ГлавнаяРазноеСпособы деления чисел

Глава 4 Разделяй и властвуй: деление в уме. Способы деления чисел


Эффективные методы сложения, деления и умножения чисел

Автор: Илoнa Ильмapoвнa Пoтaпoвa, кандидат экономических наук, профессор Московского технико-экономического колледжа.

 

В работе и быту постоянно возникает необходимость в разных вычислениях. Использование простейших методов устных вычислений поможет вам снизить утомляемость, развить свое внимание и память. Применение рациональных методов вычислений также позволит вам повысить производительность труда, точность и скорость подсчетов. Вот четыре основные группы методик эффективных устных вычислений.

 

1. Приемы упрощенного сложения чисел

Известно четыре способа сложения, позволяющие ускорить подсчеты.

Способ последовательного поразрядного сложения используется при устных вычислениях, так как он упрощает и ускоряет суммирование слагаемых. При использовании этого способа сложение начинается с высших разрядов: к первому слагаемому прибавляются соответствующие разряды второго слагаемого.

Пример. Найдем сумму чисел 5287 и 3564, используя способ последовательного поразрядного сложения.

Решение. Расчет произведем в такой последовательности:

5 287 + 3 000 = 8 287;8 287 + 500 = 8 787;8 787 + 60 = 8 847;8 847 + 4 = 8 851.

Ответ: 8 851.

Другой способ последовательного поразрядного сложения заключается в том, что к высшему разряду первого слагаемого прибавляется высший разряд второго слагаемого, затем к следующему разряду первого слагаемого прибавляется следующий разряд второго слагаемого и т.д.

Рассмотрим этот вариант решения на приведенном выше примере, получим:

5 000 + 3 000 = 8 000;200 + 500 = 700;80 + 60 = 140;7 + 4 = 11;8851.

Способ круглого числа. Число, имеющее одну значащую цифру и оканчивающееся одним или несколькими нулями, называется круглым числом. Этот способ применяется, когда из двух или более слагаемых можно выбрать такие, которые можно дополнить до круглого числа. Разность между круглым и заданным в условии вычислений числами называется дополнением. Например, 1 000 — 978 = 22. В этом случае число 22 является арифметическим дополнением числа 978 до 1 000.

Чтобы произвести сложение способом круглого числа, необходимо одно или несколько слагаемых, близких к круглым числам, округлить, выполнить сложение круглых чисел и из полученной суммы вычесть арифметические дополнения.

Пример. Найдем сумму чисел 1 238 и 193, используя способ круглого числа.

Решение. Округлим число 193 до 200 и произведем сложение следующим образом: 1 238 + 193 = (1 238 + 200) — 7 = 1 431.

 

Способ группировки слагаемых. Этот способ применяют в том случае, когда слагаемые при их группировке в сумме дают круглые числа, которые затем складывают между собой.

Пример. Найдем сумму чисел 74, 32, 67, 48, 33 и 26.

Решение. Суммируем числа, сгруппированные следующим образом: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

 

Способ поразрядного суммирования отдельными столбцами. Данный способ состоит в сложении разрядов исходных чисел с повторным поразрядным суммированием полученных частных сумм.

Пример. Найдем сумму чисел 167, 532, 629, 274, 22, 18 и 14, используя способ поразрядного сложения.

Решение.

+ 167

532

629

274

+ 22

18

14

  1656.

 

2. Приемы упрощенного вычитания чисел

Способ последовательного поразрядного вычитания. Этим способом производится последовательное вычитание каждого разряда, вычитаемого из уменьшаемого. Он применяется, когда числа нельзя округлить.

Пример. Найдем разность чисел 721 и 398.

Решение. Выполним действия для нахождения разности заданных чисел в следующей последовательности:

  1. представим число 398 в виде суммы: 300 + 90 + 8 = 398;
  2. выполним поразрядное вычитание: 721 — 300 = 421; 421 — 90 = 331; 331 — 8 = 323.

 

Способ круглого числа. Этот способ применяют, когда вычитаемое близко к круглому числу. Для расчета необходимо из уменьшаемого вычесть вычитаемое, взятое круглым числом, и к полученной разности прибавить арифметическое дополнение.

Пример. Вычислим разность чисел 235 и 197, используя способ круглого числа.

Решение. 235 — 197 = 235 — 200 + 3 = 38.

 

Способ замены вычитания сложением. Способ заключается в том, что к вычитаемому нужно подобрать такое число, которое в сумме с ним было бы равно уменьшаемому. Подбор нужного числа выполняется по частям.

Пример. Найдем разность денежных сумм 50 р. и 28 р. 57 к., используя способ замены вычитания сложением.

Решение. Для суммы 28 р. 57 к. подберем числа по частям, для чего:

  1. добавим к заданной сумме 43 к. и получим 29 р.;
  2. добавим к определенной в п. 1 сумме 21 р. для получения суммы 50 р.

Таким образом, искомое число — это результат вычисления слагаемых из двух сумм, т.е. разность денежных сумм 50 р. и 28 р. 57 к. составляет 21 р. 43 к.

 

3. Приемы упрощенного умножения чисел

Умножение на единицу с последующими нулями. При умножении числа на число, включающее единицу с последующими нулями (10; 100; 1 000 и т.д.), к нему приписывают справа столько нулей, сколько их в множителе после единицы.

Пример. Найдем произведение чисел 568 и 100.

Решение. 568 x 100 = 56 800.

 

Умножение на единицу с предшествующими нулями. При умножении числа на единицу с предшествующими ей нулями (0,1; 0,01; 0,001 и т.д.) как целого числа, так и десятичной дроби в первом сомножителе отделяют запятой справа столько знаков, сколько нулей во множителе перед единицей, включая ноль целых.

Пример. Найдем произведение чисел 467 и 0,01.

Решение. 467 x 0,01 =4,67.

 

Способ последовательного поразрядного умножения. Этот способ применяется при умножении числа на любое однозначное число. Если нужно умножить двузначное (трех-, четырехзначное и т.д.) число на однозначное, то вначале один из сомножителей умножают на десятки другого сомножителя, потом на его единицы и полученные произведения суммируют.

Пример. Найдем произведение чисел 39 и 7.

Решение. 39 x 7 = (30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273.

 

Способ круглого числа. Применяют этот способ только когда один из сомножителей близок к круглому числу. Множимое умножают на круглое число, а затем на арифметическое дополнение и в конце из первого произведения вычитают второе.

Пример. Найдем произведение чисел 174 и 69.

Решение. 174 x 69 = (174 x 70) — (174 x 1) = 12 180 — 174 = 12 006.

 

Способ разложения одного из сомножителей. В этом способе сначала раскладывают на части (слагаемые) один из сомножителей, затем поочередно умножают второй сомножитель на каждую часть первого сомножителя и полученные произведения суммируют.

Пример. Найдем произведение чисел 13 и 325.

Решение. Разложим число порций на слагаемые:13 = 10 + 3.Умножим каждое из полученных слагаемых на 325: 10 x 325 р. = 3 250 р.; 3 x 325 р. = 975 р. Суммируем полученные произведения: 3 250 р. + 975 р. = 4 225 р.

 

Сокращенные приемы умножения на 0,5; 0,25 и 0,125. Десятичную дробь 0,5 можно выразить простой дробью 1/2. При умножении любого числа на 1/2 достаточно разделить это число на 2.

Пример. Найдем произведение чисел 325 и 0,5.

Решение. 322 x 0,5 = 322 / 2 = 161.

Десятичную дробь 0,25 можно выразить простой дробью 1/4. При умножении какого-то числа на 1/4 достаточно разделить это число на 4.

Пример. Найдем произведение чисел 68 и 0,25.

Решение. 68 x 0,25 = 68 / 4 = 17.

Десятичную дробь 0,125 можно выразить простой дробью 1/8. При умножении любого числа на 1/8 достаточно разделить это число на 8.

Пример. Найдем произведение чисел 600 и 0,125.

Решение. 600 x 0,125 = 600 / 8 = 75.

 

Сокращенные приемы умножения на 5; 50 и 500. Чтобы умножить какое-то число на 5; 50; 500, его нужно умножить соответственно на 10; 100; 1 000 и полученное произведение разделить на 2. Помните, что число нулей в произведении равно числу цифр в целой части множителя.

Пример. Найдем произведение чисел 74 и 50.

Решение. 74 x 50 = (74 х 100) / 2 = 7400 / 2 = 3 700.

 

Сокращенные приемы умножения на 2,5; 25 и 250. Чтобы умножить число на 2,5; 25; 250, его необходимо вначале умножить соответственно на 10; 100; 1 000 и разделить на 4.

Пример. Найдем произведение чисел 28 и 250.

Решение. 28 х 250 = (28 х 1 000) / 4 = 28000 / 4 = 7 000.

 

Сокращенные приемы умножения на 0,15. Чтобы умножить число на 0,15, нужно это число разделить на 10, полученное частное разделить на 2, а затем оба частных сложить.

Пример. Найдем произведение чисел 240 и 0,15.

Решение. 240 x 0,15 = (240 / 10) + 1/2 х (240 / 10) = 24 + 12 = 36.

 

Сокращенные приемы умножения на 1,5; 15 и 150. Чтобы умножить число на 1,5; 15; 150, нужно это число умножить соответственно на 1; 10; 100 и к полученному произведению прибавить его половину.

Пример. Найдем произведение чисел 66 и 1,5.

Решение. 66 x 1,5 = 66 + (66 / 2) = 99.

 

Сокращенные приемы умножения на 1,25; 12,5; 125. Чтобы умножить какое-то число на 1,25; 12,5; 125, его нужно сначала умножить соответственно на 10; 100; 1 000, а затем полученное произведение разделить на 8.

Пример. Найдем произведение чисел 70 и 12,5.

Решение. 70 х 12,5 = (70 х 100) / 8 = 7 000 / 8 = 875

 

4. Приемы упрощенного деления чисел

Существуют следующие приемы сокращенного деления.

 

Разложение делимого на слагаемые. Разложение делимого на такие слагаемые, которые легко бы делились раздельно, ускоряет устный подсчет числа при делении.

Пример. Найдем частное чисел 2 808 и 9.

Решение. 2808 / 9 = (2700 / 9) + (90 / 9) + (18 / 9) = 300 + 10 + 2 = 312.

 

Деление на единицу с последующими нулями. При делении на 10; 100; 1 000 как целого числа, так и дробного в нем отделяют запятой справа налево столько десятичных знаков, сколько нулей стоит в делителе после единицы.

Пример. Найдем частное от деления чисел 136 на 10, 32,7 на 1000.

Решение. 136 / 10= 13,6;32,7 / 1 000 = 0,0317.

 

Деление на единицу с предшествующими нулями. При делении на 0,1; 0,01; 0,001 эти десятичные дроби заменяют простыми, т.е. соответственно 1/10, 1/100, 1/1000. Чтобы выполнить деление какого-то числа, это число умножают на знаменатель (10; 100; 1 000) и делят на числитель (1). Чтобы разделить какое-то целое число на 1 с предшествующими ей нулями, надо приписать к этому числу справа столько нулей, сколько их в делителе; чтобы разделить дробное число, надо перенести в нем запятую слева направо настолько десятичных знаков, сколько нулей в делителе, включая ноль целых.

Пример. Разделим числа 235; 57,6 соответственно на 0,1 и 0,01.

Решение. 235 / 0,1 = 2 350;57,6 / 0,01 = 5 760.

 

Деление на 0,5; 0,25; 0,125. Десятичную дробь 0,5 заменяют простой, т.е. 1/2. Чтобы разделить какое-то число на 0,5, необходимо умножить его на 2.

Пример. Разделим число 325 на 0,5.

Решение. 325 / 0,5 = 325 / 1/2 = 325 х 2 = 650.

При делении числа на десятичную дробь 0,25 ее заменяют простой дробью, т.е. 1/4. Чтобы разделить какое-то число на 0,25, необходимо умножить его на 4.

Пример. Разделим число 325 на 0,25.

Решение. 325 / 0,25 = 325 x 4 = 1300.

При делении десятичную дробь 0,125 заменяют простой, т.е. 1/8. Чтобы разделить какое-то число на 0,125, необходимо умножить его на 8.

Пример. Разделим число 325 на 0,125.

Решение. 325 / 0,125 = 325 x 8 = 2600.

 

Деление на 5 и 50. Делители 5 и 50 заменяют единицей с последующими нулями, т.е. соответственно на 10 и 100. Однако 10 в 2 раза больше, чем 5, а 100 в 2 раза больше, чем 50, поэтому, чтобы разделить какое-то число на 5 или 50, необходимо разделить его на 10 или 100, а частное умножить на 2.

Пример. Разделим число 1 250 соответственно на 50.

Решение. 1250 / 50 = (1250 / 100) х 2 = 12,5 x 2 = 25.

 

Деление на 2,5 и 25. Чтобы разделить число на 2,5 или 25, необходимо разделить его на 10 или 100 и затем частное умножить на 4.

Пример. Разделим число 285 на 2,5.

Решение. 285 / 2,5 = (285 / 10) х 4 = 28,5 x 4 = 114;

 

Деление на 1,25 и 12,5. Чтобы разделить число на 1,25 или 12,5, необходимо разделить его на 10 или 100 и затем частное умножить на 8.

Пример. Разделим число 300 на 12,5.

Решение. 300 / 12,5 = (300 / 100) х 8 = 3 x 8 = 24.

Усвоение навыков рационального устного счета позволит сделать вашу работу более эффективной. Это возможно только при хорошем овладении всеми четырьмя арифметическими действиями и сокращенными приемами вычислений. Применение рациональных приемов счета ускоряет вычисления, обеспечивает необходимую точность.

 

Изучите эффективные техники запоминания услышанной и прочитанной информации в курсе «Развитие памяти»: отдельно или по абонементу, со скидкой.

www.elitarium.ru

Приемы быстрых вычислений

«Лучше усваиваются те знания,

которые поглощаются с аппетитом»

Анатоль Франс, французский писатель

Приемы быстрых вычислений

В самом обыкновенном устном счете, как и во многом другом, можно видеть много интересного, необычного и чудесного.

Математика – это инструмент для изучения других наук и различных сфер жизни, это не просто «сухие» цифры, формулы, а как сказал Аристотель: «Математика… выявляет порядок, симметрию, определенность, а это – важнейшие виды прекрасного».

Вряд ли кто-нибудь будет оспаривать необходимость вычислительной культуры современного человека.

Не потеряли своей актуальности слова М.В. Ломоносова о том, что арифметику за тем уже изучать стоит, что она ум в порядок приводит.

С приходом в нашу жизнь и школу калькуляторов, современные школьники перестали использовать устные формы вычислений. Между тем устный счет в их развитии нельзя заменить никакими калькуляторами.

Необходимо находить время на уроках для знакомства с приемами устного счета, тогда школьники не будут пользоваться калькуляторами.

В предлагаемой статье рассмотрены некоторые приемы быстрых вычислений, которые могут пригодиться не только на уроках математики, но и в повседневной жизни.

Способы быстрого сложения чисел

Способы быстрого сложения чисел:

порядковое сложение чисел 15+39+26=(10+30+20)+(5=9+6)=60+20=80.

Прибавление к одному числу отдельных, разрядов другого числа, всегда начиная с высших:

76+59=(76+50)+9=126+9=135

Сложение с использованием свойств действий с числами

23+65+17=(23+17)+65=40+65=105

При выполнении быстрого сложения чисел самым простым, на мой взгляд, является прибавление к одному числу отдельных разрядов другого числа, всегда начиная с высших

76+59=(76+50)+9=126+9=135

Способы быстрого вычитания чисел

Способы быстрого вычитания:

порядковое вычитание

875-342=(800-300)+(70-40+(5-2)=500+30+3=533

Вычитание с использованием свойств действий с числами

757-366=758-300-60-6=458-60-6=392

Ученики чаще принимают метод с использованием свойств действий с числами.

Способы быстрого вычитания чисел

Вычитание путем уравнивания числа единиц последних разрядов уменьшаемого

83-14=(83+1)-14-1=84-14-1=69

Вычитание путем округления уменьшаемого или вычитаемого, или одновременно обоих.

Если уменьшаемое или вычитаемое близки, то их заменяют разностью или суммой между круглым числом и дополнением:

574-296=574-(300-4)=(574-300)+4=278

Удобно выполнять вычитание путем округления уменьшаемого или вычитаемого, или одновременно обоих:

675-286=(675+14)-300=689-300=389

Способы быстрого умножения чисел

Чтобы умножить число на однозначный множитель, умножают сначала десятки, затем единицы и оба результата складывают:

36х8=30х8+6х8=240+48=288

Умножение на двухзначное число.

Если оба множителя двухзначные числа, то разбиваем один из них на десятки и единицы. Разбивать надо множитель, у которого десятки и единицы выражены меньшими числами:

37х17=37х10+37х7=370+30х7+77=370+259=629.

13х59=59х10+59х3=590+50х3+9х3=590+177=767

Индийская тайна быстрого умножения

Необходимо умножить два числа близкие к 100: 98х96

Найдем дополнения каждого множителя за 100 – соответственно 2 и 4.

Вычтем из 1-го множителя дополнения второго:

98-4=94 (или наоборот)

96-2=94

Это первые цифры произведения

Перемножим дополнения 2х4=8 (08) – это последние цифры произведения : 98х96=9408.

986х994=(986-6)(986+14)+14х6=980084

Умножение на 2 слева направо

При умножении на 2 запоминаем единицу, если цифра больше четырех, поэтому правило следующее: умножаем очередную цифру на 2 и произведение увеличиваем на единицу, когда последующая цифра больше 4, и записываем только цифру единицу результата, если это не первая цифра множителя; для первой цифры записываем полностью значение результата.

4286х2=8572, потому что 4х2=8 и пишем 8, так как последующая цифра не больше 4.

Далее: 2х2=4, следующая цифра больше 4, последнее произведение увеличиваем на единицу, и записываем 5.

Затем 8х2=16, но с учетом значения последней цифры, пишем 2: 5619х2=11238.

Действительно, 5х2=10, но следующая цифра больше 4, поэтому

пишем 11.

Далее, 6х2=12, пишем только 2, так как последующая цифра меньше 4.

Далее, 1х2=2, но последующая цифра больше 4, поэтому пишем 3.

И наконец, 9х2=18, пишем 8.

Примечание.

Чтобы ускорить нахождение произведения, можно первый множитель разбить на грани, но несколько цифр в каждой последовательности умножаем числа каждой грани, записываем для первой грани полностью результат с учетом значения первой цифры следующей грани, для остальных граней записываем значение полученного результата, отбрасывая первую цифру, если число цифр результата больше числа цифр грани:

329645х2=659290

Разбиваем первый множитель на грани:

32 96 45.

Далее, 32х2=64, но с учетом первой цифры следующей грани записываем 65. Затем 96х2=192 (количество цифр произведения 3, а грань состоит из двух цифр), первая цифра следующей грани не больше 4, поэтому записываем 92, затем записываем 90=45х2.

Способы быстрого умножения чисел.

Умножение на 4 и на 8

Чтобы число умножить на 4; 8, его последовательно удваивают:

124х4=(124х2)х2=248х2=496

325х8=(325х2)х4=(650х2)х2=1300х2=2600.

Умножение на 5

Так как 5= 10/2, поэтому, чтобы умножить число на 5, нужно умножить его на 10 и разделить на 2, то есть к числу приписывают нуль и делят десять пополам:

334х5=334х10/2=1670.

Умножение на 0,5

Так как 0,5=1/2, поэтому чтобы умножить число на 0,5, его нужно разделить пополам:

248х0,5=124.

634х0,5=634/2=317.

Умножение на 1,5 и 15

Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину:

54х1,5=54+27=61

Чтобы число умножить на 15, нужно исходное число умножить на 10 и прибавить половину полученного произведения:

35х15=350+175=525.

Часто в повседневной жизни нам приходится умножать число на 1,5 или на 15.

Это легко сделать так: 48х1,5=48+24=72;

48х15=480+240=720.

Умножение на 15

Можно использовать соотношение 15=30/2, получаем, что ах15=ах30/2.

Предварительно представляем а, если оно нечетное, в виде суммы или разности нечетного числа и единицы:

37х15=(36+1)х15=18х30+15=540+15=555

69х15=(70-1)х15=35х30-15=1050-15=1035

Умножение на 11

Прием умножения на 11 поражает своей красотой.

36х11, для этого достаточно подписать 36 по 36, но сдвинув его на одну цифру вперед, вот так 36

36

А затем выполнить сложение в столбик.

Эту операцию можно проводить с любыми цифрами, будь то трехзначное или четырехзначное число.

Умножить на 11 можно и другим способом. Достаточно «раздвинуть» числа, умножаемого на 11, и в образовавшийся промежуток вписать сумму этих цифр, причем, если эта сумма больше 9, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд.

27х11=2(2+7)7=297

68х11=6(6+8)8=748

На 11 умножить можно и так: приписать к умножаемому числу 0, а затем прибавить его:

43х11=430+43=473.

Умножение на 25, 50, 75, 125

Принимая во внимание, что

25х4=100; 50х2=100;

75х4=300; 125х4=1000.

Соответствующим образом преобразовываем второй множитель:

25х37=25(9х4+1)=925;

73х50=(36х2+1)х50=3650;

125х55=125(8х6+7)=6875;

125х55=125(7х8-1)=7000-125=6875;

63х75=(4х15+3)х75=300х15+225=4725.

Приемы сокращенного умножения

На 5: 46х5=46/2х10=230;

На 25: 83х25=80/4х100+3х25=2075;

34х25=32/4х100+2х25=850;

44х25=44/4х100=1100;

На 125: 48х125=48/8х1000=6000;

66х125=64/8х1000+2х125=8250;

На 155: ах155=100а+50а+5а

36,8х155=3680+1840+184=5704;

232х155=23200+11600+1160=35960.

Умножение двух чисел, «близких» к 100

Когда каждый из множителей меньше 100, тогда:

(100-а)(100-b)=100х100-100а-100b+аb=(100-а-b)х100+ab.

Аналогично:

(100+а)(100+b)=100(100+a+b)+аb

97х92, а=3, b=8

Подсчитаем число сотен произведения 100-(а+b)=100-11=89

И аb=3х8=24

Следовательно, 97х92=8924;

107х112=(100+7+12)х100+7х12=11984;

97х108=(100+8-3)х100-3х8=10500-24=10476

Возведение в квадрат чисел,

цифра единиц которых равна пять

а5ха5=(10а+5)(10а+5)=100а2+2х10х5а+25=100(а2+а)+25=100ха(а+1)+25==(а(а+1))25.

Получаем правило: для умножения числа, которое заканчивается цифрой пять на само себя, необходимо число десятков умножить на последующее число и к полученному произведению приписать произведение цифр единиц, то есть 25.

Аналогичным образом находится произведение двух чисел, которых количество десятков одинаковое, а сумма цифр единиц равна десяти.

35х35=1225, так как 3х4=12;

125х125=15625, так как 12х13=156;

42х48=2016, так как 4х5=20 и 2х8=16.при возведении в квадрат любых чисел можно воспользоваться свойством:

а2=а2-b2+b2=(а-b)(а+b)+b2

Обычно в качестве b выбираем такое число, чтобы а+b и a-b было круглым числом.

762=(76+4)(76-4)+42=80х72+42=5760+16=5760 (b=4);

762=(76+6)(76-6)+62=82х70+36=5740+36=5776 (b=6).

342=(34+6)(34-6)+62=40х28+36=1156;

9872=(987+13)(987-13)+132=1000х974+169=974169.

Способы быстрого деления чисел.

Последовательное деление

Если делитель является составным числом, то разлагаем его на два или большее число множителей, а потом выполняем последовательное деление:

240/15=(240/3)/5=80/5=16

750/15=(750/5)/3=150/3=50.

Деление на 15

Нахождение частного, когда делитель равен 15, осуществляется по схеме:

а/15=ах2/30;

567/15=567х2/30=1134/30=113,4/3=37,8

576/15=576х2/30=1152/30=115,2/3=38,4.

Устный счет – это практическое явление, необходимое для развития вычислительных навыков и как следствие устной сдачи экзаменов.

Устное вычисление прекрасно стимулируют развитие памяти у детей и взрослых, увеличивают скорость мышления и улучшают сообразительность, тренируют внимание.

Школьники, развивающие навыки устного счета, очень быстро обгоняют по интеллекту своих одноклассников, полагающихся на калькуляторы.

Гибкость ума является предметом гордости людей, а способности производить быстрые вычисления в уме вызывают удивление.

www.metod-kopilka.ru

Свойства деления. Деление произведения, суммы и разности на число

Деление произведения на число

Произведение можно разделить на число двумя способами:

1)Чтобы разделить произведение на какое-нибудь число, можно сначала вычислить значение произведения (выполнить умножение) и полученный результат разделить.

Например, чтобы найти значение выражения:

(12 · 5) : 3

можно сначала умножить 12 на 5:

12 · 5 = 60

и полученное произведение разделить на 3:

60 : 3 = 20, значит (12 · 5) : 3 = 60 : 3 = 20

Если один из сомножителей делится на число, на которое надо разделить произведение, то можно воспользоваться вторым способом нахождения частного от деления произведения на число.

2)Чтобы разделить произведение на какое-нибудь число, можно разделить на это число один любой сомножитель, оставив другие без изменений.

Например, чтобы найти значение выражения:

(8 · 20) : 4

можно сначала разделить любой из сомножителей (8 или 20) на 4:

8 : 4 = 2

и полученное частное умножить на другой сомножитель:

2 · 20 = 40, значит (8 · 20) : 4 = (8 : 4) · 20 = 2 · 20 = 40

данное выражение можно решить ещё так:

(8 · 20) : 4 = 8 · (20 : 4) = 8 · 5 = 40

Деление числа на произведение

Число можно разделить на произведение двумя способами:

1) Чтобы разделить какое-нибудь число на произведение, можно сначала вычислить значение произведения (выполнить умножение), а затем разделить число на полученный результат.

Например, чтобы найти значение выражения:

60 : (3 · 2)

можно сначала умножить 3 на 2:

3 · 2 = 6

и разделить 60 на полученный результат:

60 : 6 = 10, значит 60 : (3 · 2) = 60 : 6 = 10

Если число, которое нужно разделить на произведение, делится на каждый сомножитель, из которого состоит данное произведение, то можно воспользоваться вторым способом нахождения частного от деления числа на произведение.

2) Чтобы разделить какое-нибудь число на произведение, можно разделить это число на первый сомножитель, полученное частное разделить на второй сомножитель, это частное на третий и т. д.

Например, чтобы найти значение выражения:

120 : (5 · 3)

можно сначала разделить 120 на 5:

120 : 5 = 24

а теперь, полученное частное 24 разделить на 3

24 : 3 = 8, значит 120 : (5 · 3) = (120 : 5) : 3 = 24 : 3 = 8

Так как от перестановки множителей произведение не изменится, то множители можно поменять местами:

120 : (3 · 5)

и разделить 120 сначало на 3, а затем полученный результат разделить на 5:

120 : (3 · 5) = (120 : 3) : 5 = 40 : 5 = 8

получается, что не важно на какой множитель сначала делить число, результат будет одинаковым:

120 : (5 · 3) = (120 : 5) : 3 = 24 : 3 = 8

тоже самое, что и

120 : (5 · 3) = (120 : 3) : 5 = 40 : 5 = 8

Из данного примера можно сделать вывод, что значение частного не изменится от порядка выполнения действий.

Деление суммы на число

Сумму можно разделить на число двумя способами:

1) Чтобы разделить сумму на какое-нибудь число, можно сначала вычислить значение суммы (выполнить сложение) и полученный результат разделить.

Например, чтобы найти значение выражения:

(15 + 12) : 3

можно сначала сложить числа 15 и 12:

15 + 12 = 27

и полученную сумму разделить на 3:

27 : 3 = 9, значит (15 + 12) : 3 = 27 : 3 = 9

Если все слагаемые в записи суммы делятся на число, на которое надо разделить сумму, то можно воспользоваться вторым способом нахождения частного от деления суммы на число.

2) Чтобы разделить сумму на какое-нибудь число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно и полученные частные сложить.

Например, чтобы найти значение выражения:

(42 + 28 + 70) : 7

можно каждое слагаемое разделить на число 7:

42 : 7 = 6, 28 : 7 = 4 и 70 : 7 = 10

и полученные частные (6, 4 и 10) сложить:

6 + 4 + 10 = 20, значит

(42 + 28 + 70) : 7 = 42 : 7 + 28 : 7 + 70 : 7 = 6 + 4 + 10 = 20

Деление разности на число

Разность можно разделить на число двумя способами:

1) Чтобы разделить разность на какое-нибудь число, можно сначала вычислить значение разности (выполнить вычитание) и полученный результат разделить.

Например, чтобы найти значение выражения:

(24 - 8) : 2

можно сначала вычесть из 24 число 8:

24 - 8 = 16

и полученную разность разделить на 2:

16 : 2 = 8, значит (24 - 8) : 2 = 16 : 2 = 8

Если и уменьшаемое и вычитаемое в записи разности делятся на число, на которое надо разделить разность, то можно воспользоваться вторым способом нахождения частного от деления разности на число.

2) Чтобы разделить разность на какое-нибудь число, можно разделить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое, а потом из первого частного вычесть второе.

Например, чтобы найти значение выражения:

(42 - 28) : 7

можно отдельно уменьшаемое и вычитаемое разделить на число 7:

42 : 7 = 6, 28 : 7 = 4

и найти разность полученных частных:

6 - 4 = 2, значит (42 - 28) : 7 = 42 : 7 - 28 : 7 = 6 - 4 = 2

Общие формулы свойств деления

Все свойства деления можно представить в виде формул:

Распределительные свойстваДействия с единицей и нулём
(a + b) : c = a : c + b : c
(a - b) : c = a : c - b : c
(a · b) : c = (a : c) &middot b = (b : c) &middot a
a : (b &middot c) = (a : b) : c = (a : c) : b
a : 1 = a
a : a = 1
0 : a = 0 (a ≠ 0)
На нуль делить нельзя

naobumium.info

Как легко объяснить ребенку деление | WomenLand

Важно, чтобы ребенок понимал суть такого математического действия, как деление. Для этого необходимо ему объяснить, что деление представляет собой разделение чего-либо на равные доли. Рекомендуется превратить процесс обучения в интересную игру, чтобы ребенок был сконцентрирован.

Деление в игровой форме

СОВЕТ: Таблицу деления так же важно выучить, как и таблицу умножения. Лучше это делать на каникулах!

Помогите ребенку понять, что деление — это обратное действие умножению.

Самым простым способом объяснить деление является проведение наглядной демонстрации разделения предметов на равные доли. В качестве делимых предметов можно использовать все, что угодно, но желательно что-то интересное для ребенка. В качестве примера можно воспользоваться конфетами и игрушками.

Как объяснить ребенку деление при помощи игрушек?

Изначально нужно взять 2 конфеты и попросить ребенка разделить их между 2 плюшевыми игрушками. Благодаря такому простому примеру ребенок поймет суть математического деления. После этого можно переходить к более сложным примерам деления.

Как происходит деление, подробно и в игровой форме показывается в следующем видео:

Также вы можете взять коробку цветных карандашей, которая будет выступать одним целым, и предложить малышу разделить их между собой и вами поровну. После, попросите ребенка посчитать, сколько карандашей было вначале в коробке и сколько он смог раздать.

По мере понимания ребенка, родитель может увеличивать число предметов и количество участников задачи. Затем нужно рассказать, что не всегда получается разделить что-либо поровну и некоторые предметы иногда остаются «ничейными». К примеру, можно предложить разделить 9 яблок между бабушкой, дедушкой, папой и мамой. Ребенок должен понять, что все получат лишь по 2 яблока, а одно окажется в остатке.

Деление в игровой форме

Таким образом, вы объясните азы деления и подготовите ребенка к более сложным школьным задачам.

СОВЕТ: Старайтесь заниматься со своим ребенком в игровой форме. Тогда ему будет интересно заниматься, а значит, занятия пройдут весело и без особых усилий.

Также вам будет интересно и полезно распечатать таблицу деления в виде картинки.

Деление с помощью таблицы умножения

Делить однозначные числа на однозначные проще всего с использованием таблицы умножения. Для этого достаточно объяснить ребенку, что деление является действием обратным к умножению. Сделать это можно на любом правильном примере деления натуральных чисел.

Например: 2 умножить на 3 будет 6. Основываясь на данном примере продемонстрировать ребенку процесс деления. Следует действовать следующим образом: разделить 6 на любой множитель, например, на число 2. В ответе получится 3, то есть множитель неиспользованный при делении.

Таким способом можно делить многозначные (двухзначные) числа на однозначные.

Алгоритм деления в столбик

Прежде, чем начать объяснение деления в столбик, нужно рассказать ребенку о значении делимого, делителя и частного. В примере 20:4=5, 20 является делимым, 4 делителем, а 5 частным. У каждой отдельной цифры в примере одно наименование.

Многозначные числа (трехзначные и двухзначные) проще всего делить в столбик. Для этого нужно записать многозначные числа уголком.

Например, нужно разделить трехзначное число 369 на однозначное число 3.

В качестве делителя записано трехзначное число 369, а в качестве делителя однозначное число 3. Первым делом важно объяснить ребенку, что деление в столбик происходит в несколько этапов:

Деление десятичного числа на двухзначное проходит примерно так же. В случае с десятичным числом необходимо объяснить ребенку, что запятую в делителе переносят на столько знаков, на сколько перенесли в делимом. Далее следует обычное деление в столбик.

Деление с остатком

Необходимо предупредить ребенка о встречающихся случаях деления с остатком. В качестве примера можно поделить двухзначное число 26 на 5 столбиком. В результате остается остаток 1.

Важно после объяснения позволить ребенку самостоятельно решить несколько примеров, чтобы весь изученный материал надолго остался в памяти ребенка.

А еще Вы можете посмотреть видео, где все объясняют понятным языком.

И напоследок, не приучайте себя и ребенка пользоваться онлайн калькулятором, чтоб узнать, как  разделить 145 на 9, 34 на 40, 100 на 4, 30 на 80, 416 на 52 и другие примеры. Это не принесет пользы не вам, ни ему.

В 1-ый класс идет не только ребенок – родители вместе с ним начинают и вместе с ним заканчивают образовательное учреждение. Учитель в школе не всегда успевает объяснить каждому отдельному ученику ту или иную дисциплину. Поэтому у домашнего образования — свои плюсы. Вы можете сами объяснить ребенку, индивидуально и не спеша то, что он не понял. В этот непростой период, главное — это набраться терпения и не ругать школьника из-за неправильных решений. Тогда все у вас получится.

women-land.ru

Деление именованных чисел | Математика

К делению вообще прибегают в двух случаях: 1) когда хотят узнать, сколько аз одна величина содержится в другой, и 2) когда желают разделить данную величин на несколько равных частей.

Оба эти случая для отвлеченных чисел не имеют влияния на ход и приемы вычисления. Для именованных чисел оба эти требования имеют разное значение, поэтому при делении их существуют два случая.

  1. Деление именованного числа на именованное.

  2. Деление именованного числа на отвлеченное.

Рассмотрим эти два случая отдельно.

Деление именованного числа на именованное

Делить можно только однородные именованные числа.

При делении именованного числа на именованное, частное есть число отвлеченное. Оно выражает, сколько раз одна величина содержится в другой.

Определим, сколько раз обернется колесо на протяжении 121 саженей 6 футов 6 дюймов 5 линий, если окружность колеса равна 3 футам 6 дюймам 5 линиям? Чтобы решить этот вопрос, нужно определить сколько раз 3 ф. 6 д. 5 л. содержатся в 121 с. 6 ф. 6 д. 5 л.

Для этого делим 121 с. 6 ф. 6 д. 5 л. на 3 ф. 6 д. 5 л.

Чтобы выполнить это деление, раздробляют делимое и делить в одно и то же наименование, потом делят как отвлеченные числа. Здесь мы делимое и делитель раздробляем в линии.

Ход вычисления выразится письменно:

Разделяя 102425 на 425, имеем в частном 241.

Колесо можно обернуть на данном протяжении 241 раз.

Из предложенного примера выводим следующее правило:

Чтобы разделить именованное число на именованное, нужно делимое и делитель раздробить в одинаковые меры и потом делить как отвлеченные числа. Частное, будучи отвлеченным числом, выражает, сколько раз делитель содержится в делимом.

Деление именованного числа на отвлеченное

При делении именованного числа на отвлеченное частное есть число именованное, ибо в этом случае разбивают, или разделяют, делимое на несколько равных частей.

Чтобы разделить составное именованное число 12 недель 3 дня 19 часов 6 минут на 6, располагаем действие в таком порядке, в каком мы располагали его при делении отвлеченных чисел. Деление распадается на ряд отдельных действий, в которых мы последовательно отыскиваем все наименования частного.

Начинаем деление с чисел большего наименования. Ход вычисления выразится письменно:

Словесно:

  1. Отыскиваем недели частного. Недели частного могут происходить от разделения числа недель делимого на делителя. Разделяя 12 на 6, получаем в частном 2 недели. Вычитая произведение 2 на 6 из делимого, получаем в остатке 0.

  2. Вычисляем дни частного. 6 в 3 не содержится, - пишем в частном 0 дней.

  3. Отыскиваем часы частного. Раздробляем дни в часы. Умножая 3 на 24 и присоединяя 19 часов делимого, получаем 91 час. Разделяя 91 на 6, получаем в остатке 1 час и в частном 15 часов.

  4. Отыскиваем минуты частного. Раздробляя 1 час в минуты и добавляя 6 минут, получаем 66 минут. Разделяя 66 на 6, получаем 11 и пишем в частном 11 минут.

Частное равно 2 недели 15 часов 11 минут.

Из предложенного примера выводим следующее правило:

  1. Чтобы разделить именованное число на отвлеченное, нужно начинать деление с единиц большего наименования.

  2. Если делитель не содержится или если получается остаток, раздробляют единицы большего в единицы следующего меньшего наименования, к полученному произведению присоединяют однородные единицы делимого и разделяют на делитель.

  3. С остатком поступают подобным же образом и продолжают деление до тех пор, пока не получат полного частного.

maths-public.ru

деление в уме. Магия чисел [Моментальные вычисления в уме и другие математические фокусы]

Глава 4

Разделяй и властвуй: деление в уме

Деление в уме — чрезвычайно полезный навык как для бизнеса, так и для повседневной жизни. Сколько раз в неделю вы сталкиваетесь с ситуациями, которые требуют от вас что-то равномерно распределить, например счет в ресторане? Точно такой же навык оказывается кстати, когда вы хотите выяснить стоимость одной упаковки корма для собак, или поделить выигрыш во время игры в покер, или узнать, сколько литров бензина можно купить на 20 долларов. Способность делить в уме избавит вас от необходимости постоянно обращаться к калькулятору, когда вам нужно что-либо посчитать.

При выполнении устного деления метод вычисления слева направо вступает в свои права. Именно ему нас учили в школе, так что вы будете заниматься естественным для себя делом. Помню, что, будучи ребенком, думал, будто метод деления слева направо олицетворяет то, какой арифметика должна быть в принципе. Я часто размышлял о том, что если бы в школе нашли способ преподавать и деление справа налево, они, вероятно, так бы и сделали!

ДЕЛЕНИЕ НА ОДНОЗНАЧНОЕ ЧИСЛО

Первый шаг при делении в уме — предположить, из скольких цифр будет состоять итоговый ответ. Чтобы понять, что я имею в виду, попробуйте решить вот такую задачу: 179 ? 7

Чтобы разделить 179 на 7, нужно найти такое число Q, которое 7 раз по Q составит 179. Очевидно, что поскольку 179 находится между 7 х 10 = 70 и 7 х 100 = 700, Q должно размещаться между 10 и 100. Стало быть, ответ является двузначным числом. Зная это, сначала определяем наибольшее кратное 10, которое может быть умножено на 7 и в итоге оказаться меньше 179. Нам известно, что 7 х 20 = 140 и 7 х 30 = 210, значит, ответ будет в диапазоне «20 плюс». Отталкиваясь от этого, мы уже можем реально проговорить число «20», так как это будет часть ответа, и она точно не изменится. Далее вычитаем 179–140 = 39. Теперь наша задача сведена к делению 39 х 7. Так как 7 х 5 = 35, что на 4 меньше 39, у нас появилась вторая часть ответа «5» с остатком 4, или, если вы предпочитаете говорить так: 25 и 4/7. Вот как выглядит данный процесс деления[3].

Попробуем решить похожую задачу, используя аналогичные расчеты.

675 ? 8

Как и раньше, если 675 находится между 8 х 10 = 80 и 8 х 100 = 800, то ответ должен быть меньше 100 и выражаться двузначным числом. Чтобы произвести деление, учтем, что 8 х 80 = 640 и 8 х 90 = 720. То есть ответ должен быть в диапазоне 80 «с хвостиком». Но с каким хвостиком? Чтобы это узнать, вычтите 640 из 675 для получения остатка 35. После произнесения вами «80» наша задача сведется к 35 ? 8. Так как 8 х 4 = 32, итоговый ответ будет 84 с остатком 3, или 84 и 3/8.

Схематически данный пример представим так:

Как и большинство устных вычислений, процесс деления можно рассматривать как процесс упрощения. Чем больше числа в первом действии, тем проще становится задача. То, что начиналось как 675 ? 8, было сведено к меньшей задаче 35 ? 8.

Теперь рассмотрим пример, при решении которого получается трехзначное число.

947 ? 4

На этот раз ответ будет содержать три цифры, потому что 947 находится между 4 х 100 = 400 и 4 х 1000 = 4000. Нам следует отыскать наибольшее кратное 100, наиболее близкое к 947.

Поскольку 4 х 200 = 800, то есть «200 плюс», так что вперед, произнесите это! Вычитание 800 из 947 преподносит новую задачу на деление 147 ? 4. Так как 4 х 30 = 120, теперь мы уже можем сказать: «30». После вычитания 120 из 147 вычисляем 27 ? 4 для получения остальной части ответа: 6 с остатком 3.

В совокупности имеем 236 с остатком 3, или 236 и 3/4.

Процесс деления четырехзначного числа на одну цифру столь же прост, как и следующий пример.

2196 ? 5

Здесь ответ будет исчисляться сотнями, потому что 2196 находится между 5 х 100 = 500 и 5 х 1000 = 5000. После вычитания 5 х 400 = 2000 из 2196 мы можем произнести «400», и наша задача сведется к деления 196 на 5, что вычисляется так же, как и в предыдущих примерах.

На самом деле существует более простой способ решения последней задачи. Ее можно упростить путем удвоения обоих чисел. Так как 2196 х 2 = 4392, то имеем 2196 ? 5 = 4392 ? 10 = 439,2, или 439 и 2/10. Мы рассмотрим другие способы упрощения при делении в следующем разделе.

УПРАЖНЕНИЕ: ДЕЛЕНИЕ НА ОДНУ ЦИФРУ

1. 318 ? 19

2. 726 ? 5

3. 428 ? 7

4. 289 ? 8

5. 1328 ? 3

6. 2782 ? 4

ПРАВИЛО БОЛЬШОГО ПАЛЬЦА

При делении в уме запоминание частей ответа может вызвать сложности в процессе вычислений. Одним из вариантов выхода из ситуации является, как мы практиковали ранее, проговаривание ответа вслух по ходу решения. Но для создания большего эффекта вы можете предпочесть (как и я) держать ответ в памяти с помощью пальцев и произносить его целиком в самом конце. Однако при этом вы рискуете столкнуться с проблемой при запоминании чисел, которые больше пяти, ведь у нас лишь пять пальцев на каждой руке. В этом вам поможет специальная техника, в основе которой лежит язык жестов. Я называю ее «Правило большого пальца». Она особенно эффективна для запоминания чисел, состоящих из трех и более цифр, и полезна не только в данной главе, но пригодится и в последующих, где придется иметь дело с задачами посложнее и числами подлиннее.

Вы уже догадались, что для запоминания чисел от 0 до 5 вам достаточно согнуть нужное количество пальцев на руке. Когда в процесс вовлечен большой палец, будет легко запомнить числа от 6 до 9. Вот список правил большого пальца.

• Чтобы задать 6, поместите большой палец на верхней части мизинца.

• Чтобы задать 7, поместите большой палец на верхней части безымянного пальца.

• Чтобы задать 8, поместите большой палец на верхней части среднего пальца.

• Чтобы задать 9, поместите большой палец на верхней части указательного пальца.

При работе с трехзначным числом задайте цифры для сотен на левой руке и для десятков на правой. Когда дело дойдет до одной цифры, вы достигнете конечной точки решения (за исключением возможного остатка). Теперь произнесите число на левой руке, число на правой руке, последнюю цифру, которую только что посчитали, и остаток (что у вас в голове).

И вот! Вы произнесли ответ!

Чтобы попрактиковаться, попробуйте решить следующую задачу на деление четырехзначного числа.

Пользуясь приемом большого пальца для запоминания ответа, вы зададите 7 на левой руке, соединив большой палец с безымянным, и 6 на правой, соединив большой палец с мизинцем. Как только вычислите последнюю цифру (она равна 3) и остаток (равный 1), можете «зачитать» итоговый ответ с ваших рук слева направо: «семь…шесть…три с остатком один».

Некоторые задачи на деление четырехзначных чисел дают четырехзначный ответ. В таком случае, поскольку у вас только две руки, вам придется вслух произнести цифру для тысячи и использовать правило большого пальца для запоминания остального ответа. Например:

Для решения этой задачи вы делите 8 на 3, чтобы получить цифру 2 для тысяч; произносите «две тысячи» вслух, затем делите 2352 на 3 привычным способом.

ДЕЛЕНИЕ НА ДВУЗНАЧНЫЕ ЧИСЛА

В этом разделе мы исходим из предположения, что вы уже освоили искусство деления на однозначные числа. Естественно, задачи на деление с увеличением делителя более сложные.

К счастью, в моем рукаве есть немного магии, чтобы облегчить вам жизнь.

Начнем с относительно простой задачи.

597 ? 14

Так как 597 находится между 14 х 10 и 14 х 100, ответ (так называемое частное) лежит между 10 и 100. Чтобы его найти, нужно в первую очередь задать вопрос: «Сколько раз по 14 даст в сумме 590?» Умножив 14 х 40 = 560, вы узнаете, что ответ будет в диапазоне «40 плюс»; так что можно смело произнести вслух «сорок».

Далее вычитаем 560 из 597 и получаем 37, что сводит задачу к делению 37 на 14. Так как 14 х 2 = 28, здесь ответ — 42. Вычитая 28 из 37, мы получаем остаток 9. Процесс решения задачи показан следующим образом.

Следующая задачка немного сложнее, потому что делитель в ней больше.

682 ? 23

В данном примере ответ будет двузначным числом, так как 682 находится между 23 х 10 = 230 и 23 х 100 = 2300. Чтобы найти цифру для десятка двузначного числа, нужно подумать: «Сколько раз по 23 даст в сумме 680?» Если вы попробуете 30, то увидите, что здесь незначительный перебор, так как 23 х 30 = 690. Но теперь вы знаете, что ответ лежит в диапазоне «20 плюс» и можете произнести это вслух. Затем вычтите 23 х 20 = 460 из 682, чтобы получить 222. Так как 23 х 9 = 207, ответ — 29 и остаток 222–207 = 15.

Теперь вычислим:

491 / 62

Так как 491 меньше, чем 62 х 10 = 620, ответ будет представлен одной цифрой с остатком. Можно попробовать 8, но 62 х 8 = 496, а это несколько больше делимого. Поскольку 62 х 7 = 434, ответ — 7 и остаток 491–434 = 57, или 7 и 57/62.

Один отличный трюк может облегчить решение таких задач. Помните, как сначала мы пытались перемножить 62 х 8 = 496, но обнаружили, что это число больше, чем нужно? Но это действие оказалось не напрасным. Помимо информации о том, что ответ — 7, оно также позволяет сразу определить остаток.

Поскольку 496 на 5 единиц больше 491, остаток будет на 5 единиц меньше делителя 62. Поскольку 62 — 5 = 57, то ответ — 7 и 57/62. Этот прием работает потому, что 491 = (62 х 8) — 5 = 62 х (7 + 1) — 5 = (62 х 7 + 62) — 5 = (62 х 7) + (62 — 5) = 62 х 7 + 57.

Теперь попробуйте решить пример 380 ? 39, используя вышеописанную уловку. Итак, 39 х 10 = 390, что больше делимого на 10. Стало быть, ответ будет 9 с остатком 39–10 = 29.

Следующий вызов для вас — деление четырехзначного числа на двузначное.

3657 / 54

Так как 54 х 100 = 5400, то ответ будет двузначным числом. Для получения первой цифры ответа необходимо выяснить, сколько раз по 54 даст в сумме 3657. Исходя из того что 54 х 70 = 3789 (что немного больше делимого), ответ будет где-то в диапазоне «60 плюс».

Далее умножаем 54 х 60 = 3240 и вычитаем 3657–3240 = 417. Как только вы произнесете «60», ваша задача упростится до 417 ? 54. Поскольку 54 х 8 = 432 (что тоже немного больше 417), последняя цифра будет 7 с остатком 54–15 = 39.

Теперь попробуйте свои силы в решении задачи с трехзначным частным:

Упрощение задач на деление

Если к этому моменту ваш мозг уже устал от перенапряжения, расслабьтесь. Как и было обещано, я поделюсь с вами несколькими приемами упрощения задач на деление в уме. Они основаны на принципе деления обеих частей задачи на общий множитель. Если оба числа в примере четные, вы можете вдвойне упростить проблему путем деления каждого числа на 2 перед началом вычислений. Например, задача 858 ? 16 содержит два четных числа, и их деление на 2 ведет к значительно более простому действию 429 ? 8.

Как видите, остатки 10 и 5 различны; но если записать их в виде дроби, получится 10/16, что равно 5/8. Поэтому в данном методе ответ всегда должен быть представлен в виде дроби.

Мы проделали оба типа вычислений для того, чтобы вы убедились, насколько второй способ легче. Теперь ваша очередь практиковаться:

Пример справа гораздо легче решить в уме. Если вы все еще в этом не уверены, можете разделить обе части исходной задачи на 18 для получения еще более простой задачи: 201 ? 3 = 67.

Высматривайте задачи, которые можно подвергнуть делению на 2 дважды, такие как 1652 ? 36.

Мне кажется, что проще дважды разделить числа на 2, чем делить каждое из чисел на 4. Теперь рассмотрим случай, когда оба числа оканчиваются на 0. В этой ситуации можно каждое число разделить на 10.

Если оба числа заканчиваются на 5, удвойте их, а затем разделите на 10 для упрощения задачи. Например:

Наконец, если делитель оканчивается на 5, а делимое на 0, умножьте оба на 2, а затем разделите на 10 и далее действуйте так, как мы делали выше.

УПРАЖНЕНИЕ: ДЕЛЕНИЕ НА ДВУЗНАЧНЫЕ ЧИСЛА

Здесь вы найдете разнообразные задачи по делению на двузначные числа, которые проверят ваше ментальное мастерство и умение пользоваться простыми техниками упрощения, которые были объяснены в этой главе. Загляните в конец книги для получения объяснений и сверки ответов.

1. 738 ? 17

2. 591 ? 24

3. 321 ? 79

4. 4268 ? 28

5. 7214 ? 11

6. 3074 ? 18

РАЗВИВАЕМ СВОИ СПОСОБНОСТИ: ИЗУЧЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Как вы уже, наверное, догадались, мне нравится заниматься магией, превращая обычные дроби в десятичные. В случае с дробями, в знаменателе которых есть только одна цифра, лучший способ превратить их в десятичные — это почерпнуть их значения из памяти. Это не так сложно, как кажется. Далее вы увидите, что большинство дробей, числители и знаменатели которых представлены однозначными числами (а также 10 или 11), обладают особыми свойствами, поэтому их сложно забыть. Каждый раз, когда вы можете сократить дробь до уже известного вам значения, это ускорит процесс вычислений.

Уверен, вы уже знаете десятичные эквиваленты для следующих дробей:

1/2 = 0,50;

1/3 = 0,333…;

2/3 = 0,666…

Подобно этому

1/4 = 0,25;

2/4 = 1/2 = 0,50;

3/3 = 0,75.

Дроби с пятерками в знаменателе запомнить легче всего.

1/5 = 0,20;

2/5 = 0,40;

3/5 = 0,60;

4/5 = 0,80.

Дроби с шестерками в знаменателе требуют запоминания только двух новых значений.

1/6 = 0,1666…;

2/6 =1/3 = 0,333…;

3/6 = 1/2 = 0,50;

4/6 = 2/3 = 0,666…;

5/6 = 0,8333…

Через мгновение я вернусь к дробям с семерками в знаменателе. А сейчас дроби с восьмерками в знаменателе, преобразовать которые просто элементарно.

1/8 = 0,125;

2/8 = 1/4 = 0,25;

4/8 = 1/2 = 0,50;

6/8 = 3/4 = 0,75;

Дроби с девятками в знаменателе таят в себе особое волшебство.

где черта над цифрой обозначает бесконечное повторение этой цифры (говорят, что это дробь в периоде). Например, 4/9 = 0,444…

Дроби с десятками в знаменателе нам уже известны.

1/10 = 0,1; 2/10 = 0,2; 3/10 = 0,3;

4/10 = 0,4; 5/10 = 0,5; 6/10 = 0,6;

7/10 = 0,7; 8/10 = 0,8; 9/10 = 0,9.

Дроби со знаменателем 11 легко вычисляются, если вы запомните, что 1/11 = 0,0909.

Дроби со знаменателем 7 действительно выдающиеся. Как только вы запомните, что 

 то сможете без труда получить значения других дробей с 7 в знаменателе.

Обратите внимание, что последовательность цифр в периоде циклически повторяется в каждой дроби, при этом изменяется лишь начальная цифра последовательности. Ее можно определить путем умножения 0,14 на числитель дроби.

Например, для дроби 2/7 имеем 2 х 0,14 = 0,28. Поэтому последовательность должна начинаться с 2. Для дроби 3/7 это 3 х 0,14 = 0,42, значит, последовательность начинается с 4.

Другие дроби подчиняются тому же правилу.

Конечно, в процессе решения разнообразных задач вы обязательно столкнетесь с дробями, превышающими 10/11. Поэтому постоянно обдумывайте способы упрощения таких задач. Например, можно упростить дробь 18/34 путем деления числителя и знаменателя на 2, чтобы сократить задачу до 9/17 (ее будет легче решить).

Если знаменатель дроби — четное число, можно упростить дробь, уменьшив ее вдвое, даже если числитель нечетный.

Например,

9/14 = 4,5/7

Деление числителя и знаменателя на 2 сведет проблему к дроби с семеркой в знаменателе. Хотя ранее показанная последовательность дробей не предоставляет десятичного варианта для дроби 4,5/7, как только вы начнете считать, заученное число неожиданно всплывет в памяти.

Как видите, вам не пришлось решать задачу целиком.

Стоит вам разделить 3 на 7, и вы точно произведете огромное впечатление на публику, отбарабанив этот длинный набор цифр почти мгновенно![4]

Когда делитель заканчивается на 5, то почти всегда умножение на 2, а потом деление на 10 оправдывает себя. Например:

Числа, которые заканчиваются на 25 или 75, надо сначала умножить на 4 и затем разделить на 100.

Этот трюк можно применять даже в середине расчетов.

Если вам нужно вычислить дробь 3/16, произойдет вот что:

Как только задача сведется к вычислению 14/16, можно привести ее к виду 7/8, что, как известно, равняется 0,875.

Отсюда 3/16 = 0,1875[5].

УПРАЖНЕНИЕ: ПРИВЕДЕНИЕ ДРОБЕЙ К ДЕСЯТИЧНОЙ ФОРМЕ

Чтобы решить следующие задачи, не забудьте использовать полученные знания о десятичном виде различных «одноцифровых» дробей. Везде, где это целесообразно, упрощайте дроби, прежде чем преобразовать их в десятичные.

1. 2/5 2. 4/7 3. 3/8 4. 9/12 5. 5/12 6. 6/11

7. 14/24 8. 13/27 9. 18/48 10. 10/14 11. 6/32 12. 19/45

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ

В последнем разделе мы узнали, как упростить задачи на деление, если числитель и знаменатель поделить на общий множитель. В завершение этой главы обсудим, как определить, является ли одно число делителем другого. Это поможет упростить задачу на деление и ускорить процесс решения многих задач на умножение, а также пригодится, когда мы доберемся до продвинутого умножения, где часто придется искать способы разложить на множители двух-, трех- или даже пятизначные числа. Умение делать это окажется весьма полезным.

Проверить, делится ли число на 2, довольно просто. Вам нужно только определить, является ли последняя цифра четной. Если это 2, 4, 6, 8 или 0, то число целиком делится на 2.

Чтобы протестировать число на делимость на 4, проверьте, делятся ли на 4 две его последние цифры. Число 57 852 кратно 4, потому что 52 = 13 х 4. Число 69 346 не кратно 4, поскольку 46 не делится на 4 без остатка. Это правило работает потому, что 4 делит 100 и, следовательно, любое число, кратное 100.

Таким образом, поскольку 57 800 и 52 делятся на 4, то 4 поделит и их сумму, то есть 57 852.

Аналогично, так как 1000 делится на 8, для проверки кратности 8 достаточно выяснить, делятся ли на 8 последние три цифры числа. Например, для 14 918 надо проверить число 918 на делимость на 8. Однако при делении 918 на 8 имеем остаток (918 ? 8 = 114 6/8), из чего делаем вывод, что число 14 918 на 8 не делится. Можно также заметить, что 18 (две последние цифры числа 14 918) не делится на 4, а так как 14 918 не делится на 4, оно не может делиться и на 8.

Когда дело доходит до делимости на 3, предлагаю запомнить одно простое правило: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма составляющих его цифр делится на 3 (независимо от того, сколько цифр в числе). Чтобы выяснить, делится ли 57 852 на 3, просто сложите 5 + 7 + 8 + 5 + 2 = 27. Так как 27 кратно 3, то и 57 852 будет кратно 3. Столь же удивительное правило справедливо и для делимости на 9. Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма составляющих его цифр кратна 9. Поэтому 57 852 кратно 9, тогда как число 31 416, сумма цифр которого равна 15, на 9 не делится. Объясняется это правило тем, что числа 1, 10, 100, 1000, 10000 и т. д. всегда на единицу больше кратного 9.

Число делится на 6 только в том случае, если оно четное и делится на 3. Так что кратность 6 легко проверить.

Установить, делится ли число на 5, еще проще. Любое число, независимо от величины, кратно 5 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 5 или 0.

Выяснить делимость на 11 почти так же просто, как на 3 или на 9. Число делится на 11 тогда и только тогда, когда в результате попеременного вычитания и сложения составляющих его цифр вы получите либо 0, либо кратное 11.

Например, 73 958 не делится на 11, потому что 7–3 + 9–5 + 8 = 16. Однако числа 8 492 и 73 194 кратны 11, так как 8–4 + 9–2 = 11 и 7–3 + 1–9 + 4 = 0. Это правило работает потому, что числа 1, 100, 10 000, 1 000 000 на единицу больше кратного 11, в то время как числа 10, 1000, 100 000 и т. д. на единицу меньше величины, кратной 11.

Проверка делимости на 7 несколько сложнее. Если вы прибавите (или вычтите) число, кратное 7, к проверяемому (или из проверяемого) и полученный результат будет делиться на 7, ответ положительный. Я всегда выбираю такое прибавляемое или вычитаемое кратное 7, чтобы в итоге сумма или разность заканчивалась на 0. Например, для проверки числа 5292 я вычитаю 42 (кратное 7), чтобы получить 5250.

Далее избавляюсь от 0 на конце (так как деление на десять не влияет на проверку делимости на семь), получая в итоге 525. Затем повторяю процесс, прибавляя 35 (кратное 7), что дает мне 560. Когда я удалю 0, то останусь с числом 56, которое, как мне известно, кратно 7. Таким образом, исходное число 5292 делится на 7.

Этот метод работает не только для 7, но и для любого нечетного числа, кроме оканчивающегося на 5. Например, чтобы проверить, делится ли 8792 на 13, вычитаем 4 х 13 = 52 из 8792 и получаем 8740. Опуская 0, имеем 874. Затем прибавляем 2 х 13 = 26, выходит 900. Удаление двух нулей оставляет нас с числом 9, которое, очевидно, не кратно 13. Таким образом, 8792 не делится на 13.

УПРАЖНЕНИЕ: ПРОВЕРКА НА ДЕЛИМОСТЬ

В этом упражнении будьте особенно внимательны при проверке делимости на 7 и 17. Остальное не должно представлять для вас трудностей.

Делимость на 2

1. 53 428 2. 293 3. 7241 4. 9846

Делимость на 4

5. 3932 6. 67 348 7. 358 8. 57 929

Делимость на 8

9. 59 366 10. 73 488 11. 248 12. 6111

Делимость на 3

13. 83 671 14. 94 737 15. 7359 16. 3 267 486

Делимость на 6

17. 5334 18. 67 386 19. 248 20. 5991

Делимость на 9

21. 1234 22. 8469 23. 4 425 575 24. 314 159 265

Делимость на 5

25. 47 830 26. 43 762 27. 56 785 28. 37 210

Делимость на 11

29. 53 867 30. 4969 31. 3828 32. 941 369

Делимость на 7

33. 5784 34. 7336 35. 875 36. 1183

Делимость на 17

37. 694 38. 629 39. 8273 40. 13 855

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ

Если вы в состоянии управиться с целыми числами, то арифметические действия с дробями покажутся вам почти такими же легкими. В этом разделе мы сделаем обзор основных методов сложения, вычитания, умножения, деления и сокращения обыкновенных дробей. Те, кто знаком с дробями, могут спокойно его пропустить.

Умножение обыкновенных дробей

Чтобы перемножить две обыкновенные дроби, нужно просто перемножить их числители (верхние числа), а затем знаменатели (нижние числа). Например:

2/3 х 4/5 = 8/15

1/2 х 5/9 = 5/18

Что может быть проще! Попробуйте следующие упражнения, прежде чем двигаться дальше.

УПРАЖНЕНИЕ: УМНОЖЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ

1. 3/5 х 2/7

2. 4/9 х 11/7

3. 6/7 х 3/4

4. 9/10 х 7/8

Деление обыкновенных дробей

Деление дробей столь же легкое, как и умножение. Однако оно требует одного дополнительного действия. Сначала переверните вторую дробь с ног на голову (это называется обратная дробь), а затем умножайте. Например, обратная дробь для 4/5 будет 5/4. Следовательно,

2/3 ? 4/5 = 2/3 х 5/4 = 10/12

1/2 ? 5/9 = 1/2 х 9/5 = 9/10

УПРАЖНЕНИЕ: ДЕЛЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ

Теперь ваша очередь. Поделите эти дроби.

1. 2/5 ? 1/2

2. 1/3 ? 6/5

3. 2/5 ? 3/5

Сокращение обыкновенных дробей

Дроби можно рассматривать как маленькие задачки на деление. Например, 6/3 то же самое, что и 6 ? 3 = 2. Дробь 1/4 то же самое, что и 1 ? 4 (или 0,25 в десятичной форме). Известно, что если умножить любое число на 1, то это число не изменится.

Например, 3/5 = 3/5 х 1. Но если заменить 1 дробью 2/2, то получим 3/5 = 3/5 х 1 = 3/5 х 2/2 = 6/10. Следовательно, 3/5 = 6/10.

По такому же принципу, заменив 1 дробью 3/3, получим 3/5 = 3/5 х 3/3 = 9/15. Другими словами, если мы умножаем числитель и знаменатель на одно и то же число, то получаем дробь, равную исходной.

Вот еще пример:

2/3 = 2/3 х 5/5 = 10/15

Верно и то, что, деля числитель и знаменатель на одинаковое число, мы получаем дробь, равную исходной.

Например:

4/6 = 4/6 ? 2/2 = 2/3

25/35 = 25/35 ? 5/5 = 5/7

Это сокращение дроби.

УПРАЖНЕНИЕ: СОКРАЩЕНИЕ ДРОБЕЙ

Найдите дробь со знаменателем 12, равную дробям, представленным ниже.

1. 1/3 2. 5/6 3. 3/4 4. 5/2

Сокращение дробей.

5. 8/10 6. 6/15 7. 24/36 8. 20/36

Сложение дробей

Это действие можно считать простым, когда знаменатели равны. В этом случае складываются числители и сохраняется прежний знаменатель.

Например:

3/5 + 1/5 = 4/5; 4/7 + 2/7 = 6/7

Иногда можно упростить ответ. Например:

1/8 + 5/8 = 6/8 = 3/4

УПРАЖНЕНИЕ: СЛОЖЕНИЕ ДРОБЕЙ (С РАВНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ)

1. 2/9 + 5/9

2. 5/12 + 4/12

3. 5/18 + 6/18

4. 3/10 + 3/10

Более коварный случай — различные знаменатели. Когда знаменатели не равны, нужно заменить исходные дроби дробями с равными знаменателями.

Например, сложите

1/3 + 2/15

Заметим, что

1/3 = 5/15

Поэтому

1/3 + 2/15 = 5/15 + 2/15 = 7/15

При сложении

1/2 + 7/8

Замечаем, что

1/2 = 4/8

Тогда

1/2 + 7/8 = 4/8 + 7/8 =11/8

При сложении

1/3 + 2/5

Видим, что

1/3 = 5/15 и 2/5 = 6/15

В итоге

1/3 + 2/5 = 5/15 + 6/15 = 11/15

УПРАЖНЕНИЕ: СЛОЖЕНИЕ ДРОБЕЙ (С НЕРАВНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ)

1. 1/5 + 1/10 2. 1/6 + 5/18 3. 1/3 + 1/5

4. 2/7 + 5/21 5. 2/3 + 3/4 6. 3/7 + 3/5 7. 2/11 + 5/9

Вычитание дробей

Вычитание дробей похоже на их сложение. Мы покажем это действие на примерах и обеспечим вас тренировочными упражнениями.

2/5 — 2/5 = 1/5; 4/7 — 2/7 = 2/7; 5/8 — 1/8 = 4/8 = 1/2

1/3 /2/15 = 5/15 — 2/15 = 3/15 = 1/5

7/8 — 1/2 = 7/8 — 4/8 = 3/8

1/2 — 7/8 = 4/8 — 7/8 = -3/8; 2/7 — 1/4 = 8/28 — 7/28 = 1/28

2/3 — 5/8 = 16/24 — 15/24 = 1/24

УПРАЖНЕНИЕ: ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ

1. 8/11 — 3/11 2. 12/7 — 8/7 3. 13/18 — 5/18

4. 4/5 — 1/15 5. 9/10 — 3/5 6. 3/4 — 2/3

7. 7/8 — 1/16 8. 4/7 — 2/5 9. 8/9 — 1/2

Поделитесь на страничке

Следующая глава >

math.wikireading.ru

Быстрые алгоритмы деления. Деление чисел методом Ньютона

6. Быстрые алгоритмы деления

Деление чисел методом Ньютона

Для определенности будем считать, что делимое  и делитель  записаны в позиционной системе счисления по основанию . При этом длины чисел  и  равны, соответственно,  и .

Предварительное обсуждение

Задача нахождения частного сводится к определению приближенного значения дроби  с точностью ½, с последующим его округлением до ближайшего целого, и, возможно его уточнением. Уточнение частного требуется, если округление приближенного значения дроби  происходит не в ту сторону. Пусть — полученное частное. Тогда , и, значит, искомое частное отличается от полученного, не более чем на 1. Для уточнения частного вычислим остаток  и, если , то частное надо уменьшить на 1. Если , то частное надо увеличить на 1.

Приближенное значение дроби  с точностью до ½ можно получить как произведение  на приближенное значение дроби с точностью . Последний факт следует из неравенства . В свою очередь, приближенное значение дроби  можно получить, решая уравнение  методом Ньютона (методом касательных).

Описание метода

Пусть  — некоторое начальное приближение к дроби . О методах выбора  поговорим ниже. Допустим, на -ой итерации построено приближение . Уравнение касательной в точке  к функции  имеет вид . Точка пересечения касательной с осью абсцисс равна . Взяв эту точку в качестве следующего приближения , повторим процесс. И так до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность приближения.

Условия сходимости

Обозначим через  погрешность приближенного решения , т.е. . При  имеем , или .

Из полученной рекуррентной формулы  выводим  или . Из равенства  вытекает, что величина  стремится к нулю с ростом k только тогда, когда .

Выбор начального приближения

Укажем способ выбора , при котором выполняется неравенство . Положим  равным , где  — ближайшее целое, не превосходящее дроби . Трудоемкость вычисления значащих разрядов  имеет порядок . Далее, . Подставим вместо  выражение , где , получим . Поскольку в модуле стоит разность одинаковых по знаку чисел, то  не превосходит наибольшего из них. Так как и , то .

Оценка числа итераций метода

Оценим число итераций метода Ньютона, необходимое для достижения требуемой точности. Из равенства  и неравенства  выводим соотношение . Из неравенства  и  находим , или . Таким образом, число итераций методом Ньютона не больше .

Влияние погрешности вычислений на число итераций

Полученная оценка числа итераций метода Ньютона справедлива, если на каждой итерации  выполняется неравенство .

Выполнение этих неравенств гарантировано при точном вычислении  по формуле . Однако, точное вычисление  по этой формуле приводит к быстрому росту числа знаков после запятой. Чтобы избежать роста числа знаков после запятой предлагается округлить , но так чтобы неравенство  сохранилось.

Для определенности, пусть . В силу выпуклости функции  величина  всегда находится левее , т.е. . Действительно, . Таким образом, если округлить величину  в сторону увеличения с точностью до , то неравенство  сохранится. Обозначим через τ ошибку округления . Тогда . Поскольку под модулем стоит разность одинаковых по знаку чисел, то . Отсюда, учитывая неравенства τ< и выводим .

Оценим трудоемкость k-ой итерации метода Ньютона (k ≥ 1). Из сказанного ранее следует, что xk-1 можно округлить в сторону возрастания с точностью до. Таким образом, число знаков после запятой xk-1 больше 2k-1+n. Из неравенств и b≥pn-1делаем вывод, что первые n-1 разрядов после запятой равны нулю. То есть, число xk-1 представляется в виде , где zk-1 — целое число по длине не больше 2k-1+1.

Общая оценка трудоемкости

Пусть трудоемкость умножения целых чисел длины s и l равна Tу(s + l). Тогда трудоемкость вычисления xk по формуле (2-bхk-1)хk-1 = (2, с последующим округлением в  разрядах по порядку определяется величиной О(Tу(2k+n)). Общая трудоемкость метода Ньютона не превосходит по порядку О.

Приведем оценку трудоемкости операции деления методом Ньютона в предположении, что умножение проводится с использованием быстрого преобразования Фурье. В этом случае Tу(l) = О(l∙logl) и вычисление xk лучше вести по формуле . При этом, образы ,  вычисляются сразу. Потом над ними проводятся соответствующие операции умножения, вычитания, и только после этого восстанавливается результат. Поскольку , то длина произведения  не превосходит 2k-1+1+n. Таким образом, трудоемкость k-ой итерации деления по порядку не превосходит О, а, значит, трудоемкость всего метода ограничена сверху величиной О O(m log m log (m-n)).

Тем самым доказана

Теорема. Трудоемкость деления чисел с остатком ограничена сверху величиной O(m log m log (m-n)).

Деление целых чисел без остатка

Если числа а и b заведомо делятся друг на друга, то можно воспользоваться версией метода Ньютона в р-адической арифметике. В дальнейшем будем считать р простым числом. Если b делится на pk, то его последние k разрядов равны 0. Поскольку а делится на b, то а делится на pk. Отбрасывая последние k нулевых разрядов чисел а и b, приходим к задаче деления, где b не делится на р. Так как р — простое число и b0≠0, то наибольший общий делитель b0 и р равен 1. Расширенным алгоритмом Евклида найдем числа u и v, что ub0+рv = 1. Положим х0 = u. Далее проводим итерации метода Ньютона, вычисляя хk по формуле хk = (2-хk-1b)хk-1. Поскольку р — основание системы счисления, то, по сути, мы проводим операции над младшими 2k разрядами, отбрасывая старшие. Обозначим через ηk величину 1-bхk. Индукцией по k покажем сравнение ηk ≡ 0 . При k = 0 имеем: η0 = 1-bх0 ≡ 1- b0u ≡ 0(mod р). Пусть ηk-1≡0. Тогда, ηk=1-bхk≡1-b(2-хk-1b)хk-1≡

≡(1-bхk-1)2 ≡.

Единственным решением сравнения а ≡ bх(mod рm-n) является частное а/b. Поэтому, не более чем через log2(m-n)+1 итерацию метода, частное будет найдено. Трудоемкость метода Ньютона в этом случае не превосходит O(). Если для умножения используется быстрое преобразование Фурье, то Ту(l) = O(l logl). Трудоемкость метода в этом случае оценивается величиной O(. Как видим, за счет более экономной схемы умножения, трудоемкость деления чисел нацело, по порядку, имеет ту же трудоемкость, что и умножение.

Тем самым доказана

Теорема. Трудоемкость деления чисел без остатка ограничена сверху величиной .

Резюме

•В лекции подробно разобраны быстрые алгоритмы деления.

•Приведены оценки трудоемкости.

Контрольные вопросы и упражнения:

•Возможность распараллеливания алгоритма деления.

•Как изменится алгоритм деления чисел без остатка, если основание системы счисления будет составное.

•Насколько принципиальный характер носит отличие верхних оценок трудоемкости алгоритмов деления с остатком и без остатка.

•Составить алгоритм деления целых чисел без остатка при основании равном 10.

•Составить алгоритм деления целых чисел без остатка при основании равном 2k.

vunivere.ru