника,c – гипотенуза,r – радиус вписанной окружности |
Произвольный треугольник | |
гдеa, b, c – стороны треугольника,S –площадь,r – радиус вписанной окружности,p – полупериметр. Посмотреть вывод формулы | |
гдеa, b, c – стороны треугольника,r – радиус вписанной окружности,p – полупериметр. Посмотреть вывод формулы | |
Равнобедренный треугольник | |
гдеa – боковая сторона равнобедренного треугольника,b – основание,r – радиус вписанной окружности Посмотреть вывод формулы | |
Равносторонний треугольник | |
гдеa – сторона равностороннего треугольника,r – радиус вписанной окружности Посмотреть вывод формулы | |
Прямоугольный треугольник | |
гдеa, b – катеты прямоугольного треугольника,c – гипотенуза,r – радиус вписанной окружности Посмотреть вывод формул |
Произвольный треугольник |
гдеa, b, c – стороны треугольника,S –площадь,r – радиус вписанной окружности,p – полупериметр. Посмотреть вывод формулы |
гдеa, b, c – стороны треугольника,r – радиус вписанной окружности,p – полупериметр. Посмотреть вывод формулы |
Равнобедренный треугольник |
гдеa – боковая сторона равнобедренного треугольника,b – основание,r – радиус вписанной окружности Посмотреть вывод формулы |
Равносторонний треугольник |
гдеa – сторона равностороннего треугольника,r – радиус вписанной окружности Посмотреть вывод формулы |
Прямоугольный треугольник |
гдеa, b – катеты прямоугольного треугольника,c – гипотенуза,r – радиус вписанной окружности Посмотреть вывод формулы |
Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство
где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, – полупериметр (рис. 6).
Рис. 6
Доказательство. Из формулы
с помощью формулы Герона получаем:
что и требовалось.
Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство
где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).
Рис. 7
Доказательство. Поскольку для произвольного треугольника справедлива формула
где
то, в случае равнобедренного треугольника, когда
получаем
что и требовалось.
Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство
где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).
Рис. 8
Доказательство. Поскольку для равнобедренного треугольника справедлива формула
то, в случае равностороннего треугольника, когда
b = a,
получаем
что и требовалось.
Замечание. Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.
Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство
где a, b – катеты прямоугольного треугольника, c – гипотенуза, r – радиус вписанной окружности.
Доказательство. Рассмотрим рисунок 9.
Рис. 9
Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольникомпрямоугольником, у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадратквадрат. Следовательно,
СD = СF= r,
В силу теоремы 3 справедливы равенства
Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем
что и требовалось.
Замечание. Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.
На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными». Запись по телефону (495) 509-28-10 |
Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит
У нас также для школьников организованы
МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»
www.resolventa.ru
Радиус вписанной в треугольник окружности
Радиус вписанной в треугольник окружности можно найти по одной общей формуле.
Кроме того, для правильного и прямоугольного треугольников существуют дополнительные формулы.
Радиус вписанной в треугольник окружности для произвольного треугольника
Формула для нахождения радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник:
где S — площадь треугольника, p — его полупериметр.
Для треугольника со сторонами a, b, c полупериметр
и формулу можно записать так:
Если нужно найти радиус вписанной в треугольник окружности по его сторонам, то площадь треугольника ищут по формуле Герона, соответственно, формула для нахождения радиуса треугольника по трем сторонам имеет вид:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности
Формула для нахождения радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности:
где a, b — длины катетов, c — длина гипотенузы.
Радиус окружности, вписанной в правильный (то есть равносторонний) треугольник
Формула для нахождения радиуса окружности, вписанной в правильный треугольник:
или (без иррациональности в знаменателе):
где a -длина стороны правильного треугольника.
В правильном треугольнике радиус вписанной окружности также можно найти через радиус описанной окружности:
www.treugolniki.ru
Как найти формулу радиуса окружности, вписанной в треугольник
Если окружность располагается внутри угла и касается его сторон, её называют вписанной в этот угол. Центр такой вписанной окружности располагается на биссектрисе этого угла.
Если же она лежит внутри выпуклого многоугольника и соприкасается со всеми его сторонами, она называется вписанной в выпуклый многоугольник.
Окружность, вписанная в треугольник
Окружность, вписанная в треугольник, соприкасается с каждой стороной этой фигуры лишь в одной точке. В один треугольник возможно вписать лишь одну окружность.
Радиус такой окружности будет зависеть от следующих параметров треугольника:
- Длин сторон треугольника.
- Его площади.
- Его периметра.
- Величины углов треугольника.
Для того чтобы вычислить радиус вписанной окружности в треугольник, не всегда обязательно знать все перечисленные выше параметры, поскольку они взаимосвязаны между собой через тригонометрические функции.
Вычисление с помощью полупериметра
Чтобы рассчитать величину радиуса вписанной окружности в треугольник, необходимо учитывать следующие параметры:
- Если известны длины всех сторон геометрической фигуры (обозначим их буквами a, b и c), то вычислять радиус придётся путём извлечения квадратного корня.
- Приступая к вычислениям, необходимо добавить к исходным данным ещё одну переменную — полупериметр (р). Его можно рассчитать, сложив все длины и полученную сумму разделив на 2. p = (a+b+c)/2. Таким образом можно существенно упростить формулу нахождения радиуса.
- В целом формула должна включать в себя знак радикала, под который помещается дробь, знаменателем этой дроби будет величина полупериметра р.
- Числителем данной дроби будет представлять собой произведение разностей (p-a)*(p-b)*(p-c)
- Таким образом, полный вид формулы будет представлен следующим образом: r = √(p-a)*(p-b)*(p-c)/p).
Вычисление с учётом площади треугольника
Если нам известна площадь треугольника и длины всех его сторон, это позволит найти радиус интересующей нас окружности, не прибегая к извлечению корней.
- Для начала нужно удвоить величину площади.
- Результат делится на сумму длин всех сторон. Тогда формула будет выглядеть следующим образом: r = 2*S/(a+b+c).
- Если воспользоваться величиной полупериметра, можно получить совсем простую формулу: r = S/p.
Расчёт с помощью тригонометрических функций
Если в условии задачи присутствует длина одной из сторон, величина противоположного угла и периметр, можно воспользоваться тригонометрической функцией — тангенсом. В этом случае формула расчёта будет иметь следующий вид:
r = (P /2- a)* tg (α/2), где r — искомый радиус, Р — периметр, а — значение длины одной из сторон, α — величина противоположного стороне, а угла.
Радиус окружности, которую необходимо будет вписывать в правильный треугольник, можно найти по формуле r = a*√3/6.
Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник
В прямоугольный треугольник можно вписать только одну окружность. Центр такой окружности одновременно служит точкой пересечения всех биссектрис. Эта геометрическая фигура имеет некоторые отличительные черты, которые необходимо учесть, вычисляя радиус вписанной окружности.
- Для начала необходимо выстроить прямоугольный треугольник с заданными параметрами. Построить такую фигуру можно по размеру её одной стороны и величинам двух углов или же по двум сторонам и углу между этими сторонами. Все эти параметры должны быть указаны в условии задачи. Треугольник обозначается как АВС, причём С — это вершина прямого угла. Катеты при этом обозначаются переменными, а и b, а гипотенуза — переменной с.
- Для построения классической формулы и вычисления радиуса окружности необходимо найти размеры всех сторон описанной в условии задачи фигуры и по ним вычислить полупериметр. Если в условиях даются размеры двух катетов, по ним можно вычислить величину гипотенузы, исходя из теоремы Пифагора.
- Если в условии дан размер одного катета и одного угла, необходимо понять, прилежащий этот угол или противолежащий. В первом случае гипотенуза находится с помощью теоремы синусов: с=a/sinСАВ, во втором случае применяют теорему косинусов с=a/cosCBA.
- Когда все расчёты выполнены и величины всех сторон известны, находят полупериметр по формуле, описанной выше.
- Зная величину полупериметра, можно найти радиус. Формула представляет собой дробь. Её числителем является произведение разностей полупериметра и каждой из сторон, а знаменателем —величина полупериметра.
Следует заметить, что числитель данной формулы является показателем площади. В этом случае формула нахождения радиуса гораздо упрощается — достаточно разделить площадь на полупериметр.
Определить площадь геометрической фигуры можно и в том случае, если известны оба катета. По сумме квадратов этих катетов находится гипотенуза, далее вычисляется полупериметр. Вычислить площадь можно, умножив друг на друга величины катетов и разделив полученное на 2.
Если в условиях даны длины и катетов и гипотенузы, определить радиус можно по очень простой формуле: для этого складываются длины катетов, из полученного числа вычитается длина гипотенузы. Результат необходимо разделить пополам.
Видео
Из этого видео вы узнаете, как находить радиус вписанной в треугольник окружности.
liveposts.ru
Окружность, вписанная в треугольник. Теоремы и их рассмотрение
Еще в Древнем Египте появилась наука, с помощью которой можно было измерять объемы, площади и другие величины. Толчком к этому послужило строительство пирамид. Оно предполагало значительное число сложных расчетов. И кроме строительства, было важно правильно измерить землю. Отсюда и появилась наука "геометрия" от греческих слов "геос" - земля и "метрио" - измеряю.
Исследованию геометрических форм способствовало наблюдение астрономических явлений. И уже в 17-м веке до н. э. были найдены начальные способы расчета площади круга, объема шара и главнейшее открытие - теорема Пифагора.
Формулировка теоремы об окружности, вписанной в треугольник выглядит следующим способом:
В треугольник можно вписать только одну окружность.
При таком расположении окружность - вписанная, а треугольник - описанный около окружности.
Формулировка теоремы о центре окружности, вписанной в треугольник, выглядит следующим образом:
Центральная точка окружности, вписанной в треугольник, есть точка пересечения биссектрис этого треугольника.
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник
Окружность считается вписанной в треугольник, если она хотя бы одной точкой касается всех его сторон.
На фото ниже показана окружность, находящаяся внутри равнобедренного треугольника. Условие теоремы об окружности, вписанной в треугольник, соблюдено - она касается всех сторон треугольника AB, ВС И СА в точках R, S, Q соответственно.
Одним из свойств равнобедренного треугольника является то, что вписанная окружность точкой касания делит основание пополам (BS = SC), а радиус вписанной окружности составляет треть высоты данного треугольника(SP=AS/3).
Свойства теоремы об окружности, вписанной в треугольник:
- Отрезки, выходящие из одной вершины треугольника к точкам касания с окружностью, равны. На рисунке AR = AQ, BR = BS, CS = CQ.
- Радиус окружности (вписанной) - это площадь, деленная на полупериметр треугольника. Как пример, нужно начертить равнобедренный треугольник с теми же буквенными обозначениями, что на картинке, следующих размеров: основание ВС = 3 см, высота AS = 2 см, стороны АВ=ВС, соответственно, получаются по 2,5 см каждая. Проведем из каждого угла биссектрису и место их пересечения обозначим как Р. Впишем окружность с радиусом PS, длину которого нужно найти. Узнать площадь треугольника можно, умножив 1/2 основания на высоту: S = 1/2 * DC * AS = 1/2 * 3 * 2 = 3 см2. Полупериметр треугольника равен 1/2 суммы всех сторон: Р = (АВ + ВС + СА) / 2 = (2,5 + 3 + 2,5) / 2 = 4 см; PS = S/P = 3/4 = 0,75 см2, что полностью соответствует действительности, если измерить линейкой. Соответственно, верно свойство теоремы об окружности, вписанной в треугольник.
Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник
Для треугольника с прямым углом действуют свойства теоремы об вписанной окружности в треугольник. И, кроме того, добавляется возможность решать задачи с постулатами теоремы Пифагора.
Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник можно определить следующим образом: сложить длины катетов, вычесть значение гипотенузы и получившееся значение разделить на 2.
Есть хорошая формула, которая поможет высчитать площадь треугольника - периметр умножить на радиус вписанной в этот треугольник окружности.
Формулировка теоремы о вписанной окружности
В планиметрии важны теоремы о вписанных и описанных фигурах. Одна из них звучит так:
Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения биссектрис, проведенных из его углов.
На представленном рисунке показано доказательство данной теоремы. Показано равенство углов, и, соответственно, равенство прилегающих треугольников.
Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник
Радиусы окружности, вписанной в треугольник, проведенные в точки касания перпендикулярны сторонам треугольника.
Задание «сформулируйте теорему об окружности вписанной в треугольник» не должно застать врасплох, потому что это одни из фундаментальных и простейших знаний в геометрии, которыми необходимо владеть в полной мере для решения многих практических задач в реальной жизни.
fb.ru
Вписанная в треугольник окружность Википедия
Треугольник (чёрный) с вписанной окружностью (синей), инцентр (I), вневписанными окружностями (оранжевые), эксцентры (JA,JB,JC), внутренние биссектрисы (красные) и внешние биссектрисы (зелёные)Вписанная в треугольник окружность — окружность внутри треугольника, касающаяся всех его сторон; наибольшая окружность, которая может находиться внутри треугольника. Центр этой окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника и называется инцентром треугольника.
Вневписанная окружность треугольника — окружность, лежащая вне треугольника и касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других сторон[en]. Любой треугольник имеет три различные вневписанные окружности, каждая из которых касается своей стороны треугольника. Центром вневписанной окружности является пересечение биссектрисы одного внутреннего угла[en] и биссектрис двух других внешних углов[en]. Поскольку биссектриса внутреннего угла перпендикулярна биссектрисе внешнего угла, центр вписанной окружности вместе с тремя центрами вневписанных окружностей образуют ортоцентричную систему[en][1].
Не все многоугольники с числом сторон более трёх имеют вписанную окружность. Те, которые имеют, называются описанными.
Некоторые сокращения[ | код]
- Вместо слов "вписанная (внутрь треугольника)" и "вневписанная (вне треугольника) окружности" возможно использование соответственно сокращений: "внуокружность" и "внеокружность" [2] по аналогии с английскими сокращениями соответственно вписанной и вневписанной в треугольник окружностей: Incircle и Excircle. Центры соответствующих окружностей кратко называют "внуцентр" и "внецентр" [2] по аналогии с английскими сокращениями соответственно центров вписанной и вневписанной в треугольник окружностей: Incenter и Excenter.
- С учетом того, что вместо слова "окружность" возможно использование синонимов: обод (круга), обод круга,- "внуокружность" и "внеокружность" будут кратко называться соответственно, как "внуобод" (круга) и "внеобод" (круга) [2].
Связь с площадью треугольника[
ru-wiki.ru
Вписанная окружность — Википедия РУ
Окружность, вписанная в треугольник со сторонами a, b, c.Свойства вписанной окружности:
- В каждый треугольник можно вписать окружность, притом только одну.
- Центр I{\displaystyle I} вписанной окружности равноудалён от всех сторон и является точкой пересечения биссектрис треугольника.
- Радиус r{\displaystyle r} вписанной в треугольник окружности равен:
где a,b,c{\displaystyle a,b,c} — стороны треугольника, ha,hb,hc{\displaystyle h_{a},h_{b},h_{c}} — высоты, проведённые к соответствующим сторонам[1];
r=Sp=(p−a)(p−b)(p−c)p{\displaystyle r={\frac {S}{p}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}} где S{\displaystyle S} — площадь треугольника, а p{\displaystyle p} — его полупериметр. r=p−actg(α/2)=p−bctg(β/2)=p−cctg(γ/2){\displaystyle r={\frac {p-a}{\operatorname {ctg} (\alpha /2)}}={\frac {p-b}{\operatorname {ctg} (\beta /2)}}={\frac {p-c}{\operatorname {ctg} (\gamma /2)}}} , p{\displaystyle p} — полупериметр треугольника (Теорема котангенсов).- Если AB{\displaystyle AB} — основание равнобедренного треугольника △ABC{\displaystyle \triangle ABC} , то окружность, касающаяся сторон угла ∠ACB{\displaystyle \angle ACB} в точках A{\displaystyle A} и B{\displaystyle B} , проходит через центр вписанной окружности треугольника △ABC{\displaystyle \triangle ABC} .
- Теорема Эйлера: R2−2Rr=|OI|2{\displaystyle R^{2}-2Rr=|OI|^{2}} , где R{\displaystyle R} — радиус описанной вокруг треугольника окружности, r{\displaystyle r} — радиус вписанной в него окружности, O{\displaystyle O} — центр описанной окружности, I{\displaystyle I} — центр вписанной окружности.
- Если прямая, проходящая через точку I параллельно стороне AB{\displaystyle AB} , пересекает стороны BC{\displaystyle BC} и CA{\displaystyle CA} в точках A1{\displaystyle A_{1}} и B1{\displaystyle B_{1}} , то A1B1=A1B+AB1{\displaystyle A_{1}B_{1}=A_{1}B+AB_{1}} .
- Если точки касания вписанной в треугольник T{\displaystyle T} окружности соединить отрезками, то получится треугольник T1{\displaystyle T_{1}} со свойствами:
- Радиус вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c окружности равен a+b−c2{\displaystyle {\frac {a+b-c}{2}}} .
- Расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны, равно d=a+b−c2=p−c{\displaystyle d={\frac {a+b-c}{2}}=p-c} .
- Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности равно lc=rsin(γ2){\displaystyle l_{c}={\frac {r}{\sin({\frac {\gamma }{2}})}}} , где r{\displaystyle r} — радиус вписанной окружности, а γ — угол вершины C.
- Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности может также быть найдено по формулам lc=(p−c)2+r2{\displaystyle l_{c}={\sqrt {(p-c)^{2}+r^{2}}}} и lc=ab−4Rr{\displaystyle l_{c}={\sqrt {ab-4Rr}}}
- Теорема о трезубце или теорема трилистника: Если D — точка пересечения биссектрисы угла A с описанной окружностью треугольника ABC, I и J — соответственно центры вписанной и вневписанной окружности, касающейся стороны BC, тогда |DI|=|DB|=|DC|=|DJ|{\displaystyle |DI|=|DB|=|DC|=|DJ|} .
- Лемма Веррьера[2]: пусть окружность V{\displaystyle V} касается сторон AB{\displaystyle AB} , AC{\displaystyle AC} и дуги BC{\displaystyle BC} описанной окружности треугольника ABC{\displaystyle ABC} . Тогда точки касания окружности V{\displaystyle V} со сторонами и центр вписанной окружности треугольника ABC{\displaystyle ABC} лежат на одной прямой.
http-wikipediya.ru