Разложение квадратного трехчлена на множители с помощью теоремы Виета. Разложение квадратного уравнения на скобки
Разложение квадратного трехчлена на множители с помощью теоремы Виета - решения.егэцентр.рф
Разложение квадратного трехчлена на множители может пригодится при решении неравенств из задачи С3 или задачи с параметром С5. Так же многие текстовые задачи B13 решатся значительно быстрее, если вы владеете теоремой Виета.
Эту теорему, конечно, можно рассматривать с позиций 8-го класса, в котором она впервые проходится. Но наша задача — хорошо подготовиться к ЕГЭ и научиться решать задания экзамена максимально эффективно. Поэтому в этом уроке рассмотрен подход немного отличный от школьного.
Формулу корней уравнения по теореме Виета знают (или хотя бы видели) многие:
$$x_1+x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 · x_2 = \frac{c}{a},$$
где `a, b` и `c` — коэффициенты квадратного трехчлена `ax^2+bx+c`.
Чтобы научиться легко пользоваться теоремой, давайте поймем, откуда она берется (так будет реально легче запомнить).
Пусть перед нами есть уравнение `ax^2+ bx+ с = 0`. Для дальнейшего удобства разделим его на `a` получим `x^2+\frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0`. Такое уравнение называется приведенным квадратным уравнением.
Важная мысль урока: любой квадратный многочлен, у которого есть корни, можно разложить на скобки. Предположим, что наш можно представить в виде `x^2+\frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = (x + k)(x+l)`, где `k` и `l` — некоторые константы.
Посмотрим, как раскроются скобки:
$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$
Таким образом, `k+l = \frac{b}{a}, kl = \frac{c}{a}`.
Это немного отличается от классической трактовки теоремы Виета — в ней мы ищем корни уравнения. Я же предлагаю искать слагаемые для разложения на скобки — так не нужно помнить про минус из формулы (имеется в виду `x_1+x_2 = -\frac{b}{a}`). Достаточно подобрать два таких числа, сумма которых равна среднему коэффициенту, а произведение — свободному члену.
Если нам нужно решение именно уравнения, то оно очевидно: корни `x=-k`или `x=-l` (так как в этих случаях одна из скобок занулится, значит, будет равно нулю и все выражение).
На примере покажу алгоритм, как раскладывать квадратный многочлен на скобки.
Пример первый. Алгоритм разложения квадратного трехчлена на множители
Путь у нас есть квадртаный трехчлен `x^2+5x+4`.
Он приведенный (коэффициент у `x^2` равен единице). Корни у него есть. (Для верности можно прикинуть дискриминант и убедиться, что он больше нуля.)
Дальнейшие шаги (их нужно выучить, выполнив все тренировочные задания):
- Выполнить следующую запись: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Вместо точек оставьте свободное место, туда будем дописывать подходящие числа и знаки.
- Рассмотреть все возможные варианты, как можно разложить число `4` на произведение двух чисел. Получим пары "кандидатов" на корни уравнения: `2, 2` и `1, 4`.
- Прикинуть, из какой пары можно получить средний коэффициент. Очевидно, что это `1, 4`.
- Записать $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$.
- Следующий этап — расставить знаки перед вставленными числами.
Как понять и навсегда запомнить, какие знаки должны быть перед числами в скобках? Попробуйте раскрыть их (скобки). Коэффициент перед `x` в первой степени будет `(± 4 ± 1)` (пока что знаков мы не знаем — нужно выбрать), и он должен равняться `5`. Очевидно, что здесь будут два плюса $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.
Выполните эту операцию несколько раз (привет, тренировочные задания!) и больше проблем с этим не будет никогда.
Если нужно решить уравнение `x^2+5x+4`, то теперь его решение не составит труда. Его корни: `-4, -1`.
Пример второй. Разложение на множители квадратного трехчлена с коэффициентами различных знаков
Пусть нам нужно решить уравнение `x^2-x-2=0`. Навскидку дискриминант положительный.
Идем по алгоритму.
- $$x^2-x-2=(x \ldots ) (x \ldots).$$
- Разложение двойки на целые множители есть только одно: `2 · 1`.
- Пропускаем пункт — выбирать не из чего.
- $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
- Произведение наших чисел отрицательное (`-2` — свободный член), значит, одно из них будет отрицательное, а другое — положительное. Поскольку их сумма равна `-1` (коэффициент при `x`), то отрицательным будет `2` (интуитивное объяснение — двойка большее из двух чисел, оно сильнее "перетянет" в отрицательную сторону). Получим $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$
Третий пример. Разложение квадратного трехчлена на множители
Уравнение `x^2+5x -84 = 0`.
- $$x+ 5x-84=(x \ldots ) (x \ldots).$$
- Разложение 84 на целые множители: `4· 21, 6· 14, 12· 7, 2·42`.
- Поскольку нам нужно, чтобы разница (или сумма) чисел равнялась 5, то нам подойдет пара `7, 12`.
- $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x \quad 7).$$
- $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$
Надеюсь, разложение этого квадратного трехчлена на скобки понятно.
Если нужно решение уравнения, то вот оно: `12, -7`.
Задания для тренировки
Предлагаю вашему вниманию несколько примеров, которые легко решаются с помощью теоремы Виета. (Примеры взяты из журнала "Математика", 2002.)
- `x^2+x-2=0`
- `x^2-x-2=0`
- `x^2+x-6=0`
- `x^2-x-6=0`
- `x^2+x-12=0`
- `x^2-x-12=0`
- `x^2+x-20=0`
- `x^2-x-20=0`
- `x^2+x-42=0`
- `x^2-x-42=0`
- `x^2+x-56=0`
- `x^2-x-56=0`
- `x^2+x-72=0`
- `x^2-x-72=0`
- `x^2+x-110=0`
- `x^2-x-110=0`
- `x^2+x-420=0`
- `x^2-x-420=0`
Спустя пару лет после написания статьи появился сборник из 150 заданий для разложения квадратного многочлена по теореме Виета.
Ставьте лайки и задавайте вопросы в комментариях!
xn--e1aajtm3cwc.xn--c1adb6aplz9c.xn--p1ai
Раздожение квадратного трехчлена на множители
Разложение квадратного трехчлена на линейные множители можно выполнить, используя следующую теорему.
Теорема
(О разложении квадратного трёхчлена на множители)
1) Если квадратное уравнение
имеет два корня x1 и x2, квадратный трёхчлен ax²+bx+c можно разложить на множители по формуле
2) Если уравнение имеет один корень x1, квадратный трёхчлен можно представить в виде
3) Если уравнение не имеет корней, то квадратный трёхчлен ax²+bx+c в действительных числах не раскладывается на множители.
Примеры разложения квадратного трёхчлена на линейные множители.
Чтобы разложить квадратный трёхчлен на множители, надо решить квадратное уравнение
Подставляем a=2, x1=3, x2= -1/2 в формулу
Получаем
Удобно внести 2 во вторые скобки. Для этого 2 умножим на каждое слагаемое в этих скобках:
Таким образом,
Квадратный трехчлен раскладываем на множители по формуле
Чтобы внести множитель в скобки, представим его как квадрат (чтобы воспользоваться свойством степеней a²b²=(ab)²): 9=3².
Корни квадратного уравнения можно найти через дискриминант (или дискриминант, делённый на 4), по теореме, обратной теореме Виета или используя формулы особых случаев.
Разложить квадратный трёхчлен на множители можно, не прибегая к помощи теоремы о разложении квадратного трёхчлена на множители. Для этого слагаемое с bx представляют в виде суммы или разности двух слагаемых и используют способ группировки.
Например,
Выбирайте для себя тот способ, который нравится лично вам, в котором вы чувствуете себя наиболее уверенно и не допускаете ошибок.
Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители в алгебре используется для сокращения дробей, при решении уравнений и неравенств, при построении графиков и т.д.
www.algebraclass.ru
Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.
Квадратный трехчлен ax2+bx+c можно разложить на линейные множители по формуле:
ax2+bx+c=a (x-x1)(x-x2), где x1, x2 — корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0.
Разложить квадратный трехчлен на линейные множители:
Пример 1). 2x2-7x-15.
Решение. Найдем корни квадратного уравнения: 2x2-7x-15=0.
a=2; b=-7; c=-15. Это общий случай для полного квадратного уравнения. Находим дискриминант D.
D=b2-4ac=(-7)2-4∙2∙(-15)=49+120=169=132>0; 2 действительных корня.
Применим формулу: ax2+bx+c=a (x-x1)(x-x2).
2x2-7x-15=2 (х+1,5)(х-5)=(2х+3)(х-5). Мы представили данный трехчлен 2x2-7x-15 в виде произведения двучленов 2х+3 и х-5.
Ответ: 2x2-7x-15=(2х+3)(х-5).
Пример 2). 3x2+2x-8.
Решение. Найдем корни квадратного уравнения:
3x2+2x-8=0.
a=3; b=2; c=-8. Это частный случай для полного квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом (b=2). Находим дискриминант D1.
Применим формулу: ax2+bx+c=a (x-x1)(x-x2).
Мы представили трехчлен 3x2+2x-8 в виде произведения двучленов х+2 и 3х-4.
Ответ: 3x2+2x-8=(х+2)(3х-4).
Пример 3). 5x2-3x-2.
Решение. Найдем корни квадратного уравнения:
5x2-3x-2=0.
a=5; b=-3; c=-2. Это частный случай для полного квадратного уравнения с выполненным условием: a+b+c=0 (5-3-2=0). В таких случаях первый корень всегда равен единице, а второй корень равен частному от деления свободного члена на первый коэффициент:
Применим формулу: ax2+bx+c=a (x-x1)(x-x2).
5x2-3x-2=5 (х-1)(х+0,4)=(х-1)(5х+2). Мы представили трехчлен 5x2-3x-2 в виде произведения двучленов х-1 и 5х+2.
Ответ: 5x2-3x-2=(х-1)(5х+2).
Пример 4). 6x2+x-5.
Решение. Найдем корни квадратного уравнения:
6x2+x-5=0.
a=6; b=1; c=-5. Это частный случай для полного квадратного уравнения с выполненным условием: a-b+c=0 (6-1-5=0). В таких случаях первый корень всегда равен минус единице, а второй корень равен минус частному от деления свободного члена на первый коэффициент:
Применим формулу: ax2+bx+c=a (x-x1)(x-x2).
Мы представили трехчлен 6x2+x-5 в виде произведения двучленов х+1 и 6х-5.
Ответ: 6x2+x-5=(х+1)(6х-5).
Пример 5). x2-13x+12.
Решение. Найдем корни приведенного квадратного уравнения:
x2-13x+12=0. Проверим, можно ли применить теорему Виета. Для этого найдем дискриминант и убедимся, что он является полным квадратом целого числа.
a=1; b=-13; c=12. Находим дискриминант D.
D=b2-4ac=132-4∙1∙12=169-48=121=112.
Применим теорему Виета: сумма корней должна быть равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней должно быть равно свободному члену:
x1+x2=13; x1∙x2=12. Очевидно, что x1=1; x2=12.
Применим формулу: ax2+bx+c=a (x-x1)(x-x2).
x2-13x+12=(х-1)(х-12).
Ответ: x2-13x+12=(х-1)(х-12).
Пример 6). x2-4x-6.
Решение. Найдем корни приведенного квадратного уравнения:
x2-4x-6=0.
a=1; b=-4; c=-6. Второй коэффициент — четное число. Находим дискриминант D1.
Дискриминант не является полным квадратом целого числа, поэтому, теорема Виета нам не поможет, и мы найдем корни по формулам для четного второго коэффициента:
Применим формулу: ax2+bx+c=a (x-x1)(x-x2) и запишем ответ:
Друзья, для того, чтобы разложить квадратные трехчлены на множители, мы решали каждое квадратное уравнение рациональным способом. Все эти способы мы рассмотрели ранее в теме: «Решение полных квадратных уравнений».
www.mathematics-repetition.com
Как разложить квадратный трёхчлен на множители?
Мир погружён в огромное количество чисел. Любые исчисления происходят с их помощью.
Люди учат цифры для того, чтобы в дальнейшей жизни не попадаться на обман. Необходимо уделять огромное количество времени, чтобы быть образованным и рассчитать собственный бюджет.
Математика — это точная наука, которая играет большую роль в жизни. В школе дети изучают цифры, а после, действия над ними.
Действия над числами бывают совершенно разными: умножение, разложение, добавление и прочие. Помимо простых формул, в изучении математики используют и более сложные действия. Существует огромное количество формул, по которым узнают любые значения.
Это интересно: разность векторов, определение разности.
В школе, как только появляется алгебра, в жизнь школьника добавляются формулы упрощения. Бывают уравнения, когда неизвестных числа два, но найти простым способом не получится. Трёхчлен — соединение трёх одночленов, с помощью простого метода отнимания и добавления. Трёхчлен решается с помощью теоремы Виета и дискриминанта.
Формула разложения квадратного трёхчлена на множители
Существуют два правильных и простых решения примера:
- дискриминант;
- теорема Виета.
Квадратный трёхчлен имеет неизвестный в квадрате, а также число без квадрата. Первый вариант для решения задачи использует формулу Виета. Это простая формула, если цифры, что стоят перед неизвестным, будут минимальным значением.
Для других уравнений, где число стоит перед неизвестным, уравнение необходимо решать через дискриминант. Это более сложное решение, но используют дискриминант намного чаще, нежели теорему Виета.
Изначально, для нахождения всех переменных уравнения необходимо возвести пример к 0. Решение примера можно будет проверить и узнать правильно ли подстроены числа.
Это интересно: умножение на 0 – правило для любого числа.
Дискриминант
1. Необходимо приравнять уравнение к 0.
2. Каждое число перед х будет названо числами a, b, c. Так как перед первым квадратным х нет числа, то оно приравнивается к 1.
3. Теперь решение уравнения начинается через дискриминант:
4. Теперь нашли дискриминант и находим два х. Разница заключается в том, что в одном случае перед b будет стоять плюс, а в другом минус:
5. По решению два числа получилось -2 и -1. Подставляем под первоначальное уравнение:
6. В этом примере получилось два правильных варианта. Если оба решения подходят, то каждое из них является истинным.
Через дискриминант решают и более сложные уравнение. Но если само значение дискриминанта будет меньше 0, то пример неправильный. Дискриминант при поиске всегда под корнем, а отрицательное значение не может находиться в корне.
Это интересно: признак перпендикулярности прямой и плоскости, теория и практика.
Теорема Виета
Применяется для решения лёгких задач, где перед первым х не стоит число, то есть a=1. Если вариант совпадает, то расчёт проводят через теорему Виета.
Для решения любого трёхчлена необходимо возвести уравнение к 0. Первые шаги у дискриминанта и теоремы Виета не отличаются.
2. Теперь между двумя способами начинаются отличия. Теорема Виета использует не только «сухой» расчёт, но и логику и интуицию. Каждое число имеет свою букву a, b, c. Теорема использует сумму и произведение двух чисел.
Запомните! Число b всегда при добавлении стоит с противоположным знаком, а число с остаётся неизменным!
Подставляя значения данные в примере, получаем:
Это интересно: что такое разность в математике?
3. Методом логики подставляем наиболее подходящие цифры. Рассмотрим все варианты решения:
- Цифры 1 и 2. При добавлении получаем 3, но если умножить, то не получится 4. Не подходит.
- Значение 2 и -2. При умножении будет -4, но при добавлении получается 0. Не подходит.
- Цифры 4 и -1. Так как в умножении стоит отрицательное значение, значит, одно из чисел будет с минусом. При добавлении и умножении подходит. Правильный вариант.
4. Остаётся только проверить, раскладывая числа, и посмотреть правильность подобранного варианта.
5. Благодаря онлайн-проверке мы узнали, что -1 не подходит по условию примера, а значит является неправильным решением.
При добавлении отрицательного значения в примере, необходимо цифру заносить в скобки.
В математике всегда будут простые задачи и сложные. Сама наука включает в себя разнообразие задач, теорем и формул. Если понимать и правильно применять знания, то любые сложности с вычислениями будут пустяковыми.
Математика не нуждается в постоянном запоминании. Нужно научится понимать решение и выучить несколько формул. Постепенно, по логическим выводам, можно решать похожие задачи, уравнения. Такая наука может с первого взгляда показаться очень тяжёлой, но если окунутся в мир чисел и задач, то взгляд резко изменится в лучшую сторону.
Технические специальности всегда остаются самыми востребованными в мире. Сейчас, в мире современных технологий, математика стала незаменимым атрибутом любой сферы. Нужно всегда помнить о полезных свойствах математики.
Разложение трёхчлена с помощью скобки
Кроме решения привычными способами, существует ещё один — разложение на скобки. Используют с применением формулы Виета.
1. Приравниваем уравнение к 0.
ax 2 + bx+ c= 0
2. Корни уравнения остаются такими же, но вместо нуля теперь используют формулы разложения на скобки.
ax 2 + bx+ c = a ( x – x 1 ) ( x – x 2 )
3. Пример уравнения.
2 x 2 – 4 x – 6 = 2 ( x + 1 ) ( x – 3 )
4. Решение х=-1, х=3
obrazovanie.guru
Неполные квадратные уравнения | Алгебра
Как решать неполные квадратные уравнения? Решение и количество корней зависят от вида уравнения.
Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов.
Повторим теорию и рассмотрим примеры решения неполных квадратных уравнений каждого вида.
I. Неполные квадратные уравнения, к которых коэффициент c=0, то есть уравнение имеет вид ax²+bx=0.
Такие уравнения решаются разложением левой части уравнения на множители.
Общий множитель x выносим за скобки:
Это уравнение — типа «произведение равно нулю«. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:
Второе уравнение — линейное. Решаем его:
Таким образом, неполное квадратное уравнение вида ax²+bx=0 имеет 2 корня,один из которых равен нулю, а второй — -b/a.
Примеры.
Общий множитель x выносим за скобки:
Это уравнение типа «произведение равно нулю». Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:
Ответ: 0; -18.
Общий множитель 5x выносим за скобки:
Приравниваем к нулю каждый множитель:
Ответ: 0; 3.
II. Неполные квадратные уравнения, к которых коэффициент b=0, то есть уравнение имеет вид ax²+c=0 (или ax²-c=0).
Неполное квадратное уравнение такого вида либо имеет два корня, которые отличаются только знаками (являются противоположными числами), либо не имеет корней.
1. Если знаки a и c — разные, уравнение имеет два корня.
В курсе алгебры 7 класса такие уравнения решают разложением левой части на множители по формуле разности квадратов (поскольку квадратные корни начинают учить только в курсе 8 класса, коэффициенты a и c в 7 классе обычно являются квадратами некоторых рациональных чисел):
Уравнение типа «произведение равно нулю». Приравниваем к нулю каждый из множителей:
Раскладываем левую часть уравнения по формуле разности квадратов:
Это уравнение — типа «произведение равно нулю». приравниваем к нулю каждый множитель:
Ответ: 7; -7.
Ответ: 2,25; -2,25.
2. Если знаки a и c — одинаковые, уравнение не имеет корней.
Корней нет, так как сумма положительных чисел не может равняться нулю.
Ответ: нет корней.
Корней нет, так как сумма отрицательных чисел не может равняться нулю.
Ответ: нет корней.
В курсе алгебры 8 класса, после изучения квадратных корней, эти уравнения обычно решают приводя к виду x²=d:
Примеры.
Ответ:±2.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножаем и числитель, и знаменатель на √11:
Ответ:
Корней нет, так как квадратный корень не может равняться отрицательному числу.
Ответ: нет корней.
Нет корней, так как квадратный корень не может быть равным отрицательному числу.
Ответ: нет корней.
III. Неполные уравнения, в которых коэффициенты b=0 и c=0, то есть уравнение имеет вид ax²=0.
Уравнение такого рода имеет единственный корень x=0
В некоторых учебниках считается, что уравнение имеет два одинаковых корня, каждый из которых равен нулю:
Примеры.
Ответ: 0.
Ответ: 0.
Ответ: 0.
В следующий раз рассмотрим примеры решения полных квадратных уравнений.
www.algebraclass.ru
Урок Тема: Решение квадратных уравнений. Разложение квадратного трехчлена на множители
9 класс. Алгебра. Урок 2.
Тема: Решение квадратных уравнений. Разложение квадратного трехчлена на множители.
Цели урока:
Образовательные – повторение, обобщение и проверка знаний по теме: “Разложение трехчлена на множители”; выработка основных навыков.
Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
Воспитательные -прививать самостоятельность, развивать культуру виртуального общения.
Решение квадратных уравнений.
В общем виде квадратное уравнение выглядит так:
, где a, b, c- некоторые числа, причем а ≠ 0, х - переменная
В этом уравнении a = 3, b = 5, c =2
Чтобы решить уравнение, сначала находится величина, называемая дискриминантом:
После того, как дискриминант вычислен, возможны три варианта.
1) Если дискриминант D больше нуля, то уравнение имеет два разных корня – X1 и X2.
В этом случае корни вычисляются по формулам:
Или иногда пишут так:
2) Если дискриминант D равен нулю, уравнение имеет один корень Х, который вычисляется по формуле:
Правда, на самом деле это небольшое упрощение. Уравнение с дискриминантом равным нулю, имеет два равных корня, но поскольку корни равны, то часто говорят и пишут, что корень один.
3) Если же дискриминант D меньше нуля, то уравнение не имеет вещественных корней (и именно это нужно написать в ответе).
Решение через дискриминант - универсальный способ. Им можно решить любое квадратное уравнение.
Квадратный трехчлен.
Квадратным трехчленом называется многочлен вида ax2 + bx + c, где x – переменная, a, b, c – некоторые числа, причем a ≠ 0
Коэффициент а называют старшим коэффициентом, c – свободным членом квадратного трехчлена.
Примеры квадратных трехчленов:
2x2 + 5x + 4 (здесь a = 2, b = 5, c = 4)
X2 – 7x + 5 (здесь a = 1, b = -7, c = 5)
9x2 + 9x – 9 (здесь a = 9, b = 9, c = -9)
Коэффициент b или коэффициент c либо оба коэффициента одновременно могут быть равны нулю. Например:
5x2 + 3x (здесь a = 5, b = 3, c = 0, поэтому значение c в уравнении отсутствует).
6x2 – 8 (здесь a = 6, b = 0, c = -8)
2x2 (здесь a = 2, b = 0, c = 0)
Значение переменной, при котором многочлен обращается в ноль, называют корнем многочлена.
Чтобы найти корни квадратного трехчлена ax2 + bx + c, надо приравнять его к нулю –
то есть решить квадратное уравнение ax2+ bx + c = 0
Разложение квадратного трехчлена на множители
Трехчлен ax2 + bx + c, имеющий корни x1 и x2, можно разложить на множители по следующей формуле:
a(x – x1)(x – x2).
Пример:
Разложим на множители трехчлен 2x2 + 7x – 4.
Мы видим: коэффициент а = 2.
Теперь найдем корни трехчлена. Для этого приравняем его к нулю и решим уравнение
2x2 + 7x – 4 = 0.
D = 72 -4∙2∙(-4) =49 + 32 = 81
x1 =;x2 =
x1 = 1/2, x2 = –4.
Подставим в нашу формулу значения корней, вынеся за скобки значение коэффициента а, и получим:
2x2 + 7x – 4 = 2(x – 1/2) (x + 4).
Полученный результат можно записать иначе, умножив коэффициент 2 на двучлен x – 1/2:
2x2 + 7x – 4 = (2x – 1) (x + 4).
Задача решена: трехчлен разложен на множители.
Такое разложение можно получить для любого квадратного трехчлена, имеющего корни.
ВНИМАНИЕ!
Если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то этот трехчлен имеет один корень, но при разложении трехчлена этот корень принимают как значение двух корней – то есть как одинаковое значение x1 и x2.
К примеру, трехчлен х2 – 6х + 9 имеет один корень, равный 3. Тогда x1 = 3, x2 = 3.
Х2 - 6х +9 = (х- 3)2
Д/з.
Разложить на множители:
а) 3x2 – 8x + 2;
б) 6x2 – 5x + 1;
в) 3x2 + 5x – 2;
г) -5x2 + 6x – 1;
д) 9х2 – 6х + 1;
е) 8х2 – 4х + 1;
ж) 5х2 – 3х.
gigabaza.ru
Квадратные уравнения: выделение полного квадрата
Квадратные уравнения можно решать еще до изучения темы «Квадратный корень»: выделение полного квадрата позволяет разложить квадратный трёхчлен на множители.
Рассмотрим на примерах, как можно использовать выделение квадрата двучлена для решения квадратных уравнений.
Выделим полный квадрат из трёхчлена, стоящего в левой части уравнения:
64 представим как квадрат 8:
Левую часть уравнения расложи на множители по формуле разности квадратов:
Получили уравнение типа «произведение равно нулю». Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:
Ответ: -6; 10.
Выделяем полный квадрат:
то есть быть раной нулю левая часть уравнения быть не может. Следовательно, данное уравнение не имеет корней.
Ответ: корней нет.
Разделим обе части уравнения почленно на число, стоящее перед x ²:
Выделим полный квадрат
Ответ: -1,5; -1.
С помощью выделения полного квадрата можно решать квадратные уравнения даже в курсе алгебры 7 класса при условии, что корни — рациональные числа.
Если корни — иррациональные числа, решить квадратное уравнение выделением квадрата двучлена также можно, но уже после введения понятия квадратного корня.
Пример.
Выделяем полный квадрат двучлена
Так как
Ответ:
Хотя выделение полного квадрата для решения квадратных уравнений в курсе алгебры используют редко, не стоит пренебрегать возможностью выработать соответствующий навык, который пригодится в будущем (например, в курсе математического анализа).
www.algebraclass.ru
