Как разложить число на простые множители. Разложение числа на простые множители
Разложение чисел на простые множители
Онлайн-калькулятор "Разложение числа на простые множители" позволит вам разложить любое составное число на простые множители. Для этого вам нужно ввести число в поле и нажать кнопку "Вычислить". Особенностью данного калькулятора является то, что он не просто выдаст ответ, но и представит подробное решение. С помощью нашего калькулятора Вы сможете быстро получить результат, а подробное решение поможет вам разобраться, как был произведен расчет.
Введите число:
Вычислить
Все натуральные числа можно разделить на две группы чисел: простые и составные.
Простое число – это число, которые имеют только два делителя (единица и само это число), т.е. делится без остатка только на единицу и на само себя. Принято считать, что единица (1) не является простым числом. Пример простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 и т.д. Простых чисел бесконечное множество, ниже в таблице представлены простые числа до 1000.
Составное число – это число, которые имеют более двух делителей. Любое составное число может быть представлено в виде произведенения простых чисел, например: 84 = 2 · 2 ·3 ·7.
Таблица простых чисел до 1000
| 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 |
| 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | 37 |
| 41 | 43 | 47 | 53 | 59 | 61 |
| 67 | 71 | 73 | 79 | 83 | 89 |
| 97 | 101 | 103 | 107 | 109 | 113 |
| 127 | 131 | 137 | 139 | 149 | 151 |
| 157 | 163 | 167 | 173 | 179 | 181 |
| 191 | 193 | 197 | 199 | 211 | 223 |
| 227 | 229 | 233 | 239 | 241 | 251 |
| 257 | 263 | 269 | 271 | 277 | 281 |
| 283 | 293 | 307 | 311 | 313 | 317 |
| 331 | 337 | 347 | 349 | 353 | 359 |
| 367 | 373 | 379 | 383 | 389 | 397 |
| 401 | 409 | 419 | 421 | 431 | 433 |
| 439 | 443 | 449 | 457 | 461 | 463 |
| 467 | 479 | 487 | 491 | 499 | 503 |
| 509 | 521 | 523 | 541 | 547 | 557 |
| 563 | 569 | 571 | 577 | 587 | 593 |
| 599 | 601 | 607 | 613 | 617 | 619 |
| 631 | 641 | 643 | 647 | 653 | 659 |
| 661 | 673 | 677 | 683 | 691 | 701 |
| 709 | 719 | 727 | 733 | 739 | 743 |
| 751 | 757 | 761 | 769 | 773 | 787 |
| 797 | 809 | 811 | 821 | 823 | 827 |
| 839 | 853 | 857 | 859 | 863 | |
| 877 | 881 | 883 | 887 | 907 | 911 |
| 919 | 929 | 937 | 941 | 947 | 953 |
| 967 | 971 | 977 | 983 | 991 | 997 |
calc.by
РАЗЛОЖЕНИЕ ЧИСЛА на простые множители, таблица простых чисел
Разложение числа на простые множители – это часто встречающаяся задача, которую нужно уметь решать. Разложение на простые множители может потребоваться при нахождении НОД (наибольший общий делитель) и НОК (наименьшее общее кратное), а также при проверке, являются ли числа взаимно простыми.
Все числа можно разделить на два основных типа:
- Простое число – это число, которое делится только на само себя и на 1.
- Составное число – это число, которое имеет другие делители, кроме самого себя и 1.
Чтобы проверить, является ли число простым или составным, можно воспользоваться специальной таблицей простых чисел.
Таблица простых чисел
Для удобства вычислений все простые числа были собраны в таблицу. Ниже приведена таблица простых чисел из диапазона от 1 до 1000.
| 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | 37 |
| 41 | 43 | 47 | 53 | 59 | 61 | 67 | 71 | 73 | 79 | 83 | 89 |
| 97 | 101 | 103 | 107 | 109 | 113 | 127 | 131 | 137 | 139 | 149 | 151 |
| 157 | 163 | 167 | 173 | 179 | 181 | 193 | 197 | 199 | 211 | 223 | |
| 227 | 229 | 233 | 239 | 241 | 251 | 257 | 263 | 269 | 271 | 277 | 281 |
| 283 | 293 | 307 | 311 | 313 | 317 | 331 | 337 | 347 | 349 | 353 | 359 |
| 367 | 373 | 379 | 383 | 389 | 397 | 401 | 409 | 419 | 421 | 431 | 433 |
| 439 | 443 | 449 | 457 | 461 | 463 | 467 | 479 | 487 | 491 | 499 | 503 |
| 509 | 521 | 523 | 541 | 547 | 557 | 563 | 569 | 571 | 577 | 587 | 593 |
| 599 | 601 | 607 | 613 | 617 | 619 | 631 | 641 | 643 | 647 | 653 | 659 |
| 661 | 673 | 677 | 683 | 691 | 701 | 709 | 719 | 727 | 733 | 739 | 743 |
| 751 | 757 | 761 | 769 | 773 | 787 | 797 | 811 | 821 | 823 | 827 | |
| 829 | 839 | 853 | 857 | 859 | 863 | 877 | 881 | 883 | 887 | 907 | 911 |
| 919 | 929 | 937 | 941 | 947 | 953 | 967 | 971 | 977 | 983 | 991 | 997 |
Разложение на простые множители
Для разложения числа на простые множители можно использовать таблицу простых чисел и признаки делимости чисел. До тех пор, пока число не станет равно 1, нужно подбирать простое число, на которое делится текущее, и выполнять деление. Если не удалось подобрать ни одного множителя, не равного 1 и самому числу, то число простое. Рассмотрим, как это делается на примере.
Пример:
Разложить на простые множители число 63140.
Решение:
Чтобы не потерять множители, будем записывать их в столбик, как показано на картинке. Такое решение является достаточно компактным и удобным. Рассмотрим его подробнее.
Число 63140 четное, поэтому оно делится на 2:
Число 31570 четное, поэтому оно делится на 2:
Число 15785 нечетное, поэтому на 2 не делится. Сумма цифр числа
не делится на 3, поэтому число 15785 на 3 не делится. Зато оно заканчивается на 5, поэтому оно делится на 5:
Число 3157 заканчивается на 7, поэтому оно не делится на 5. Зато число 3157 делится на 7:
Число 451 больше на 7 не делится. Поэтому проверяем следующее простое число – 11: чтобы число 451 делилось на 11, нужно чтобы сумма цифр на нечетных местах была равна сумме цифр на четных местах:
Поэтому 451 делится на 11:
Число 41 является простым, поэтому следующий множитель равен 41.
Таким образом, число 63140 было разложено на множители:
63140 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 41
разложение чисел на простые множители
Каждое натуральное число, кроме единицы, имеет два или более делителей. Например, число 7, делится без остатка только на 1 и на 7, то есть имеет два делителя. А у числа 8, делители 1, 2, 4, 8, то есть аж 4 делителя сразу.
Чем отличаются простые и составные числа
Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Числа, которые имеют только два делителя: единица и само это число, называются простыми числами.
Число 1 имеет только один делить, а именно само это число. Единица не относится ни к простым, ни к составным числам.
- Например, число 7 простое, а число 8 составное.
Первые 10 простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Число 2 единственное четное простое число, все остальные простые числа нечетные.
Число 78 составное, так как помимо 1 и самого себя, оно делится еще и на 2. При делении на 2 получим 39. То есть 78= 2*39. В таких случаях говорят, что число разложили на множители 2 и 39.
Любое составное число можно разложить на два множителя, каждый из которых больше 1. С простым числом такой фокус не прокатит. Такие дела.
Разложение числа на простые множители
Как уже отмечалось выше, любое составное число, можно разложить на два множителя. Возьмем, к примеру, число 210. Это число можно разложить на два множителя 21 и 10. Но числа 21 и 10 тоже составные, разложим и их на два множителя. Получим 10 = 2*5, 21=3*7. И в итоге число 210 разложилось уже на 4 множителя: 2,3,5,7. Эти числа уже простые и их разложить нельзя. То есть мы разложили число 210 на простые множители.
При разложении составных чисел на простые множители, их обычно, записывают в порядке возрастания.
Следует запомнить, что любое составное число можно разложить на простые множители и причем единственным образом, с точностью до перестановки.
- Обычно, при разложении числа на простые множители пользуются признаками делимости.
Разложим число 378 на простые множители
Будем записывать числа, разделяя их вертикальной чертой. Число 378 делится на 2, так как оканчивается на 8. При делении получим число 189. Сумма цифр числа 189 делится на 3, значит и само число 189 делится на 3. В результате получим 63.
Число 63 тоже делится на 3, по признаку делимости. Получаем 21, число 21 снова можно разделить на 3, получим 7. Семерка делится только на себя, получаем единицу. На этом закончено деление. Справа после черты получились простые множители, на которые раскладывается число 378.
378|2189|3 63|3 21|3 7|7 1|
- Следовательно, число 378=2*2*3*3*3*7.
Нужна помощь в учебе?
Предыдущая тема: Признаки делимости на 3 и на 9: рассмотрим на примере и выведем правило Следующая тема:   Наибольший общий делитель (НОД): определение, как найти, схемаВсе неприличные комментарии будут удаляться.
www.nado5.ru
Разложение составных чисел на простые множители
Составное число всегда можно единственным способом представить как произведение нескольких простых чисел. При арифметических действиях с обыкновенными дробями, если у них разные знаменатели в одном числовом выражении, необходимо привести дроби к сопоставимому виду.
Чтобы произвести такие действия (преобразовать дроби в равновеликие с одинаковыми знаменателями), нужно иметь систему (правило и форму записи) разложения составных чисел на простые множители.
Определение. Разложить число на простые множители — значит записать число в виде произведения простых чисел.
- Правило. Чтобы разложить число на простые множители, надо:
- — записать его слева от вертикальной черты;
- — справа от черты записать первый делитель числа — самое маленькое число из таблицы простых чисел, на которое данное число делится без остатка;
- — в следующей строке слева под числом записать делимое первого этапа, которое является частным от деления данного числа на записанный справа на одной строке с ним делитель;
- — справа найти (как и первый делитель) наименьшее простое число, на которое делимое первого этапа делится без остатка, это число будет вторым делителем числа;
- — слева записать делимое второго этапа, которое есть частное от деления предыдущей строки делимого на ее же делитель;
- — для делимого второго этапа также найти делитель из наименьшего числа простых чисел, записать его на той же строке справа н т. д., пока в делимом последнего этапа не будет стоять 1;
- — делители, стоящие справа от черты, записать множителями данного числа.
Перемножив между собой множители, стоящие справа от черты, мы получаем исходное число.
12 376 = 2 * 2 * 2 * 7 * 13 * 17;1 421 = 7 * 7 * 29;8 = 2 * 2 * 2.
Внимание! Делители справа у составных чисел увеличиваются слева направо. При разложении на множители простых чисел справа от черты стоит одно число (один делитель) — заданное число, а слева от черты стоят заданное число и число 1.
Запись опубликована в рубрике Математика с метками множитель, разложение, числа. Добавьте в закладки постоянную ссылку.shkolo.ru
Разложение числа на простые множители
Вам также может пригодиться калькулятор разложения чисел на простые множители.
Основная теорема арифметики гласит:
Любое натуральное число , большее единицы, можно разложить в произведение простых чисел, причём это разложение единственно с точностью до порядка следования сомножителей.Как разложить число на множители?
Вот последовательность действий при разложении числа на простые множители:
- Берём самое маленькое простое число — 2 и по признакам делимости или обычным делением проверяем, делится ли наше число на 2.
- Если делится, то выписываем 2 в столбец с простыми множителями и делим наше число на 2 (получаем новое число). Далее снова проверяем, делится ли новое число на 2.
- Если не делится, то переходим к следующему простому числу — 3.
Эти три шага выполняются до тех пор, пока наше число не окажется равным 1.
Далее рассмотрим несколько примеров.
Разложить на простые множители число 54
- Число 65 не делится на 2 (так как оно оканчивается на нечётное число 5).
- 65 не делится на 3 (сумма цифр равна 11, а 11 не делится на 3).
- Зато 65 делится на 5. Выписываем число 5 в правую колонку. Теперь проверять мы будем уже число 13.
- Число 13 — простое, его можно разделить только на 13. Выписываем в правую колонку 13, в левую — 1. Наше разложение закончено.
Разложить на простые множители число 65
- Число 54 делится на 2. Выписываем 2 в правый столбик. Записываем 27 в левый столбец.
- 27 не делится на 2, зато делится на 3. Выписываем 3 в правый столбик. Число 9 записываем в левую колонку.
- 9 делится на 3. Снова выписываем 3 в правый столбик. В левый выписываем 3.
- Число 3 делится на 3, В правый столбик выписываем 3, в левый — 1. Разложение закончено.
Разложить на простые множители число 99
- Число 99 не делится на 2, зато делится на 3.
- 33 также делится на 3.
- Число 11 — простое, поэтому разложение завершено.
Разложить на простые множители число 162
Разложить на простые множители число 1500
umath.ru
Разложение на простые множители. Правила | Учеба-Легко.РФ
Всякое составное число можно разложить на простые множители. При любом способе получается одно и то же разложение, если не учитывать порядка записи множителей. Последовательность действий при разложении на простые множители:
1. Проверяем, не является ли предложенное число простым.
2. Если нет, то подбираем, руководствуясь признаками деления делитель, из простых чисел начиная с наименьшего (2, 3, 5 …).
3. Повторяем это действие до тех пор, пока частное не окажется простым числом. Разложим на простые множители число 27 :
27 не является простым.
27 на 2 не делится.
27 делится на 3, получаем 27 : 3 = 9 .
9 на 2 не делится.
9 делится на 3, 9 : 3 = 3.
3 простое число.
Результат: 27 = 3 • 3 • 3.
Разложим на простые множители число 378 :
378 не является простым.
378 делится на 2, так как оканчивается на четное число ( 8 ). 378 : 2 = 189 .
189 делится на 3, потому что сумма его цифр делится на 3, получаем 189 : 3 = 63 .
63 так же делится на 3, получаем 63 : 3 = 21 .
21 так же делится на 3, получаем 21 : 3 = 7 .
7 простое число.
Разложим на простые множители число 2310 :
2310 не является простым.
2310 делится на 2, так как оканчивается на число 0. 2310 : 2 = 1155 .
1155 делится на 3, потому что сумма его цифр делится на 3, получаем 1155 : 3 = 385 .
385 делится на 5, получаем 385 : 5 = 77 .
77 делится на 7, получаем 77 : 7 = 11 .
11 простое число.
uclg.ru
Как разложить число на простые множители
Любое составное число можно разложить на простые множители. Способов разложения может быть несколько. При любом способе получается один и тот же результат.
Как разложить число на простые множители наиболее удобным способом? Рассмотрим, как это лучше сделать, на конкретных примерах.
Примеры. 1) Разложить число 1400 на простые множители.
1400 делится на 2. 2 — простое число, раскладывать его на множители не нужно. Получаем 700. Делим его на 2. Получаем 350. 350 тоже делим на 2. Полученное число 175 можно разделить на 5. Результат — з5 — еще раз делим на 5. Итого — 7. Его можно разделить только на 7. Получили 1, деление окончено.
Это же число можно разложить на простые множители иначе:
1400 удобно разделить на 10. 10 не является простым числом, поэтому его нужно разложить на простые множители: 10=2∙5. Результат — 140. Его снова делим на 10=2∙5. Получаем 14. Если 14 разделить на 14, то его тоже следует разложить на произведение простых множителей: 14=2∙7.
Таким образом, снова пришли к такому же, как и в первом случае, разложению, но быстрее.
Вывод: не обязательно при разложении числа делить его только на простые делители. Делим на то, что удобнее, например, на 10. Надо только составные делители не забыть разложить на простые множители.
2) Разложить число 1620 на простые множители.
Число 1620 удобнее всего разделить на 10. Поскольку 10 простым числом не является, представляем его в виде произведения простых множителей: 10=2∙5. Получили 162. Его удобно разделить на 2. Результат — 81. Число 81 можно разделить на 3, но на 9 — удобнее. Так как 9 — не простое число, раскладываем его как 9=3∙3. Получили 9. Его также делим на 9 и раскладываем на произведение простых множителей.
www.for6cl.uznateshe.ru
